矩阵的逆(完整版)实用资料
第三章 矩阵的逆
唯一性： 是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一 是可逆矩阵 的逆矩阵唯一 证明： 证明： 设B、C都是 的逆矩阵，则 都是A的逆矩阵 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = E ,
AC = CA = E
⇒ B = EB = (CA) B = C ( AB) = CE = C.
逆矩阵的求法二： 逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
A11 ∗ A12 A = M A1n A21 A22 M A2 n L L M L An1 An 2 , M Ann
(1)
A
−1
1 ∗ = A , A
其中 A * 为A的伴随矩阵。 的伴随矩阵。 的伴随矩阵
2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
a = 0, 2a + c = 1, b = −1, 2b + d = 0, ⇒ ⇒ c = 1, − a = 0, d = 2. − b = 1,
又因为
BA AB 2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
−1
0 A 例： 设n阶矩阵 及s阶矩阵 都可逆，求 阶矩阵A及 阶矩阵 都可逆， 阶矩阵B都可逆 阶矩阵 . B O X 11 X 12 解：设所求逆矩阵为 , X 21 X 22
∴ A 存在
−1
A
−1
A∗ = A
0 0 0 0 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 1⋅ 3⋅ 4⋅ 5 0 0 0 0 1 = 0 0 1⋅ 2⋅ 4⋅ 5 0 0 5! 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 5 0 0 0 0 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4
矩阵的逆及其求法_2023年学习资料
方法二（逆阵法-因为方程可写成矩阵形式Ax=b,其中-2-3-21-,b=--1-,x=-X2 4-由于A=2≠0，故A可逆，因此x=Ab,-其中调-A1=-43-=2,--2,=-O-15
13-33-6,-4-2-=5-A33-22-于是-A1=--晟風-X-1-2-32-4103 O-16
利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量-个数等于方程个数的一种方法（第一章给出了行列式-法 但对于较大时，两种方法都不适用.我们将-在余下的章节讨论第三种方法.-和-17
则求1的解的问题归结为求2的解矢量问题-而后者即求AX=B中未知矩阵X的问题。这需要用到-逆矩 的问题。-代数方程-ax=b-的解x=ab-问矩阵方程AX=B-的解是否为X=AB-若可以，那 A1的含义是什么呢？-O-3
逆矩阵的概念-定义1设A为n阶方阵，如有n阶方阵-B,使-AB=BA-E-则称A为可逆阵，B为 的逆阵，记作B=A1-又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵.-例设A=-潮-因为-AB=BA E.-所以B是A的一个逆矩阵。
例8求解下列矩阵方程-3-2-6-X=--1-0-5--210-A-≠0-X=AB-AB=-4 11-50--40-=E:A-B-19-O-27
0-2-例10设A=-11-4-B-XA=B-3-求X。-解-A--2XA=B,A--2XA' =BA-A1-2XAE=BA,4=-1,-A-I-2X=-BA,X=A-+BA-AE六-308
逆矩阵的求法一：伴随矩阵法-例2.15设-判断A是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵-解-因为A= 3-=4-6=-2≠0，故A可逆，且-晟晟-12
推论-若方阵A、B有AB=E,则A、B均可逆-证明1因为-6喝-AB=A B=E=1,-故-A 0，B≠0，-于是A、B均可逆-13
高等代数3-3矩阵的逆
... 0 A En ... A
A A
*
A11 A12 A 1n
A21 A22 A2 n
... An1 a11 ... An 2 a 21 ... Ann a n1
a12 a 22 an2
即矩阵A的逆矩阵是唯一的 .
B1 B1 E B1 ( AB2 ) ( B1 A )B2 EB2 B2
由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵记为 A1
则有
AA1 A1 A E
3. 单位矩阵E是可逆矩阵,且E 1 E .
4. 零矩阵O不是可逆矩阵.
a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 例A 0 0 ... a n 其中 a1a2 ...an 0 a1 0 0 a2 0 0
可逆
1 0 3 0 1 A 1 2 3 1 2 3 3
1
1 3 A 2 6
A 0
不可逆
用公式法求二阶矩阵的 逆矩阵非常方便 .
a b 1 d d 1 若A , 且 A 0, 则 A . A c a c d
已知方阵A满足A3 A2 4 A 5 E O ,则( A 2 E )1 ________.
