高一数学一元二次方程根的分布
人教版高中数学必修一教案：一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布教学设计一、教学分析（一）教学内容分析本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。
这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。
它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。
从而提升学生对数学知识的应用能力。
通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。
（二）教学对象分析高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。
学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识，已经具有用数学知识解决实际问题的能力。
学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。
通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。
（三）教学环境分析由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。
采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。
多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术，使传统的教学方式得到补充。
在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。
（四）教学手段采用多媒体网络教学。
《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。
”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。
一元二次方程根的分布【公开课教学PPT课件】
充要条件是：
a f (m) 0 a f (n) 0
（4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的
充要条件是： 分两类：
b2 4ac 0
（）在（m, n）右侧 a f (n) 0
n
b
2a
注：前提 m,n不是 方程（1）的根.
b2 4ac 0
解：（1）令f(x)=2kx2 2x 3k 2, k 0
由题 kf (1) 0, k(2k 2 3k 2) 0,
（k k 4）>0即 k 0或k 4.
(2) 已知二次方程 (m 2)x2 mx (2m 1) 0 的两根 分别属于（1，0）和（1，2）求 m 的取值范围.
实根分布问题.
（1）一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的
充要条件是： f (m) f (n) 0.
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
b2 4ac 0
a f (m) 0
a f (n) 0
m
b 2a
n
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
（2）判别式 b2b 4ac
（3）对称轴
x 2a
（4）端点值 f (m) 的符号。
0
k1
பைடு நூலகம்
f (k1 ) f (k2 ) 0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
或
f
(k1
)
0 b
k1 2a
不等式专题：一元二次方程根的分布问题-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)
一元二次方程根的分布问题一、二次函数相关知识对于形如()20=++≠y ax bx c a 的二次函数，有以下性质：1、判别式：ac b 42-=∆；求根公式：aacb b x 242-±-=；2、韦达定理：a b x x -=+21，acx x =21；3、二次函数对称轴a b x 2-=，定点坐标（a b 2-，ac b ac 442-）．二、一元二次方程根的0分布方程的根相对于零的关系。
比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.0分布结合判别式，韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。
三、一元二次方程根的k 分布k x k x <<21,k x k x >>21,21x k x <<()0∆>⎧⎩()0∆>⎧⎩0∆>0∆>kkk∆>()0f m⎧> 0∆>⎧题型一 R 上根的分布情况【例1】设k 为实数，若关于x 的一元二次方程210x kx k +++=没有实数根，则k 的取值范围是___.【答案】(222,222-+.【解析】∵关于x 的一元二次方程210x kx k +++=没有实数根∴()2Δ410k k =-+<∴2440k k --<解得：222222k -<<+【变式1-1】关于x 的方程()2210mx m x m +++=有两个不等的实根，则m 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦D ．()1,00,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为关于x 的方程()2210mx m x m +++=有两个不等的实根0m ≠且>0∆，即：()22214410m m m +-=+>且0m ≠， 解得14m >-且0m ≠.故选：D.【变式1-2】关于x 的一元二次方程2310kx x +-=有实根，则k 的取值范围是（ ） A ．94k ≤- B ．94k ≥-且0k ≠ C ．94k ≥- D ．94k >-且0k ≠【答案】B【解析】由题可知：240k +≥△=3，所以94k ≥-，又因为0k ≠，所以94k ≥-且0k ≠.故选：B.【变式1-3】若关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实根，则m 的取值范围为（ ） A ．()(),232232,-∞---++∞ B ．()322322---+，C ．()(),322322,-∞---++∞ D ．()232232---+，【答案】C【解析】由关于x 的一元二次方程2(1)0x m x m -+-=有两个不相等的实根，所以2(1)40m m ∆=++=，即26+10m m +> 解得：322m >-+或322m <--故选：C.