概率论与随机过程题集
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第二章 概率论与随机过程
2-16 图P2-16中的电路输入为随机过程X(t),且E[X(t)]=0,xx φ(τ)=2
σδ(τ),即X(t)为白噪
过程。
（a ）试求谱密度yy Φ（f ）。 （b ）试求yy φ(τ)和E[Y 2(t)]。
图P2-16
解：（a ）xx φ=
2222)()(σττδσττφτπτπ==⎰⎰
+∞
∞
--+∞
∞
--d e d e f j f j xx
又系统函数)(f H =
)
()
(f X f Y =fc j fc
j R fc j πππ2112121
+=+
∴2
2222
22
2
41)2(11)()()(c f R fcR f H f f xx yy πσπσφφ+=
+== (b) E [)(2
t y ]=)0(yy φ
τπττ
πσπσφτφRc
f
j f j yy yy e
Rc
df e
c
f R df e
f 12
22
2
2
2
2
2241)()(-
∞
+∞
-∞
+∞-=
+==⎰
⎰
∴E [)(2
t y ]=Rc
yy 2)0(2
σφ=
2-20 一离散时间随机过程的自相关序列函数是k
k )2/1()(=φ，试求其功率密度谱。 解：由功率密度谱的定义知
)(f Φ＝
∑
+∞
-∞
=-k fk
j e k πφ2)( ＝
∑+∞
-∞=-k fk
j k e π2)2
1(
＝fk
j
k
k
eπ
2
1
)
2
1
(-
-
-
-∞
=
∑＋fk j
k
k
eπ
2
)
2
1
(-
+∞
=
∑
＝k
f
j
k
e)
2
1
(2
1
π
∑+∞
=
＋k
f
j
k
e)
2
1
(2
π
-
+∞
=
∑
＝
f
j
f
j
e
e
π
π
2
2
2
1
1
2
1
-
＋
f
j
eπ2
2
1
1
1
-
-
∴)
(f
Φ＝
f
j
f
j
e
e
π
π
2
2
2
1
1
2
1
-
＋
f
j
eπ2
2
1
1
1
-
-
即为所求。
2-23 试证明函数
)(t
f
k
＝
)
2
(
2
)]
2
(
2
sin[
W
k
t
W
W
k
t
W
-
-
π
π
，k= 0，1
±，2
±，…
在区间[+∞
∞
-,]上为正交的，即
所以，抽样定理的重建公式可以看作带限信号)
(t
s的级数展开式，其中权值为)
(t
s的样值，且{)
(t
f
k
}是级数展开式中的正交函数集。
证明：由题得
⎰+∞∞-dt t f t f j
k
)(
)(＝⎰+∞∞-
)
2
(
2
)]
2
(
2
sin[
W
k
t
W
W
k
t
W
-
-
π
π
)
2
(
2
)]
2
(
2
sin[
W
j
t
W
W
j
t
W
-
-
π
π
dt
＝⎰+∞∞-21)
2
)(
2(
]
)
(
4
cos[
)
cos[(
j
wt
k
wt
j
k
wt
k
j
π
π
π
π
π
π
π
-
-
+
-
-
-
dt
∴命题得证。
2-24系统的噪声等效带宽定义为
⎰∞
=
2
)
(
1
df
f
H
G
B
eq