A2 A 2 E
1 2 0 已知AB B A , 其中B 2 1 0 ,则( A E )1 __________. 0 0 2
( A E )( B E ) E ( A E )1 B E
1 ( A 2E ) 2 1 例5 已知方阵A满足A A 4 E O ,则( A E ) __________. 2
矩阵的逆及其应用
矩阵的逆及其应用姓名：刘欣班级：14级数计1班专业：数学与应用数学学号：1408020129一、矩阵的逆的概念对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，则说矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵，Ａ的逆矩阵记作Ａ１。
二、逆矩阵的性质和定理㈠逆矩阵的性质1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆矩阵为 ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。
若Ａ１，Ａ２，，Ａｍ都是ｎ阶可逆矩阵，则Ａ１Ａ２Ａｍ也可逆，且（Ａ１Ａ２Ａｍ）１＝（Ａｍ）１（Ａ２）１（Ａ１）１.2、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=A；3、若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λ ）=λ；4、若A可逆，则 也可逆，且（ ）=（ ）；5、=；6、矩阵的逆是唯一的；证明：运用反证法，如果A是可逆矩阵，假设B,C都是A的逆，则有ＡＢ=ＢＡ=E=ＡＣ＝ＣＡ，Ｂ＝ＢＥ＝Ｂ（ＡＣ）＝（ＢＡ）Ｃ＝ＥＣ＝Ｃ（与Ｂ≠Ｃ矛盾），所以是唯一的。
㈡逆矩阵的定理１、初等变换不改变矩阵的可逆性。
２、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ与ｎ阶单位阵Ｉｎ等价。
３、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是Ａ可以表成一些初等矩阵的乘积。
４、ｎ阶矩阵可逆的充分必要条件是Ａ只经过一系列初等行变换便可化成单位矩阵。
５、ｎ阶矩阵Ａ可逆的充分必要条件是｜Ａ｜≠０。
三、逆矩阵的计算方法㈠定义法定义：设Ａ是ｎ阶方阵，如果存在ｎ阶方阵Ｂ使得ＡＢ＝Ｅ，那么Ａ称为可逆矩阵，Ｂ称为Ａ的逆矩阵，记为Ａ１。
例１、求矩阵Ａ＝２２３１１０１２１的逆矩阵。
解：∵｜Ａ｜≠０∴Ａ１存在设Ａ１＝ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３，由定义知Ａ１Ａ＝Ｅ，∴２２３１１０１２１ｘ１１ｘ１２ｘ１３ｘ２１ｘ２２ｘ２３ｘ３１ｘ３２ｘ３３＝由矩阵乘法得２ｘ１１＋２ｘ２１＋３ｘ３１２ｘ１２＋２ｘ２２＋３ｘ３２２ｘ１３＋２ｘ２３＋３ｘ３３ｘ１１ｘ２１ｘ１２ｘ２２ｘ１２ｘ２３ｘ１１＋２ｘ２１＋ｘ３１ｘ１２＋２ｘ２２＋ｘ３２ｘ１３＋２ｘ２３＋ｘ３３＝由矩阵相乘可解得ｘ１１＝１ｘ２１＝１ｘ３１＝１；ｘ１２＝４ｘ２２＝５ｘ３２＝６；ｘ１３＝３ｘ２３＝３ｘ３３＝４故㈡、伴随矩阵法ｎ阶矩阵Ａ＝（ａｉｊ）可逆的充要条件｜Ａ｜≠０，而且当ｎ（ｎ＞＝２）阶矩阵Ａ有逆矩阵，Ａ１＝１ＡＡ，其中Ａ为伴随矩阵。
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
逆矩阵的知识点总结
逆矩阵的知识点总结一、逆矩阵的基本概念1.1 矩阵的逆在矩阵理论中，矩阵的逆是一个重要的概念。
如果存在一个矩阵B，使得矩阵A与矩阵B相乘得到单位矩阵I，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。
换句话说，如果AB=I，那么B就是A的逆矩阵。
1.2 逆矩阵的存在性并非所有的矩阵都有逆矩阵。
只有当矩阵是可逆的时候，才会存在逆矩阵。
一个矩阵是可逆的，当且仅当它是一个方阵且其行列式不为0。
1.3 逆矩阵的求解要求解矩阵的逆，可以使用多种方法。
其中最常用的方法是高斯-约当法求解逆矩阵。
这一方法通过行变换和列变换来将矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。
1.4 逆矩阵与解的关系在线性代数中，矩阵的逆与线性方程组的解密切相关。
如果一个矩阵是可逆的，那么它所代表的线性方程组一定有唯一解，反之亦然。
二、逆矩阵的性质2.1 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵有逆矩阵，那么逆矩阵是唯一的。
这是因为如果存在两个不同的矩阵B和C，使得AB=I且AC=I，那么由矩阵乘法的结合律可得B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C，即B=C。
2.2 逆矩阵的乘法逆矩阵有一个重要的性质，即两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆的，并且其逆矩阵等于这两个矩阵的逆的乘积的逆。
换句话说，如果A和B都是可逆的矩阵，那么(AB)-1=B-1A-1。
2.3 逆矩阵与转置矩阵的关系矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
在逆矩阵的情况下，有一个重要的性质，即一个矩阵的逆与其转置的逆是相等的，即(A-1)T=(AT)-1。
2.4 逆矩阵与幂的关系矩阵的逆与幂有着密切的关系。
如果一个矩阵A是可逆的，那么其幂A^n也是可逆的，并且(A^n)-1=(A-1)^n。
2.5 逆矩阵与伴随矩阵的关系在矩阵理论中，有一个与逆矩阵密切相关的概念，即伴随矩阵。
伴随矩阵是一个矩阵的行列式和代数余子式构成的矩阵。
与逆矩阵的关系在于，如果一个矩阵A是可逆的，那么它的伴随矩阵乘以矩阵A的行列式就等于单位矩阵。
矩阵的逆
证 由P41 例 9 可知
5. A 是可逆矩阵的充分必要条件是 是可逆矩阵的充分必要条件是|A|≠0 ． （充要） 充要） 6. 设 A 是 n 阶矩阵，如果 阶矩阵，如果|A|≠0 , 那么 称为非奇异矩阵 那么A称为非奇异矩阵 称为非奇异矩阵. A 是可逆矩阵的充分必要条件是 为非奇异的． 是可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异的 为非奇异的． 例1 判断下列矩阵
也可逆， （3）设A ,B 为同阶可逆 则 AB 也可逆，且 ） 矩阵, 矩阵 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− (4)若A可逆，则 AT 也可逆，且（AT）1 = ( A−1 )T . 证 2.设A可逆, 数λ ≠ 0. 因为
λ
(λA)(
1
可逆， 所以λ A可逆， （ λ A ) − 1 = 且
1 0 例1 设 A = −1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 −1 2 ,B = 1 0 2 1 0 1 0 1 −1 −1 0 0 ，求AB. 1 1
解 把 A，B 分块成
1 0 A= −1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 = 0 1
0 0 1 1
0 0 2 4
的逆矩阵。 的逆矩阵。
. −1 A2
A T= 1
A 1 −1 ，所以 T −1 = A2
A1 = 2 1 5 3
A2 = 1 2 1 4
A1−1 = 3 − 1 − 5 2
1 2 3
所以A 为可逆矩阵， 是不可逆矩阵 是不可逆矩阵． 所以 为可逆矩阵，B是不可逆矩阵．
性质 7. 设 A, B 都为 n 阶矩阵 , 若 AB = E（或 B A = E）， （ ）， 为可逆矩阵， 则 A 为可逆矩阵，且 B = A - 1 . 因为|A||B|=|AB|=|E|=1, 所以 |A|≠0 ， 因而 A−1存在. 证 因为 于是 −1 −1 −1 = A −1 E = A . B = EB = ( A A) B = A （AB） 例2 所以 因为