题型二 根的“0”分布【例2】若关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()0,∞+ C ．()1,+∞ D ．(),0-∞ 【答案】C【解析】因为关于x 的方程2210ax ax -+=有两个不同的正根，所以2044010a a a a ⎧⎪≠⎪∆=->⎨⎪⎪>⎩，解得1a >，故实数a 的取值范围是()1,+∞.故选：C【变式2-1】若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围为___________. 【答案】125k ≤-【解析】首先0k ≠，设方程2330kx kx k ++-=的两根为12,x x ，则12121200,00x x x x x x +<⎧<<⇔⎨>⎩，所以2Δ94(3)03030k k k kkk k⎧⎪=--≥⎪⎪-<⎨⎪-⎪>⎪⎩，又0k ≠，解得125k ≤-．故答案为：125k ≤-．【变式2-2】已知关于x 的二次方程2(21)210m x mx m +-+-=有一正数根和一负数根，则实数m 的取值范围是_____． 【答案】112m -<<【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得2101021m m m +≠⎧⎪-⎨<⎪+⎩，解得112m -<<.【变式2-3】一元二次方程24260x mx m -++=有两个不等的非正根，则实数m 的范围为（ ） A ．30m -<< B ．31m -<≤- C ．31m -≤<- D ．312m -≤≤ 【答案】C【解析】因为一元二次方程24260x mx m -++=有两个不等的非正根，2164(26)020260m m m m ⎧∆=-+>⎪<⎨⎪+≥⎩，解得31m -≤<-，故选：C【变式2-4】若方程()2250x m x m ++++=只有正根，则m 的取值范围是（ ）A ．4m ≤-或4m ≥B ．54m -<≤-C ．54m -≤≤-D ．52m -<<- 【答案】B【解析】方程()2250x m x m ++++=只有正根，则1（）当()()22450m m ∆=+-+=，即4m =±时，当4m =-时，方程为()210x -=时，1x =，符合题意；当4m =时，方程为()230x +=时，3x =-不符合题意.故4m =-成立；2（）当()()22450m m ∆=+-+>，解得4m <-或4m >，则()()()224502050m m m m ⎧∆=+-+>⎪-+>⎨⎪+>⎩，解得54m -<<-. 综上得54m -<≤-.故选B.题型三 根的“k ”分布【例3】已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(5,4)(4,)--+∞B ．(5,)-+∞C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞ 【答案】C【解析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >⎧⎧--⨯->><-⎧⎪⎪-⎪⎪>⇒<-⇒<-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-⨯+->>-⎩>⎩⎪⎩或 则54m -<<-，即(5,4)m ∈--，故选：C【变式3-1】方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的取值范围是_______ 【答案】5[2,)2【解析】2240x ax -+=的两个根都大于121520Δ4160a a a >⎧⎪∴->⎨⎪=-≥⎩，解得522a ≤<可求得实数a 的取值范围为5[2,)2，故答案为：5[2,)2【变式3-2】若关于x 的方程220x kx -+=的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k 的取值范围为______． 【答案】(),3-∞-【解析】由题意，关于x 的方程220x kx -+=的一根大于-1，另一根小于-1，设()22f x x kx =-+，根据二次函数的性质，可得()130f k -=+<，解得3k <-， 所以实数k 的取值范围为(),3-∞-.【变式3-3】若关于x 的方程20x x a ++=的一个根大于1、另一个根小于1，则实数a 的取值范围为_____. 【答案】(,2)-∞-【解析】关于x 的方程20x x a ++=的一个根大于1、另一个根小于1，令2()f x x x a =++，则()120f a =+<，解得2a <-，题型四 根在区间上的分布【例4】关于x 方程2210ax x --=在01x <<内恰有一解，则（ ） A ．1a <- B ．1a > C ．11a -<< D ．01a <≤ 【答案】B【解析】当0a =时，1(0,1)x =-∉，不合题意；∴0a ≠，令2()21f x ax x =--，有(0)1f =-，(1)2(1)f a =-， 要使()f x 在01x <<内恰有一个零点， ∴(0)(1)0f f <即可，则1a >，故选：B【变式4-1】（多选）已知一元二次方程()()21102x m x m Z +++=∈有两个实数根12,x x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（ ）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-5【答案】BC【解析】设()()2112f x x m x =+++，由12013x x <<<<，可得()()()()10200110110230193102f fm f m ⎧>⎪⎧>⎪⎪⎪<⇒+++<⎨⎨⎪⎪>⎩⎪+++>⎪⎩，解得：25562m -<<-， 又因为m Z ∈，得3m =-或4m =-，故选：BC.【变式4-2】若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________． 【答案】（52，＋∞） 【解析】设2()24f x x ax =-+，由题意2Δ4160(1)1240(2)4440a f a f a ⎧=->⎪=-+<⎨⎪=-+<⎩，解得52a >，故答案为：5(,)2+∞．【变式4-3】已知一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a 的取值范围为________． 【答案】5(,2)2--【解析】设f (x )＝x 2＋ax ＋1，由题意知(0)10(1)20(2)520f f a f a =>⎧⎪=+<⎨⎪=+>⎩，解得－52<a <－2.