平面向量的综合应用

＝
22，所以△ABC
的面积等于12×2×1×
22＝
2 2.
【答案】 A
题型二 平面向量与三角函数
(2015·广东，理)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m ＝( 22，－ 22)，n＝(sinx，cosx)，x∈(0，π2 )．
(1)若 m⊥n，求 tanx 的值； π
(2)若 m 与 n 的夹角为 3 ，求 x 的值．
【答案】 D
★状元笔记 利用向量的载体作用，可以将向量与线性规划数、不等式结 合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结 论明朗化．
思考题 4 设 e1，e2 是平面内两个不共线的向量，A→B＝
(a－1)e1＋e2，A→C＝be1－2e2(a>0，b>0)，若 A，B，C 三点共线，
3＋1. 【答案】 D
★状元笔记 向量在解析几何中的作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”， 解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去“向量外衣”；
(2)工具作用：利用 a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可 解决垂直、平行问题．
思考题 5 (2017·重庆巴蜀中学月考)已知 F1，F2 分别为椭 圆 C：x92＋y82＝1 的左、右焦点，点 E 是椭圆 C 上的动点，则E→F1·E→F2
×18＝196.
(2)∵B→A·B→C＝227，∴accosB＝227，即 ac＝24.① 又sinaA＝sincC，C＝2A，∴c＝2acosA＝32a.② 由①②解得 a＝4，c＝6. ∴b2＝a2＋c2－2accosB＝16＋36－2×4×6×196＝25. ∴b＝5，即边 AC 的长为 5. 【答案】 (1)cosC＝18 cosB＝196 (2)5
＝ 4cos263°＋4cos227° ＝ 2 ， A→B · B→C ＝ 2cos18 ° cos63 ° ＋
2cos72°cos27°＝2cos18°cos63°＋2sin18°sin63°＝2cos45
°＝ 2，故 cos(π－B)＝|BA→→CB|·|BA→ →CB|＝ 22，所以 cosB＝－ 22，故 sinB
【答案】 (1)π6 或5π 6 (2)c＝1 或 c＝2
★状元笔记 本例的第(1)小题，利用向量垂直的充要条件将问题转化为三 角方程，使问题获得解决．第(2)小题的方法一、方法二突出了余 弦定理和正弦定理的应用．本例不仅考查了解三角形的技巧和方 法，还注重了分类讨论思想的考查．
思考题 3 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的 对边，C＝2A，cosA＝34.
【答案】
7 8
(2)已知△ABC 的三边长 AC＝3，BC＝4，AB＝5，P 为 AB 边上任意一点，则C→P·(B→A－B→C)的最大值为________．
【解析】 方法一： (坐标法)以 C 为原点，建立平面直角坐标 系如图所示，设 P 点坐标为(x，y)且 0≤y≤3，0≤x≤4，则C→P·(B→A －B→C)＝C→P·C→A＝(x，y)·(0，3)＝3y，当 y＝3 时，取得最大值 9.
＋(2－cos2B)·(－1)＝0.
∴2sinB·[1－cos(π2 ＋B)]＋cos2B－2＝0.
∴2sinB＋2sin2B＋(1－2sin2B)－2＝0.
∴sinB＝12.
π ∵0<B<π，∴B＝ 6 或
B＝5π 6 .
π (2)∵a＝ 3>b，∴B＝ 6 . 方法一：由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accosB. ∴c2－3c＋2＝0，∴c＝1 或 c＝2.
