理论力学第一章习题

第一章习题

细杆OL 绕O 点以角速ω转动，并推动小环C 在固定的钢丝AB 上滑动。图中的d 为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。

解 如题1.4.1图所示，

A B

O

C

L

x

θd 第1.4题图

OL 绕O 点以匀角速度转动，C 在AB 上滑动，因此C 点有一个垂直杆的速度分量

22x d OC v +=⨯=⊥ωω

C 点速度

d

x d d v v v 222

sec sec cos +====⊥⊥ω

θωθθ 又因为ωθ=&所以C 点加速度

θθθω&⋅⋅⋅⋅==tan sec sec 2d dt dv a ()

2

222222tan sec 2d x d x d +=

=ωθθω

矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

-=T t c a 2sin

1π 式中c 及T 为常数，试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初

速度为零。

解 由题可知，变加速度表示为

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

-=T t c a 2sin

1π 由加速度的微分形式我们可知

dt

dv a =

代入得

dt

T t c dv ⎪⎭

⎫ ⎝⎛

-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v

⎰⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=00

2sin 1π

可得 ：

D T

t

c T ct v ++

=2cos

2ππ

（D 为常数）

代入初始条件：0=t 时，0=v ，故

c

T D π

2-

=

即⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos 2T t T t c v ππ 又因为dt

ds v =

所以dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ =ds

对等式两边同时积分，可得：

⎥

⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ

一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为r λ及μθ，式中λ及μ是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+-

r r

r μλμθθμλ,2

22

解 由题可知质点的位矢速度r λ=//v (1)

沿垂直于位矢速度μθ=⊥v (2)

又因为 ， 即 r r λ=& (3)

μθθ==⊥r v &r

μθθ=& (4) 对③求导

(5) 对④求导

θμμθ

θ&

&&&r

r r +

-

=2

(6)

根据课本的推导可知 沿位矢方向加速度

()

2θ

&&&r r a -= （7） 垂直位矢方向加速度

()

θθ&&&&r r a 2+=⊥ （8）

把（3）（4）（5）（6）代入（7）（8）式中可得

r

r a 222

//θμλ-

=

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=⊥r a μλμθ

r r

// v r

r r 2

试自

θθsin ,cos r y r x ==

出发，计算x &&及y &&。并由此推出径向加速度r a 及横向加速度θa 。

解 由题可知

⎩⎨

⎧==θ

θsin cos r y r x ①②

对①求导

θ

θθ&&&sin cos r r x -= ③ 对③求导 θθθθθθθcos sin sin 2cos 2&&&&&&&&&r r r r x ---=

④

对②求导 θθθcos sin &&&r r y +=⑤

对⑤求导 θθθθθθθsin cos cos 2sin 2&&&&&&&&&r r r r y -++=

⑥

对于加速度a ，我们有如下关系见题1.7.1图

题1.7.1图

θθsin cos y x a r &&&&+= ⑾

把④⑥代入 ⑾得

2θ

&&&r r a r -= 同理可得

θθθ&

&&&r r a 2+=

一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米。如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，

2()cos (2)sin x r r r r θθθθθ

=--+&&&&&&&&&即2()sin (2)cos y r r r r θθθθθ=--+&&&&&&&&&即sin cos a x y θθθ

=-+&&&&

且风速为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少？

解 正方形如题1.14.1图。

C

D

3

v

由题可知h km v v /28==风牵设风速B A →,h km v /100=相,当飞机

B A →，h km h km v /128/)28100(1=+= h km h km v D B /96/28100,222=-=→

h km h km v D C /72/)28100(,3=-=→

=→4,v A D h km h km /96/2810022=-

故飞机沿此边长6h km /正方形飞行一周所需总时间

min 16515192499667269661286

==⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++=h h t

2

风

v 相

题1.14.2图

风

v v 题1.14.3图

小船M 被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度朝岸上A 点划回。假定河流速度

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