【变式4-4】关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（ ）A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】方程2(2)210x m x m +-+-=对应的二次函数设为：()2(2)21f x x m x m =+-+-因为方程2(2)210x m x m +-+-=恰有一根属于(0,1)，则需要满足： ①()()010f f ⋅<，()()21320m m --<，解得：1223m <<； ②函数()f x 刚好经过点()0,0或者()1,0，另一个零点属于(0,1)，把点()0,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：12m =，此时方程为2302x x -=，两根为0，32，而()30,12∉，不合题意，舍去 把点()1,0代入()2(2)21f x x m x m =+-+-，解得：23m =，此时方程为23410x x -+=，两根为1，13，而()10,13∈，故符合题意； ③函数与x 轴只有一个交点，横坐标属于(0,1)，()2(2)4210m m ∆=---=，解得6m =±当6m =+2(2)210x m x m +-+-=的根为2- 若6m =-2(2)210x m x m +-+-=2，符合题意综上：实数m 的取值范围为{12,623⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦，故选：D【变式4-5】关于x 的一元二次方程2210x kx k ++-=在区间(1,2)-内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】2210x kx k ++-=在区间(1,2)-内、外各有一个实数根，令()221f x x kx k =++-，当1,2x x =-=不是方程的根时，所以()()()24210120k k f f ⎧∆=-->⎪⎨-⋅<⎪⎩，解得：304k -<<；当1x =-是方程的根时，得12100k k k -+-=⇒=， 此时方程变为：210x -=，解得：1x =或1x =-，1x =在区间(1,2)-内，1x =-在区间(1,2)-外，符合题意；当2x =是方程的根时，得3422104k k k ++-=⇒=-，此时方程变为：23344210x x ⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭--，解得：2x =或54x =-， 此时方程的两根均在区间(1,2)-外，不符合题意；所以实数k 的取值范围是3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
一元二次方程根的分布情况归纳总结
一元二次方程根的分布情况归纳总结一元二次方程ax+bx+c=0的根的分布情况可以通过二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标来确定。
设方程的不等两根为x1和x2，且x1<x2.下面分别讨论根的分布情况。
表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0)分布情况两个负根即x1<x2<0 两个正根即0<x1<x2 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象结论Δ>0，b0，b>0 f(x)>0 x1和x2都是正数f(0)>0 x1<0<x2表二：两根与k的大小比较(a>0)分布情况两根都小于k即x1x2>k 一个根小于k，一个大于k即x1<k<x2大致图象结论Δ>0，b0 x1<k<x2Δ>0，b>k f(k)>0 x1>x2>kf(k)>0 x1<k<x2表三：根在区间上的分布(a>0)分布情况两根都在(m,n)内一根在(m,n)内，另一根在(p,q)内两根有且仅有一根在(m,n)内，m<n<p<q（图象有两种情况，只画了一种）大致图象结论Δ>0，f(m)>0，f(n)>0 m<n<x1<x2<p<qΔ>0，f(m)>0，f(n)0 x1<m<n<x2<p<qΔ>0，f(m)0，f(p)>0，f(q)<0 m<n<x1<p<q<x2 或x1<m<n<q<p<x2函数与方程思想：1) 方程f(x)=0有根⇔y=f(x)与x轴有交点x⇔函数y=f(x)有零点x2) 若y=f(x)与y=g(x)有交点(x,y)⇔f(x)=g(x)有解x根的分布练题例1、已知二次方程(2m+1)x^2-2mx+(m-1)=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。
一元二次方程的根的分布与系数的关系-高中数学知识点讲解
一元二次方程的根的分布与系数的关系
1．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如
下关系：x1+x2 =―푏
푎
，x1•x2 =
푐
푎．
【例题解析】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为 1 的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0 两根的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0 中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即 9＝x12+x22+2，
∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为 1，
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2 与x1•x2 可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．
【考点分析】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
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2016高考数学常见题型(第四辑)：一元二次方程根的分布
【答案】
12 2<m<3
(6)已知方程x2＋(m－2)x＋2m－1＝0的较大实根在0和1之 间，求m的取值范围．
变式：改为较小实根．
【答案】 不可能；12<m<23
(7) 若 方 程 x2 ＋ (k ＋ 2)x － k ＝ 0 的 两 实 根 均 在 区 间 ( － 1,1) 内，求k的取值范围．
【定理3】 x1<k<x2⇔af(k)<0.