A. 5－1
3＋1 B. 2
5＋1 C. 2
D. 3＋1
【解析】 ∵F→2M＝O→M－O→F2，∴(O→M＋O→F2)·F→2M＝(O→M＋ O→F2)·(O→M－O→F2)＝0，即|O→M|2－|O→F2|2＝0，∴|O→F2|＝|O→M|＝c.在 △MF1F2 中，边 F1F2 上的中线等于|F1F2|的一半，可得M→F1⊥M→F2. ∵|M→F1|＝ 3|M→F2|，∴可设|M→F1|＝ 3λ，|M→F2|＝λ(λ>0)，得( 3λ)2 ＋λ2＝4c2，解得 λ＝c，∴|M→F1|＝ 3c，|M→F2|＝c，∴根据双曲线 定义得 2a＝|M→F1|－|M→F2|＝( 3－1)c，∴双曲线的离心率 e＝22ca＝
(1)若|a－b|＝ 2，求证：a⊥b； (2)设 c＝(0，1)，若 a＋b＝c，求 α，β的值．
【解析】 (1)由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 ＝2.
因为 a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以 1－2a·b＋1＝2.所以 a·b＝0. 故 a⊥b.
(2)因为 a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)， 所以csionsαα＋＋scionsββ＝＝10，， 由此得 cosα＝cos(π－β)，由 0<β<π，得 0<π－β<π. 又 0<α<π，所以 α＝π－β. 代入 sinα＋sinβ＝1，得 sinα＝sinβ＝12， 又 α>β，所以 α＝5π 6 ，β＝π6 . 【答案】 (1)略 (2)α＝5π 6 ，β＝π6
方法二：(基向量法)∵C→P＝C→A＋A→P，B→A－B→C＝C→A， ∴C→P·(B→A－B→C)＝(C→A＋A→P)·C→A ＝C→A2＋A→P·C→A＝9－A→P·A→C ＝9－|A→P||A→C|cos∠BAC＝9－3|A→P|cos∠BAC. ∵cos∠BAC 为正且为定值， ∴当|A→P|最小即|A→P|＝0 时，C→P·(B→A－B→C)取得最大值 9. 【答案】 9
【答案】 C
(2)(2017·山东质检)在△ABC 中，已知向量A→B＝(cos18°，
cos72°)，B→C＝(2cos63°，2cos27°)，则△ABC 的面积等于( )
2 A. 2
2 B. 4
3 C. 3
D. 2
【解析】 由已知得，|A→B|＝ cos218°＋cos272°＝1，|B→C|
快速解法(基向量法)设B→D＝a，D→F＝b，则B→A·C→A＝(a＋
3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，B→F·C→F＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2
＝－1，解得|a|2＝183，|b|2＝58，则B→E·C→E＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝
4|b|2－|a|2＝78.
题型四 向量与不等式
(2017·衡水中学调研卷)已知 O 是坐标原点，点 A(－1，
x＋y≥2，
2)，若点 M(x，y)为平面区域x≤1，
上的一个动点，则O→A·O→M
y≤2，
的取值范围是( ) A．[－1，0]
B．[0，1]
C．[1，3]
D．[1，4]
【解析】 作出点 M(x，y)满足的平面区 域，如图所示阴影部分所示，设 z＝O→A·O→M， 因为 A(－1，2)，M(x，y)，所以 z＝O→A·O→M ＝－x＋2y，即 y＝12x＋12z.平移直线 y＝12x， 由图像可知，当直线 y＝12x＋12z 经过点 C 时， 截距最大，此时 z 最大，最大值为 4，当直线 y＝12x＋12z 经过点 B 时，截距最小，此时 z 最小，最小值为 1，故 1≤z≤4，即 1≤O→A·O→M≤4.
【解析】 (1)∵m⊥n，∴m·n＝0. 故 22sinx－ 22cosx＝0，∴tanx＝1.
π (2)∵m 与 n 的夹角为 3 ，
∴cos〈m，n〉＝|mm|··|nn|＝ 22sinx1－ ×122cosx＝12，
故 sin(x－π4 )＝12.
又
π
π ππ
ππ
x∈(0，2 )，∴x－ 4 ∈(－ 4 ，4 )，x－ 4 ＝ 6 ，即
题型三 向量与解三角形
在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，向 量 m＝(2sinB，2－cos2B)，n＝(2sin2(π4 ＋B2)，－1)，m⊥n.
