场论_4
第01章 场论
1.2 场的概念
显然，标量场 u 的等值面方程为 u = u ( x, y, z ) = C，C 为常数。C 取 不同的数值，就得到不同的等值面。如图所 示，当 C 遍取所有可能的值时，这组等值面 就充满标量场所在的空间，且两两互不相交。 这是因为，在每点 M 0 ( x0, y0 , z0 ) 都有一个等值 面 u ( x, y, z ) = u ( x0, y0 , z0 ) 通过，由于函数 u 是单 值的，所以一个点只能在一个等值面上。在 二维空间中，等值面退化为等值线。若按固定的差值 ∆C ，取一 系列常数 C，则可得到一系列场值等差的等值面(线)。这样这些 等值面(线)的疏密程度就反映了物理量变化的快慢，如等高线。
ˆ ˆ ˆ 同方向的单位矢量称为坐标矢量，如直角坐标系下的 x、y、z。这
ˆ ˆ ˆ 样，上面的矢量 A 可写成： Α = Ax x + Ay y + Az z
二、点积与叉积 1. 点积(或称标量积、内积) 设矢量 A 与 B 方向的夹角为
θ ∈ [ 0, π ]，则 A 与 B 的点积为：
Α ⋅ Β = A B cos θ
当 A、B 均不为0时，若 A × B = 0，则 A∥B (判断平行)
1.1 引言
三、常用矢量
ˆ 1. 曲线、曲面上任意一点处的法向单位矢量一般用 n 表示，切向
单位矢量一般用 tˆ 表示。 2. 矢径：起始于原点，终止于任意点 M(x,y,z) 的矢量定义为 M点 的矢径，记为 r ，则有：
ˆ ˆ ˆ r = xx + yy + zz， | r |= r = x 2 + y 2 + z 2
cos β、cos γ 称为方向余弦。
所以有： Ax = A cos α，Ay = A cos β，Az = A cos γ
《物理场论》矢量场基本定理
算子
'
x'
ex
y '
ey
z
'
ez
，是对源点坐标微分，
积分是对源点坐标积分。
5、亥姆霍兹定理
证明：利用反证法，
设在无界空间有两个矢量函数
F
和
G
，有相同的
散度和旋度，即，
F G
F G
设
F
G
，令，
F
G
4、唯一性定理
定理描述：设 A 为定义在空间区域V内的一个矢
量场，S表示区域V内的边界闭合曲面。若在区域
V内
A
的散度
A
、旋度
A
以及在边界S上
A
的
切向分量
A（t 或
A
的法向
An 分 量 ） 已给 定 ， 则 矢
量场 A在V内将被唯一地确定。
证明：利用反证法， 假V内设散在度区相域同V内 同A1时 存在A2、两旋个度矢相量同场A1A和1 A2，A2 以在
区域V内存在一个标量函数
u
，使得
A
u，代
入（1）式，可以得到：
A u 2u 0
((u)2 u2u)dV (uu) dS
V
S
(u)2 dV (uu) dS
V
S
（3） （4） （5）
4、唯一性定理
矢量 A在边界面S上的切向分量为
《物理场论》第1篇：物理场论基础
第4节 矢量场基本定理
张元中
矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
习題1 解答1.写出下列曲线的矢長方程，并说明它们規何种曲线。
(1)x=“cos/,y =bsinf(2)x = 3sln/,j = 4sinf,z = 3cos/解：(l)F=“cos〃+"siii{/,其图形是xOy平面上之椭圆。
(2) r = 3sinri +4sin//+ 3coszAr ,其图形是平面4x - 3j = 0 与圆柱面X2+Z2=32之交线，为一椭圆。
2.设有定圆O与动圆C ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点A/ 所描曲线的矢■方程。
解：设M点的矢径为OM ^r^xi + yj ,厶OC = 8,页7与兀轴的夹角为28—希；因OM =OC + CM^r = xi+yj = 2«cos^ + 2«sin^+acos(2&—7r)j +asin(2^—/r)j则x = 2a cos 0-a cos 28, y = 2a sin& - a sin2&・故r =(加cos&-acos2&” + (2«sin&-asin2&)</4.求曲线x = r,j = /2,z = |z3的一个切向单位矢。
2 2 , 解：曲线的矢長方程为f=ti + t j + ~( k则其切向矢長为^ = i + 2tj + 2t2k模为I —-1= J1 + 4/2 + 4严=1 + 2/2 'dtdr dr i + 2(/ + 2t 2k 于是切向单位矢長为示/ I莎'= i +2八—6・求曲线x=asin t,y=asln2t,z=acost,在心二处的一个切向矢1L4解：曲线矢星方程为r=a sin2+«sin2(/^acostkdr7 •求曲线x=t 2 +l,y=4t-3.z = 2t 2 -6t 在对应于f = 2的点M 处的切线方程和 法平面方程。
4、现代物理学对于统一场论研究的基本思路
4、现代物理学对于统一场论研究的基本思路1968 年，一个重大的历史时刻提前一个世纪到来了，意大利物理学家维尼基亚诺随手翻阅了一本数学书，找到了数学家欧拉于1771 年研究过的一条函数，他把它应用到“雷吉轨迹”的问题做了计算，结果发现它能很好地描述核子中许多强相对作用力的效应。
不久，南部阳一郎、萨思金和尼尔森三人分别证明了维尼基亚诺模型在描述粒子的时候，它等效于描述一根一维的“弦”。
这是量子研究的一个重大突破。
量子向来只被看成是粒或点，现在却被描述成为一根“弦”了。
这个偶然的发现把量子的研究步伐推进了一个世纪。
因按正常的科研步伐，这个问题要到21 世纪中叶才可能发现。
到了1984年，施瓦茨和格林取得了一个伟大的突破，也是第一次超弦革命。
他们对量子弦的描述图像是：任何粒子其实都不是传统意义上的点，而是开放或闭合（头尾相接而成环）的弦，它有十维，其中六维蜷缩在大一点的另一头，人类只能感知四维，这四维就是我们的生活时空。
1995 年爱德华·威顿完善了超弦的理论。
这时，爱因斯坦的统一场论又出现新的转机。
如果人们能找出控制超弦的那种最终的力，统一场论就能成立。
最近20年来统一场论的研究主要有四条道路：第一条道路即所谓的“弦论”。
大约在公元前387年，希腊哲学家柏拉图认为，几何学研究是通向认识宇宙本质的道路。
卡拉比猜想是在1954年召开的国际数学家大会上，意大利几何学家卡拉比提出：在封闭的空间中，有无可能存在没有物质分布的引力场。
这就是著名的卡拉比猜想。
卡拉比认为自己的猜想是正确的，但是，包括他自己在内，没有人能证实。
然而，几乎所有的数学家都认为，卡拉比是错的，包括年轻的丘成桐在内。
在1973年初，丘成桐花了相当多的时间，证明卡拉比猜想是错的；几个月后丘成桐认为自己最终得出了卡拉比猜想是错误的证明时，一个有顶级几何学家参加的大型会议1973年8月在斯坦福大学召开，丘成桐就将自己的想法告诉了卡拉比。
(完整版)矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
4习题 1 解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1 x acost, y bsint2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost解： 1 r a costi bsin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。
2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ， 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面222x 2 z 2 32 之交线，为一椭圆。
2．设有定圆 O 与动圆 c ，半径均为 a ，动圆在定圆外相切而滚动， 所描曲线的矢量方程。
uuuur解：设 M 点的矢径为 OM rxi yj ， AOC与 x 轴的夹角为uuuur uuur ；因 OM OC uuuurCM 有r xi yj 2acosi 2asin j acos 2 asin 2则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acosacos2 )i (2asinasin2 )j4．求曲线 x t,y2,z 2t 3的一个切向单位矢量解：曲线的矢量方程为ti tdr则其切向矢量为 dt2t j模为|d d r t| 1 4t 24t 4dr 于是切向单位矢量为dt/ | d drt6．求曲线 x asin 2t,y23t 3k2t 2k2t2tj 2t 2k21 2t 2asin 2t,z acost,在 t处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 r asin2ti asin2tjacostk求动圆上一定点 Mdr asin2ti 2acos2tj asintk dt7. 求曲线 x t 2法平面方程。
解：由题意得 在 t 2 的点 dr dt t 4ai a 2k 22 1, y 4t 3,z 2t 2 6t M (5,5, 4), 曲线矢量方程为 rM 处，切向矢量 dr dt [2tit2在对应于t(t 21)i2 的点 M 处的切线方程和(4t 3)j(2t 26t)k ,4j (4t 6)k] t24i 4j 2kx5于是切线方程为4,即z4于是法平面方程为 2(x5) 2(y 5) (z 4) 0 ，即2x 2y16 0解：曲线切向矢量为dr i dt2tj 3t 2k ， ⑴平面的法矢量为 n i2j k ，由题知ni2tj 3t 2k i 2j k 1 4t 3t 2 0得 t 1,1。
场论一些基本知识
在下面的公式中，r = xi + yj + zk 为矢径，r = r = x 2 + y 2 + z 2 是 r 的模，r = r r 是 单位矢径， f ( u ) 是 u 的复合函数。
两个矢量的数积(或称点积)
A 、 B 两矢量，夹角为 θ (≤ π ) ，其数积或点积定义为 Ai B = A B cos θ = Ax BxБайду номын сангаас+ Ay By + Az Bz
(A-1)
两矢量的数积中，既可将 B cos θ 看成是矢量 B 在 A 上的投影，也可将
A cos θ 看成是矢量 A 在 B 上的投影，因此，若 A 、 B 两大量相互垂直则必然有
ε ijk
上式表示 ε123 = ε 231 = ε 312 = 1 ， ε132 = ε 213 = ε 321 = −1 ，其余分量为 0。由此可知， ε ijk 中任 意两个自由指标对换，对应分量相差一个负号，如 ε132 = −ε123 故 ε ijk 称为置换符号。
二、哈密尔顿算子、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算子
2.三种常见坐标系
柱坐标系、球坐标系及其速度分量 (a) 柱坐标系；(b) 球坐标系
1) x − y − z 直角坐标系 三个正交坐标轴的方向为 q1 = x, q2 = y, q3 = z 拉梅系数 h1 = h2 = h3 = 1
x, y, z 三个坐标方向的单位矢量为 e1 = i , e2 = j , e3 = k
速度矢量 v = vR eR + vθ eθ + vϕ eϕ
三、矢量与场论的基本定义与公式
A.1 矢量运算基本公式
直 角 坐 标 系 下 ， 任 意 矢 量 A 表 示 为 A = Ax i + Ay j + Az k ， 矢 量 A 的 模 为
矢量分析与场论第四版_谢树艺习题答案
4i 4 j 12k,
4i 4 j 12k 方向的方向导数最大
M
176 4 11 。
1 2 1 3 ( x y 2 ) 中 u 0, ,1, ,2 的等值线，并画出场在 M 1 ( 2, 2 ) 与点 2 2 2
M 2 ( 3, 7 ) 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：
2 ；因 OM OC CM 有
r xi yj 2a cos i 2a sin j a cos 2 i a sin 2 j
则
x 2a cos a cos 2 , y 2a sin a sin 2 .