推论1 x1<0<x2⇔ac<0. 推论2 x1<1<x2⇔a(a＋b＋c)<0.
【定理4】 有且仅有k1<x1(或x2)<k2⇔f(k1)f(k2)<0.
【定理5】 k1<x1<k2≤p1<x2<p2⇔
a>0， ffkk12><00， ， fp1<0， fp2>0
【定理1】 x1>0，x2>0(两个正根)⇔
Δ＝b2－4ac≥0， x1＋x2＝－ba>0， x1x2＝ac>0.
Δ＝b2－4ac≥0，
推
论
：
x1>0
，
x2>0
⇔
a>0， f0＝c>0，
或
b<0
Δ＝b2－4ac≥0， a<0， f0＝c<0， b>0.
上述推论结合二次函数图象不难得到．
【定理2】
Δ＝b2－4ac≥0， x1<0，x2<0⇔x1＋x2＝－ba<0， x1x2＝ac>0.
Δ＝b2－4ac≥0，
推论：x1<0，x2<0⇔
a>0， f0＝c>0，
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布
1、一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的
根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较 即根的正负情况）
k k k
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()
0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
例3、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m
的取值范围。
例4、已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
二次函数在闭区间上的最值练习
例2、求函数()[]2
21,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。
例3、求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。
一元二次方程根的分布
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 , 2）内
(m 3) 2 4m 0 3 m 0 2 2 f (0) m 0 f (2) 3m 2 0
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（5） 一个根大于1，一个根小于1
f(1)=2m-2 <0
m m 1
b m< - 2a <n 7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内 △=b2-4ac≥0 y f(m)>0 f(n)>0. m n
m n
x
8.方程 f(x)=0 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内. f(n)=0 f(m)=0 f(m)f(n)<0, 或 b m+n m< - 2a < 2 , 或 m+n < - b < n. 2a 2 思考 方程的两根有且只有一个在区间[m, n]上时等价于? 9.方程 f(x)=0 的两根分别在区间(m, n)和(p, q)(n<p)内. f(m)>0 x 1∈(m,n) x ∈(p,q) m n p q f(n)<0 2 f(p)<0 f(q)>0.