(1)求角 B 的大小； (2)若 a＝ 3，b＝1，求 c 的值．
【解析】 (1)∵m⊥n，∴m·n＝0，∴(2sinB)·[2sin2(π4 ＋B2)]
(1)求 cosC，cosB 的值； (2)若B→A·B→C＝227，求边 AC 的长．
【解析】 (1)cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝2×(34)2－1＝18，∴
sinC＝38 7，sinA＝
7 4.
∴cosB＝－cos(A＋C)＝sinAsinC－cosAcosC＝ 47×387－34
【答案】 B
题型五 向量与解析几何
(2017·江西省宜春中学与新余一中联考)已知 F1，F2 分别 是双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支
上存在一点 M，使得(O→M＋O→F2)·F→2M＝0(其中 O 为坐标原点)，
且|M→F1|＝ 3|M→F2|，则双曲线的离心率为( )
则1a＋2b的最小值是(
)
A．2
B．4
C．6
D．8
【思路】 由 A，B，C 三点共线，得 a，b 的关系式，再利 用基本不等式，即可求出1a＋2b的最小值．
【解析】 因为 A，B，C 三点共线，所以(a－1)×(－2)＝1×b， 所以 2a＋b＝2.因为 a>0，b>0，所以1a＋2b＝2a＋ 2 b·(1a＋2b)＝2＋2ba ＋2ba≥2＋2 2ba·2ba＝4(当且仅当2ba＝2ba，即 a＝12，b＝1 时取等 号)．
x＝51π2 ，
故 x 的值为51π2 .
【答案】
(1)1
5π (2) 12
★状元笔记 向量与三角函数综合题的解法
解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量 的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．
思考题 2 (2013·江苏)已知向量 a＝(cosα，sinα)，b＝ (cosβ，sinβ)，0<β<α<π.
的最大值、最小值分别为( )
A．9，7
B．8，7
★状元笔记 平面几何问题的向量解法
(1)坐标法． 把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具 体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问 题得到解决． (2)基向量法． 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构 造关于设定未知量的方程来进行求解．
思考题 1 (1)(2017·天津大联考)如图所示，平行四边形 ABCD 中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，E 为 DC 的中点，那 么A→C与E→B所成角的余弦值为( )
方法二：由正弦定理，得sibnB＝sinaA.
即11＝sin3A，∴sinA＝
3 2.
2
π ∵0<A<π，∴A＝ 3 或
A＝2π 3 .
π
π
π
若 A＝ 3 ，∵B＝ 6 ，∴C＝ 2 ，∴c＝2.
若 A＝2π 3 ，则 C＝π－2π 3 －π6 ＝π6 ，∴c＝b＝1.
综上所述，c＝1 或 c＝2.
7 A. 7
7 C. 14
百度文库
B．－
7 7
D．－
7 14
【解析】 A→C＝A→B＋A→D，|A→C|2＝|A→B＋A→D|2＝7；E→B＝A→B －A→E＝12A→B－A→D，|E→B|2＝|12A→B－A→D|2＝1.故A→C·E→B＝(A→B＋ A→D)·(12A→B－A→D)＝12，cos〈A→C，E→B〉＝|AA→ →CC|·|EE→→BB|＝147.故选 C.
专题研究 平面向量的综合应用
专题讲解
题型一 向量与平面几何
(1) (2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E， F 是 AD 上的两个三等分点，B→A·C→A＝4，B→F·C→F＝－1，则B→E·C→E 的值是________．
【解析】 (坐标法)以 D 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴， 线段 BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，设 B(－a，0)， C(a，0)，A(b，c)，则 E(23b，23c)，F(13b，13c)，B→A＝(b＋a，c)，C→A ＝(b－a，c)，B→F＝(b3＋a，3c)，C→F＝(b3－a，3c)，B→E＝(23b＋a，23c)， C→E＝(23b－a，23c)，由B→A·C→A＝b2－a2＋c2＝4，B→F·C→F＝b92－a2 ＋c92＝－1，解得 b2＋c2＝485，a2＝183，则B→E·C→E＝49(b2＋c2)－a2 ＝78.