8-2多元函数的偏导数

y 的一阶偏导数为
( y
nz ) n 1 x y
3 z x2 y . 的二阶偏导数及 例8 求函数 z e 2 y x z z 2z x2 y x2 y x2 y 2e e 解 e y x x2 2 2 2 z z x2 y x2 y z x2 y 2 e 4 e 2e 2 y x y x y
2z
x2 y 2 2 , x y 0, 4 2 例6 设f ( x , y ) x y 2 2 0 , x y 0, 求f ( x , y )的偏导数.
解 当（x , y） (0,0)时， 有
f x ( x, y)

2 xy( x 4 y 2 ) x 2 y 4 x 3 ( x 4 y 2 )2 2 xy( y 2 x 4 ) ( x 4 y 2 )2
偏导数定义为
x x
x
x
f y ( x, y, z ) ?
f z ( x, y, z ) ?
(请自己写出)
3º 可 (偏 ) 导
若 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处的两个偏导数
f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )均存在，则称f ( x , y )
例4 求 z x 3 x y y 在点(1 , 2) 处的偏导数.
解(方法1) 先求后代
z 2x 3 y , x
z 3x 2 y y
2
2
z x (1, 2) z y (1, 2)
(方法2)
先代后求
z
2 x 6x 4 y2
d z ( x ,2) d ( x 2 6 x 4) z x 1 x 1 d x x ( 1, 2) d x
由此可知： f x ( x0 , y0 ) f x ( x , yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) ( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 ) f y ( x , y ) ( x0 , y0 )
2º 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 例如: 三元函数 u = f (x , y , z) 在点(x , y , z) 处对 x 的
x2 y2 0 x y 0
2 2
f ( x ,0) 0,
f (0, y ) 0,
0 0
注 对于二元函数： 可偏导 连续
二、偏导数的计算
由偏导数的定义可知, 偏导数的计算可归结
为一元函数的导数计算.
f x ( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )
求某个具体 的点处的偏 导数时方便
四、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 z z f x ( x, y) , f y ( x, y) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是
z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同,
有下列四个二阶偏导数:
z 2z z 2z ( ) f x y ( x, y) ( ) 2 f x x ( x , y ); y x x y x x x
x y 0,
2
2
x 2 y 2 0,
x y 0,
2 2
x y 0.
2
2
三、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x , y ) 上一点,
d f ( x , y0 ) tan dx x x0
x x0
P ( x0 , y0 )
x
z 1 x2 y2 , 例7 求曲线 x 1, 在点(1,1, 3 )处的切线与y轴正向的夹角β
解
根据偏导数的几何意义 ,有
z tanβ y
x 1 y 1
2y 2 1 x
2
2 x 1 y y 1
1 3
π 故 β 6
第八章
第二节 多元函数的偏导数
一、 偏导数的概念 二 、偏导数的计算 三 、偏导数的几何意义 四 、高阶偏导数
一、偏导数的概念
1.引例 弦线的振动问题. 研究弦在点 x0 处的振动 速度与加速度 , 就是将 振幅 中的 x 固定
于 x0 处 , 求
关于
t 的一阶导数与二阶导数.
2. 定义8.6 设函数 z f ( x , y )在点 P0 ( x0 , y0 )的
某邻域U ( P0 )内有定义. 若当固定 y在 y0 ,
z f ( x , y0 ) 在 x x0处的导数存在，即
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim x x 0
存在，则称此极限为z f ( x , y )在点 ( x0 , y0 )处 对x 的偏导数，记为
f x ( x0 , y0 )
d f ( x0 , y) tan f y ( x0 , y0 ) y y0 dy
是曲线
z f ( x, y) x x0
z
M 0Ty
z f ( x, y) x x0
M0
y