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
1 （4） 两个根都大于 2 ( m 3) 2 4m 0 b 3 m 1 m 2 2 2a 1 6m 5 0 f ( 2) 4
5 m 1 6
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
高一数学 一元二次方程根的分布教案
城东蜊市阳光实验学校师范大学附属中学高一数学教案：一元二次方程根的分布教材：一元二次方程根的分布目的：介绍符号“f(x)〞，并要求学生理解一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的分布与系数a,b,c 之间的关系，并能处理有关问题。
过程： 一、为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号“f(x)〞。
如：二次函数记作f(x)=ax2+bx+c(a 0)x=1时的函数值记作f(1)即f(1)=a+b+c二、例一关于x 的方程(k 2)x2(3k+6)x+6k=0有两个负根，求k 的取值范围。
解：()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-+≥⋅--+=∆02602630624632k k k k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<-≤≤-⇒2022652k k k k 或052<≤-⇒k 此题主要依靠∆及韦达定理求解，但此法有时不大奏效。
例二实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程3x25x+a=0的一根大于2而小于0，另一根大于1而小于3。
()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(02523)2(22a f a f a f a f 解：⇒12<a<0此题利用函数图象及函数值来“控制〞一元二次方程根的分布。
例三关于x 的方程x22tx+t21=0的两个实根介于2和4之间，务实数t 的取值。
解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 31<<-⇒t此题既利用了函数值，还利用了∆及顶点坐标来解题。
三、作业题〔补充〕*1.关于x 的方程x2+ax+a 1=0，有异号的两个实根，求a 的取值范围。
(a<1) *2.假设方程x2+2(a+3)x+(2a 3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，务实数a 的取值范围。
《一元二次方程的实根分布问题》
一元二次方程的实根分布问题引言一元二次方程是高中数学中重要的内容之一，也是解决实际问题中常见的一种数学模型。
解一元二次方程可以得到方程的实根，实根的个数和分布与方程的系数有密切关系。
本文将探讨一元二次方程的实根分布问题，并给出相应的和解题方法。
一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0，其中a、b和c分别为方程的系数，且a eq0。
实根、虚根和重根一个一元二次方程可能有三种情况：实根、虚根和重根。
- 当判别式D=b2−4ac大于 0 时，方程有两个不相等的实根； - 当判别式小于 0 时，方程没有实根，但有两个虚根； - 当判别式等于 0 时，方程有两个相等的实根（重根）。
实根分布问题实根分布问题即研究实根的个数和分布。
首先，我们考虑a>0的情况。
1. 当a>0时对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当a>0时，判别式D=b2−4ac的符号关系决定了实根的个数和分布。
a) 当D>0时当判别式D=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根。
实根的分布取决于方程的系数a、b和c。
根据配方法，我们可以将一元二次方程写成完全平方形式(x−p)2=q，其中p和q可以通过系数a、b和c表示出来。
b) 当D<0时当判别式D=b2−4ac<0时，方程没有实根，但有两个虚根。
c) 当D=0时当判别式D=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根（重根）。
2. 当a<0时对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当a<0时，判别式D=b2−4ac的符号关系同样决定了实根的个数和分布。
a) 当D>0时当判别式D=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根。
b) 当D<0时当判别式D=b2−4ac<0时，方程没有实根，但有两个虚根。
c) 当D=0时当判别式D=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根（重根）。
根据以上讨论，我们可以出一元二次方程的实根分布问题的： 1. 当判别式D= b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实根； 2. 当判别式D=b2−4ac<0时，方程没有实根，但有两个虚根； 3. 当判别式D=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实根（重根）。
一元二次方程的根的分布问题
一元二次方程的根的分布问题: 设一元二次方程ax 2+bx+c=0(a>0)对应的二次函数为f(x)= ax 2+bx+c(a>0).
(1) 方程f(x)=0在区间(-∞,k)内有两个不等的实根的充要条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=∆<-
>∆.
0)(),,4,(,2,02k f ac ，k k a
b b 以下同为常数其中 特别地，当k=0时,即为方程f(x)=0有两个不同的负根的充要条件。
(2) 方程f(x)=0在区间（k,+ ∞）内有两个不等的实根的充要条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆.
0)(,2,0k f k a b (3) 方程f(x)=0有一根大于k,另一根小于k 的充要条件是f(k)<0.
(4) 方程f(x)=0在区间(k 1,k 2)内有且只有一根（不包括重根）的充要条件是f(k 1)•f(k 2)<0.( k 1 ,k 2为常数,以下同)
(5) 方程f(x)=0在区间 (k 1 ,k 2)内有两个不等的实根的充要条件是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆.