M
2 xi xy 2 j 3 z 4 k
M
4i 3k ，其方向余弦为
cos
4 3 , cos 0, cos . 5 5
在点 M ( 2,0,1) 处有
u u u 2 xz 3 4, 4 yz 0, 3 x 2 z 2 2 y 2 12, x y z
x2 y2 2．求数量场 u 经过点 M 1,1, 2 的等值面方程。 z
解：经过点 M 1,1, 2 等值面方程为
ux Βιβλιοθήκη y 2 12 12 1， z 2
2 2
即 z x y ，是除去原点的旋转抛物面。 3．已知数量场 u xy ，求场中与直线 x 2 y 4 0 相切的等值线方程。 解：设切点为 x0 , y0 ，等值面方程为 xy c x0 y0 ，因相切，则斜率为
面 Ax By Cz D 0 平行的空间。
2 场所在的空间区域是除原点以外的 z 2 x 2 y 2 的点所组成的空间部分。
场论。数学方法简介
力
学
01:51:28
1.4散度
宇
下面介绍矢量场散度的概念:
航
推 进
首先定义矢量a通过面S的通量,有以下几种表示方法
系
----
a dS a nds ands
流
S
S
S
体
y
n
力 学
ax cos(n, i ) ay cos(n, j) az cos(n, k ) ds dz
S
dy
axdydz aydzdx azdxdy
----
宇 第一章.数学方法简介
航 推 进 系
—矢量分析与场论
流 体 力 学
矢量分析与场论内容
宇 航
❖ 1.1 矢量运算
推 进
❖ 1.2 场的概念
系
❖ 1.3 梯度
----
❖ 1.4 散度
流 体
❖ 1.5 旋度
力 学
❖ 1.6 哈密尔顿算子
❖ 1.7 拉普拉斯算子与调和场
01:51:24
1.1矢量运算
系
化率最大？最大变化率是多少呢？
----
流
❖ 从方向导数的表达式可以看到，方向s的方向余弦
体
表示了所取的方向，而三个偏导数则由数量场唯一
力
确在定直。角坐标系中方向导数的表达式为:
学
cos(s, i ) cos(s, j) cos(s, k )
s x
y
z
x
i
y
j
z
k
cos(s,i )i
宇 航
❖ 混合积
推
进 系
a（b ca)（bc (ac)ba)c（(ab(cbc) a)bc (ca ab)
(完整word版)量子场论讲义1-4
第一章 预备知识§1 粒子和场以现有的实验水平,确认能够以自由状态存在的各种最小物质，统称为粒子。
电子、光子、中子、质子等是最早认识的一批粒子，陆续发现了大量的粒子、介子和共振态，粒子的数目达数百种,它们是物质存在的一种形式.场是物质存在的另一种形式,这种形式主要特征在于场是弥散于全空间的，全空间充满着各种不同的场,它们互相渗透和相互作用着。
按量子场论观点，每一种粒子对应一种场,场的激发表现为粒子的出现,不同激发态表现为粒子的数目和状态不同，场的退激发，表现为粒子的湮沒.场的相互作用可以引起激发态的改变，表现为粒子的各种反应过程，也就是说场是物质存在的更基本的形式，粒子只是场处于激发态时的表现. 1。
四种相互作用目前已确定的粒子之间的相互作用有四种，即在经典物理中人们早已认识到了的引力相互作用和电磁相互作用，以及在原子核物理的研究中才逐步了解的强相互作用和弱相互作用。
四种相互作用的比较见表1。
1表1.1 四种相互作用的比较 1510- 1810-介子 胶子Z W W -+π＋ p ν p电磁相互作用的强度是以精确结构常数2317.2973104137.036e cαπ-===⨯来表征的，可以同时参与四种相互作用的粒子（例如质子p ）为代表，通过典型的反应过程的比较研究,确定各种作用强度的大小。
2. 粒子的属性不同粒子有不同的内禀属性，这些属性不因粒子产生的来源和运动状态而改变。
最重要的属性有:质量m ，粒子的质量是指静止质量，以能量为单位，它和能量E 和动量→P 的关系为42222c m c p E =-电量Q ，粒子的电荷是量子化的,电荷的最小单位是质子的电荷。
自旋S,粒子的自旋为整数或半整数,如π介子的自旋为0，电子的自旋为1/2 ，矢量介子的自旋为1。
平均寿命τ，粒子从产生到衰变为其它粒子所经历的时间称为粒子的寿命。
由于粒子的寿命不是完全确定值，具一定的几率分布，如果0N 个相同粒子进行衰变，经过时间t 后还剩下N 个，则teN N τ10-=，式中τ即为粒子的平均寿命。
《物理场论》弹性波的反射和透射
从能量角度看，能流反射系数：
RP
RS
( A')2 A
( B )2 VS A VP
cos cos
自由界面反射
当 0 时（垂直入射），A’ A, B 0
若用标量位和矢量位表示波场：
u
y
;w
y
联立解得弹性横波在自由界面上的弹性位移反射系数：
反射横波：
B' B
VS2 VS2
sin sin
2 2
sin sin
2 2
VP2 VP2
cos2 cos2
2 2
反射纵波：
A B
VS2
2VPVS sin 2 cos sin 2 sin 2 VP2
2
cos2
2
第2节 弹性波在介质分界面上的反射和透射
cos
)
Bei
(
k
'' x
x
''t
)
0
(10)
该方程对于x，t的任意值均成立，则只能是：
' '',
kx
k
' x
kx'' ,
即
sin sin ' sin
VP
VP
VS
则有：
'
sin
sin
VP VS
（Snell定律）
数学分析22.4场论初步(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分4 场论初步一、场的概念概念：若对全空间或其中某一区域V 中每一点M ，都有一个数量(或向量)与之对应，则称V 上给定了一个数量场(或向量场).温度场和密度场都是数量场. 若数量函数u(x,y,z)的偏导数不同时为0, 则满足方程u(x,y,z)=c(常数)的所有点通常是一个曲面.曲面上函数u 都取同一个值时，称为等值面，如温度场中的等温面.重力场和速度场都是向量场. 设向量函数A(x,y,z)在三坐标轴上投影分别为：P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), 则A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)), 其中P , Q, R 为定义区域上的数量函数，且有连续偏导数.设向量场中的曲线L 上每点M 处的切线方向都与向量函数A 在该点的方向一致，即P dx =Q dy =Rdz, 则称曲线L 为向量场A 的向量场线. 如, 电力线、磁力线等都是向量场线.二、梯度场概念：梯度是由数量函数u(x,y,z)定义的向量函数grad u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 且grad u 的方向是使lu∂∂达到最大值的方向, 其大小为u 在这个方向上的方向导数. 所以可定义数量场u 在点M 处的梯度grad u 为在M 处最大的方向导数的方向，及大小为在M 处最大方向导数值的向量. 因为方向导数的定义与坐标系的选取无关，所以梯度定义也与坐标系选取无关. 由梯度给出的向量场，称为梯度场. 又数量场u(x,y,z)的等值面u(x,y,z)=c 的法线方向为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, 所以 grad u 的方向与等值面正交, 即等值面法线方向. 引进符号向量： ▽=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ,,. 将之视为运算符号时, grad u=▽u.基本性质：若u,v 是数量函数, 则 1、▽(u+v)=▽u+▽v ；2、▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v. 特别地▽u 2=2u(▽u)；3、若r=(x,y,z), φ=φ(x,y,z), 则d φ=dr ▽φ；4、若f=f(u), u=u(x,y,z), 则▽f=f ’(u)▽u ；5、若f=f(u 1,u 2,…,u n ), u i =u i (x,y,z) (i=1,2,…,n), 则▽f=i ni iu u f∑=∇∂∂1. 证：1、▽(u+v)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂+∂∂+∂∂+∂z v u y v u x v u )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v z u y v y u x v x u ,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,=▽u+▽v. 2、▽(uv)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z uv y uv x uv )(,)(,)(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂z v u v z u y v u v y u x v u v x u ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v u y v u x v u,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂v z u v y u v x u ,,=u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z v y v x v ,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,v=u(▽v)+(▽u)v. 当u=v 时，有▽u 2=▽(uv)=u(▽v)+(▽u)v =2u(▽u).3、∵dr=dx+dy+dz, ▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴dr ▽φ=(dx+dy+dz)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=dz z dy y dx x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ=d φ. 4、∵▽f=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,, 又▽u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u ,,, f ’(u)=du df, ∴f ’(u)▽u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u y u x u du df ,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z u du df y u du df x u du df ,,=▽f. 5、▽f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z f y f x f ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∑∑∑===n i i i n i i i n i i i z u u f y u u f x u u f 111,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ni i i i i i i z u u f y u u f x u u f 1,,=∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂n i i i i iz u y u x u u f1,,=i n i iu u f∑=∇∂∂1.例1：设质量为m 的质点位于原点, 质量为1的质点位于M(x,y,z), 记OM=r=222z y x ++, 求rm的梯度. 