5章 受弯构件

—— P123 (5.14)
4GI t l 2 h2 1 2 2 4 EI y h
双轴对称工字形截面I= Iyh2/4
M crx
2 EI y
l2
表达为：
M crx

l
EI y GI t 1 2
令 h/2l2(EIy/GIt)
M M x cos cos M x
M M x cos sin M x
M M x sin M x du dz
绕轴的扭矩
由曲率与弯矩的关系得：
d 2v M EI x 2 M x d z d 2u M EI y 2 M x d z

即P123式（5.15）
三、临界弯矩随支承条件等的变化
1.支承条件的变化
构件的计算长度变化，用约束系数y和表示，则 考虑支承条件变化的梁临界弯矩表达式为：
M crx
2 EI y
( yl )2
I Iy
2 2 y GIt l 2 2 EI
M crx
2 EI y t
l2
( EI )t ( EI y )t
[(GIt )t K ]l 2 1 2 ( EI ) t
(EIy)t、 (EI)t、 (EIt)t ——考虑塑性影响的截面有效刚度，
K
——考虑沿构件轴向的应力对扭转影响的约束弯矩效应。


y0—剪力中心至形心的距离；距离的指向与挠曲方向 一致时取负，否则取正； 2、3——与荷载类型有关的系数，如P123表5.5 。
双轴对称工字形截面简支梁： yb=0
M crx 1
2 EI y
l2
I 2a 2a Iy
2
GI t l 2 1 2 EI
近似计算
5.5 梁的整体稳定
一、梁整体稳定
P122
1.梁整体稳定的概念 绕强轴单向受弯的构件，当弯矩增大到某一数值时， 构件可能突然产生在弯矩作用平面外的侧移和扭转，构 件由平面内弯曲状态变为弯扭状态，这就是整体失稳。
2.梁丧失整体稳定的现象：
产生侧向弯曲并伴随着扭转——出平面弯扭屈 曲； 有两个位移u，v和一个转角。
2a 3 By
2
I Iy
GIt l 2 1 2 EI

