中考数学压轴题：特殊四边形存在性问题

探究特殊四边形存在性问题

1．如图，抛物线y ＝x 2－2x －3经过点A （2，－3），与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝3OB .

(1)求点B ，C 的坐标；

(2)若点D 在y 轴上，且∠BDO ＝∠BAC ，求点D 的坐标；

(3)若点M 为抛物线上一点，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标，若不存在，请说明理由．

第1题图

解：(1)令x ＝0得y ＝－3，

∴C (0，－3)，

∴OC ＝3，

∵OC ＝3OB ，

∴OB ＝1，

∴B (－1，0)，

把A (2，－3)，B (－1，0)分别代入y ＝ax 2＋bx －3得：

⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝04a ＋2b －3＝－3，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3；

(2)如解图①，过点B 作BE ⊥ AC ，交AC 延长线于点E .

第1题解图①

∵C (0，－3)，A (2，－3)，

∴AC ∥x 轴，

∴BE ＝3，

又∵OB ＝1，

∴AE ＝3，∴AE ＝BE ，

∴∠BAE＝45°，

∵∠BDO＝∠BAC＝45°，

∴OB＝OD，

∴D点的坐标为(0，1)或(0，－1)，

(3)存在．如解图②.

第2题解图②

当AB∥MN时，由AB＝MN＝32，可知点M与对称轴的距离为3，由y＝x2－2x－3可得对称轴为直线x＝1，

∴点M的横坐标为4或－2，把x＝4和－2分别代入y＝x2－2x－3可得点M坐标，

把x＝－2代入y＝x2－2x－3得y＝4＋4－3＝5，

∴M1(－2，5)．

把x＝4代入y＝x2－2x－3得y＝16－8－3＝5，

∴M2(4，5)，

当MN与AB互相平分时，四边形AMBN是平行四边形，由AC＝BN＝2，可知点M与点C重合，∴点M3坐标为(0，－3)，

∴M的坐标为(－2，5)或(0，－3)或(4，5)．

2．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标；

(3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E，是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．

第2题图

解：(1)设抛物线解析式为：y＝a(x－1)2＋4(a≠0)．

∵抛物线过点C(0，3)，

∴a＋4＝3，∴a＝－1.

∴y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3；

(2)由(1)得，抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，

令y ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，

∴A (－1，0)，B (3，0)，

∵C (0，3)，∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，

∵S △BCP ＝S △BCQ ，

∴点P 、Q 到BC 的距离相等．

①当点P 、Q 位于BC 的同侧时，如解图①，过点P 作PQ ∥BC 交抛物线于Q ，

又∵P (1，4)，

∴直线PQ 的解析式为y ＝－x ＋5，

联立⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋5，y ＝－x 2＋2x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝4(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2y 2

＝3， ∴Q 1(2，3)．

第2题解图①

②当点P 、Q 位于BC 的异侧时，设抛物线的对称轴交BC 于点G ，交x 轴于点H ，∴G (1，2)， ∵此时点P 、H 到BC 的距离相等，∴H (1，0)，

∴PG ＝GH ＝2，

如解图①，过点H 作Q 2Q 3∥BC 交抛物线于点Q 2，Q 3.

直线Q 2Q 3的解析式为

y ＝－x ＋1，

联立⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝－x 2＋2x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3＋172y 1＝－1－172，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3－172y 2＝－1＋172， ∴Q 2(3－172，－1＋172)，Q 3(3＋172，－1－172

)． 综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(2，3)或(3－172，－1＋172)或(3＋172，－1－172

)；

第2题解图②

(3)存在满足条件的M ，N .

如解图②，过点M 作MF ∥y 轴，过点N 作NF ∥x 轴交MF 于点F ，过点N 作NH ∥y 轴交BC 于点H .则△MNF 与△NEH 都是等腰直角三角形．

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的解析式为y ＝－x ＋b .

∵⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b ，y ＝－x 2＋2x ＋3， ∴x 2－3x ＋(b －3)＝0.

∴NF 2＝|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝21－4b .

∵△MNF 为等腰直角三角形，

∴MN 2＝2NF 2＝42－8b .

∵直线MN 与y 轴交点(0，b )到点C (0，3)的距离为|b －3|，

∴NH 2＝(b －3)2，

∵NE ＝22

NH ， ∴NE 2＝12

(b －3)2. 如果四边形MNED 为正方形，

∴NE 2＝MN 2，

∴42－8b ＝12

(b 2－6b ＋9)． ∴b 2＋10b －75＝0，

∴b 1＝－15，b 2＝5.

∵正方形边长为MN ＝42－8b ，

∴MN ＝92或2，

∴正方形MNED 的边长为92或 2.