第四节泰勒级数与幂级数

第四节 泰勒级数与幂级数

教学目的：理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握,sin ,cos x

e x x ，ln(1)x +和(1)x α

+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

教学重点 ：幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；,sin ,cos x

e x x ，ln(1)x +和

(1)a α+的麦克劳林展开式。

教学难点：幂级数的收敛域及和函数。 教学时数：4 教学内容：

一、函数项级数的概念 1．函数项级数的定义 定义：设函数()(1,2,3

)n u x n =都在D 上有定义，则称表达式

1

2

1

()()()n

n u x u x u x ∞

==++

∑

为定义在D 上的一个函数项级数，

()

n u x 称为通项，1

()()n k k S x u x ∞

==∑称为部分和函数．

2．收敛域

定义：设

1()n n u x ∞

=∑是定义在D 上的一个函数项级数，0

x

D ∈，若数项级数01

()n n u x ∞

=∑收

敛，则称0x 是1

()n

n u x ∞

=∑的一个收敛点．所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域．

3．和函数

定义：设函数项级数

1

()n n u x ∞

=∑的收敛域为I ，则任给x I ∈，存在唯一的实数()S x ，

使得1

()()n n S x u x ∞

==

∑成立．定义域为I 的函数()S x 称为级数1

()n

n u x ∞

=∑的和函数．

1．幂级数的定义

定义：设{}(0,1,2,)n a n =是一实数列，则称形如00

()n n n a x x ∞

=-∑的函数项级数为0

x 处的幂级数．

00x =时的幂级数为0

n n n a x ∞

=∑．

2．阿贝尔定理 定理：对幂级数

()

n

n

n a x x ∞

=-∑有如下的结论：

⑴ 如果该幂级数在点1x 收敛，则对满足010x x x x -<-的一切的x 对应的级数

()

n

n

n a x x ∞

=-∑都绝对收敛；

⑵ 如果该幂级数在点2x 发散，则对满足020x x x x ->-的一切的x 对应的级数

()

n

n

n a x x ∞

=-∑都发散．

例1：若幂级数

(2)

n

n n a x ∞

=-∑在1x =-处收敛，问此级数在4x =处是否收敛，若收敛，

是绝对收敛还是条件收敛

解：由阿贝尔定理知，幂级数

(2)

n

n n a x ∞

=-∑在1x =-处收敛，则对一切适合不等式

2123x -<--=（即15x -<<）的x 该级数都绝对收敛．故所给级数在4x =处

收敛且绝对收敛．

3.幂级数收敛半径、收敛区间

如果幂级数

()

n

n

n a x x ∞

=-∑不是仅在0x x =处收敛，也不是在整个数轴上收敛，则必定

存在一个正数R ，它具有下述性质： ⑴ 当0x x R -<时，

0()

n

n

n a x x ∞

=-∑绝对收敛；

⑵ 当0x x R ->时，

()

n

n

n a x x ∞

=-∑发散．

如果幂级数

()

n

n

n a x x ∞

=-∑仅在0x x =处收敛，定义0R =；如果幂级数

()

n

n

n a x x ∞

=-∑在(,)-∞+∞内收敛，则定义R =+∞．

则称上述R 为幂级数

()

n

n

n a x x ∞

=-∑的收敛半径．称开区间00(,)x R x R -+为幂级数

()

n

n

n a x x ∞

=-∑的收敛区间．

4.幂级数收敛半径的求法 求幂级数

()

n

n

n a x x ∞

=-∑的收敛半径R

法一：⑴ 求极限1

1000()()lim ()

n n n n n a x x x x a x x ρ++→∞--=- ⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-< 则收敛半径为R m =；

法二：若n a 满足0n a ≠，则1

lim

n

n n a R a →∞

+=； 法三；⑴

求极限0()lim n x x ρ-=⑵ 令00()1x x x x m ρ-<⇒-< 则收敛半径为R m =．

例2： 求下列幂级数的收敛域

⑴12!n n n x n ∞

=∑

⑵1n n ∞= ⑶22

1

212n n

n n x ∞

-=-∑ 解：⑴ 收敛半径11

12(1)!

lim

lim 2!1n n n n n n a n R a n +→∞→∞++==⨯=+∞， 所以收敛域为(,)-∞+∞；

⑵

收敛半径1lim

1n n n n a R a →∞

+=== 当51x -=-

时，对应级数为1

n

n ∞

=