—— P123 (5.13)
a—荷载作用点到剪力中心的距离，当距离的指向与 挠曲方向一致时取负，否则取正； By——反映截面不对称程度的参数；
By 1 2 2 y x y dA y0 2I x A
第5章 受 弯 构 件
P115
5.1 受弯构件的类型与截面形式
受弯构件：承受弯矩或弯矩和剪力共同作用的构件。
常以梁的形式出现。
构件的类型： 单向弯曲、双向弯曲、斜弯曲等； 简支梁、连续梁、悬臂梁；主梁、次梁； 等截面、变截面梁；实腹式、空腹式梁等。
截面形式：
型钢梁 组合梁
冷弯薄壁
蜂窝梁
楔形梁
5.2 受弯构件的主要破坏形式
2．整体稳定系数b P125 ： 1）双轴对称焊接工字形和H型钢简支梁纯弯屈曲时 ：
y t1 2 235 4320 Ah b 2 1 ( ) 4.4h fy y Wx
(5.19)
a)
b)
y
y
l1 /
iy
x
b1
t1
h
l1 ——梁侧向支承点间的距离
tw b y t
t1——受压翼缘的厚度
Oxyz为固定坐标系，
o移动坐标系
d2u d2v 和 2 dz dz 2
沿x、y轴方向的位移分别为u、v，截面转角为。 在xoz和yoz平面内的曲率为：
小变形时，在xoz和yoz平面内的曲率与o和o平面 内的曲率相等，且
sin du , sin , cos 1, cos 1 dz
二、平衡微分方程及临界弯矩
以纯弯矩作用的双轴对称工字形截面构件为例， 平衡微分方程建立在弯曲buckling变形后的临界位置上。 基本假定： 1）双轴对称工字型截面简支梁受纯弯矩作用；
2）两端夹支座（只能绕x轴，y轴转动，不能绕z 轴转动， 即只能自由挠曲，不能扭转）。
3）小变形，梁变形后力偶矩与原来的方向平行。
(2) 双向受弯构件整体稳定的计算：
My Mx f bW x yW y
经验公式，第二项考虑绕弱轴弯矩的影响。 Wx、Wy——按受压纤维确定的对x轴和y轴的毛截面抵抗矩； b——在最大刚度主平面内弯曲的整体稳定系数； y —— 绕y轴弯曲的部分塑性发展系数，在这考虑降低绕 弱轴弯矩的影响。
lz——集中荷载在腹板计算高度上边缘的假定分布 长度。 lz=a+5hy+2hR
局部承压的设计准则，以局部承压力不超过材 料的屈服强度。要求： cF/twlzf 不满足时，设置支承加劲肋。如P159图5.37
五、折算应力
复合应力状态：梁的截面同时受弯和受剪，或同时还 有局部应力作用时。 当一个截面上弯矩和剪力都较大时，需要考虑它们 的组合效应。
截面形状系数 f ： 极限弯矩与屈服弯矩的比值。
f=Mp/Me=Wp/W
不同形式的截面形状系数见P117表5.1。
（3）按有限塑性发展强度准则，限制截面塑性区在截 面高度两侧一定范围（<0.15h）内发展，采用有限截 面塑性发展系数x或y（P118表5.2）。
设计计算公式为：
MxxMex
有截面削弱时，应采用净截面。
三、抗剪强度
开口截面的剪应力，剪力沿y轴 =VySx/Ixt fv 剪应力主要由腹板承受，可近似表达 =Vy/Aw fv
四、局部承压强度 P119 工字形截面，在集中荷载作用处，上翼缘与腹板 交接处会出现较大的应力集中。 梁的腹板上边缘处的局部承压力
cF/twlz
3.梁丧源自文库整体稳定的原因：
受压翼缘类似于压杆，沿强轴发生屈曲。 失稳时，受弯构件发生侧倾，构件的受拉部分抵 抗侧倾，因此，受压翼缘和受拉翼缘侧倾不同步，整 个构件就产生扭转。
3.梁丧失整体稳定的原因：
受压翼缘类似于压杆，沿强轴发生屈曲。
失稳时，受弯构件发生侧倾，构件的受拉部分抵抗侧 倾，因此，受压翼缘和受拉翼缘侧倾不同步，整个构件就 产生扭转。
5.3 梁的截面强度
一、强度准则： （1）边缘屈服准则：边缘纤维上的应力达到屈 服点。 适用于弹性分析。 （2）全截面塑性准则：整个截面的内力达到截 面的承载力极限。 塑性铰形成。 （3）有限塑性发展的强度准则：将截面塑性区 限制在某一范围，截面部分进入塑性。
二、抗弯强度
1.单向弯曲时的抗弯强度：
（1）按边缘屈服准则，截面抗弯强度应满足：
Mx/Wxfy （2）按全截面塑性准则，要求截面作用的弯矩不超过 塑性弯矩设计值 即 MxMpxd=Wpxfy Wpx ——绕强轴的塑性截面模量，计算方法见P117。
实际应用：
Wpx = f Wx
f截面形状系数 全截面到达塑性的前提是：构件的整体稳定和局 部稳定应能得到保证，即厚实截面。
二、简支梁的挠度计算
均布荷载作用
5 ql 4 384 EI
1 Fl 3 48 EI
P122：
跨中一个集中力作用
跨中1/3处各作用一个集中力作用 跨中1/4处各作用一个集中力作用
23 Fl 3 648 EI 19 Fl 3 384 EI
也可用

l

M kl Q T 或 10 EI x l l
4．荷载种类，纯弯曲时， Mcrx最小。 5．支承对位移的约束程度大， Mcrx也大。 6．荷载作用的位置，在下翼缘时有利，a值大。
五、非弹性屈曲
以上分析讨论的都属弹性范围，但较短的梁可 能发生弹塑性屈曲。
受纯弯曲作用且截面对称于弯矩作用平面的简 支构件，其非弹性弯扭屈曲临界弯矩可采用切线模 量理论来表达：
K x0 x 2 y0 y 2 d A
A


六、受弯构件整体稳定的计算：
1. 梁整体稳定计算公式：
（1）单向受弯（绕强轴） =Mx/bWxf Mx——构件绕强轴的最大弯矩； Wx——按受压纤维确定的对x轴的毛截面抵抗矩；
b ——受弯构件的整体稳定系数；b = crx/fy
M GI t d EI dz

