150508第十三讲：弯曲挠度

1）. EI '' M ( x)
2）.支承条件与连续条件:
（1) 支承条件：





0
F A
0
0; 0

（2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
|x C |x C ， |x C |x C
例2 图示B端作用集中力P的悬臂梁，求其挠曲线方程。
wBq wBB 0
时该系统即为原超静定梁 的相当系统。 若该梁为等截面梁，所得的补充方程为
ql 4 FB l 3 0 8 EI 3EI
从而解得“多余”未知力
3 FB ql 8
固定端的两个约束力利用相 当系统由静力平衡条件求得
5 1 2 FA ql ，M A ql 8 8
刚度条件
max [ ], max Fra Baidu bibliotek [ ]
l l ~ 建筑钢梁的许可挠度： 250 1000 1 机械传动轴的许可转角： 3000
精密机床的许可转角：
1 5000
例7 一简支梁受载如图示，已知许用应力[σ]＝160 MPa，许用挠度
[δ]=l /500，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。
w x F
A
max
x
B w max
l
解：建立坐标系如图
x处弯矩方程为： M ( x) F (l x)
转角和挠曲线方程分别为：
列挠度微分方程并积分两次： EI " M ( x) F ( x l ) Fx 2 EI ' Flx C1 2 Fx3 Flx 2 EI C1 x C2 6 2
x
M ( x) 挠曲线近似微分方程： EI '' M ( x ) EI
3. 积分法求梁的位移曲线
式中C1、C2为积 积分一次 EI ' M ( x)dx C1 EI —转角方程； 分常数，由梁边 界、连续条件确 再积分一次 EI ( M ( x)dx)dx C1 x C2 —挠曲线方程。 定。
M
ω
M
M 0， 0
ω
M
M
M 0， 0
M ( x) EI '' M ( x ) 挠曲线近似微分方程： EI
(2)数学笛卡尔坐标 （本书）
ω ω
M ( x) EI
M
M
M 0， 0
x
M
M
M 0， 0
l/2
B A
B
wBq
例4 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转 角和挠度。
q F 1.在F作用下：
查表： BF Fl 2 Fl 3 , BF 2 EI 3EI
A
C
l/2
l/2
B
F
2.在q作用下：
A
BF
wCq
C
B
wBF
q(l / 2)3 ql 3 查表：Cq 6 EI 48 EI 4 q (l / 2) ql 4 Cq 8EI 128 EI
6-14 6-20 6-22

l/2
q
q
l/2
B 8 EI Ⅱ： l 3 q 2 C 2 B 6 EI
l l q 2 7 ql 4 C 2 B l B 8EI 2 6 EI 384 EI 4 3 l q 2
A
B
l/2
l/2
l/2
3）叠加求和
B3
ql 2l ql 3 3EI 3EI
B B1 B 2 B 3
11ql 3 48 EI
11ql 4 c 1 2 3 384 EI
2）叠加法应用于间断性分布荷载作用的情形
例6 图示悬臂梁，弯曲刚度为EI。梁承受间断性分布荷载，如图所 示。试用叠加法确定自由端的挠度和转角。
p343附录E
例3 求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。
A
x
a C l
F
p343附录E
B b
解： 1、求支反力
FA Fb Fa ； FB l l
FA
FB
AC 段 (0 x1 a )
Fb x1 l Fbx12 C1 EI 1 ' 2l Fbx13 EI 1 C1 x1 D1 6l EI 1 "
q
l/2
（3）叠加
41ql 4 1 2 384
C C1 C 2
7 ql 3 48
3）叠加法应用于外伸梁
P181 fig 6-12
4）叠加法应用于空间弯曲的变形计算
P184 eg 6-11
5）叠加法应用于组合梁计算
P183 eg 6-10
5. 梁的刚度计算
6. 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法
解超静定梁的基本思路与解 拉压超静定问题相同：关键 是找出多余约束。 多余约束：多于维持平衡所 必须的约束。
Eg：图a所示一次超静定梁 以铰支座B为“多余”约束， 以约束力FB为“多余”未知力。 基本静定系 解除“多余”约束后的基本静 定系为A端固定的悬臂梁。
基本静定系在原有均布荷 载q和“多余”未知力FB作 用下(图b)当满足位移相容 条件(参见图c,d)
解: 1. 该系统为一次超 静定问题。 2. 取A处的连接铰 为“多余”约束， 相应的“多余” 未知力为FN。 3. 位移(变形)相容 条件(参见图b) 为wA=lDA。
4. 计算外伸梁变形
wA wAq wAF 7 qa 4 FN a 3 ， EI 12 EI
5. 计算二力杆变形
CB段 ( a x2 l )
Fb x2 F ( x2 a ) l Fbx2 2 F EI 2 ' ( x2 a ) 2 C 2 2l 2 Fbx2 3 F EI 2 ( x2 a )3 C2 x2 D2 6l 6 EI 2 "
x a时， ' '，则 C1 C2 ; ，则 D1 D2 x 0处， 0，得 D1 D2 0; x l处， 0，得 C1 C2 Fb 2 2 (b l ) 6l
'
F ( x 2 2lx) 2 EI
F ( x 3 3lx 2 ) 6 EI
由边界条件决定积分常数：
' |x 0 0 ，得：C1 0； |x 0 0 ，得：C2 0
FL2 x l时， max B 2 EI 3 FL x l时， max B 3EI
lDA
之后可以： 绘制梁内力图； 找出最大弯矩位置和最大剪力位置； 计算危险面的应力分布； 确定危险点； 校核该超静定梁。
FN l EA
6. 代入补充方程：
7 qa 4 FN a 3 FN l 12 EI EI EA 7 qa 4 A FN 12 I l Aa 3
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ql q
A B
ql2
C
l/2
l/2
q
A B
解：1）分解成三种简单荷载单独作用的情形。 2）根据查表结果，确定三种情形下中点C 的挠度和B点的转角。
: 5ql 4 1 384 EI ql 3 B1 24 EI
2
C
l/2
A
ql
l/2
B
C
2
Ⅱ：
l l q l [ l 2 ]3 / 2 ql 4 2 2 48EI 9 3 lE I
AC 段 (0 x a )
CB 段 ( a x l )
1
1 '
Fbx1 2 2 ( x1 l b 2 ) 6 EIl
Fb (3 x12 l 2 b 2 ) 6 EIl
2
Fbx2 F 3 x2 2 l 2 b 2 x2 a 6 EIl 6 EI Fb l 1 [ x2 2 ( x2 a ) 2 (b 2 l 2 )] 2 EIl 3 b
悬臂梁由两根槽钢背靠背(两者之间未作任何固定连接)叠加起来 放置,构成如图示.在载荷作用下,横截面上的正应力分布如图 _________所示. D
I
F
z I-I剖面 z
I
(A)
(B)
(C)
(D)
今天的内容：第六章 梁的变形计算

