第2章习题解c

2-23 如本题图所示，将质量为m 的小球用细线挂在倾角为θ 的光滑斜面上。求 (1) 若斜面以加速度a 沿图示方向运动时，求细线的张力及小球对斜面的正压力；(2) 当加速度a 取何值时，小球刚可以离开斜面？

解: (1) 小球沿水平方向加速，表明作用于其上外力的垂直方向分量为零，即

mg N T =+θθcos sin , 又小球水平方向的运动方程为ma N T =-θθsin cos . 联立解上述两方程得 )c o s s i n (θθa g m T +=, )sin cos (θθa g m N -=.

(2) 小球刚可以离开斜面，表明此时 N = 0 ; 由上述第二式可得 θgctg a =.

2-24 一辆汽车驶入曲率半径为R 的弯道。弯道倾斜一角度θ ，轮胎与路面之间的摩擦系数

为μ．求汽车在路面上不作侧向滑动时的最大和最小速率。

解: 车子驶慢时, 就有侧向下滑的趋势，最小速率v min 应与向心力和最大摩擦力有关，相应

的式子为: mg f N r =+θθsin cos , R

v m f N r 2min cos sin =-θθ, N f r μ=; 由此解得 θ

μμθθμθθμθtg tg v +-=+-=1sin cos cos sin min . 车子驶快时,就有侧向往上滑的趋势，最大速率v max 应与向心力和最大摩擦力，相关的

式子为: mg f N =-θθsin cos , k

v m f N 2max cos sin =+θθ, N f μ=; 联立解得 θ

μμθθμθθμθtg tg v -+=-+=1sin cos cos sin max .

2-25 质量为m 的环套在绳上，m 相对绳以加速度a ’下落。求环与绳间的摩擦力。图中M 、m 为已知。略去绳与滑轮间的摩擦，绳不可伸长。

解: 按题意摩擦力与绳的张力相等，于是有

)'(a a m f mg r -=-, Ma f Mg T Mg r =-=-;

由此解得 )'2(a g m

M Mm f r -+=

2-26 升降机中水平桌上有一质量为m 的物体A ，它被细线所系，细线跨过滑轮与质量也为

m 的物体B 相连。当升降机以加速度a = g /2上升时，机内的人和地面上的人将观察到

A 、

B 两物体的加速度分别是多少？(略去各种摩擦，线轻且不可伸长。)

解: (1) 从机内看: ma T =, ma T mg mg =-+2/; 由此解得 g a 4/3=.

(2)从地面上的人看:

对A 有 T ma Ax =, 2/g a Ay =;

对B 有 0=Bx a , mg T ma By -=.

总之, 有 ⎩⎨⎧==g a g a By Ax 2/14/3, ⎩⎨⎧-==g a a By

Bx 4/10.

2-27 如本题图所示，一根长l 的细棒，可绕其端点在竖直平面内运动，棒的一端有质量为m

的质点固定于其上。(1)试分析，在顶点A 处质点速率取何值，才能使棒对它的作用力为0? (2) 假定m = 500 g , l = 50.0 cm ，质点以均匀速度v = 40 cm/s 运动，求它在B 点时棒对它的切向和法向的作用力。

解: (1) 由运动方程 l

v m m g T n 2

=+, dt dv m T t =可知, 若要 0==t n T T ; 则必须 gl v =. (2) 由运动方程 0==-dt dv m mg N t , l

v m N n 2=可知, 切向力和法向力为

⎪⎩

⎪⎨⎧=⨯⨯⨯===⨯⨯==----N l v m N N mg N n t 16.01050)1040(105009.48.91050022232

3

2-28 一条均匀的绳子，质量为m ，长度为l ，将它拴在转轴上，以角速度ω 旋转，试证明：略去重力时，绳中的张力分布为)(2)(222

r l l

m r T -=ω，式中r 为到转轴的距离。 解: 在r 处的张力T 等于从r 到l 这一段绳子作圆周运动所需的向心力, 对dr 这一段,所需向

心力为: rdr l

m r dm dT 22ωω==; 积分之可得, 绳中的张力分布为 )(2)(220

2r l l m dT r T r -==⎰ω.

2-29 在顶角为2α 的光滑圆锥面的顶点上, 系一劲度系数为k 的轻弹簧，下坠一质量为m

的物体，绕锥面的轴线旋转。试求出使物体离开锥面的角速度ω 和此时弹簧的伸长。 解: 当物体对锥面的正压力 N = 0时，物体离开桌面。此时物体的运动方程和所受的力分

别为 202s i n )(s i n αωωαl l m mr f ∆+==, l k f ∆=, 和mg f =αcos .

由此可得 mg

kl kg +=αωcos 0, αcos k mg l =∆.

2-30 抛物线形弯管的表面光滑，可绕铅直轴以匀角速率转动。抛物线方程为y = ax 2，a 为

常数。小环套于弯管上。求 (1) 弯管角速度多大，小环可在管上任意位置相对弯管静止。(2) 若为圆形光滑弯管，情形如何？

解: (1) 小环的受力和运动方程为

mg N =θcos , 2sin ωθmx ma N n ==, ax y tg 2'==θ

(式中Ｎ为弯管对小环的正压力，θ为弯管切线与ｘ轴的夹角) ;

由此解得 ag 2=ω.

(2) 由上述运动方程可见，相对弯管静止的位置（平衡位置）应满足关系 mg mx N N 2cos sin ωθθ=, 即 x

g θωtan =. 对于轨迹为 222)(R R y x =-+的圆，有 y R x y -=

='tan θ; 代入上式得 y

R g -=ω. 由此可见，不存在与ｙ（或ｘ）无关的平衡点。

2-31 在加速系中分析2—25题。

解: 以加速的考绳子作为参系，则Ｍ除受重力Mg 和绳子的张力（等于ｍ和绳的摩察力）f r

外，还受到惯性力-Ma 的作用，因Ｍ相对静业，故其平衡方程为 0)(=-+-Ma f Mg r ; 此外，ｍ受到重力mg 、摩擦力f r 和惯性力-ma 的作用，获得的相对加速度为a ’，故其运动方程为 ')(ma ma f mg r =---; 由此可解得与2-25题同样的结果：

)/()'2(m M a g mM f r +-=

2-32在加速系中分析2—26题。

解: 从机内看，存在惯性力)2/(g m -，故运动方程为： ma T =, ma T mg mg =-+2/;