矩阵逆的公式范文
矩阵逆的公式范文一、矩阵逆的定义和性质矩阵逆可用于矩阵的除法运算，类似于数学中的倒数运算。
矩阵A的逆记作A^(-1)，满足A*A^(-1)=A^(-1)*A=I，其中I为单位矩阵。
若矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵或非奇异矩阵。
矩阵逆的性质有：1.如果A、B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且(AB)^(-1)=B^(-1)*A^(-1)。
2.矩阵的转置的逆等于矩阵的逆的转置，即(A^T)^(-1)=(A^(-1))^T。
3.如果A可逆，则A^(-1)也可逆，且(A^(-1))^(-1)=A。
4.如果A可逆，则(A^-1)^-1=A。
5.如果A可逆，则kA(k≠0)也可逆，且(kA)^(-1)=(1/k)A^(-1)。
二、矩阵逆的求解方法1.初等行变换法：设A为n阶矩阵，则可由初等行变换将A化为行阶梯形矩阵U，再由U化为对角矩阵D，若U和D都是单位矩阵，则A可逆，且A^(-1)=D^(-1)*U^(-1)。
2.初等列变换法：设A为n阶矩阵，则可由初等列变换将A化为列阶梯形矩阵V，再由V化为对角矩阵D，若V和D都是单位矩阵，则A可逆，且A^(-1)=D^(-1)*V^(-1)。
3.行列式法：设A为n阶矩阵，若，A，≠0，则A可逆，且A^(-1)=(1/，A，)*A*，其中A*为A的伴随矩阵。
4. 使用矩阵伴随的方法求逆：设A为n阶矩阵，则若，A，≠0，则A可逆，且A^(-1) = (1/，A，) * adj(A)，其中adj(A)为A的伴随矩阵。
三、矩阵逆的应用1.解线性方程组：考虑一个线性方程组Ax=b，其中A是已知的系数矩阵，b是已知的常向量，x是未知的解向量。
若A可逆，则方程组的解为x=A^(-1)*b，可以利用矩阵逆的公式求解。
2.计算特征值和特征向量：设A是n阶矩阵，若A可逆，则特征值λ和对应的特征向量v满足Av=λv。
可以通过求解A和单位矩阵之差的行列式来计算特征值，然后再通过解线性方程组(A-λI)v=0来求解特征向量。
求逆矩阵知识点总结
求逆矩阵知识点总结一、定义矩阵的逆是指存在一个矩阵使得它与原矩阵相乘得到单位矩阵。
具体来说，如果矩阵A的逆矩阵存在，我们用A^-1来表示它，那么矩阵A的逆矩阵定义为满足下式的矩阵B：A *B = B * A = I其中，I是单位矩阵。
二、求解方法1. 初等变换法利用行初等变换把矩阵A转换为单位矩阵，所做的初等行变换同时作用于一个相同次序的单位矩阵，然后将单位矩阵转换得到的矩阵即是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法对于n阶方阵A，它的伴随矩阵定义为其每个元素的代数余子式。
A的伴随矩阵记作Adj(A)，则有A^-1 = (1/det(A)) * Adj(A)，其中det(A)是A的行列式。
3. 初等矩阵法对于矩阵A，构造一个n阶单位矩阵In，然后对In进行一系列的乘法和加减操作所得到的新矩阵记为B，如果B=A^-1，则B就是矩阵A的逆矩阵。
三、性质1. 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵A有逆矩阵，那么这个逆矩阵是唯一的。
也就是说，如果存在矩阵B和C，使得A*B=I和A*C=I，那么B=C。
2. 若A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且有(A*B)^-1=B^-1*A^-13. (A^-1)^-1 = A4. (A^T)^-1 = (A^-1)^T5. 行列式为0的矩阵没有逆矩阵。
四、应用求逆矩阵在实际应用中有着广泛的作用，其中包括但不限于以下几个方面。
1. 线性方程组求解线性方程组Ax=b时，如果A是可逆矩阵，则可以直接用逆矩阵求解：x=A^-1*b。
2. 信号处理在信号处理领域中，矩阵的逆可以用来解决信号的解耦、滤波等问题。
3. 机器学习矩阵的逆在机器学习中也有重要的应用，比如用于参数的最小二乘估计以及矩阵分解等问题。
4. 几何变换在计算机图形学和几何变换领域，矩阵的逆可以用来表示坐标点的逆向变换。
总结求逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，有着广泛的应用。
本文从定义、求解方法、性质和应用等方面对求逆矩阵的知识点进行了总结，希望能帮助读者更好地理解和应用这一概念。
(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K证明 因为E 与A 可以交换, 所以(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,因A K = 0 ,于是得(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .同理可以证明(E+ A)也可逆,且(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.例2 设 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000300000200010,求 E-A 的逆矩阵.分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.解 容易验证A 2=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000060000200， A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000006000， A 4=0而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000310062106211.2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p 21I= A 1-比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.用矩阵表示（A I ）−−−→−初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡521310132.解 [A I]→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100521010310001132→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001132010310100521→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3/16/16/1100010310100521→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001故 A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----3/16/16/112/32/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.例2 求A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡987654321.解 [A E]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100987010654001321→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1071260014630001321→ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121000014630001321. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.3.伴随阵法定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且A 1-=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (212221212111)其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A AA A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1A 3.证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵B=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中AB=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2)12222111211⨯A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nn n n A A A A A A A A A ............... (2122212)12111=A 1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡A A A A ............0...00...0=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 (00)...1......0...100...01=I同理可证BA=I.由此可知，若A 可逆，则A 1-=A1A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.4．分块矩阵求逆法4.1.准对角形矩阵的求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 证明 因为A =221100A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.设A 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W ZY X，于是有⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡221100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡m nI I 00,其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 111-、A 122-分别右乘上面左右两组等式得：X= A 111-，Y=0，Z=0，W= A 122-故 A 21= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：121...-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡k A A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11211...k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A证明 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212110A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110A A 两边求逆得1121110--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-I A A I 12212110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A 所以 1221211-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--I A A I 012111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12211100A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122121111110A A A A A同理可证12221110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----122122211111110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.5.恒等变形法恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
矩阵的逆运算公式
矩阵的逆运算公式矩阵求逆的基本原理及公式：1. 矩阵逆的定义：当矩阵A的乘积与单位矩阵I相乘，可得到单位矩阵时，称A的逆为A-1。
即A*A-1 = I， I是n阶单位矩阵。
2. 矩阵求逆的基本定理：当且仅当一个n阶矩阵A的行列式|A|≠0时，矩阵A才可求逆，即A存在逆矩阵A-1。
3. 矩阵求逆的公式：假定n阶矩阵A的逆矩阵为A-1，当矩阵A已知时，其逆是：A-1= |A|-1*(A变换矩阵)，其中|A|是A的行列式，A变换矩阵为矩阵A取伴随矩阵，对角元素改变符号后有：（1）当n=2时，A变换矩阵为：\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}A变换矩阵：\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}（2）当n=3时，A变换矩阵为：\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}A变换矩阵：\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-gc&dh-af\\dh-eg&bg-ah&ce-bf\end{pmatrix}4. 矩阵求逆的算法：（1）将n阶方阵A分解为两个n阶行列式：A=|A|*A变换矩阵。
（2）计算|A|：|A|= |A|1*|A|2*......|A|n，其中|A|n是A的n阶行列式。
（3）计算A变换矩阵A1：A1=A变换矩阵1*A变换矩阵2*......*A变换矩阵n。
（4）将（2）和（3）结果相乘：A-1= |A|-1*A1，得到n阶矩阵A的逆矩阵A-1。
第5讲 矩阵的逆(PPT)
一 逆矩阵的定义 二 逆矩阵的求法 三 矩阵可逆的充要条件 四 逆矩阵的性质
一 逆矩阵的定义
在实数的运算中， 当实数a 0时， 有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
a
在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 A， 如果存在一个矩阵B
推论:
所以: (AB )1B 1A1 (ABC)1C 1B 1A1 (ABCD)1D-1 C 1B 1A1
注意顺序， 和转置相似
(A1A2A3…An )1(An) 1(An-1) 1….(A1) 1
5 若A可逆,则有 A1 1
A
证明 AA1 E
A A1 1
因此 A1 A 1 .
例 设A为三阶矩阵且|A|＝2，则
使得
AB BA E,
则矩阵 B称为A的可逆矩阵或逆阵.
实数a的倒数性质 aa1 a1a 1
定义 对于n 阶矩阵 A ，如果有一个n 阶矩阵B
,使得
AB BA E,
则说矩阵A是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵.