解：rm∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛-r z r y r x r m ,,2.注：若以r 0表示OM 上的单位向量，则有r m∇=02r rm -, 表示两质点间引力方向朝着原点, 大小是与质量的乘积成正比, 与两点间的距离的平方成反比. 这说明引力场是数量函数r m 的梯度场. 所以称rm为引力势.三、散度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义数量函数D(x,y,z)=zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂, 则 称D 为向量函数A 在(x,y,z)处的散度，记作D(x,y,z)=div A(x,y,z).设n 0=(cos α, cos β, cos γ)为曲面的单位法向量, 则=n 0dS 就称为曲面的面积元素向量. 于是得高斯公式的向量形式：⎰⎰⎰VdivAdV =⎰⎰⋅SdS A .在V 中任取一点M 0, 对⎰⎰⎰VdivAdV 应用中值定理,得⎰⎰⎰VdivAdV =div A(M*)·△V=⎰⎰⋅SdS A , 其中M*为V 中某一点，于是有div A(M*)=VdSA S∆⋅⎰⎰. 令V 收缩到点M 0(记为V →M 0) 则M*→M 0, 因此div A(M 0)=VdSA SM V ∆⋅⎰⎰→0lim.因⎰⎰⋅SdS A 和△V 都与坐标系选取无关，所以散度与坐标系选取无关.由向量场A 的散度div A 构成的数量场，称为散度场.其物理意义：div A(M 0)是流量对体积V 的变化率，并称它为A 在点M 0的流量密度.若div A(M 0)>0, 说明在每一单位时间内有一定数量的流体流出这一点，则称这一点为源.反之，若div A(M 0)<0, 说明流体在这一点被吸收，则称这点为汇. 若向量场A 中每一点皆有div A=0, 则称A 为无源场.向量场A 的散度的向量形式为：div A=▽·A.基本性质：1、若u,v 是向量函数, 则▽·(u+v)=▽·u+▽·v ； 2、若φ是数量函数, F 是向量函数, 则▽·(φF)=φ▽·F+F ·▽φ；3、若φ=φ(x,y,z)是一数量函数, 则▽·▽φ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)), 则▽·(u+v)=zR R y Q Q x P P ∂+∂+∂+∂+∂+∂)()()(212121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P z R y Q x P 222111=▽·u+▽·v. 2、▽·(φF)=z R y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂)()()(ϕϕϕ=zR z R y Q y Q x P x P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ =φ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P +(P ,Q,R)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ϕϕϕ=φ▽·F+F ·▽φ. 3、∵▽φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,, ∴▽·▽φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z z y y x x ϕϕϕ=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕ.注：算符▽的内积▽·▽常记作△=▽·▽=222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂，称为拉普拉斯算符, 于是有▽·▽φ=△φ.例2：求例1中引力场F=⎪⎭⎫⎝⎛-r z r y r x r m,,2所产生的散度场.解：∵r 2=x 2+y 2+z 2, ∴F=3222)(z y x m ++-(x,y,z),▽·F=-m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂333r z z r y y r x x =0.注：由例2知，引力场内每一点处的散度都为0(除原点处外).四、旋度场概念：设A(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为空间区域V 上的向量函数, 对V 上每一点(x,y,z), 定义向量函数F(x,y,z)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,, 称之为向量函数A 在(x,y,z)处的旋度, 记作rot A.设(cos α,cos β,cos γ)是曲线L 的正向上的单位切线向量t 0的方向余弦, 向量ds =(cos α,cos β,cos γ)ds= t 0dl 称为弧长元素向量. 于是有 斯托克斯公式的向量形式：⎰⎰SdS rotA ·=⎰Lds A ·.向量函数A 的旋度rot A 所定义的向量场，称为旋度场.在流量问题中，称⎰L A ·为沿闭曲线L 的环流量. 表示流速为A 的不可压缩流体在单位时间内沿曲线L 的流体总量，反映了流体沿L 时的旋转强弱程度. 当rot A=0时，沿任意封闭曲线的环流量为0，即流体流动时不成旋涡，这时称向量场A 为无旋场.注：旋度与坐标系的选择无关. 在场V 中任意取一点M 0,通过M 0作平面π垂直于曲面S 的法向量n 0, 且在π上围绕M 0作任一封闭曲线L, 记L 所围区域为D ，则有⎰⎰SrotA ·=⎰⎰DdS n rotA 0·=⎰LA ·. 又由中值定理有 ⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 其中 μ(D)为区域D 的面积, M*为D 中的某一点. ∴(rotA ·n 0)M*=)(·D A Lμ⎰.当D 收缩到点M 0(记作D →M 0)时, 有M*→M 0, 即有 (rotA ·n 0)0M =)(·limD A LMD μ⎰→ .左边为rot A 在法线方向上的投影，即为旋度的另一种定义形式. 右边的极限与坐标系的选取无关，所以rot A 与坐标系选取无关.物理意义：⎰⎰DdS n rotA 0·=(rotA ·n 0)M*μ(D)=⎰LA ·, 表明向量场在曲面边界线上的切线投影对弧长的曲线积分等于向量场旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分. 即流体的速度场的旋度的法线投影在曲面上对面积的曲面积分等于流体在曲面边界上的环流量.刚体旋转问题：设一刚体以角速度ω绕某轴旋转，则角速度向量ω方向沿着旋转轴，其指向与旋转方向的关系符合右手法则，即右手拇指指向角速度ω的方向，其它四指指向旋转方向. 若取定旋转轴上一点O 作为原点，则刚体上任一点P 的线速度v 可表示为v=ω×r, 其中r=OP 是P 的径向量. 设P 的坐标为(x,y,z),便有r=(x,y,z),设ω(ωx ,ωy ,ωz ), ∴v=(ωy z-ωz y,ωz x-ωx z,ωx y-ωy x), ∴rot v=(2ωx ,2ωy ,2ωz )=2ω或ω=21rot v.即线速度向量v 的旋度除去21, 就是旋转的角速度向量ω. 也即 v 的旋度与角速度向量ω成正比.基本性质：rot A=▽×A. 1、若u,v 是向量函数, 则 (1)▽×(u+v)=▽×u+▽×v ；(2)▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u ； (3)▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v)；(4)▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v.2、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则▽×(φA)=φ(▽×A)+▽φ×A.3、若φ是数量函数, A 是向量函数, 则 (1)▽·(▽×A)=0, ▽×▽φ=0,(2)▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.证：1、记u(P 1(x,y,z),Q 1(x,y,z),R 1(x,y,z)), v(P 2(x,y,z),Q 2(x,y,z),R 2(x,y,z)),则(1)▽×(u+v)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂∂+∂-∂+∂yP P xQ Q xR R zP P zQ Q yR R )()(,)()(,)()(212121212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,,=▽×u+▽×v. (2)∵▽(u ·v)=▽(P 1P 2+Q 1Q 2+R 1R 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂++∂∂++∂∂++∂z R R Q Q P P y R R Q Q P P x R R Q Q P P )(,)(,)(212121212121212121 = ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂,122112211221x RR x R R x Q Q x Q Q x P P x P P,122112211221y RR y R R y Q Q y Q Q y P P y P P ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z R R z R R z Q Q z Q Q z P P z P P 122112211221.又u ×(▽×v)=u ×⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q yR 222222,, = ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,21212121xRR z P R y P Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 2121212121212121,. v ×(▽×u)= ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂-∂∂,12121212xR R zP R yP Q xQ Q ⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂z Q Q y R Q x R P z P P x R P z P P y P R x Q R 1212121212121212,. (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q x P 111v =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q x P P 212121212121212121,,(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; ∴▽(u ·v)=u ×(▽×v)+v ×(▽×u)+(u ·▽)v+(v ·▽)u. (3)∵▽·(u ×v)=▽·(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2) =zP Q Q P y R P P R xQ R R Q ∂-∂+∂-∂+∂-∂)()()(212121212121=y P R y R P y R P y P R x R Q x Q R x Q R x R Q ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂+∂∂1221122112211221zQP z P Q z P Q z Q P ∂∂-∂∂-∂∂+∂∂+12211221.