线性代数4-1向量空间及其子空间分解

示， 因此极大无关组
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即 1 , 2 ,, s 的秩就是生成向量空间的维数， 且易知： L( 1 ,2 ,, s ) L( i1 ,,ir ) 。
【注】设 A 是 m n 矩阵，且 A (1 ,2 ,, n ) ， 则 A 的值空间 R( A) 就是由 A 的列向量组生成的向量空 间， 因此 A 的列向量组的任一个极大无关组都构成 R( A) 的一组基，且 dim R( A) r (1 ,2 ,, m ) r ( A) 。
求它们的基与维数。
解： （1） 1 (0,1,0,,0)T , 2 (0, 0,1,,0)T ,


,n1 (0, 0,0,,1) 是 V1 的一组基， 故 dimV1 n 1 。
T
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（2） 1 (2,1,0,,0)T , 2 (3,0,1,,0)T ,
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二、子空间
【定义】设 V 与 W 都是向量空间，并且 W 是 V 的子 集，则称 W 是 V 的子空间。
例 7 由 n 维向量 1 , 2 ,, s 生成的向量空间
L(1 ,2 ,, s ) 是 R 的子空间。
n
又设 A 是 m n 矩阵，则：
N ( A) x Ax 0 , x R

y
y
y Ax, x R
n

y x11 x2 2 xn n , x j R

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故 V 可看成是由 A 的列向量组 1 , 2 ,, n 生成的 向量空间 L(1 ,, n ) ，称为 A 的值空间，记为 R( A) ， 即
R( A) Ax x R
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故 V 可以看成是由 Ax 0 的基础解系生成的向量空 间，称为 A 的核空间，记为 N ( A) 。 即
N ( A) x Ax 0 , x R n 。


N ( A) 也称为齐次线性方程组 Ax 0 的解空间。
A 的值空间与核空间是两个非常重要的向量空间。
【注 5】非齐次线性方程组 Ax ( 0) 的解集 不构成向量空间。
R( A) Ax
nLeabharlann Baidu
是R
n
的子空间。
x R
n

m R 是 的子空间。
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n R 给出 n 维向量的非空集合 W ，显然 W 是 的子集。 n 判断 W 是否为 R 的子空间， 只需判断 W 是否为向量空间 即可，也就是验证 W 是否对加法和数乘运算封闭。
例 8 判断下述集合是否为 R 的子空间
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第4- 1节 向量空间及其子空间
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一、向量空间的定义
在第三章中，对集合 R 中的向量定义了加法与数乘 运算，且 R 中的向量的线性组合仍然属于 R ，加法与数
n R 乘运算还满足八条运算性质。对于 中的一个集合V ， V 中向量的线性组合是否仍然属于V ？如果仍然属于V ，则在 V 中加法与数乘的八条运算性质将被满足。 n n
例 4 设 1 (1,0) , 2 (0,1) ，则
L(1 , 2 ) ( x1 , x2 ) ( x1 , x2 ) x11 x2 2 , x j R R2
例 5 设 A 是 m n 矩阵，且 A (1 ,2 ,, n ) ， 则 V


n
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【定义】设 V 是 n 维实向量构成的集合，对于向量的 加法运算及数乘运算满足： （1）任意 V , V ，有 V ； （2）任意 V , k R ，有 k V 。 则称集合 V 为 R 上的实向量空间，简称向量空间。
【注 1】定义中的条件(1)称为加法封闭性，而条件 (2)称为数乘封闭性。
V 关于加法和数乘都封闭，故V 构成向量空间。
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【定义】给定的 n 维实向量 1 , 2 ,, m ，称
V { k1 1 k m m , k i R} 是由向量组 1 ,, m 生成的向量空间，记作： 1 ,, m } 。 L( 1 ,, m ) 或者 span{
例 6 设 A 是 m n 矩阵，则

