北京四中---高中数学高考综合复习 专题二十三 直线与圆锥曲线问题的解题策略(研究性学习之一)

高中数学高考综合复习专题二十三直线与圆锥曲线问题的解题策略（研究性学习之一）众所周知，直线与圆锥曲线的问题，是解析几何解答题的主要题型，是历年来高考备考的重点和高考命题的热点。多年备考的实践经验告诉我们，欲更快地提高解决这类问题的实践能力，需要切实解决好以下两个问题：（1）条件或目标的等价转化；

（2）对于交点坐标的适当处理。

本文试从上述两个问题的研究切入，对直线与圆锥曲线问题的解题策略作初步探索，希望对高考备考有所帮助。

一、条件或目标的认知与转化

解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已经解过的题。然而，转化的基础是认知——认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。

1、化生为熟

化生为熟是解题的基本策略。在直线与圆锥曲线相交问题中，弦长问题及弦中点问题是两类基本问题。因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长或弦中点问题转化。一但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。

（1）向弦中点问题转化

例1.已知双曲线=1（a>0,b>0）的离心率，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点间的距离为

（1）求双曲线方程；

（2）若直线（km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求m 的取值范围。

略解：

（1）所求双曲线方程为（过程略）

（2）由消去y得：

由题意知，当时，①

设中点

则C、D均在以A为圆为的同一圆上

又

∴②

于是由②得③

由②代入①得，解得m<0或m>4④

于是综合③、④得所求m的范围为

（2）向弦长问题转化

例2．设F是椭圆的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，且满足

（1）求点P的轨迹C2的方程；

（2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A、B、C、D顺序排列，求使

成立的直线l 的方程。

分析：为避免由代换引发的复杂运算，寻觅替代的等价条件：设弦A D、BC的中点分

别为O1、O2，则，故，据此得于是，所给问题便转化为弦长与弦中点问题。

略解：

椭圆C1的中心点P分所成的比λ=2。

（1）点P的轨迹C2的方程为（过程略）

（2）设直线l的方程为①

①代入椭圆C1的方程得

，

故有

故弦AD中点O1坐标为

②

①代入椭圆C2的方程得，

又有

故弦BC中点O2坐标为

③

∴由②、③得④

注意到⑤

于是将②、③、④代入⑤并化简得：

由此解得。

因此，所求直线l的方程为

2．化繁为简

解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都有这样的共同感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关键，往往在于能否化繁为简。化繁为简的策略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借重投影”或“避重就轻”。

（1）借助投影

对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题，当题设条件的直接转化颇为繁杂时，不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点向x轴（或y轴或其它水平直线）作以投影，进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化，这一手法往往能够有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。

例3．如图，自点M（1，-1）引直线l交抛物线于P1 、P2两点，在线段P1 、

P2上取一点Q，使、、的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。

解：设

又设直线l的方程为①

①代入得

由题意得

或②

且③

又由题意得④

作P1、Q、P2在直线y=-1上的投影P1′、Q′、P2′（如图）

又令直线l的倾斜角为则由得

∴

同理，

∴将上述三式代入④得

⑤

∴将③代入⑤得

∴⑥

∴将⑥代入①得

⑦

于是由⑥、⑦消去参数k得⑧

再注意到②式，由⑥得或⑨

因此，由⑧、⑨得所求点Q的轨迹方程为

（2）避重就轻

事物都是一分为二的，复杂问题中有关事物之间你中有我、我中有你的局面，在给我们解题制造麻烦的同时，也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。

例4．已知点P、Q在椭圆上，椭圆中心为O，且，求椭圆中心O到弦PQ的距离。

分析：这里需要P、Q点坐标，对此，如果直面直线PQ方程和椭圆方程联立方程组，则不论是求解P、Q坐标，还是利用所设P、Q坐标，都不免招致复杂局面。于是转而考虑侧面迂回，避重就轻，同时，注意到P、Q两点的双重属性，想到避开正面求解，而由直线OP（或OQ）方程和椭圆方程联立方程组解出点P（或点Q）坐标。

解（避重就轻，解而不设）：设

则由得

（1）当点P、Q不在坐标轴上时，设直线OP的方程①

则直线OQ的方程为②

将①代入椭圆方程易得

∴③

将②代入椭圆方程易得

∴④

∴由③、④得⑤

又在中作于H，于是由及⑤式得

=

∴

（2）当点P、Q在坐标轴上时，同样可得，从而有。

于是由（1）（2）知所求椭圆中心O到弦PQ的距离为。

直线与圆锥曲线相交的问题，适当处置交点坐标是解题繁简乃至解题成败的关键环节。循着教材中关于曲线交点的定位，直线与圆锥曲线的交点坐标，首先是立足于“解”，其次是辅助于“设”。于是，在宏观上围绕着“解”与“设”的选择，产生出两对解题思路：解而不设与设而不解；既设又解与不解。在这里，“设”是举手之劳，问题在于，在一个具体问题中，“解”的火候如何把握？“不解”的时机如何捕捉？以下继续作以探索。

二、求解交点坐标的“度”的把握

个体与整体是辩证的统一，循着“个体”与“整体”的辩证关系，立足于“解”交点坐标，主要是以下两种选择：

1、半心半意，解至中途

从认识目标切入，如果目标不是交点的横坐标或纵坐标的个体，而是关于交点横坐标（或纵坐标）的和与积的对称式，则一般选择从直线方程与曲线方程的联立方程组入手，解至中途运用韦达定理，进而对目标进行转化、靠拢，直至利用上述结果解决问题。

例 1.设斜率为2的直线与抛物线相交于A、B两点，以线段AB为边作矩形ABCD，使，求矩形A BCD的对角线交点M的轨迹方程。

解：设直线A B的方程为。

由

由题意①

由韦达定理得②

∴③