一线三等角问题

A

B

C

D

E

相似三角形模型之“一线三等角型”

一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

引例：如图，等边△ABC 中，D

是BC 上一点，F 为AC 边上一点，且∠A DF =60°，BD=3，CF=2.求△ABC 边长。

例1、如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠．

(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；

(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式

例2、如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AP ＝1，AB ＝DC ＝2．P 为AD 上的一点，

满足∠BPC ＝∠A ．求AD 的长．

C D

B F

A

C

C

B

E

C

D

C

A

D

B

E

F

例3、正方形ABCD 的边长为4（如下图），点P 、Q 分别在线段CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长。

相关练习：

1、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD=1，FC=3时，求BE

2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E

是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长

3、在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 分别在线段CB 、

AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.若点P 在

线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长

B

C

A

B

C

D

A

B

C

Q

4、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点． （1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ； （2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交CD 于点F ，那

么当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式。

5、已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边AB 于点E,设y AE x PD ==,，求y 关于x 的函数关系式。

6、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90B ∠=︒，E 为BC 上一点，且AE 垂直于ED ，若BC ＝12，DC ＝7，BE ：EC ＝1：2，求AB 的长。

（挑战题）7、如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是线段BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，边,EG FG 交边AC 于点,M N ， （1）写出图中与BEF ∆相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；

（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式。

E D C B A

E B A

D

P

A B E

C D