0)(,0)(,2,02121k k k k f f a b 且 (6) 方程f(x)=0在区间(k 1 ,k 2)外有两个不等的实根的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧<<.0)(,0)(21k k f f。
高一数学《二次方程根的分布情况》归纳(完整版)
1 若 f m 0 或 f n 0 ，则此时 f m f n 0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或 n ，可
以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m, n内，从而可以求出参数的值。如方程 mx2 m 相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 x2 4mx 2m 6 0 有
且 一 根 在 区 间 3, 0 内 ， 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 ： ① 由 f 3 f 0 0 即 14m 15m 3 0 得 出
a
）
0
b 2a
0
f 0 0
0
b 0 2a
a f 0 0
f 0 0 a f 0 0
1
表二：（两根与 k 的大小比较）
分
两根都小于 k 即
布
情
况
x1 k, x2 k
大 致 图 象 （
k
）
a 0
两根都大于 k 即 x1 k, x2 k
f f
x max
x min
f f
3 2
3a b 2 5
2b 2
a 1 b 0 ；
（2）当 a
0 时，函数
f
x
在区间
2,
3
上是减函数，故
f f
x max
x min
f f
2 3
b2 3a b 2
5
2
a 1
高一数学教案一元二次方程根的分布
高一数学教案一元二次方程根的分布教材： 一元二次方程根的分布目的： 介绍符号〝f(x)〞，并要求学生明白得一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的根的分布与系数a,b,c 之间的关系，并能处理有关咨询题。
过程：一、为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号〝f(x)〞。
如：二次函数记作f(x)= ax 2+bx+c (a ≠0) x=1时的函数值记作f(1) 即f(1)=a+b+c 二、 例一 关于x 的方程 (k -2)x 2-(3k+6)x+6k=0有两个负根，求k 的取值范畴。
解：()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<-+≥⋅--+=∆02602630624632k k k k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<<-≤≤-⇒2022652k k k k 或 052<≤-⇒k此题要紧依靠∆及韦达定理求解，但此法有时不大奏效。
例二 实数a 在什么范畴内取值时，关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3。
()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⨯-⨯=<+-=<=>+-⨯--⨯=-03533)3(053)1(0)0(02523)2(22a f a f a f a f ⇒ -12<a<0例三 关于x 的方程x 2-2tx+t 2-1=0的两个实根介于-2和4之间，求实数t 解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<=-<->=--=∆>+-=>++=-42204)1(440158)4(034)2(2222t a b t t t t f t t f 31<<-⇒t此题既利用了函数值，还利用了∆及顶点坐标来解题。
三、作业题〔补充〕*1. 关于x 的方程x 2+ax+a -1=0，有异号的两个实根，求a 的取值范畴。
(a<1)*2. 假如方程x 2+2(a+3)x+(2a -3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a 的取值范畴。
微专题(一) 一元二次方程根的分布--2025年高考数学复习讲义及练习解析
所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题．解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．(1)判别式Δ的符号；(2)对称轴x＝－b2a与所给区间的位置关系；(3)区间端点处函数值的符号．一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况复杂，但基本可以分为以下三类：类型一已知两根与实数k的大小关系例1(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，则实数m的取值范围是________．答案[－1＋22，2)解析设f(x)＝x2－(m－1)x＋2－m，m－1）2－4（2－m）≥0，，2－m>0，解得－1＋22≤m<2.(2)(2024·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，那么实数a的取值范围是________．答案－211，解析由于方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根，故a≠0，则ax2＋(a＋2)x＋9a ＝0可化为x2＋9＝0，令f(x)＝x2＋9，则f(1)＝1＋9<0，解得－211<a<0.当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0.1．(2023·黑龙江哈尔滨六中模拟)关于x的方程x2＋(m－2)x＋6－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是________．答案(－6，－25]解析令f(x)＝x 2＋(m－2)x＋6－m，＝（m－2）2－4（6－m）≥0，－m－22>2，2）＝4＋2（m－2）＋6－m>0，即≥25或m≤－25，<－2，>－6，解得－6<m≤－2 5.2．已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________．答案－12，解析解法一：显然2m＋1≠0，令f(x)＝x2－2m2m＋1x＋m－12m＋1，则f(0)<0，即m－12m＋1<0，所以(2m ＋1)(m－1)<0，解得－12<m<1.解法二：设x1，x2是方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0的两个根，则x1x2＝m－12m＋1<0，解得－12<m<1.类型二已知两根所在的区间f（m）<0，另外，根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n(图形分别如下)，需满足的条件是：(1)当a >0m ）<0，n ）<0；(2)当a <0m ）>0，n ）>0.例2已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m 的取值范围为________；若方程两根均在区间(0，1)内，则实数m 的取值范围为________．