又v ·(▽×u)=v ·⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR 111111,,=yP R xQ R xR Q zP Q zQ P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂121212121212;u ·(▽×v)=yPR x Q R x R Q z P Q z Q P yR P ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂212121212121;∴▽·(u ×v)=v ·(▽×u)-u ·(▽×v).(4)∵▽×(u ×v)=▽×(Q 1R 2-R 1Q 2,R 1P 2-P 1R 2,P 1Q 2-Q 1P 2)=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂∂-∂-∂-∂y Q R R Q x R P P R x P Q Q P z Q R R Q z R P P R y P Q Q P )()(,)()(,)()(212121212121212121212121= ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂,1221122112211221zP R zR P zR P zP R yQ P yP Q yP Q yQ P,1221122112211221x QP x P Q x P Q x Q P z R Q z Q R z Q R z R Q ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-∂∂-∂∂-∂∂+∂∂y R Q y Q R y Q R y R Q x P R x R P x R P x P R 1221122112211221; 又(v ·▽)u=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yR Q xR P zQ R yQ Q xQ P zP R yP Q xP P 121212121212121212,,; (u ·▽)v=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y R Q x R P z Q R y Q Q x Q P z P R y P Q xP P 212121212121212121,,;(▽·v)u=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R y Q xP 222u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R y Q R x P R z R Q y Q Q x P Q z R P y Q P xP P 212121212121212121,,; (▽·u)v=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂z R R yQ R xP R zR Q yQ Q xP Q zR P yQ P xP P 121212121212121212,,; ∴▽×(u ×v)=(v ·▽)u-(u ·▽)v+(▽·v)u-(▽·u)v. 2、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则▽×(φA)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ xR zP zQ yR )()(,)()(,)()(ϕϕϕϕϕϕ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂∂∂-∂∂-∂∂+∂∂P yyP Q xxQ R xxR P zzP Q zzQ R yyR ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ,,=φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂P yQ xR xP zQ zR yϕϕϕϕϕϕ,,=φ(▽×A)+▽φ×A.3、记φ=φ(x,y,z), A=A(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 则(1)▽·(▽×A)=▽·⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂y P x Q z x R z P y z Q y R x=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y P z x Q z x R y z P y z Q x y R x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂z Q x x Q z y P z z P y x R y y R x =0. ▽×▽φ=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂z y x ϕϕϕ,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x y y x z x x z y z z y ϕϕϕϕϕϕ,,=0. (2)▽×(▽×A)=▽×⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P xQ x R zP z Q yR ,,= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂∂∂z Q y R y x R z P x y P x Q x z Q y R z x R z P z y P x Q y ,, =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂z y Q y R x R z x P y x P x Q z Q y z R x z R z P y P x y Q 222222222222222222,,; 又▽(▽·A)=▽⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z R yQ xP=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂z R y Q x P z z R y Q x P y z R y Q x P x ,,, =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂∂∂∂∂+∂+∂∂∂∂∂∂+∂∂∂+∂∂222222222222,,z R y z Q x z P z y R y Q x y P x z R y x Q x P ; ▽2A=△A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂222222222222222222,,z R y R x R z Q y Q x Q z P y P x P ;∴▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A =▽(▽·A)-△A.五、管量场与有势场概念：对无源场A ，即div A=0，由高斯公式知，此时沿任何闭曲面的曲面积分都为0，这样的向量场称为管量场. 因为 在向量场A 中作一向量管，即由向量线围成的管状曲面， 用断面S 1, S 2截它，以S 3表示所截出的管的表面，即得到 由S 1, S 2, S 3围成的封闭曲面S ，于是有⎰⎰⋅SdS A =⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A +⎰⎰⋅外侧3S dS A =0. 又由向量线与曲面S 3的法线正交知,⎰⎰⋅外侧3S dS A =0.∴⎰⎰⋅外侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A =0, 即⎰⎰⋅内侧1S dS A +⎰⎰⋅外侧2S dS A . 等式说明，流体通过向量管的任意断面流量相同,∴称场A 为管量场. 如例2，由梯度rm ∇所成的引力场F 是管量场.概念：对无旋场A ，即rot A=0，由斯托克斯公式知，这时在空间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于0，该向量场称为有势场. 因为当rot A=0时，由定理22.7推得此时空间曲线积分与路线无关, 且有u(x,y,z), 使得du=Pdx+Qdy+Rdz, 即grad u=(P ,Q,R), u 称为势函数. 所以，若向量场A 的旋度为0，则必存在某势函数u ，使得grad u=A. 这也是一个向量场是某个数量场的梯度场的充要条件. 例1中引力势u=r m 就是势函数. ∴▽u=F=-⎪⎭⎫⎝⎛r z r y r x r m ,,2. 又▽×▽u ≡0, ∴▽×F=0, 它也是引力场F 是有势场的充要条件.若向量场A 既是管量场，又是有势场，则称其为调和场.例2中的引力场F 就是调和场. 若A 是一个调和场，则必有 ▽·A=0, ▽u=A. 显然▽·▽u=▽2u=△u=0, 即必有势函数u 满足222222z uy u x u ∂∂+∂∂+∂∂=0, 这时称函数u 为调和函数. 习题1、若r=222z y x ++, 计算▽r, ▽r 2, ▽r1, ▽f(r), ▽r n (n ≥3). 解：∵x r ∂∂=r x , y r ∂∂=r y , z r ∂∂=r z, ∴▽r=⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=r1(x,y,z); 记u=r 2=x 2+y 2+z 2, ∵x u ∂∂=2x, y u ∂∂=2y, zu ∂∂=2z, ∴▽r 2=▽u=2(x,y,z);记v=r1, ∵x v ∂∂=-3r x , y v ∂∂=-3r y , z v∂∂=-3rz , ∴▽r 1=▽v=31r -(x,y,z);∵x f ∂∂=f ’(r)r x , y f ∂∂=f ’(r)ry , z f∂∂=f ’(r)r z , ∴▽f(r)=f ’(r)r 1(x,y,z); ∴▽r n =nr n-1⎪⎭⎫ ⎝⎛r z r y r x ,,=nr n-2(x,y,z), (n ≥3).2、求u=x 2+2y 2+3z 2+2xy-4x+2y-4z 在O(0,0,0), A(1,1,1), B(-1,-1,-1)处的梯度，并求梯度为0的点. 解：∵x u ∂∂=2x+2y-4, y u ∂∂=4y+2x+2, zu∂∂=6z-4,∴在O(0,0,0), grad u=(-4,2,-4); 在A(1,1,1), grad u=(0,8,2); 在B(-1,-1,-1), grad u=(-8,-4,-10);又由2x+2y-4=0, 4y+2x+2=0, 6z-4=0, 解得x=5, y=-3, z=32, ∴在(5,-3,32), |grad u|=0.3、证明梯度的基本性质1~5. 