A的逆矩阵记作 A1. 说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 例1 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
2E
1A
4
3E
E
A
2E
1
故A 2E可逆. 且 A 2E 1 1 A 3E
4
练习：若n阶矩阵满足
A2 2A 3E 0
A是否可逆？若可逆，求A的逆。
解：由等式可得，
A（A+2E ) E 3
A1 A+2E (3)
二 逆矩阵的求法（待定系数法）
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法主要有以下几种方法：
1.利用定义求逆矩阵：如果矩阵A是可逆的，那么存在一个矩阵B，使得
AB=BA=E，其中E为单位矩阵。
利用这个定义，可以通过特定的算法计算出矩阵A的逆矩阵B。
2.初等变换法：对于元素为具体数字的矩阵，可以利用初等行变换化为单位
矩阵的方法来求逆矩阵。
如果A可逆，则A可通过初等行变换化为单位矩阵I，即存在初等矩阵使（1）式成立。
同时，用右乘上式两端，得到（2）式。
比较（1）、（2）两式，可以看到当A通过初等行变换化为单位处阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等行变换，就化为A的逆矩阵。
这种方法在实际应用中比较简单。
3.伴随阵法：如果A是n阶可逆矩阵，那么A的伴随矩阵A也是可逆的，且
(A)-1=A*/|A|。
利用这个公式可以方便地计算出A的逆矩阵。
4.恒等变形法：利用恒等式的变形规律来求逆矩阵。
例如，利用行列式的性
质和展开定理，可以计算出矩阵的行列式值，从而得到逆矩阵。
需要注意的是，不同的方法适用于不同类型的矩阵和问题，因此在选择方法时应根据具体情况进行选择。
同时，在实际应用中还需注意计算的精度和稳定性等问题。
逆矩阵知识点总结
逆矩阵知识点总结1. 逆矩阵的定义在矩阵理论中，逆矩阵是指对于一个给定的n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=In，其中In是n阶单位矩阵，则称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^-1。
如果矩阵A存在逆矩阵，则称矩阵A是可逆的或非奇异的；如果矩阵A不存在逆矩阵，则称矩阵A是奇异的或不可逆的。
2. 逆矩阵的性质（1）若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的。
证明：设B1和B2均为矩阵A的逆矩阵，则AB1=BA=B2。
因此，AB1=AB2，由矩阵乘法的消去律可知B1=B2。
（2）若矩阵A和矩阵B均为可逆矩阵，则矩阵AB的逆矩阵为B^-1A^-1。
证明：首先，计算(AB)(B^-1A^-1)和(B^-1A^-1)(AB)，得到(AB)(B^-1A^-1)=A(BB^-1)A^-1=AIA^-1=AA^-1=In和(B^-1A^-1)(AB)=B^-1(AA^-1)B=B^-1IB=B^-1B=In。
因此，矩阵AB的逆矩阵为B^-1A^-1。
（3）若矩阵A可逆，则矩阵A^-1也是可逆矩阵，并且(A^-1)^-1=A。
证明：由矩阵A的定义可知，存在矩阵A^-1使得AA^-1=In。
因此，(A^-1)^-1A^-1A=(A^-1)^-1=InA^-1=A^-1。
由此可知，矩阵A^-1的逆矩阵是矩阵A本身。
（4）对角矩阵D的逆矩阵是其对角线上每个非零元素的倒数构成的对角矩阵。
证明：设D是一个n阶对角矩阵，其对角线上的元素为d1, d2, ..., dn，且di≠0(i=1,2,...,n)。
那么D的逆矩阵为D^-1=diag(1/d1, 1/d2, ..., 1/dn)。
因为DD^-1=diag(d1, d2, ...,dn)×diag(1/d1, 1/d2, ..., 1/dn)=diag(d1×1/d1, d2×1/d2, ..., dn×1/dn)=diag(1, 1, ..., 1)=In。
5 矩阵的逆
