习题第38讲 推理与证明--高考数学习题和答案

a1 1，则
A． a1 a3 ， a2 a4
B． a1 a3 ， a2 a4
C． a1 a3 ， a2 a4
D． a1 a3 ， a2 a4
2．(2018 北京)设集合 A {(x, y) | x y ≥1, ax y 4, x ay ≤2}, 则
A．对任意实数 a ， (2,1) A
合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于
乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩
好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有
A． 2 人
B． 3 人
C． 4 人
D． 5 人
8．（2014 山东）用反证法证明命题“设 a,b 为实数，则方程 x3 ax b 0 至少有一个实根”
2 22
N n, k k 3 ，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式：
(1
M1 )2
R2
[(1 )3 1]M1 (1 )2 R2
(3
3 2 3)M1 (1 )2 R2
.
因为 3 3 3 4 5 (1 )2
3 3 ，所以
M2 r2
M1 R2
3r R
3M1r R3
，则 r3
M 2 R3 3M1
，r
3
M2 R . 3M1
故选 D.
解法二（由选项结构特征入手）：因为 r ，所以 r R ， R
p, q, r, s }， F t,u,v, w 0 ≤t u ≤ 4,0 ≤v w≤ 4且t,u,v, w ，
用 card Χ 表示集合 Χ 中的元素个数，则 card Ε card F
A． 200
B．150
C．100
D． 50
7．（2014 北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不
着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行． L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球
质量为 M１，月球质量为 M２，地月距离为 R，L2 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和
万有引力定律，r 满足方程：
M1 (R r)2
M2 r2
(R r)
M1 R3
.
设
r R
，由于
的值很小，因此在近似计算中 3 3 3 4 5 (1 )2
A． f (x)
B． f (x)
C． g(x)
D． g(x)
二、填空题
11．(2018 江苏)已知集合 A {x | x 2n 1, n N*} ， B {x | x 2n , n N*} ．将 A B 的所有
元素从小到大依次排列构成一个数列 {an} ．记 Sn 为数列 {an} 的前 n 项和，则使得
可得咽喉至肚脐的长度小于 26 42 ， 0.618
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5-1 ，可得肚脐至足底的长度小 2
42+26 =110 ， 0.618 即有该人的身高小于110 68 178cm ， 又肚脐至足底的长度大于 105cm，可得头顶至肚脐的长度大于 105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于 65+105=170cm.综上可得身高在 170cm-178cm 之间．故选 B．
9. （2019 全国 II 理 4）2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面
软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问 题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿
片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，
则甲的卡片上的数字是
．
14．（2016 山东）观察下列等式：
(sin π)2 (sin 2π)2 4 1 2 ；
3
33
(sin π)2 (sin 2π)2 (sin 3π)2 (sin 4π)2 4 23 ；
丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则
A．乙可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩
B．丁可以知道四人的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
4．（2017 浙江）如图，已知正四面体 D ABC （所有棱长均相等的三棱锥）， P ， Q ，
R 分别为 AB ，BC ，CA 上的点，AP PB ，BQ CR 2 ，分别记二面角 D PR Q ，
QC RA
D PQ R ， D QR P 的平面角为 ， ， ，则
D
A R
P B
C Q
A． < <
B． < <
C． < < D． < <
5．(2016 北京)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶
段．下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
2n 1
2n 1
2n 1
2n 1
15．（2015 陕西）观察下列等式：
1－ 1 1 22
1－ 1 1 1 1 1 234 34
1－ 1 1 1 1 1 1 1 1 23456 456
……
据此规律，第 n 个等式可为______________________．
16．（2015 山东）观察下列各式：
学生序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60
30 秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65
在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决
B．对任意实数 a ， (2,1) A
C．当且仅当 a 0 时， (2,1) A
D．当且仅当 a ≤ 3 时， (2,1) A 2
3．（2017 新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：
你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给
时，要做的假设是
A．方程 x3 ax b 0 没有实根
B．方程 x3 ax b 0 至多有一个实根
C．方程 x3 ax b 0 至多有两个实根 D．方程 x3 ax b 0 恰好有两个实根