证：见梯度的基本性质.4、计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)A=(y 2+z 2,z 2+x 2,x 2+y 2)；(2)A=(x 2yz,xy 2z,xyz 2)；(3)A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++xy z zx y yz x . 解：(1)∵P=y 2+z 2, Q=z 2+x 2, R=x 2+y 2； ∴div A=x ∂∂(y 2+z 2)+y ∂∂(z 2+x 2)+z ∂∂(x 2+y 2)=0；又y ∂∂(x 2+y 2)-z ∂∂(z 2+x 2)=2y-2z; z ∂∂(y 2+z 2)-x∂∂(x 2+y 2)=2z-2x; x∂∂(z 2+x 2)-y ∂∂(y 2+z 2)=2x-2y. ∴rot A=2(y-z,z-x,x-y).(2)∵P=x 2yz, Q=xy 2z, R=xyz 2； ∴div A=x ∂∂(x 2yz)+y ∂∂(xy 2z)+z∂∂(xyz 2)=6xyz ；又y ∂∂(xyz 2)-z ∂∂(xy 2z)=x(z 2-y 2); z ∂∂(x 2yz)-x∂∂(xyz 2)=y(x 2-z 2); x∂∂(xy 2z)-y ∂∂(x 2yz)=z(y 2-x 2). ∴rot A=(x(z 2-y 2),y(x 2-z 2),z(y 2-x 2)).(3)A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++xy z zx y yz x . ∵P=yz x , Q=zxy, R=xy z ；∴div A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z z =xyzx yz 111++； 又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z y -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y z =22xy z xz y -; ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂xy z x =22yz x y x z-; ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂zx y x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂yz x y =z x y z y x 22-. ∴rot A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---x y y x z x x z y z z y xyz 222222,,1.5、证明散度的基本性质1~3. 证：见散度的基本性质.6、证明旋度的基本性质1~3. 证：见旋度的基本性质.7、证明：场A=(yz(2x+y+z),zx(x+2y+z),xy(x+y+2z))是有势场并求其势函数.证：P=yz(2x+y+z), Q=zx(x+2y+z), R=xy(x+y+2z),y ∂∂[xy(x+y+2z)]-z∂∂[zx(x+2y+z)]=x 2+2xy+2xz-x 2-2xy-2xz=0; z ∂∂[yz(2x+y+z)]-x∂∂[xy(x+y+2z)]=2xy+y 2+2yz-2xy-y 2-2yz=0; x∂∂[zx(x+2y+z)]-y ∂∂[yz(2x+y+z)]=2xz+2yz+z 2-2xz-2yz-z 2=0.∴对空间任一点(x,y,z)都有rot A=(0,0,0)=0i+0j+0k=0, ∴A 是有势场. 由d[xyz(x+y+z)]=yz(2x+y+z)dx+xz(x+2y+z)dy+xy(x+y+2z)dz 知， 其势函数为u(x,y,z)=xyz(x+y+z)+C.8、若流体流速A=(x 2,y 2,z 2), 求单位时间内穿过81球面x 2+y 2+z 2=1, x>0,y>0,z>0的流量.解：设S 为所给81球面，S 1, S 2, S 3分别是S 在三个坐标面上的投影, 则 所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0+⎰⎰⋅11S dS n A +⎰⎰⋅22S dS n A +⎰⎰⋅33S dS n A =⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛球体81V divAdV=⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(2=⎰⎰⎰++103202sin )cos sin sin cos (sin 2dr r d d ϕϕθϕθϕϕθππ=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2021)sin (cos 421πθθθπd =83π.注：其中n 0, n 1, n 2, n 3分别是S, S 1, S 2, S 3的单位法矢，显然有A|n i (i=1,2,3)，∴A ·n i =0，从而⎰⎰⋅iS i dS n A =0 (i=1,2,3), 于是所求流量为：⎰⎰⋅SdS n A 0=83π.9、设流速A=(-y,x,c) (c 为常数)，求环流量： (1)沿圆周x 2+y 2 =1, z=0；(2)沿圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0.解：(1)圆周x 2+y 2 =1, z=0的向径r 适合方程r=costi+sintj+0k(0≤t ≤2π). ∵A ·dr=(-sinti+costj+ck)·(-sinti+costj+0k)dt=dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰π20dt =2π.(2)圆周(x-2)2+y 2 =1, z=0的向径r=(2+cost)i+sintj+0k (0≤t ≤2π); ∵A ·dr=[-sinti+(2+cost)j+ck]·(-sinti+costj+0k)dt=(2cost+1)dt, ∴所环流量为⎰⋅c dr A =⎰+π20)1cos 2(dt t =2π.。
chap_4_3-4
由交换更大质量（770 MeV/c2~1000MeV/c2） 的矢量介子，还可以得到核心附近（r<1fm） 核子势的性质。结果是在核心附近可能产生很 强的排斥作用，即核子-核子势函数可能存在 排斥芯。 单玻色子交换势函数中的耦合常数g要由核 子-核子散射实验来确定，因此介子场论仍是 半唯象的。现在，对于表示核子-核子势长程 部分的VOPEP已经比较肯定，由VOPEP得到的结 论能和大量的实验结果相符。目前应用的唯象 核子-核子势函数的尾巴（长程部分）具有 VOPEP的形式。 核力的介子场论依然是一种唯象的理论。后 面我们会看到，从根本上理解核力，还离不开 夸克-胶子间强相互作用的概念。 习 题 4-1．两质子相距2fm，分别计算它们的库仑能和万有引力势能。 4-2．如果rN＝2fm，试由（4.1-13）式定出球形直角势阱的深度V0。 4-3．3H和3He的结合能之差是多少？如果用库仑能来解释这一差值，估算质子在 3He中的平均距离是多大？ 4-4．试证明（4.1-27）式与（4.1-26）式是等价的。
§4.3.3. 核力的主要性质
核力主要性质是： （1）核力是短程力，其有效力程小于 3fm。 （2）核力和自旋有关，并且具有相当大的交换力成分。 （3）自旋平行的三重态相互作用中还包括非中心力(方向相关)和自旋-轨道 耦合力(动量相关力)的作用。 （4）核力有排斥芯，即当两核子的距离小于 0.4fm 时有很强的排斥势，阻 止两核子继续接近。 （5）核力近似地具有电荷无关性质，即当两核于处于相同的自旋和宇称 态时，其核作用势相同，不管这两个核子是 np，pp 还是 nn。
四元数,矢量运算规矩,场论基础,...
四元数quaternions复数对四则运算,代数运算,极限自封.四元数是复数的扩展.四元数有四个单元:k ,j ,i ,1.四元数定义dk cj bi a +++=α,其中Rd ,c ,b ,a ∈另一四元数R 'd ,'c ,'b ,'a ,k 'd j 'c i 'b 'a ∈+++=β,则四元数加减法定义对应分量相加减;四元数乘法定义为)k 'd j 'c i 'b 'a )(dk cj bi a (++++++=αβk )'cb 'bc 'da 'ad (j )'bd 'db 'ca 'ac (i )'dc 'cd 'ba 'ab ()'dd 'cc 'bb 'aa (-+++-+++-+++---=四元数的单元间的运算规则: jik ki ,i kj jk ,k ji ij ,1k j i 222=-==-==-=-===四元数加法适合结合律,交换律;,即)()(βγαγαβ=而一般βααβ≠.(βααβα=⇒∈R )对实数有效的运算规则对复数总有效,不总有效,(如上述的乘法的交换律)！！！四元数的共轭: dk cj bi a :---=α,若dk cj bi a +++=α 性质:αβαβ=四元数的迹: R a 2:)(S ∈=+=ααα 性质: )(S )(S )(S βαβα+=+四元数的模: R d c b a :)(N 2222∈+++==ααα性质: )(N )(N )(N βααβ⋅=,0)(N 0=⇔=αα证明: 0,oder ,00==⇒=βααβ00)(N 00)(N 00,und ,0=⇒⎭⎬⎫≠⇒≠=⇒=⇒≠=βααβαααβαααβ,即00,und ,0=⇒≠=βααβ,同理00,,0=⇒≠=αβαβund证明:若α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根,则α也是其根.因为,α是方程0)(N )(S x 2=+-αα的根0)()(2=++-⇒ααααα⇒=++-⇒0)()(2αααααα也是其根)四元数域内二次方程一般不止两个根,如最简单的方程1x 2-=就最少存在k ,j ,i ±±±6个根,实际上1x 2-=有无穷多个根,因为使1r q p 222=++成立的实数r ,q ,p 有无穷多个,而1)r q p ()rk qj pi (2222-=++-=++Halmiton 四元素体;第一个非交换体,1843 年 W.R.Hamilton 为建立三维复数空间,把复数x+iy 作为有序偶的实数,并定义规则,使i 在有明确意义: 4阶实方阵集H 内方阵型如⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------a b c d b a d c c d a b d c b a ,令⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110011010011001011001101111K ;J ,E ,I ,则集H 内任意方阵可唯一表为dK cJ bE aI +++,即}R d ,c ,b ,a |dK cJ bE aI {H ∈+++=,H 对矩阵减法封闭;且I K J E -===222,;J KE ,E JK ,K EJ ===J EK ,E KJ ,K JE -=-=-=,矩阵乘法在H 内封闭,故H 对矩阵加,乘法构成环;H 的元素个数>1;I 是H 的单位元,又因I )d c b a ()dK cJ bE aI )(dK cJ bE aI (2222+++=---+++,且当0≠+++dK cJ bE aI 时,d ,c ,b ,a 不全为零,故02222>+++d c b a ,所以H 中非零元在H 内存在逆元,综上所述H 是非交换体,常称H 为四元数环,称H 内的元为四元数Quaterion : t+xi+yj+zk,其中t为数量部分/纯量部分,xi+yj+zk 为向量部分.四元数系构成了以实数域为系数域的有限维可除代数,是向量代数和向量分析基础.