§5 矩阵的逆一元一次方程当时两边乘以得且具有下列性质：类似地，可引入可逆矩阵的概念：定义：对方阵若存在矩阵满足则称是可逆的(invertible). 称是的逆矩阵(inverse matrix), 记作不可逆矩阵也称为奇异矩阵(singular matrix), 而可逆矩阵也称为非奇异矩阵(nonsingular matrix).注：存在不可逆方阵，如定义：对方阵若存在矩阵满足则称是可逆的(invertible), 称是的逆矩阵(inverse matrix), 记作不可逆矩阵也称为奇异矩阵(singular matrix), 而可逆矩阵也称为非奇异矩阵(nonsingular matrix).注：存在不可逆方阵，如(1)若方阵满足则特别的, 方阵的逆唯一.证明：(2)若可逆, 则有唯一解证明：两边乘得(3) 有非零解不可逆.(4) 矩阵可逆且例：设故可逆,且(5)对角矩阵可逆且(6)若方阵满足则且定理:(1)若是可逆矩阵，则也可逆，且(2)若阶方阵和都可逆,则可逆,且(3)若可逆，则也可逆，且例小结：初等矩阵都是可逆的, 其逆把变回例：设两个方程组有相同系数矩阵,可以一起消元.增广矩阵写成通过初等矩阵来记录消元过程.方法：Gauss-Jordan消元法因此总结：设可逆, 则德国大地测量学家Wilhelm Jordan(1842-1899)改进了Gauss消元法.W. Jordan例：求的逆.解：因此由Gauss-Jordan消元法求逆矩阵的过程知：设可逆, 则可经过一系列初等行变换化成单位矩阵因此有初等矩阵使得故•可逆可表示成一系列初等矩阵的乘积.•由Gauss-Jordan消元法求逆的过程还可以得到定理：阶矩阵可逆有个主元.证明：若阶方阵有个主元, 则方程组分别有唯一解则得的右逆.此时, 可经过一系列初等行变换化为单位矩阵, 即存在初等矩阵使得于是得的左逆.对方阵右逆左逆逆, 故可逆.设可逆, 即存在矩阵使假设没有个主元, 则对用初等行变换必产生一个零行, 即存在初等矩阵的乘积使有零行.于是也有零行, 这与是初等矩阵的乘积矛盾.因此阶可逆方阵必有个主元.由证明过程知定理：若对阶方阵有则且主对角线下(上)方元素全为零的方阵称为上(下)三角矩阵.例：一般地，不难证明：定理：两个阶下(上)三角矩阵与的乘积仍为下(上)三角矩阵,且的主对角元等于与的相应主对角元的乘积.例: 设求解:因此5.6 下三角矩阵的逆一般地，定理：下三角矩阵可逆主对角元素都非零.可逆下三角矩阵的逆也是下三角阵.若原矩阵对角元素都是则逆的对角元也都是考虑分块矩阵其中可逆.则可进行分块矩阵的初等行变换, 使之变成分块上三角矩阵:使用分块初等矩阵, 即有为把一般分块矩阵变为分块上三角矩阵, 称下列三种变换为分块矩阵的初等行变换：1.把一个块行减去另一块行左乘以2.两个块行互换位置;3.用一个可逆矩阵左乘某一块行.类似有分块矩阵的初等列变换, 则需要用矩阵作右乘.相应得分块初等矩阵, 如例：设为可逆的分块上三角矩阵, 其中是矩阵为矩阵. 求解：用表示且把它分块使故有由此解得于是•分块上三角矩阵可逆主对角线上各分块都是可逆的.。
矩阵的逆
A是可逆矩阵的充分必要条件是 A ≠ 0，
即可逆矩阵就是非奇异 矩阵 .
由定理 2，可得下述推论 . ，
推论 若AB = E（或BA = E）则B = A1.
证
∵ A B = E = 1， ∴ A ≠ 0，由Th2 ∴ A 存在，
1
于是
=（A 1 A）B B = EB
1 = A （AB） = A 1 E = A1 .
∵ A ≠ 0， 证 由上节例知 AA = A A = A E 1 1 ∴ A A = A A =E ∴ 按逆阵的定义， 即知 A 可逆 ， A A 1 1 且有 A = A . A
称为奇异矩阵， 当 A = 0 时， A 称为奇异矩阵，否则称 非奇异矩阵 . 由上面两定理可知： 由上面两定理可知：
X = A1CB 1 .
由上例知 A ≠ 0，而 B = 1, 故知A、B都可逆，
3 2 1 3 3 1 5 有 A 1 = 3 ， B = 5 2 2 1 1 1 3 2 1 1 3 5 3 于是X = A1CB 1 = 2 2 2 1 1 3 1 1 1 1 2 3 1 = 0 2 = 10 4 . 0 2 5 2 10 4
A的逆阵记作A1 . 的逆阵记作
即若 AB = BA = E ，则 B = A1 .
定理1 若矩阵 A可逆，则 A ≠ 0. 定理1 可逆， 可逆 证 A 可逆，即有 A1 ，使 A A1 = E . 可逆，
故 A A
1
=
E
= 1 ， 所以 A ≠ 0
1
1 定理 2 若 A ≠ 0, 则矩阵 A 可逆 , 且A = A , A 其中 A 为矩阵 A的伴随矩阵 .
