实变函数论课件18 Fubin定理

称为 E 在 y0 处的截面或 E 的 y0 截面, 记作 E y0 .
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命题1：
(i) 若 A 或 B 是空集, 则 A B 是空集.
(ii) 若 A1 A2 或 B1 B2 ,则 ( A1 B1) ( A2 B2 ) .
(iii) 若 A1 A2 且 B1 B2, 则 A1 B1 A2 B2.
这时A, B 可分别表为渐缩有界开集列的极限，设An An A, Bn Bn B.
n1
n1
从而 An Bn ( An Bn ) ( An ) ( Bn ) A B.由 (2) 知诸 An Bn 为有界可测集, 所以 A B 可测, 且
n1
n1
n1
m(
A
B)
lim
n
m(
An
Bn
)
lnim(mAn
mBn
)
(lim n
mAn
)
(lim n
mBn
)
mA
mB.
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(4) 设 A, B 是有界可测集, 并且其中有一个是零集.不妨设 A 是零集. 则存在 G 型集 Aˆ 与 Bˆ,使 Aˆ A, Bˆ B, 使得 mAˆ mA 0, mB mBˆ.
根据 (3), m*( A B) m*( Aˆ Bˆ) m( Aˆ Bˆ) mAˆ mBˆ 0
例3：三维柱体 {(x, y, z) | x2 y2 1, 0 z 1} {(x, y) | x2 y2 1}[0,1]
例4：N维区间 若Ii ai ,bi (i 1, 2, , N),
那么 I1 I2 IN a1,b1; a2,b2; ; aN ,bN .
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定义 2 若 X、Y 是两个空间 (空间即基本集), 则称X Y是乘积空间. 这时, 若 A X , B Y ,则称 A B是乘积空间 X Y 中的矩形, 而 A、B
本节将会看到，Lebesgue积分中对此类问题所 要求的条件也比Riemann积分弱得多。
定义1 设 A、B 为两个集合. 对任意a A, b B,作 有序元素对(a, b), 所有这样作出的有序元素对组成 一个集合, 这个集合称为A 与 B 的乘积, 记作 A B.即
A B {(a, b) | a A, b B}.
注：A B B A.
类似的，可以定义
E1 E2 En {(x1, x2, , xn ) | xi Ei ,i 1, 2, , n}.
例1：对任意两个自然数 p 与 q, 有 R p Rq R pq.
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例2：二维区间 {(x, y) | a x b, c y d} [a,b][c, d]
证明：(1) 设 A, B 是区间.
这时 A B 也是区间, 故A B 可测.且 m A B A B A B mA mB.
(2) 设 A, B 是开集.
则A, B 可表示为可列个两两无交的半开区间之并，设A Ai , B Bj. 从而 A B ( Ai Bj ).
i 1
j 1
i, j1
由F1是闭集 F1C Rq是开集，且z F1C Rq。又(F1C Rq ) F1 F2 ， 故z F1 F2 z F1 F2，矛盾。从而F1 F2 F1 F2，则 F1 F2 =F1 F2， 即F1 F2为闭集.
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R p、Rq 与 R pq 中可测集间的关系I
定理 1 若 A 和 B 分别是 R p 和 Rq 中的可测集, 则A B 是 R pq 中的可测集,并且 m( A B) mA mB.
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例5：设 F1 R p , F2 Rq为闭集，G1 R p , G2 Rq为开集，则 F1 F2，G1 G2分别 为R p+q中的闭集和开集.
证明：由于G1, G2为开集，所以对z (x, y) G1 G2, U1(x, r) G1,U2 ( y, r) G2. 又显然U (z, r) U1(x, r) U2 ( y, r)，从而U (z, r) G1 G2，故G1 G2为开集。 下证：F1 F2为闭集. 显然F1 F2 F1 F2。下证相反包含关系。（反证法） 设z (x, y) F1 F2，但z F1 F2，则x F1或y F2，不妨设x F1，
第18讲 Fubini定理
目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握 Fubini定理并会运用，了解Fubini定理 的证明。
重点与难点：Fubini定理及其证明。
同极限与积分交换顺序的问题一样，在数学分 析中，多元函数的重积分与累次积分何时相等， 以及累次积分的交换顺序等问题的讨论中也要对 被积函数加上较强的条件.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ注：上述三个结论反之亦对
(iv) ( Ai ) ( Bj ) ( Ai Bj )
i 1
j 1
i, j1
(v) ( An ) ( Bn ) ( An Bn )
n1
n1
n1
命题2：
设 A、B、An (n 1, 2, )是 X Y 的子集. 若 x X ,则
(i) 当 A B 时, ( A)x (B)x;
(ii) ( An )x ( An )x;
n1
n1
( An )x ( An )x
n1
n1
(iii) ( A \ B)x Ax \ Bx;
(iv) 当 An A 时, ( An )x Ax; 当 An A 时, ( An )x Ax.
注：若 y Y，把上面的 x 截面换成 y 截面仍然成立
并且 Ai Bj , (i 1, 2, ; j 1, 2, ) 两两无交，由 (1) 知 Ai Bj 是可测集, 所以 A B 可测,
m(A B) m(Ai Bj ) (mAi mBj ) ( mAi ) ( mBj ) mA mB.
i, j1
i, j1
i1
j 1
(3) 设 A, B 是有界 G 型集.
称为矩形 A B的边.
定义 3 设 X Y 是乘积空间，E 是 X Y 的一个子集.
相应于 x0 X , 作 Y 的子集
{y y Y, (x0, y) E },
此子集称为 E 在 x0 处的截面或 E 的 x0 截面，记作Ex0 .
相应于 y0 Y , X 的子集
{x x X , (x, y0) E}，