积分法计算梁的位移 叠加法计算梁的位移 超静定梁


1. 概念
1）梁的 挠曲线 ：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。
2 '
4.叠加法求解梁弯曲位移(6.5)
1 ）叠加法：几个荷载共同作用下梁任意横截面上的位移， 等于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。 2）变形表（p343附录E 梁的挠度和转角）：各种支承下的静 定梁在各种简单荷载下的转角、最大挠度和挠度方程。
q
F
A
BF
wCq
C
F
B
wBF
q
A
C
l/2
2 l 2 l ql l 2 2 ql3 6 lE I 16 EI
l/2
l/2
ql2
B2
ql 2
A
B
C
Ⅲ:
l 2 ql 4 l 2 2 3 l 6lEI 2 16 EI
F=35kN A 2m l=4m 2m B
解： 1、作出梁的弯矩图
得： M max
Fl 35 103 4 35 103 N m 4 4
35 103 4 3 2 . 19 10 m 160 106
M
Fl / 4
2、根据弯曲正应力强度条件，要求
Wz
M max
q
A
B
wBq
ql 3 Bq Cq 48 EI 4 l 7ql Bq Cq Cq 2 384 EI
3.在F和q共同作用下：
B BF Bq B BF Bq
1）叠加法应用于多个荷载作用的情形 例5 图示简支梁，同时承受几种作用荷载。已知梁的弯 曲刚度为EI。试用叠加法求梁中点C的挠度和右端支座B 处的转角。

该超静定梁的剪力图和弯矩图 亦可利用相当系统求得。 讨论： 1.反弯点(弯矩变换 正负号的点)位置； 2.基本静定系可否用其他结 构？Eg 简支梁？
例题8 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和钢杆 的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢梁横 截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。
2. 挠度和转角的近似微分方程
dx
x
A
F x ω
B

y
ds

B1
d
d
1）力学关系： 2）几何关系：
1
M EI

1

1

2 32

平面曲线的曲率
M ( x) M ( x) EI EI
(1)自然（重力）坐标
x x
M ( x) EI
x
A
F x ω
B
y
B1
2）梁位移的度量： ①转角：梁横截面绕中性轴转动的角度，顺时针转动为正 ②挠度：梁横截面形心的竖向位移 ω，向下的挠度为正 ③挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数—
( x)
dx
④转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系— tg d '( x)

3 Fl l 3、梁的刚度条件为： 48EI z 500 2 3 2 500 500 35 10 4 Fl 5 4 由此得 I 2 . 92 10 m z 48 E 48 200 109
由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数Wz＝3.09xl0-4m3 ，惯 性矩Iz=3.40x10-5m4，可见．选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度 要求。
q q
A
l/2
B
a q
l/2
C
A
B
C
l/2
b
q
l/2
A
B
C
A
B
C
l/2
C
l/2
l/2
d
q
l/2
q
解： （1）将间断分布荷载等效转化为有表可查 的荷载形式
A
B
C
（2）分别查表求出自由端的挠度和转角
l/2
A
+
B
l/2
:
C
ql 4 1 8 EI ql 3 C1 6 EI
l q 2 4