利用逆阵公式，
1
当 A ≠ 0时，
矩阵的逆_精品文档
矩阵的逆前言在线性代数中，矩阵的逆是一个重要的概念。
对于一个可逆矩阵来说，它的逆矩阵可以帮助我们求解线性方程组、计算矩阵的行列式、特征值等等。
本文将介绍矩阵的逆的定义、性质以及如何求解逆矩阵。
定义给定一个 n n 的方阵 A。
如果存在一个 n n 的方阵 B，使得 AB = BA = I，那么我们称 B 是矩阵 A 的逆。
其中 I 是单位矩阵，满足对任意矩阵 M，有 MI = IM = M。
注意：如果矩阵 A 没有逆矩阵，我们称 A 为奇异矩阵，如果矩阵 A 有逆矩阵，我们称 A 为非奇异矩阵。
性质1.如果 A 有逆矩阵 B，则 B 的逆矩阵也是 A，即 (A-1)-1 = A。
2.如果 A 和 B 都是可逆矩阵，则 AB 也是可逆矩阵，并且 (AB)^-1 = B^-1 * A^-1。
3.如果 A 是可逆矩阵，则 A 的转置矩阵 A^T 也是可逆矩阵，并且 (A T)-1 = (A-1)T。
4.如果 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵也是唯一的。
求解逆矩阵方法一：伴随矩阵法对于一个 n n 的可逆矩阵 A，我们可以使用伴随矩阵法来求解其逆矩阵。
伴随矩阵是指将矩阵 A 的每个元素的代数余子式转置得到的矩阵。
假设 A 的余子式矩阵为 C，则伴随矩阵定义为 A^ = C^T。
步骤如下： 1. 求解 A 的余子式矩阵 C，即将 A 的每个元素的代数余子式组成的矩阵。
2. 将 C 转置得到 A 的伴随矩阵 A^。
3. 计算 A 的行列式 |A|。
4. 如果|A| ≠ 0，则 A 的逆矩阵 A^-1 = A^ / |A|。
方法二：高斯-约当消元法另一种常用的求解逆矩阵的方法是高斯-约当消元法。
这种方法通过将矩阵 A和单位矩阵进行拼接并进行行变换，将矩阵 A 变换为单位矩阵，同时得到 A 的逆矩阵。
步骤如下： 1. 将矩阵 A 和单位矩阵 I 进行拼接，得到增广矩阵 [A | I]。
2. 对增广矩阵 [A | I] 进行高斯-约当消元，将矩阵 A 变换为单位矩阵，同时得到 [I | B]，其中 B 是 A 的逆矩阵。
矩阵的逆
A11 A12 A A= A1n
A21 A22 A2 n
An1 a11 An 2 a21 Ann an1
a12 a22 an 2
a1n A a2 n 0 = ann 0
第四章 矩阵
如果 | A |≠ 0 ，那么由(4.4.2)得
1 * 1 * A( A ) = ( A ) A = E A A
§4.4
矩阵的逆
§4.4 矩阵的逆
一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的定义和性质 三、矩阵可逆的判定和求法 四、矩阵方程
第四章 矩阵
一、可逆矩阵的概念 在§4.2我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、 乘三种运算。那么，矩阵的乘法是否也和复数一样有 逆运算呢？ 这就是本节所要讨论的问题。 对这一节矩阵，如不特别声明， 都是讨论 n × n 矩阵。对于任意 n 阶方阵 A 都有：AE = EA = A 。 这里 E 是 n 阶单位矩阵。 从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵在 n 阶方阵中 的地位类似于数1在复数中的地位。
1 1
( AA1 )′ = ( A1 A)′ = E ′ = E ，
( A1 )′ A′ = A′( A1 )′ = E ， 也就是：
A′ ) = ( A1 )′。 (
1
性质4：若矩阵 A 、B 可逆，则 AB 也可逆， 且 ( AB ) = B A 。
1
证明： 矩阵 A 、B 可逆，则
( AB ) ( B 1 A1 ) = ( B 1 A1 ) ( AB ) = E 于是 1 ( AB ) = B 1 A1。 所以
a11 x1 + a12 x2 + a x + a x + 21 1 22 2 an1 x1 + an 2 x2 + + a1n xn = b1 , + a2 n xn = b2 , + ann xn = bn ,
2-矩阵的逆
所以，A
1
3 1 4 4 5
1 4 3
例8 解矩阵方程 ：1 AX B , 2 XA B .
2 A 1 1 2 A I 1 1 1 2 1 2 1 2 3 0 , 1 3 0 1 0 3 1 1 0 0 0 1 0 1 B 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 . 0 1 1
解矩阵方程的其他情况 ：
1 AXB C , 且 A 与 B 可逆 , 则
A AXBB
1 1
A CB
1
1
,
X A CB
1
1
.
2 AX B C ,
AX C B ,
且 A 可逆， 则 XA
1
C B .
3 如果 A 不可逆 , 怎样求解矩阵方程 ：
1 dn
（kI）
1
1 k
I , ( k 0)
定理1 设A可逆，则它的逆是唯一的.
性质 设A, B 均为n阶可逆矩阵，数λ≠0，则 1. A-1可逆，且(A-1)-1 = A; 1 1 1 2. λA可逆，且 ( A) A ; 3. AB可逆，且(AB)-1 = B-1 A-1; 4. AT可逆，且(AT)-1 = (A-1)T.
例1 设方阵A满足A2 - A - 2I =O, 证明： (1) A和I - A都可逆，并求其逆矩阵； (2) A+I 和A-2I不同时可逆.
