函数的单调性与导数：课件一(26张PPT).ppt

y 3x 0(当x 0时)
2
在x∈(-∞,0)内
图象是单调下降的. 1 y 2 0 x 在x∈( 0,+∞)内
图象是单调下降的.
1 y 2 0 x
函数的单调性与其导函数正负的关系: 当函数y=f (x)在某个区间内可导时， 如果 f ( x) 0 , 则f (x)为增函数； 如果 f ( x) 0 , 则f (x)为减函数。
o
1
4
x
其图象的大致形状如图。
例2、判断下列函数的单调性，并求出 单调区间： (1) f(x)=x3+3x ; 解： f ( x) =3x2+3=3(x2+1)>0 从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增， 见右图。
o
y
x
f ( x) x3 3x
(2) f(x)=x2-2x-3 ; 解： f ( x) =2x-2=2(x-1)>0 当 f ( x) >0，即x>1时，函数单调递增； 当 f ( x) <0，即x<1时， 函数单调递减； 图象见右图。
-1<x<1时，函数单调递增。
练习2:确定下面函数的单调区间:
f(x)=x/2+sinx;
解: (1)函数的定义域是R, 1 f ( x ) cos x . 2
1 2p 2p 令 cos x 0 ,解得 2kp x 2kp (k Z ). 2 3 3
令
1 cos x 0 2
第三章 导数及其应用
y
3.3.1 函数的单调性与导数
o
x
观察下列图象的单调区间,
并求单调区间相应的导数.
图象是单调上升的.
y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 0
在x∈(-∞,0)内 图象是单调下降的.
y 2 x 0
在x∈( 0,+∞)内 图象是单调上升的.
y 2 x 0
图象是单调上升的.
例1、已知导函数 f ( x ) 的下列信息：
当1<x<4时， f ( x) 0 当x>4,或x<1时， f ( x) 0 当x=4,或x=1时， f ( x) 0 试画出函数f(x)图象的大致形状。
解：由题意可知
y
y f ( x)
当1<x<4时， f(x)为增函数 当x>4,或x<1时， f(x)为减函数 当x=4,或x=1时， 两点为“临界点”
o
1
y
f ( x) x 2 2x 3
x
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
解： f ( x) =cosx-1<0 从而函数f(x)=sinx-x 在x∈(0,p)单调递减， 见右图。
y
o
f ( x) sin x x
x
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ; 解： f ( x) =6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0 当 f ( x) >0，
x 1
故f(x)的递增区间是(1,+∞);
f ( x) 0 由 解得-1<x<1, x 1 0 故f(x)的递减区间是(-1,1).
求函数的单调区间的一般步骤:
(1) 求出函数 f(x)的定义域A； (2) 求出函f(x)数的导数 f ( x) ；
x A (3)不等式组 f ( x ) 0
,解得
2p 4p 2kp x 2kp ( k Z ). 3 3
因此,f(x)的递增区间是:
2p 2p ( 2kp ,2kp )(k Z ); 3 3
递减区间是:
2p 4p ( 2kp ,2kp )(k Z ). 3 3
练习3、确定下面函数的单调区间：
f(x)=x/2-ln(1+x)+1
解:函数的定义域是(-1,+∞),
x 1 10 f ( x) 0 x 由 f ( x) 0即 x) , 0 解得x>1. 2(1 2(1 x ) , 1 0 x x 1 x 1 0
1 1 x 1 f ( x ) . 2 1 x 2(1 x )
即 x 1 17 或x 1 17
2 2
时，
函数单调递增；
当 f ( x) <0，
即 1 17 1 17 时， y x 2 2
函数单调递减； 图象见右图。
o
x
练习1:确定下列函数的单调区间: (1) f(x)=x2-2x+4
x<1时，函数单调递减，
x>1时，函数单调递增。 (2) f(x)=3x-x3 x<-1或x>1时，函数单调递减，
小 结:
函数的单调性与其导函数正负的关系 求函数的单调区间的一般步骤
的解集为f(x)的单调增区间； (4)不等式组 x A
f ( x ) 0
的解集为f(x)的单调减区间；
例3、如图，水以常速(即单位时间内注入 水的体积相同)注入下面四种底面积相同 的容器中，请分别找出与各容器对应的水 的高度h与时间t的函数关系图象。
练习4 如图，直线l和圆c，当l从l0开始在 平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过 90o)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是 时间t的函数，它的图象大致是（ ）。