9．（2011 江西）观察下列各式: 55 3125 ， 56 15 625 ， 57 78125 ， ，则 52011的
末四位数字为 A．3125
B．5625
C．0625
D．8125
10．（2010 山东）观察 (x2 ) 2x ， (x4 ) 4x3 ， (cos x) sin x ，由归纳推理可得：若
定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) f (x) ，记 g(x) 为 f (x) 的导函数，则 g(x) =
5
5
5
53
(sin π)2 (sin 2π)2 (sin 3π)2 (sin 6π)2 4 3 4 ；
7
7
7
73
(sin π)2 (sin 2π)2 (sin 3π)2 (sin 8π)2 4 45 ；
9
9
9
93
……
照此规律，
(sin π )2 (sin 2π )2 (sin 3π )2 (sin 2nπ )2 _______．
A
A2 A4
B
A1 A3
C
18．(2014 福建)若集合{a,b, c, d} {1,2,3,4}, 且下列四个关系：① a 1；② b 1；③ c 2 ；
④ d 4 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 (a,b, c, d) 的个数是____．
19．(2014 北京)顾客请一位工艺师把 A 、 B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一
Sn 12an1 成立的 n 的最小值为
．
12．（2017 北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 Ai
的横、纵坐标分别为第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 Bi 的横、纵坐标分 别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数， i =1，2，3．
①记 Qi 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q1 ， Q2 ， Q3 中最大的是_ ___．
f (x),
fn1(x)
f
( fn (x)), n N
，则
f2014(x) 的表达式为________．
21．(2014 陕西)观察分析下表中的数据：
多面体
面数（ F ）
顶点数（V )
棱数（ E )
三棱锥
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中， F，V ，E 所满足的等式是_________．
22．(2013 陕西)观察下列等式:
12 1
12 22 3
12 22 32 6
12 22 32 42 10
…
照此规律, 第 n 个等式可为
．
23．(2013 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数 1，3，6，
10，…，第 n 个三角形数为 n n 1 1 n2 1 n ．记第 n 个 k 边形数为
足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高
可能是
A．165 cm
B．175 cm
C．185 cm
D．190 cm
8 解析 头顶至脖子下端的长度为 26cm，说明头顶到咽喉的长度小于 26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 5-1 0.618 ， 2
C10 40 ； C30 C31 41 ； C50 C51 C52 42 C70 C71 C72 C73 43
……
照此规律，当 n N* 时，
C0 2n1
C1 2n1
C2 2n1
C n1 2n1
．
17．（2014 安徽）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC 2 2 ，过点 A 作 BC 的垂 线，垂足为 A1 ；过点 A1 作 AC 的垂线，垂足为 A2 ；过点 A2 作 A1C 的垂线，垂足为 A3 ；…，依此类推，设 BA a1 ， AA1 a2 ， A1A2 a3 ，…， A5 A6 a7 ，则 a7 __．
②记 pi 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p1 ， p2 ， p3 中最大的
是______．
13．(2016 新课标Ⅱ)有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3．甲，乙，丙三人各取走
一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡
3 3
，则
r
的近似值为
A． M 2 R M1
B． M 2 R 2M 1
C． 3 3M 2 R M1
D． 3 M 2 R 3M 1
9
解析
解法一（直接代换运算）：由
M1 (R r)2
M2 r2
(
R
r
)
M1 R3
及
r R
可得
(
1
M1 )2
R
2
M2 r2
(1
)
MR 12，
M2 r2
(1)
M1 R2
赛的有 6 人，则
A．2 号学生进入 30 秒跳绳决赛
B．5 号学生进入 30 秒跳绳决赛
C．8 号学生进入 30 秒跳绳决赛
D．9 号学生进入 30 秒跳绳决赛
6．(2015 广东)若集合 Ε { p, q, r, s 0 ≤ p s ≤ 4,0 ≤ q s ≤ 4,0 ≤ r s ≤ 4 ，且
位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，
两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间
粗加工 精加工
原料
原料 A
9
15
原料 B
6
21
则最短交货期为
个工作日．
20．(2014 陕西)已知
f
(x)
x ,x 1 x
0 ，若
f1(x)
r
满足方程：
M1 (R r
)2
M2 r2
(
R
r
)
M1 R3
．
所以
M2 M1
3 3 3 4 5 (1 )2
3 3 ，
所以 r R 3 M 2 R 故选 D. 3M1
2010-2018 年
一、选择题
1．(2018 浙江)已知 a1 ，a2 ，a3 ，a4 成等比数列，且 a1 a2 a3 a4 ln(a1 a2 a3) ．若
专题十百度文库 推理与证明
2019 年
第三十八讲 推理与证明 2019 年
8.（2019 全国 I 理 4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底
的长度之比是 5 1 （ 5 1 ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如
2
2
此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5 1 ．若某人满 2