矢量运算规则两矢的内积:)b ,a cos(|b ||a |b a ∧=⋅ R V ,V → 两矢的外积: )b ,a sin(|b ||a ||b a |∧=⨯, b ,a )b a ( ⊥⨯ V)V ,V (→ 物理意义: b ,a 两矢内积是功; b ,a 两矢外积的模是以b ,a 两矢的为边平行四边形的面积. 故内积可交换,外积可反交换外积和内积的关系:)b ,a (sin |b ||a |))b ,a (cos 1(|b ||a |)b a (|b ||a ||b a |2222222222∧∧=-=⋅-=⨯ 即)b ,a sin(|b ||a ||b a |∧=⨯ 推论 22b a b b a a )b a ()b a (;b a )b a ()b a (-=⋅-⋅=+⋅-⨯=+⨯- 四元数和两重积间的联系:两四元数k a j a i a 321++=α,k b j b i b 321++=β;两矢量)a ,a ,a (a 321=,)b ,b ,b (b 321= 间关系βα↔↔b ,a两矢内积和四元数间的关系:两量积)Re()Re()(21)(21b a αββαβαβααββα-==+=+=⋅,即两矢内积b ,a 对应于四元数βα的实部.两矢外积和四元数间的关系:矢量内积)Im()Re()(21b a αβαβαβαβαβ=-=-=⨯ ,即两矢外积b a ⨯对应于四元数αβ的非实部.两矢内积,外积和四元数间的关系:αβ=⋅-⨯b a b a三矢内积)c b (a c )b a (:]c ,b ,a [⨯⋅≡⋅⨯=,R V ,V ,V → 物理意义: c ,b ,a 三矢的内积是以c ,b ,a 三矢为边的平行六面体的体积性质:b )c a (a )b c (c )a b (b )a c (a )c b (c )b a (⋅⨯-=⋅⨯-=⋅⨯-=⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯推论:0]q c ,p b ,r a []p c ,r b ,q a []r c ,q b ,p a [=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯2]c ,b ,a []a c ,c b ,b a [ =⨯⨯⨯ 三矢外积c )b a ()c a (b )c b (a⋅-⋅=⨯⨯V )V ,V ,V (→c)b a (b )c a (c c c )b a b a b a (b b b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a (c )b a b a b a (b )c a c a c a ()c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a )c b c b (a c b c b c b c b c b c b a a a )c b (a 321332211321332211333221133322112332211233221113322111332211233223113112211233233113312212122131132332321⋅-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++++-++++-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯ 推论0)b a (c )a c (b )c b (a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯四矢内积:)c b )(d a ()d b )(c a (db c b d a c a )d c ()b a (⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⨯⋅⨯ R)V ,V ,V ,V (→)c b )(d a ()d b )(c a (a )d )c b (c )d b ((a ))d c (b ()d c ()b a (三矢外积三矢内积⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅=⋅⨯⨯=⨯⋅⨯四矢外积:a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [)d c ()b a (-=-=⨯⨯⨯ V)V ,V ,V ,V (→a ]b ,d ,c [b ]a ,d ,c [a )b )d c ((b )a )d c (()d c ()b a (;d ]c ,b ,a [c ]d ,b ,a [d )c )b a ((c )d )b a (()d c ()b a (三矢外积三矢外积-=⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯-=⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯推论c ]c ,b ,a []d ,b ,a [b ]c ,b ,a []c ,d ,a [a ]c ,b ,a []c ,b ,d [d 0]c ,b ,a [ ++=→≠ )d a )(c b ()c a )(d b ()}d c (b {a ⨯⋅-⨯⋅=⨯⨯⨯流线 等X 面/线 通量 环流量 散度 旋度 方向导数 梯度为形象描述矢量场)z ,y ,x (f 定义)z ,y ,x (f的流线f . 为形象描述标量场)z ,y ,x (ϕ定义)z ,y ,x (ϕ的等X 面/线.S d 为开/闭有向曲面S 上一面元,矢量f 在面元S d上的元通量S d f d f ⋅=Φ,面积分得矢量场)z ,y ,x (f 在曲面S 上的通量(标)⎰⋅=ΦS f S d f l d 为开/闭有向曲线l 上一面元,矢量f 在线元l d 上的元环量l d f d f⋅=Θ,线积分得矢量场)z ,y ,x (f 在曲线l 上的环量(标)⎰⋅=Θlf l d f 矢量场)z ,y ,x (f的散度(标):描述有源场源/汇强度. 正/负/零散度对应于源/汇/无源无汇闭合曲面S 包围体积V ∆,0V →∆时f 在S 上的通量与V ∆比的极限称为矢量场)z ,y ,x (f 的散度V/S d f lim f div S 0V ∆⋅=⎰→∆矢量场)z ,y ,x (f的旋度(矢):描述有旋场旋涡强度和旋涡法矢方向. 旋度的法向分量的模的大小顺比于涡旋场旋涡程度. 闭合曲线l 包围有向曲面S ∆,0S |S |→∆=∆ 时f 在l 上的环量与S ∆的比的极限称为矢量场)z ,y ,x (f 的旋度fr o t 沿S∆法向的分量S /l d f lim )f rot (l 0S n ∆⋅=⎰→∆ 等效于0S →∆时S )f rot (l d f ∆⋅=⋅⎰标量场)z ,y ,x (ϕ的梯度(矢):描述标量场各点空间变化率及方向.某场点的梯度的方向是标量场变化最快的方向,其模是标量场单位长度的变化率.场)z ,y ,x (ϕ沿l d 向改变ϕd ,称dl d ϕ为ϕ沿l d 向的方向导数,dl d ϕ等于ϕ的梯度的l d 向分量ld )grad (d dl d )grad (l⋅=⇔=ϕϕϕϕ积分变换公式Gauss 定律: ⎰⎰∂⋅=⋅∇V V dS f n dV f(f 的散度对体积V 体积分 ←转换→ f 对V 的包面的闭面积分)Stokes 定律: ⎰⎰∂⋅=⋅⨯∇SS l d f dS n )f ((f 对有向曲线S ∂的闭线积分 ←转换→ f 的旋度对以S ∂为边的有向曲面S 的面积分)Green 恒等式:⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂=⋅∇=⋅∇=∇⋅∇=∇+∇⋅∇V V V VV2dS n dS n )(S d )(dV )(dV )(ψφψφψφψφψφψφ(n ∂∂:外法线方向导数)Green 定理:⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂∂-∂∂=⋅∇-∇=⋅∇-∇=∇-∇⋅∇=∇-∇V V V V V22dS )n n (dS n )ˆˆ(S d )ˆˆ(dV )ˆˆ(ˆdV )ˆˆ(φψψφφψψφφψψφφψψφφψψφ ⎰⎰⨯∇=⨯∂V V dV A A S d (⎰⎰⎰⎰⎰⎰⨯∇⋅=⨯⋅⇔⨯∇⋅=⨯⋅∇=⨯⋅=⨯⋅∂∂∂VV V V V V dV )A (C )A S d (C dV )A (C dV )C A ()C A (S d )A S d (C) ⎰⎰∇=∂V V dV S d ψψ (⎰⎰⎰⎰⎰⎰∇⋅=⋅⇔∇⋅=⋅∇=⋅=⋅∂∂∂V V V V V V dV C )S d (C dV C dV )C (S d C )S d (C ψψψψψψ )⎰⎰∂=∇⨯SSl d S dψψ(⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂⋅=⋅∇⨯⇔⋅=⋅⨯∇=⋅⨯∇=⋅∇⨯SSSSSSl d C C )S d (l d C S d )C (S d )C (C )S d (ψψψψψψ)并矢 及其运算标量是零阶张量,矢量是一阶张量,二阶三维张量借助于直角坐标转动矩阵定义:矢量i T 在坐标架转动满足变换关系i mi m T R T =,坐标转动矩阵miR 即二阶张量.二阶张量ij T 满足变换关系ij nj mi mn T R R T =.由两矢B A ,并列放置且之间无运算则构成并矢B A,含9个分量,记为j i B A ,由于i A 和j B 分别满足:i mi m A R A =,j nj m B R B =,故并矢B A满足j i nj mi B A R R B A = ,故并矢是二阶张量的一种形式,显然三个矢量的并矢具有三阶张量的变换关系.()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=≡><≡⊗≡z z z z z z y y y y y y x x x x x x z y x z y x v v g f g f g f g f g f g f g f g f g f g g g f f f g f g f g f g f || ,单位并矢(单位二阶张量)ij ij kk jj ii r δ=I =++=∇=I,性质:X X X =⋅I =I ⋅;(X 为矢量或算符); 2:∇=∇∇ I ; ϕϕ∇=⋅∇)(I ; )(:T Spur T T I ii ==; g f g f I ⋅=:;并矢-矢量点乘区分左右:右点乘p g f p g f )(⋅=⋅;左点乘)(f p g f p g ⋅=⋅,这样,三矢外积可用并矢表示)()(p g g p f p g f-⋅=⨯⨯ 两二阶张量B A ,间的双点乘:ji ij B A B A = :(或))(()(:)(q f p g q p g f⋅⋅=)双点乘得到的标量是两矩阵积的迹.并矢的微分运算要注意是对那个张量进行的,一般需加括号.g f f g g f)()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇g f g f g f)()()(∇⨯-⨯∇=⨯∇f r f r r f ⋅+⋅∇=⋅∇2)(22f r f r f +⋅∇=⋅∇)()(f r r f r r f r r f++⋅∇=⋅∇)()( ⎰⎰⎰∂∂⋅I =I ⋅=I ⋅∇VV V S d dS n dV⎰⎰∂I ⨯=I ⨯∇VV dS n dV⎰⎰∂=∇V V dS f n dV f⎰⎰∂⋅=⋅∇VVS d g f dV g f)()(根据以上矢量运算定理,可把Gauss 定理⎰⎰∂=∇V V n S d dV 和Stokes 定理⎰⎰∂=∇⨯S S l d n dS的运算推广到对标量,矢量,张量的各种运算∇算符具有:矢量性和算符性.