高一数学一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布

一．知识要点

二次方程02=++c bx ax 的根从几何意义上来说就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究方程02=++c bx ax 的实根的情况，可从c bx ax y ++=2的图象上进行研究．

若在),(+∞-∞内研究方程02=++c bx ax 的实根情况，只需考察函数c bx ax y ++=2与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由c bx ax y ++=2的系数可判断出2121,,x x x x +∆的符号，从而判断出实根的情况．

若在区间),(n m 内研究二次方程02=++c bx ax ，则需由二次函数图象与区间关系来确定．

分布

情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x <<

大致图象（0

>a ）

得出

的结

论

()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0

分布

情况

两根都在()n m ,内 两根有且仅有一根在()n m ,内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<

k

k k

大

致

图象

（

>a ）

得出

的结

论 ()()0002f m f n b m n a ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩ ()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩

或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()00f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩ 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：

1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2220mx m x -++=在区间

()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为

2m ，由213m <<得223

m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -<即

()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32

m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32

m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-

二．例题选讲

（1）两个根在实数k 的同一侧

例1．已知方程)(0)32()1(242

R m m x m x ∈=++-+有两个负根，求m 的取值范围．

解：依题意有 ⎪⎩

⎪⎨⎧>+<--≥+⨯--=∆0320)1(0)32(44)1(42m m m m 11≥∴m ． （2）两个根在实数k 的异侧

例2：已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。 解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得112m -

<<即为所求的范围。 （3）在区间),(n m 有且只有一个实根

例3．已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。 解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()4310m +< ⇒ 13

m <-即为所求范围。.

（4）在区间),(n m 有两个实根

例4： 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.

解：据抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇔.

01,2121,21,21m m m m m 或 ⇔ - 12

1(--.

（5）在区间],[n m 有实根

例5．已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．

解析1：函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解， a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0f f -⋅≤或