n
。
n
V x Ax 0, x R



构成向量空间。 它是齐次线性方程组 Ax 0 的解集合。
记 1 ,2 ,nr 是 Ax 0 的基础解系 (r ( A) r ) ， 则 V
x
x k11 k22 knrnr , k j R ，
,n1 (n,0,0,,1)T 是 V2 的一组基， 故 dimV2 n 1。
例 10 设 A 是 m n 矩阵，且 r ( A) r n ，则齐次 线性方程 Ax 0 的基础解系1 ,2 ,nr 构成 Ax 0 的解空间（核空间） N ( A)
x
n
W1 ( x1 , x2 , , xn ) x1 x2 xn 0, xi R ； （1）
T
W2 （2）
( x , x , , x )
1 2 n
T
x1 2 x2 nxn
1, x R 。
i
解（1） W1 可理解为齐次线性方程组
Ax 0 , x R
n
的一
组基， 且 dim N ( A) n r n r ( A) 。
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例 11 求由 n 维向量 1 , 2 ,, s 生成的向量空间
L( 1, 2 ,, s ) 的一组基及维数。
由于生成向量空间 L( 1 , 2 ,, s ) 中的任意一个 又可由极大无关组 i1 ,, ir 线性表示。
x1 x2 xn 0
的解集合，故 W1 是 R 的子空间。
n
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（2） W1 可理解为非齐次线性方程组
x1 2 x2 nxn 1
的解集合，故 W2 不是 R 的子空间。
n
三、向量空间的基、维数与向量的坐标
n n R R 在 中， 任一向量都可用 中 n 个线性无关的向量
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【注】如果找到了向量空间V 的一组基，则V 中任 一向量都可由基向量线性表出，从而V 的结构也就清楚 了， 因此V 可以理解为由它的基向量组生成的向量空间。
T 例 9 设 V1 (0, x2 , , xn ) x2 , , xn R ；
V2 ( x1 , x2 , , xn )T x1 2 x2 nxn 0, xi R
(4) ( ) 0 ；
n
(8) (k l ) k l 。
构成向量空间的三要素： 一个集合 V 、两种 V 中的运算、八条运算性质
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例 1 设 n 维实向量的集合
V2 (1, x2 , , xn ) x2 , , xn R ；
T
V1 (0, x2 , , xn )T x2 , , xn R ；
来表示，且这种表示是唯一的。 这一性质在一般的向量空间V 中是否具有？ 答案是肯定的！ 由此可抽象出向量空间V 的基、 维数以及向量在所给 基下的坐标的概念，并以此描述向量空间的结构。
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【定义】设 V 是一个向量空间，如果存在一组向量 1 ,2 ,, r V ，满足： （1） 1 , 2 ,, r 线性无关； （2） V 中任一向量 都可以由向量组 1 , 2 ,, r 线性表出，则称 1 , 2 ,, r 为向量空间 V 的一组基；基 中所含向量的个数 r 称为 V 的维数，记作 dim V r ，并 称 V 为 r 维向量空间。 零空间没有基，并规定零空间的维数是 0。
因此， 如果 n 维向量的集合 V 关于向量的加法和数乘 都封闭，则 V 构成向量空间。
【注 2】只含零向量的集合显然对加法和数乘封闭， 因而也构成向量空间，称为零空间。
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【注 3】实数域 R 上所有 n 维向量的集合 R 是向量 3 R 空间。如 通常称为 3 维几何空间。
【注 4】由于向量空间中的加法和数乘运算封闭，故 向量的加法和数乘运算的八条性质在集合V 中被满足。 它们是： (5) 1 ； (1) ； (2) ( ) ( ) ；(6) k ( l ) ( k l ) ； (7) k ( ) k k ； (3) 0 ；
试证： V 构成向量空间。
证明：设 k11 km m V ，
l11 lmm V ， 于是 (k1 l1 )1 (km lm )m V ， k (k k1 ) 1 (k k m ) m V ， 即 与 k 仍然是 1 ,, m 的线性组合，由此
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故 V3 关于加法和数乘都封闭， 因此V3 构成向量空间。
（2） 设 ( x1, x2 ,, xn )T , ( y1, y2 ,, yn )T V4 ，
x
i 1
n
i
1 ， yi 1 ，
i 1 n n
n
则由于
(x
i 1
n
i
yi ) xi yi 2 1 ，
则
( x2 , y2 , x2 , y2 ,, x2 , y2 )T V3 ， (a, b, a, b,, a, b)T V3 ， k (c, d , c, d ,, c, d )T V3 ，
其中 a x1 x2 , b y1 y2 , c kx1 , d ky1 。
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例 2 设 n 维实向量的集合
V3 ( x , y, x , y, , x , y )
T
x , y R ；
n T V4 ( x1 , x2 ,, xn ) xi R , xi 1 。 i 1 问 V3 及 V4 是否构成向量空间？ 解： （1）设 ( x1 , y1, x1, y1,, x1 , y1 )T V3
解：设 i1 ,, ir 是 1 , 2 ,, s 的极大无关组，
向量 都可由 1 ,2 ,, s 线性表示，而 1 ,2 ,, s
由线性表示的传递性知， 可由 i1 ,, ir 线性表
1
i ,,ir 构成 L(1,, s ) 的一组 基。且 dim L(1 ,, s ) r r (1 ,2 ,, s ) 。
i 1 i 1
故 ( x1 y1 , x2 y2 ,, xn yn )T V4 ，
即 V4 对加法运算不封闭，因此V4 不构成向量空间。
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例 3 给定 n 维向量组 1 ,, m (m … 1) ， V 是由
1 ,,m 的一切线性组合所构成的集合，即 V { k11 kmm , ki R}
问 V1 及 V2 是否构成向量空间？
解： （1） 设 (0, x2 ,, xn ) , 则
(0, y2 ,, yn )V1
( 0 , x2 y2 ,, xn yn ) V1 ， k ( 0 , kx2 ,, kxn )V1 ， 故 V1 关于加法和数乘都封闭， 因此V1 构成向量空间。 （2） 设 (1 , x2 ,, xn ) , (1 , y2 ,, yn )V2 ， 则 ( 2 , x2 y2 ,, xn yn ) V2 ， 即 V2 对加法运算不封闭，因此V2 不构成向量空间。