∇对矢量左/右/点/叉乘不可交换,矢量运算规则也适于∇,但需调整∇在结果中的位置,使等式左右量同型. f )g (g )f ()g f ( ⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ (第一式点和叉换位,取正;第二式交换第一式中的两矢量次序,取负)f )f ()f (2 ∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇ (按c )b a ()c a (b )c b (a⋅-⋅=⨯⨯写结果,再调整次序,使右端得矢量)ψϕϕψϕψ∇+∇=∇ )( f f )()f ( ⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕf f )()f (⨯∇+⨯∇=⨯∇ϕϕϕ 2f 21f )f ()f f (f )f (f )f (∇-⋅∇=⋅∇-⋅∇=⨯⨯∇]g )f ()f (g []f )g ()g (f [)g f ( ∇⋅+⋅∇-∇⋅+⋅∇=⨯⨯∇)f (g )g (f f )g (g )f ()g f (⨯∇⨯+⨯∇⨯+∇⋅+∇⋅=⋅∇3r =⋅∇ ; I r r=⊗∇≡∇; r e r r r ==∇;0e r r =⨯∇=⨯∇; r 2e r =⋅∇ 2r 3re r r r 1 -=-=∇re dr df r ˆdr df )r (f ˆ =∇=∇⎩⎨⎧=∞≠=-=-∇=-∇=∇)0(,)0(,0)(4ˆˆ1ˆ232r r r r e r r r rπδ Coulomb 定理的微分式:Green 函数|'r r |141)'r ,r (G ),r (4re ˆ02r-==∇πεπδ 标量场的梯度场无旋0)(≡∇⨯∇ϕ无旋场必可表为一标量场的梯度ϕ∇=⇒=⨯∇f 0f 矢量场的旋度场无源0)f (≡⨯∇⋅∇涡旋场必可表为一矢量场的旋度Af 0f⨯∇=⇒=⋅∇a ,0E ,k为常矢a r )a ()r a ( =∇⋅=⋅∇r r a r a ⋅=∇⋅ r a ]e )e a (a [r 1e )a (r r r ⊥=⋅-=∇⋅ 533r r )r a (3r a r r )a ( ⋅-=∇⋅ 0a )r (r )a ()r a (=⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ a 2r )a ()r (a )a (r a )r ()r a ()r a ()r a (r a=∇⋅-⋅∇+⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇+⨯⨯∇=⨯⨯∇5333333r r )r a (3r a a )r r ()a (r r r r )a ()r r (a )r r a ( ⋅-=∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇0a )r r (r r )a ()r r a (333=⋅⨯∇-⋅⨯∇=⨯⋅∇ 35333333ra r )r a (3r r )a (a )r r ()a (r r r r )a ()r r (a )r r a ( -⋅=∇⋅-=∇⋅+⋅∇-∇⋅-⋅∇=⨯⨯∇33r r a )r r (a r 1a ⋅-=-⋅=∇⋅ r k i 0e E E ⋅=:E k i E ⋅=⋅∇; Ek i )k i (e E )]r k i (e [E e E )e E (E r k i 0r k i 0r k i 0r k i 0⨯=⨯-=⋅∇⨯-=⨯∇-=⨯∇=⨯∇⋅⋅⋅⋅ 场量的Taylor 展开其中1:=⋅=r r r r e e I e e 故r r e e I r r I r r :'':''22==.T aylor 展开:...)(...'...''!)(...)(''!)('|'|,...,,+∂∂∂∂-++∂∂∂+∂∂-=-∑∑∑kj i k j i nk j i n ji j i j i ii i rx x x x x x n r x x x x r x x r r r 111211112 其中k j i ,...,,取1,2,3; i x 代表直角坐标系的三个分量,注意:1 上式是对'r 展开; 2 对'r 的展开和对'r的展开相差一个负号.曲线正交坐标系(Krummlinigen Koordinaten)三维空间里确定一点P 的位置需3个坐标321u ,u ,u .若P 点坐标在直角坐标系中表为)u ,u ,u (z ),u ,u ,u (y y ),u ,u ,u (x x 321321321===,则)z ,y ,x (u u ),z ,y ,x (u u ),z ,y ,x (u u 332211===,两坐标系等价.=i u 常数)3,2,1i (=的曲面是坐标面,他们的单位法向矢量为)3,2,1i (,e i =,其指向为iu 增加的方向.当过P 点的三坐标曲面两两垂直时,三坐标面的三交线也两两垂直,称此类坐标系为正交曲线坐标系.正交条件)j i (,0)u z )(u z ()u y )(u y ()u x )(u x (h ji j i j i 2ij≠=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=.由i 31i i i 31i i i 31i i du u z dz ,du u ydy ,du u x dx ∑∑∑===∂∂=∂∂=∂∂=得2222)dz ()dy ()dx ()ds (++=232322222121j,i j i 2ij )du (h )du (h )du (h du du h ++==∑,其中2i 2i 2i 2ii 2i )u z ()u y ()u x (h h ∂∂+∂∂+∂∂==,称)3,2,1i (,h i =为Lame 系数或度量因子.正交曲线坐标系中的Nabla 算符,梯度,散度,旋度和Laplace 算符常见3Delta 函数定义)a (f )x (f )a x (=-δ⎰性质1 偶函数)x ()x (δ=-δ2 采样性)a (f )x (f )a x (=-δ⎰3 函数下的面积⎩⎨⎧∉∈=-δ⎰])b ,c [a (,])b ,c [a (,dx )a x (bc 01; ⎩⎨⎧=∞≠=-δ)a x (,)a x (,)a x (04 缩放 )x (|a |)ax (δ=δ1证明)x (|a |)ax ()a (,|a |dz )z (|a |dz )z ()a (,a dz)z (dx )ax (|a ||a |a a a a δ=δ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<δ=-δ>δ=δ⎰⎰⎰⎰∆∆-∆∆-∆∆-∆∆-1005 若)(x f 为连续函数,且∆为包含a 电的任意长度区间,则a)x (g |)]x ('g /)x (f [dx ]a )x (g [)x (f =∆=-δ⎰证明dy a y g g dx dy x g dx dx x g dy a x g y a y g x a x g y )](['1)('1)(')()()(11+=→⎪⎭⎪⎬⎫=→=→-=+=→-=--若)x (f 为单值连续函数,且有N 个过零点N ,...,,i ,x i 321=,则a x g x g x f a g g a g f dy a y g g y a y g f dx a x g x f =--∆--∆==++=-⎰⎰)(1111|)('1)()](['1)]([)](['1)()]([])([)(δδ 6 复合函数∑-δ=δii i )x x (|x /)x (df |)]x (f [1 证明: )x (f y =单值连续,则)x (f 在每个过零点的邻域内可逆;且)x (g 为任意品优(gutartig)函数,则dy )]y (f ['f 'x dy )x ('f 'x dy )]'y (f ['x )y (f x )x (f y 11111---=→=→=→=→= ⎰∑∑∑∑⎰⎰+∞∞---∆+∆---+∞∞--δ===δ=δi i i i i i ii x x dx )x x (|)x ('f |)x (g |)x ('f |)x (g )](f ['f )](f [g dy )]y (f ['f ]y [)]y (f [g dx )]x (f [)x (g i i1101011111 被积函数须相等,再由)x (g 的任意性,得∑-δ=δii i )x x (|x /)x (df |)]x (f [16 导数x)a x (:)a x ('∂-δ∂=-δ则)a ('f dx )a x (')x (f -=-δ⎰∆ 证明)a ('f dx )x ('f )a x ()x (df )a x (|)]a x ()x (f [)a x (d )x (f dx )a x (')x (f =-δ-=-δ--δ=-δ=-δ⎰⎰⎰⎰∆∆=+∆-∆∆∆ 07)a (f )(dx )a x ()x (f )n (n )n (1-=-δ⎰∆ 证明)a (f )(dx )x (f )a x ()(dx )x (f )a x ()(...dx )x (''f )a x ()x ('df )a x (|)]a x ()x ('f [)a x (d )x ('f dx )x ('f )a x ()x (df )a x (|)]a x ()x (f [)a x (d )x (f dx )a x ()x (f )n (n )n (n )m ()m n (m )n ()n ()n ()n ()n ()n ()n ()n ()n (1112202211011-=-δ-=-δ-==-δ=-δ+-δ-=-δ-=-δ-=-δ--δ=-δ=-δ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆∆-∆-∆-=+∆-∆-∆-∆-∆-=+∆-∆-∆-∆⎰∆=-=-δa )x (g |]})x ('g )x (f [dx d )x ('g {dx ]a )x (g [')x (f 1 三维δ函数⎩⎨⎧=≠=-δ-δ-δ=-δ)r r (,)r r (,)z z ()y y ()x x ()r r (0000001曲线系下的三维δ函数3213020103020100h h h )u u ()u u ()u u (|)u ,x (J |)u u ()u u ()u u ()r r (i i -δ-δ-δ=-δ-δ-δ=-δ ,(其中)u ,x (J i i 为Jacobi 行列式)柱坐标系下)z z ()()()r r (00001-δϕ-ϕδρ-ρδρ=-δ球坐标系下)()()r r (sin r )r r (000201ϕ-ϕδθ-θδ-δθ=-δ注意:n 维δ函数的量纲为n m -,即n-米δ函数的逼近钟形曲线: 2201xa a lim )x (a +π=δ→Gauss 曲线;)x n exp(n lim )x (n 220π-=δ→sinc 函数:)kx (c sin k lim x kx sin lim )x (k k π=π=δ∞→∞→1sinc 函数平方: )kx (c sin k lim kx kxsin lim )x (k k 2221π=π=δ∞→∞→复指函数:⎰⎰+∞∞-+∞∞-π=±π=δdk )kx cos(dk )ikx exp()x (121盒子函数:∑+∞-∞==δn )L /inx exp(L )x (21*********************.cn。
场论-3
u 0 cos ydy 2 x2 yzdz sin y x 2 yz 2
0 0
y
z
2 2 v u sin y x yz 故势函数
不定积分法： 书上 P72
第 五 节 几 种 重 要 的 矢 量
例2
3 2 3 2 2 A 2 xyz i x z j 3 x yz k 证明矢量场
Ax Ay Az divA x y z
j y Ay k rotA z Az
A
（3）矢量积
i A x Ax
G
第 三 章 哈 密 顿 算 子
定义 2
数性微分算子：
A Ax
Ay Az x y z
运算规律
u u u （1） ( A)u A(u) Ax x Ay y Az z B B B ( A ) B A (B) Ax Ay Az （2 ） x y z（ B
S
即