答案－56，－－12，1－2解析设函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，则其图象与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图如图1，由题意，得0）＝2m ＋1<0，1）＝2>0，1）＝4m ＋2<0，2）＝6m ＋5>0，<－12，∈R ，<－12，>－56，解得－56＜m ＜－12.由题意知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图如图2，由题意，得0）＝2m＋1>0，1）＝4m＋2>0，＝4m2－4（2m＋1）≥0，－m<1，>－12，>－12，≥1＋2或m≤1－2，1<m<0，解得－12＜m≤1－ 2.求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②对称轴；③判别式；④在区间端点的函数值．注意以下两点：一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用；二是对于一些特殊情况，还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法．3．已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为________．答案(0，1)解析解法一：设f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)，则0）>0，1）<0，3）>0，即（a＋1）>0，2a＋a（a＋1）<0，－3（2a＋1）＋a（a＋1）>0，>0或a<－1，a<1，>3或a<2，所以0<a<1.解法二：由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0，得(x－a)[x－(a＋1)]＝0，所以方程两根为x1＝a，x2＝a＋1，a<1，a＋1<3，解得0<a<1.4．已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________．答案(－3，0)解析显然a≠0，则方程ax2＋x＋2＝0可化为x2＋xa＋2a＝0，设f(x)＝x2＋xa＋2a，则0）<0，1）<0，，＋1a＋2a<0，解得－3<a<0，所以实数a的取值范围是(－3，0)．类型三可转化为一元二次方程根的分布的问题一元二次方程根的分布问题是高中数学的重要知识点之一，很多涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题，经过换元后都能转化为根的分布问题求解．(2023·河北石家庄藁城一中模拟)设函数f (x )＝－32cos2x ＋a sin x ＋a ＋92，若方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．答案(－3，6－62)解析f (x )＝－32(1－2sin 2x )＋a sin x ＋a ＋92＝3sin 2x ＋a sin x ＋a ＋3，x ∈(0，π)，令sin x ＝t ，t ∈(0，1]，h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3，当0<t <1时，sin x ＝t 有两个不相等的实数根，当t ＝1时，sin x ＝t 有且仅有一个实数根，因为方程f (x )＝0在(0，π)上有4个不相等的实数根，所以原问题等价于h (t )＝3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，所以－a6<1，＝a 2－12（a ＋3）>0，（0）＝a ＋3>0，（1）＝2a ＋6>0，解得－3<a <6－6 2.本题中，令sin x ＝t ，将原问题转化为3t 2＋at ＋a ＋3＝0在区间(0，1)上有两个不相等的实数根，进而转化为一元二次方程根的分布问题是解决问题的关键，同时要注意区间端点是否满足题意．5．(2024·黑龙江哈尔滨南岗实验中学模拟)设函数f (x )x ＋1，x ≤0，4x |，x >0，若关于x 的函数g (x )＝[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3恰好有六个零点，则实数a 的取值范围是________．答案23－2，32解析作出函数f (x )x ＋1，x ≤0，4x |，x >0的图象如图，令f (x )＝t ，则当t ∈(1，2]时，方程f (x )＝t 有3个不同的实数解，所以使关于x 的方程[f (x )]2－(a ＋2)f (x )＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则方程t 2－(a ＋2)t ＋3＝0在(1，2]上有两个不同的实数根，令g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋3，则＝（a ＋2）2－12>0，1<a ＋22<2，（1）＝2－a >0，（2）＝3－2a ≥0，解得23－2<a ≤32，故实数a 23－2，32.。
一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x <<两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f 大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f 综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即k x k x <<21,两根都大于k 即k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()0<k f 大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()0>k f 综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()0<⋅k f a kkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，qp n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()0f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
一元二次方程根的分布
0
5 .方程两根都小于m (x1 m) (x2 m) 0
(x1 m) (x2 m) 0
6. 方程一根大于m另一根小于m
(x1 m) (x2 m) 0
• 例1பைடு நூலகம் 方程x2+2ax+1=0有两个不等负
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次 方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来 解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二 次函数图象来研究求解。(函数法） 抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
2.方程两根都小于m 3.方程一个根大于m另一根小于m 4.方程两根都大于m且都小于n
C.必要不充分条件 D.既不必要不充分条件
例5:求方程3x2－2mx+m+1=0一根在0,1之 间另一根在1,2之间的充要条件