在o平面内弯曲 在o平面内弯曲
d3 du M x dz dz 3
根据梁的边界条件：Z=0、Z=l时，
d2 0, dz 2 0
得梁的临界弯矩： M crx
2 EI y
l2
I Iy
GIt l 2 1 2 EI
h
x
2）焊接工字形和H型钢简支梁计算通式：
(GB50017-2003) 附录B式（B.1-1)
y t1 2 4320 Ah 235 b b 2 [ 1 ( ) b ] 4.4h fy y Wx
(5.20)
b——考虑不同荷载及荷载作用的不同位置的 等效弯矩系数（P126表5.6）
a) b) c)
y t1 b1 x
y t1 x b1
y t1 tw
b ——截面不对称系数
x
b1
加强受压翼缘时： b=0.8(2b-1)t 加强受拉翼缘时： b= 2b-1
材料力学按第四强度理论判定其是否屈服。 第四强度理论：复杂应力状态使一个单元产生形状改 变所消耗的能量，等于单向拉伸时该单元刚屈服时形状 改变所消耗的能量。这时的应力状态用等效应力表示。 得到的工程设计表达式为：
2 c2 c 3 2 1 f
注意： 1） 、c 和为同一个截面、同一个点上的值。
2） 与c异号时 1=1.2；与c同号时 1= 1.1。
5.4 梁的刚度
一、梁的刚度要求：
P121
正常使用极限状态的设计是通过限制竖向挠度来控 制。设计时要求梁的挠度不超过规范所规定的值。
即： [T]或[Q]
——受弯构件在标准荷载作用时所产生的最大 挠度或跨中挠度； [T]、[Q]——规范给出的容许挠度P121表5.3。 [T]全部荷载值产生的； [Q]可变荷载标准值产生的。
一、截面强度破坏
梁在纯弯矩作用下
截面的正应力：
1）弹性阶段
2）弹塑性阶段 3）塑性阶段（塑性铰形成并转动） 4）强化阶段
二、整体失稳
绕强轴单向受弯的构件，当弯矩增大到某一数值时，构 件可能突然产生在弯矩作用平面外的侧移和扭转，构件由 平面内弯曲状态变为弯扭状态，称整体失稳。
x a)
M
z
M
d)
b) M y C dv/d v
2.荷载作用方式的变化
引起构件上弯矩分布的变化，纯弯曲时，临 界弯矩最小。 Mcrx=1Mocrx
1——荷载作用方式系数，见 P124 表5.5。
3.截面形式变化
如P126图5.6，两端简支单轴对称截面，绕非对称 轴挠曲时的临界弯矩表达式为：
M crx 1
2 EI y
l
2
2a 3 By
z M
立面
x v u Mη ≈ - M M φ Mξ ≈ M ξ
η ξ
M Mζ ≈ M du dz du/d u
平面
ζ
c)
x
Mξ
≈M
C
ζ η
M
z M
y
剖面
三、局部失稳
1. 局部失稳的定义： 在强度破坏和整体失稳之前，其部分板件偏离原 来平面的位置而产生翘曲。 ２．危害性： (1) 整体失稳提前 (2) 截面的有效面积减少 (3) 工作条件恶化
2. 双向弯曲时的抗弯强度：
（1）按边缘屈服准则，要求截面边缘一点的最大弯曲应力 满足： Mx/Wx+My/Wy fy
（2）按全截面塑性准则，要求截面作用的弯矩不超过下式 所表示的极限状态：
即 Mx/Wpx+My/Wpy f
（3）按有限塑性发展强度准则，应满足的 设计公式： Mx/xWex+My/yWey f
1 2
M crx
——整体稳定屈曲系数

l
EI y GI t
荷载形式不同、作用的位置不同，整体稳定 屈曲系数也不同。如P 124 表5.5
四、影响临界弯矩的主要因素：
1．截面的侧向抗弯刚度EIy、抗扭刚度GIt、翘曲刚度EI； 2．构件的侧向支承点间距；
3．截面的不对称程度，受压翼缘加强，By大， Mcrx大。