直线与平面平行的性质经典例题

2.2.3直线与平面平行的性质

2.2.4平面与平面平行的性质

一、基础达标

1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是() A．平行B．异面

C．相交D．平行或异面或相交

答案 D

解析如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．

2．(2014·郑州高一检测)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线() A．只有一条，不在平面α内

B．只有一条，在平面α内

C．有两条，不一定都在平面α内

D．有无数条，不一定都在平面α内

答案 B

解析如图所示，

∵l∥平面α，P∈α，

∴直线l与点P确定一个平面β，

α∩β＝m，

∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．

3．三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则() A．EF与BC相交B．EF与BC平行

C．EF与BC异面D．以上均有可能

答案 B

解析由线面平行的性质定理可知EF∥BC.

4．(2014·呼和浩特高一检测)如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC 上的点，且MN∥平面P AD，则()

A．MN∥PD

B．MN∥P A

C．MN∥AD

D．以上均有可能

答案 B

解析∵MN∥平面P AD，MN⊂平面P AC，

平面P AD∩平面P AC＝P A，

∴MN∥P A.

5．下列说法正确的是() A．平行于同一条直线的两个平面平行

B．平行于同一个平面的两个平面平行

C．一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

D．若三直线a，b，c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b，c均平行

答案 B

解析平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A错；B正

确；C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D不正确，因为过直线a的平面中，只要b，c不在其平面内，则与b，c均平行．

6．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．

答案平行

解析由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．

7.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1，B，C1的平面与平面ABC的交

线为l，试判断l与直线A1C1的位置关系，并给以证明．

解l∥A1C1

证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1∥平面ABC.

又∵A1C1⊂平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面ABC＝l，

∴A1C1∥l.

二、能力提升

8．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()

A．都平行

B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点

D．都平行或交于同一点

答案 D

解析∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交．

(1)若l ∥α，则由线面平行的性质可知l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，… ∴a ，b ，c ，…这些交线都平行．

(2)若l 与α相交，不妨设l ∩α＝A ，则A ∈l ，又由题意可知A ∈a ，A ∈b ，A ∈c ，…，∴这些交线交于同一点A .综上可知D 正确．

9.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB 、AC 分别交平面α于点E 、F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝________.

答案 32

解析 EF 可看成为直线a 与点A 确定的平面与平面α的交线，∵a ∥α，由线面平行的性质定理知，BC ∥EF ，由条件知AC ＝AF ＋CF ＝3＋5＝8. 又EF BC ＝AF

AC ，∴EF ＝AF ×BC AC ＝3×48＝32.

10.如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′

S △ABC

＝________.

答案 4

25

解析 由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′， 由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，

∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′， 从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△P AB ∽△P A ′B ′， S △A ′B ′C ′S △ABC

＝⎝

⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A ′P A 2＝4

25. 11.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .

求证：N 为AC 的中点． 证明 ∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ， 平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ， 平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ， ∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1， ∴四边形ANC 1M 为平行四边形， ∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝1

2AC ， ∴N 为AC 的中点． 三、探究与创新

12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．