du Pdx Qdy Rdz
2 2 2 div A div ( gradu ) 0 u u u 又 则 u ( x, y, z ) 为调和 xx yy zz 0 ，
函数，称该函数为调和场 A(M ) 的调和函数。
第 五 节 几 种 重 要 的 矢 量
例3
证明矢量场
2 2 2 二阶偏导数连续，并且满足 x2 y 2 z 2 0 ，则称
( x, y, z) 为调和函数，而该方程称为 Laplace 方
2 2 2 程；称 x2 y 2 z 2
为 Laplace 算子。
第 五 节 几 种 重 要 的 矢 量
4、场的正则量子化
§4、场的正则量子化场的量子化的形式与质点系相似。
场函数及正则共轭场函数过渡至算符，不再描写体系的态，而物理的态则由Hilbert 空间的矢量描述。
力学量随时间演化的方程中，以量子Piosson 括号取代经典Piosson 括号：（仍在海森堡绘景中讨论，算符随时间变，而态不变）：][1],[1},{GF FG i G F i G F -≡→（4-1） ],[1H F i F= （4-2） 当F 显含t 时，右边还有一项tF∂∂。
一、电磁场的量子化经典电磁场满足Maxwell 方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇=⋅∇=⋅∇t c c t c E J B BE B E 14104ππρ （4-3） 用四度矢势),(ϕA 表为：J A A A ct c t c t c t c t c πφπρφφ4)1()1(4)1(1)1(222222=∂∂+⋅∇∇-∇-∂∂=∂∂+⋅∇∂∂-∇-∂∂ （4-4） 由电磁场B E,在以下规范变换下χ∇+→A A tc ∂∂+→χϕϕ1 （4-5） 具有不变性。
通常有两种规范 Lorentz 规范01=∂∂+⋅∇tc φA （4-6）此方程具有协不变性，然而与量子化不相容。
Coulomb 规范0=⋅∇A （4-7）此时，虽然矢势方程丧失了Lorentz 协变性，但不影响真正的物理量B E,，而且能很方便的进行量子化。
在Coulomb 规范下，场方程成为ϕππρϕ∇∂∂+=∇-∂∂=∇t c c tc 14)1(422222J A （4-8） 下面考虑自由场：0=ρ，0=J ，因而0=ϕ，于是0)1(2222=∇-∂∂A tc （4-9） A B ⨯∇= tc ∂∂-=AE 1 （4-10） 拉格朗日量⎰∑∂∂-∂∂=})()(1{81222ij ji x A t c d L A x π （4-11） A 的共轭场量i i ii E c A c A πππ41412-==∂∂=（4-12） 相应的Hamilton 函数)(81})(812{22222B E d x A c d H ijj i +=∂∂+=⎰⎰∑x x ππππ （4-13） 在量子化以后，),(t x A 成为算符。
22_4 场论初步
第22章
场论初步
一、场的概念 二、梯度场 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场
一、场的概念
•若对全空间或其中某一区域V 中每一点M，都有
一个数量（或向量）与之对应，则称在V上给定了一 个数量场（或向量场）。
数量场 (数性函数) 函数 场
如: 温度场, 电位场等
向量场(矢性函数) 如: 力场,速度场等
( P cos Q cos R cos ) d s
数学分析
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令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
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定义:
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
数学分析
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旋度的力学意义: 设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为 , M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图,则 z
(0, 0, ), r ( x, y, z )
点 M 的线速度为
在场中点 M(x, y, z) 处
A n d S 为向量场 A 通过
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
数学分析
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说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
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2010年9月10日星期五
§4 几种重要的矢量场 单连域与复连域的概念： 一、单连域与复连域的概念：
( 1 ）如果在一个空间区域G内的任何一条简单闭曲线l ，都 可以作出一个以l为边界且全部位于区域G内的曲面 S ，则 称此区域G为线单连域；否则，称为线复连域。例如空心球 体是线单连域，而环面体则为线复连域。 ( 2 ）如果在一个空间区域G内的任一简单闭曲面S所包围的 全部点，都在区域G内（即S内没有洞），则称此区域G为面 单连域；否则，称为面复连域。例如环面体是面单连域， 而空心球体则为面复连域。 有许多空间区域既是线单 连域又是面单连域。例如 实心的球体、椭球体、圆 柱体，平行六面体等等。
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§4 几种重要的矢量场
定理2说明，管形场中穿过同一个矢量管的所有横断面的 通量都相等，即为一常数，称其为此矢量管的强度。 比如在无源的流速场中，流入某个矢量管的流量和从管 内流出的流量是相等的。因此，流体在矢量管内流动，就 如同在真正的管子内流动一样，管形场因而得名。 定理3 定理 在面单连域内矢量场A为管形场的充要条件是：它 为另一个矢量场 B 的旋度场，即 A = rot B ， 满足此式的矢量B，称为矢量场 A 的矢势量。
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§4 几种重要的矢量场
四、调和场 如果在矢量场A中恒有divA = 0 与rot A = 0 ，则称此矢 量场为调和场。调和场是指既无源又无旋的矢量场。 例如位于原点的点电荷q所产生的静电场中，除去点电荷 所在的原点外，有 divD = 0 ， rotD = 0 , 所以，电位移矢量 D 在除去原点外的区域内形成一个调和场。 电场强度 E 在除去原点外的区域内也形成一个调和场。
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§4 几种重要的矢量场
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§4 几种重要的矢量场
不定积分法求有势场的势函数
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§4 几种重要的矢量场
三、管形场 若矢量场A的散度divA=0，则称此矢量场为管形场。 管形场就是无源场，管形场之所以得名，是因它具有如 下的性质。 定理2 定理 设管形场A所在的空间区域为一面单连域，在场中 任取一个矢量管，假定S1与S2是它的任意两个横断面，其法 矢n1与n2都朝向矢量 A 所指的一侧，则有
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§4 几种重要的矢量场 二 、有势场
设有矢量场A(M)，若存在单值函数u(M)满足A=gradu ， 则称此矢量场为有势场；命v=-u ，并称v为这个场的势函 数。易见矢量A与势函数v之间的关系是A＝-gradv。 (l) 有势场是一个梯度场； (2)有势场的势函数有无穷多个，它们之间只相差一个常数。 若 A (M）为有势场，势函数满足 A＝-gradv ，由梯度的 运算法则有-grad(v+C)＝-gradv (C为任意常数），即v+C 亦 为有势场 A ( M ）的势函数，由于 C 为任意常数，故知有 势场 A ( M ）的势函数有无穷多个。 若v1和v2均为矢量场A(M)的势函数，则有gradv1=gradv2， 或 grad(v1-v2)=0，于是有v1-v2=C (C为常数）, 即在有势场中 的任何两个势函数之间，只相差一个常数。 若已知有势场A(M)的一个势函数v(M)，则场的所有势函 数的全体可表示为 ：v (M)+C ( C 为任意常数）。
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§4 几种重要的矢量场
3) 由1)、2)可得 (1) 这就是平面调和场的力函数u与势函数v之间的关系式， 进一步可以得到： (2) 这两个方程都是二维拉普拉斯方程，因此函数u与v均为 满足二维拉普拉斯方程的调和函数。 因二者满足(1)式，故称其为共轭调和函数，并称(1)式 为其共轭调和条件。应用这个条件，就可以从u与v中的一 个求出其另一个来。
§4 几种重要的矢量场
作业 p.82:1、5、11、13；
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§4 几种重要的矢量场
[定理 定理1] 在线单连域内矢量场 为有势场的充要条件是 为 在线单连域内矢量场A为有势场的充要条件是 为有势场的充要条件是A为 定理 无旋场。 无旋场。
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拉普拉斯算子
它是一个微分算子，记号△可读作拉普拉逊(Laplacian) ， △ 引用这个算子方程可简写为 △u = 0，且有 div(gradu)=△u , 其中 △u也叫做调和量（或拉普拉斯式）。 (2)平面调和场 平面调和场是指既无源又无旋的平面矢量场。 设有平面调和场为： 它和空间调和场的概念完全类似；但它又具有某些特殊 的性质：
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场论与复变函数
岳安军
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教学安排及方式
总学时 46 学时，讲课 40 学时，习题课 6 学时
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场
论
§1 场、数量场的方向导数和梯度 §2 矢量场的通量及散度 §3 矢量场的环量及旋度 §4 几种重要的矢量场 §5 哈密顿算子
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§4 几种重要的矢量场
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§4 几种重要的矢量场
例 位于坐标原点的电量为q的点电荷所产生的平面静电场中， 电场强度为
容易证明，除点电荷所在的原点外，电场强度 E 构成一个平 面调和场（即有 divE = 0 和 rotE = 0 ) ，据此，可依次算出 其势函数：
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§4 几种重要的矢量场
力函数为：
从而，场的力线和等势线方程经化简可写为：
这就是电场的电力线和等位线 方程；前者是从原点发出的一 族射线，后者是以原点为中心 的一族同心圆周；显然，这两 族曲线是互相正交的。
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