例6 : 抛物线y=－x2+3x－m与直线y=3－x在 0<x<3时只有一个交点,求m的范围. －3<m≤0或m=1
根，求实数a的取值范围。(a>1)
例2: 方程mx2+(2m－1)x－3(m－1)=0 两根都大于3，求实数m的取值范围。
；资质代办 /daiban/ 资质代办
；
替那些果实遮过阴凉、从枝头跌落、背井离乡的叶子。 祖母在秋天的离世毫无征兆，只是那一天刮了很大的风，院子里的那棵老柳树稀里哗啦地掉落了所有的叶子。其实，也只有风能让叶子喘息或者感叹。在叶子的生命中，风往往扮演着接生婆和送行者的双重角色，所以叶子的心思只 和风说，它只和风窃窃私语。 落叶也有遗言吗？在离开枝头的刹那，它和风都说了什么？谁
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一元二次方程根的分布
一．知识要点
二次方程02=++c bx ax 的根从几何意义上来说就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究方程02=++c bx ax 的实根的情况，可从c bx ax y ++=2的图象上进行研究．
若在),(+∞-∞内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考察函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由c bx ax y ++=2的系数可判断出2121,,x x x x +∆的符号，从而判断出实根的情况．
若在区间),(n m 内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定．
分布
情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x <<
大致图象（0
>a ）
得出
的结
论
()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f
分布
情况
两根都在()n m ,内 两根有且仅有一根在()n m ,内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<
k
k k
大
致
图象
（
>a ）
得出
的结
论 ()()0002f m f n b m n a ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩ ()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩
或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()00f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩ 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：
1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间
()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为
2m ，由213m <<得223
m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即
()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32
m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32
m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-
二．例题选讲
（1）两个根在实数k 的同一侧
例1．已知方程)(0)32()1(242
R m m x m x ∈=++-+有两个负根，求m 的取值范围．
解：依题意有 ⎪⎩
⎪⎨⎧>+<--≥+⨯--=∆0320)1(0)32(44)1(42m m m m 11≥∴m ． （2）两个根在实数k 的异侧
例2：已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得112m -
<<即为所求的范围。
（3）在区间),(n m 有且只有一个实根
例3．已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()4310m +< ⇒ 13
m <-即为所求范围。
.
（4）在区间),(n m 有两个实根
例4： 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.
解：据抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇔.
01,2121,21,21m m m m m 或 ⇔ - 12 <m ≤1- 2 , ∴ 实数m 的范围是]21,2
1(--.
（5）在区间],[n m 有实根
例5．已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．
解析1：函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解， a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0f f -⋅≤或
(1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a
-≥⎧⎪≥⎪⎪∆=++≥⎨⎪⎪-∈-⎪⎩15a ⇔≤≤
或a ≤或5a ≥
⇔a 或a≥1. 所以实数a
的取值范围是a ≤或a≥1. （6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用．
例6.设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241R ），
（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；
（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。
分析：可用换元法，设t x =2，原方程化为二次方程022=--b t t ，但要注意0>t ，故原方程有解并不等价于方程022=--b t t 有解，而等价于方程022=--b t t 在),0(+∞内有解．另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于x 的方程)(x f a =有解，则)(x f a ∈的值域．
解：（1）原方程为124+-=x x b ，
11)12(22)2(24221-≥--=⨯-=-+x x x x x ，
),1[+∞-∈∴b 当时方程有实数解；
（2）①当1-=b 时，12=x
，∴方程有唯一解0=x ；
②当1->b 时，b b x x +±=⇒+=-1121)12(2 . b b x x ++=∴>++>112,011,02 的解为)11(log 2b x ++=； 令,0111011<<-⇒<+⇒>+-b b b
b b x +-=<<-∴112,01时当的解为)11(log 2b x +-=；
综合①、②，得
1）当01<<-b 时原方程有两解：)11(log 2b x +±=；
2）当10-=≥b b 或时，原方程有唯一解)11(log 2b x ++=；
3）当1-<b 时，原方程无解。