证 (1)
A( A I ) 2 I
A( 1 ( A I )) I 2
所以A可逆， A 且
1
1(A I) 2
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矩阵的逆（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑完整版实用资料，欢迎下载）§4 矩阵的逆一、可逆矩阵的概念在§2我们看到，矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算.矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题.这一节矩阵，如不特别声明，都是n n ⨯矩阵. 对于任意的级方阵A 都有A EA AE ==这里E 是n 级单位矩阵.因之，从乘法的角度来看，n 级单位矩阵在级方阵中的地位类似于1在复数中的地位.一个复数0≠a 的倒数可以用等式11=-aa来刻划，相仿地，我们引入定义7 n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得E BA AB ==, (1)这里E 是n 级单位矩阵.首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足(1).其次，对于任意的矩阵A ，适合等式(1)的矩阵B 是唯一的(如果有的话).定义8 如果矩阵B 适合(1)，那么B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A . 二、可逆矩阵的逆矩阵的求法下面要解决的问题是：在什么条件下矩阵A 是可逆的？如果A 可逆，怎样求1-A ？定义9 设ij A 是矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 中元素ij a 的代数余子式，矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111* 称为矩阵A 的伴随矩阵.由行列式按一行(列)展开的公式立即得出：dE d d d A A AA =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000000**, (2) 其中||A d =.如果0||≠=A d ，那么由(2)得E A A dA d A ==)1()1(**. (3) 定理3 矩阵A 可逆的充要条件是A 非退化的，而)0||(1*1≠==-A d A dA根据定理3容易看出，对于n 级方阵B A ,，如果E AB =那么B A ,就都是可逆的并且它们互为逆矩阵.定理3不但给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式(4).按这个公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的.在以后我们将给出另一种求法.由(5)可以看出，如果0||≠=d A ，那么11||--=d A推论 如果矩阵B A ,可逆，那么A '与AB 也可逆，且)()(11'='--A A 111)(---=A B AB .利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********,, 可以写成B AX =. (6)如果0||≠A ，那么A 可逆.用B A X 1-=代入(6)，得恒等式B B A A =-)(1，这就是说B A 1-是一个解.如果C X =是(6)的一个解，那么由B AC =得B A AC A 11)(--=,即B AC 1-=.这就是说，解B A X 1-=是唯一的.用1-A 的公式(4)代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.定理4 A 是一个n s ⨯矩阵，如果P 是s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）.© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第五章 二次型§5.1 习题1．证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同．2．对下列每一矩阵A ，分别求一可逆矩阵P ，使AP P '是对角形式：(i);311112121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A (ii);0111101111011110⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A(iii).1111142112411111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=A3．写出二次型∑∑==-3131||i j jixx j i 的矩阵，并将这个二次型化为一个与它等价的二次型，使后者只含变量的平方项．4．令A 是数域F 上一个n 阶斜对称矩阵，即满足条件A A -='． (i)A 必与如下形式的一个矩阵合同：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00001100101(ii) 斜对称矩阵的秩一定是偶数．(iii) F 上两个n 阶斜对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩．§5.2 复数域和实数域上的二次型1．设S 是复数域上一个n 阶对称矩阵．证明，存在复数域上一个矩阵A ，使得A A S '=．2．证明，任何一个n 阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：.12,1;2,+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛v n OOO O I O I O v n O I I O v v vv 若若3．证明，任何一个n 阶可逆实对称矩阵必与以下形式的矩阵之一合同：.22⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--v n vv v n v v I OOO OI OI O I OO O O I O I O或 4．证明，一个实二次型),,,(21n x x x q 可以分解成两个实系数n 元一次齐次多项式的乘积的充分且必要条件是：或者q 的秩等于1，或者q 的秩等于2并且符号差等于0．5．令.906010604,233354345⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A证明A 与B 在实数域上合同，并且求一可逆实矩阵P ，使得B AP P ='．6．确定实二次型n n x x x x x x 2124321-++ 的秩和符号差． 7．确定实二次型cxy bzx ayz ++的秩和符号差．8．证明，实二次型∑∑==>++n i nj jin xx j i ij 11)1()(λ的秩和符号差与λ无关．§5.3 正定二次型1．判断下列实二次型是不是正定的:)(i 3121232221443210x x x x x x x +++-; )(ii .48455323121232221x x x x x x x x x --+++2．λ取什么值时,实二次型24133221232221222)(x x x x x x x x x x +--+++λ是正定的.3．设A 是一个实对称矩阵.如果以A 为矩阵的实二次型是正定的,那么就说A 是正定的.证明,对于任意实对称矩阵A,总存在足够大的实数t ,使得A tI +是正定的.4．证明,n 阶实对称矩阵)(ij a A =是正定的,必要且只要对于任意,121n i i i k ≤<<<≤ ,k 阶子式.,,2,1,0212221212111n k a a a a a a a a a kk k k kki i i i i i i i i i i i i i i i i i =>5．设)(ij a A =是一个n 阶正定实对称矩阵.证明nn a a a A 2211det ≤当且仅当A 是对角形矩阵时,等号成立.[提示:对n 作数学归纳法,利用定理的证明及习题4.]6．设)(ij a A =是任意n 阶实矩阵.证明∏=+++≤nj nj j j a a a A 1222212)()(det (阿达马不等式).[提示:当0det ≠A 时,先证明A A '是正定对称矩阵,再利用习题5.]§5.4 主轴问题1．对于下列每一矩阵A,求一个正交矩阵U,使得AU U '具有对角形式:)(i ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b b a A ;)(ii ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A ;)(iii ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=2200250000220025A2．设A 是一个正定对称矩阵.证明:存在一个正定对称矩阵S 使得2S A =．3．设A 是一个n 阶可逆实矩阵.证明,存在一个正定对称矩阵S 和一个正交矩阵U,使得US A =．[提示: A A '是正定对称矩阵.于是由习题2存在正定矩阵S,使得A A '=2S .再看一下U 应该怎样取．]4．设}{i A 是一组两两可交换的n 阶实对称矩阵.证明,存在一个n 阶正交矩阵U,使得U A U i '都是对角形矩阵.。