在点 M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的斜率. o
z
x 1 1
3y y
2
d z (1, y ) z d y y2 y ( 1, 2)
求证 ） ， 例5 设 z x y ( x 0, 且 x 1
x z 1 z 2z y x ln x y
证
1 y x y 1 x z 1 z x ln x yx ln x y y x ln x y
z z x2 y 2 e ( ) y x 2 x y x
注
3
2
2z 2z , 此处 x y y x
但这一结论并不总是成立.
问题：二阶混合偏导数一定都相等吗？不一定！ 例如：f ( x , y )
x2 y2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y2 0
注 1º偏导函数 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x的（或 y )偏导数都存在 , 称该偏导数为 z = f(x, y) 对自变量x (或y)的偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为
z f ( x, y ) , , z y , f y ( x, y) , f2 y y
f (0, Δy ) f (0,0) 0 f y (0,0) lim lim 0. Δy Δy 0 Δy 0 Δy
于是
2 xy( y 2 x 4 ) , 4 2 2 (x y ) f x ( x, y) 0, x2 ( x4 y2 ) , 4 2 2 (x y ) f y ( x, y) 0,
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 )
y 0
y
f z 记为 ; f ( y y ) f ( y ) y ( x0d , yf ); 0 0 0 f ( y0 ) lim y ( x0 , y0 ) y 0 y d y y y0
在点( x0 , y0 )处可(偏)导.
z 是一个整体记号，不能拆分 偏导数 4º x z z x x
例1 一定量理想气体的状态方程 p V T (R 为常数) , 求证: 1 V T p RT p RT 2 , 证 p V V V 说明: 此例表明, RT V R V , 偏导数记号是一个 p T p 整体记号, 不能看作
同理,关于自变量y的偏导数也不存在 .
注 对于二元函数： 可偏导
连续
xy x2 y2 , 例3 设 f ( x , y ) 0,
x2 y2 0 x2 y2 0
,
求 f x (0,0), f y (0,0)，并讨论f ( x , y )在(0,0)处的连续性.
f y ( x, y)
x2( x4 y2 ) x2 y 2 y
( x 4 y 2 )2 2 4 2 x (x y ) . ( x 4 y 2 )2
当( x , y ) (0,0)时， 由偏导数的定义得
f (Δx ,0) f (0,0) 0 f x (0,0) lim lim 0, Δx Δx 0 Δx 0 Δx
例2 证明 : 函数z
x 2 y 2 在(0,0)点连续,
但两个偏导数均不存在 .
证 ε 0, 取δ ε ,
则当 ( x 0) ( y 0)
2 2
x 2 y 2 δ时,
便有

x 2 y 2 02 02
x2 y2 δ ε ,
故函数在点 (0,0)处连续.
f ( x ,0) f (0,0) 解(方法1) f x (0,0) lim x 0 x x0 0 2 lim x 0 0 x 0 x
同理可求得
f y (0,0) 0.

x 0 y kx 0
lim
f ( x, y)
x 0 y kx 0
lim
xy 2 2 x y
2z z z 2z f y x ( x , y ); ( ) 2 f y y ( x , y ) ( ) x y y x y y y
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于
x kx k lim 2 2 x 0 x ( kx) 1 k2
其值随 k 的不同而变化，
xy lim f ( x , y ) lim 2 不存在. 2 x 0 x 0 x y
y 0 y 0
从而 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
xy , 2 2 (方法2) z f ( x , y ) x y , 0
但
f ( x ,0) f (0,0) lim 为分段函数， x x 0
x 0
f ( x ,0)
z
x2 x
lim
x x 0 lim x 0 x x
2
分段点：x 0 故求 f x (0,0)时， o
须用偏导数定义.
y
x
此极限不存在, 故函数在(0,0)点处关于
自变量x的偏导数不存在 .
f x ( x, y)
x4 4 x 2 y2 y4 y , 2 2 2 (x y )
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
f y ( x, y)
f x ( x, y)
x4 4 x 2 y2 y4 y , 2 2 2 (x y )
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
f y ( x, y)
x4 4 x 2 y2 y4 2 2 x , x y 0 2 2 2 (x y ) 0, x2 y2 0
分子与分母的商 !
p V T RT 1 V T p pV
5º若 f ( x , y0 )为分段函数，分段点为 x0，
则求 f x ( x0 , y0 )时，须用偏导数定义 .
3. 偏导数存在与连续的关系 对于一元函数： 可导 连续 连续
对于多元函数： 可（偏）导
f ; zx x ( x0 , y0 )
( x0 , y0 ) ;
注
f x ( x0 , y0 )
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) d f ( x , y0 ) lim x 0 dx x
x x0
同样可定义 函数 f(x, y) 在点( x0 , y0 ) 对 y 的偏导数