第七章线性变换(小结)

第七章 线性变换(小结)

本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法.

本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.

线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.

本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换.

一、线性变换及其运算

1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式.

2. 基本结论

(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组

(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.

(3) 线性变换的基本运算规律(略).

(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.

(5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间.

(b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基

n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }.

ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}.

(c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .

(d)A 是双射⇔A 是单射⇔ Ker(A )={0}⇔A 是满射.

(e)像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V 的一组基:

取Im A 的一组基r βββ ,,21,存在,,...,21r ααα使得A i i βα=,i=1,2,…,r. 再取ker A 的基,,...1n r αα+则,,...,21r ααα,,...1n r αα+就是V 的一组基.

二、线性变换与矩阵

1.基本概念:

(1)线性变换在基下的矩阵:

设A ∈L(V),取定n 维线性空间V 的一组基n ααα,...,,21,则A α1, A α2,… ,A αn 可由α1,α2,…,αn 线性表示, 即

(A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,

矩阵A 称为线性变换A 在此基下的矩阵.

(2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:

设n ααα,...,,21,n βββ,...,,21是线性空间V 的两组基,

(n βββ,...,,21)=(n ααα,...,,21)P,

(A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,

则

(A β1, A β2,… ,A β n )=(n βββ,...,,21)AP P 1-.

2.基本结论

(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ,则存在唯一A )(V L ∈,使得A n i i i ,,2,1,)( ==βα.

(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后,将V 的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。

(3) 同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的;反之,若两个矩阵相似,则它们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.

(4) 若在线性空间V 的一个基n ααα,,,21 下,线性变换A 对应的矩阵为A ,向量α的坐标为),,,(21n x x x ,则 A 的秩=秩(A ),A (α)的坐标

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y 2121. 三、特征值与特征向量

1.基本概念

(1)特征多项式

设线性变换A 在V 的一组基n ααα,,,21 下的矩阵为A , 则

||)1()(||)(12211A a a a A E f n n nn n -+++++-=-=- λλλλ

称为A 的特征多项式.(的根就是A 的全部特征根).

设λ1,λ2,…,λn 是f (λ)的全部根, 则

)(λf n n n n n n λλλλλλλλλλλλλλ 2112121)1()()())((-+++++-=---=-. 由大多项式相等, 得

Tr(A)= n nn a a a λλλ+++=+++ 212211,

n A λλλ 21||=.

(2)线性变换(或矩阵)的特征值与特征向量:

若A α=λα, α≠0, 则λ称为A 的特征根(特征值), α称为A 的属于特征值λ的特征向量.

(3)化零多项式

设g(λ)是一个多项式,使得g(A )=0(g(A )=0),则g(λ)称为A (A)的化零多项式.

(4)最小多项式---化零多项式中次数最低者.

(5)特征子空间---A 的属于某一个特征值的全部特征向量作成的集合: |{0V V ∈=αλ A }λαα=.

2.基本结论: