平面向量的综合应用
§5.4 平面向量的综合应用
§5.4 平面向量的综合应用考情考向分析 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题. 2.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.3.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.知识拓展1.若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2.若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线.( √ )(2)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形.( × )(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是菱形.( √ ) (4)设定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0.( √ ) (5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ ) 题组二 教材改编2.[P89习题T10]已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为________三角形. 答案 直角解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45， |BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形.3.[P93习题T7]若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 为________三角形.答案 等腰解析 ∵OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →， 由已知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，得(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0， 即(AB →－AC →)⊥(AB →＋AC →). ∴△ABC 为等腰三角形. 题组三 易错自纠4.在△ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为________________. 答案 －23或113或3±132解析 ①若A ＝90°，则有AB →·AC →＝0，即2＋3k ＝0， 解得k ＝－23；②若B ＝90°，则有AB →·BC →＝0， 因为BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)， 所以－2＋3(k －3)＝0，解得k ＝113；③若C ＝90°，则有AC →·BC →＝0，即－1＋k (k －3)＝0， 解得k ＝3±132.综上所述，k ＝－23或113或3±132.5.在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为________. 答案 5解析 依题意得AC →·BD →＝1×(－4)＋2×2＝0， 所以AC →⊥BD →，所以四边形ABCD 的面积为 12|AC →|·|BD →|＝12×5×20＝5. 6.(2017·江苏南通中学月考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为________. 答案 120°解析 设a 与b 的夹角为θ，则0°≤θ≤180°，由题意，得(a ＋b )·a ＝0，∴a 2＋a ·b ＝1＋1×2cos θ＝0，∴cos θ＝－12，∴θ＝120°.题型一 向量在平面几何中的应用典例 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点.若AC →·BE →＝1，则AB ＝________. 答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ， 则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________.答案 重心解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心. 引申探究本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________. 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心.思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.跟踪训练 (1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为________三角形. 答案 等边解析 AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线.因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3，所以△ABC 为等边三角形. (2)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________.答案 32解析 取HF 中点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32.题型二 向量在解析几何中的应用典例 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________. 答案 2x ＋y －3＝0解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________. 答案 6解析 由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204，因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值224＋2＋3＝6.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.跟踪训练 (1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________. 答案 0解析 设AB 的中点为D ，则有OM →＝OA →＋OB →＝2OD →， ∴|OM →|＝2|OD →|＝R ＝2(R 为圆C 的半径)， ∴|OD →|＝1.由点到直线的距离公式，得1＝|0－0＋1|k 2＋1，解得k ＝0.(2)(2017·江苏灌云中学质检)设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________. 答案 －2解析 由题意得c ＝a 2－b 2＝3， 又12PF QF S 四边形＝122SPF F ＝2×12×F 1F 2·h (h 为P 点纵坐标的绝对值)， 所以当h ＝b ＝1时，12PF QF S 四形边取得最大值， 此时|PF 1→|＝|PF 2→|＝2，且∠F 1PF 2＝120°. 所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2.题型三 向量的其他应用命题点1 向量在不等式中的应用典例 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB →·AC →＝9，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB→|CB →|，则xy 的最大值为________. 答案 3解析 在Rt △ABC 中，由AB →·AC →＝9， 得AB ·AC ·cos A ＝9，由面积为6，得AB ·AC ·sin A ＝12， 由以上两式解得tan A ＝43，所以sin A ＝45，cos A ＝35，所以AB ·AC ＝15，所以AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4. 又P 为线段AB 上的点，且CP →＝x 3·CA →＋y 4·CB →，故x 3＋y 4＝1≥2x 3·y4， 即xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时取等号.命题点2 向量在解三角形中的应用典例 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于________. 答案 35解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0， ∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝169a 2＋259a 2－a22×43a ×53a ＝45，∴sin A ＝35.跟踪训练 (1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______.答案 3解析 由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N ()x N ，－1， 所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3. (2)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且满足EF ＝1，则AE →·AF →的最大值为________.答案 4解析 取EF 的中点M ，则M 点的轨迹是以C 点为圆心，12为半径的圆的四分之一(在矩形内的四分之一)，而AE →·AF →＝(AE →＋AF →)2－(AE →－AF →)24＝4AM →2－FE →24＝AM →2－14≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－14＝4，当且仅当M 是BC 的中点时，(AE →·AF →)max ＝4.1.在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是________三角形. 答案 直角解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形.2.已知向量m ＝(1，cos θ)，n ＝(sin θ，－2)，且m ⊥n ，则sin 2θ＋6cos 2θ的值为________. 答案 2解析 由题意可得m ·n ＝sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cos 2θ＝2sin θcos θ＋6cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋6tan 2θ＋1＝2. 3.在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △BCD S △ABD＝________.答案 13解析 如图，由已知得点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝13S △ABC ，S △BCD ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12－13S △ABC ＝16S △ABC ， 所以S △BCD S △ABD ＝13. 4.(2017·江苏如皋中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)，若OC →⊥AB →，AC →＝λOB →，则实数λ的值为________. 答案 2解析 ∵在平面直角坐标系xOy 中，OA →＝(3，－1)， OB →＝(0,2)，∴AB →＝(－3,3)，设C (x ，y )，则AC →＝(x －3，y ＋1)， ∵OC →⊥AB →，AC →＝λOB →，∴－3x ＋3y ＝0，(x －3，y ＋1)＝(0,2λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，y ＋1＝2λ，x ＝y ，解得x ＝y ＝3，λ＝2.5.已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为________.答案 8,7解析 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )(－3≤x ≤3)，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，所以EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝x 29＋7，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8.6.若直线ax －y ＝0(a ≠0)与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x的图象交于不同的两点A ，B ，且点C (6,0)，若点D (m ，n )满足DA →＋DB →＝CD →，则m ＋n ＝________.答案 2解析 因为f (－x )＝2cos 2(－x )＋1ln 2－x 2＋x ＝2cos 2x ＋1－ln 2＋x 2－x＝－f (x )，且直线ax －y ＝0过坐标原点，所以直线与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x 的图象的两个交点A ，B 关于原点对称，即x A ＋x B ＝0，y A ＋y B ＝0，又DA →＝(x A －m ，y A －n )，DB →＝(x B －m ，y B －n )，CD →＝(m －6，n )，由DA →＋DB →＝CD →，得x A －m ＋x B －m ＝m －6，y A －n ＋y B －n ＝n ，解得m ＝2，n ＝0，所以m ＋n ＝2.7.在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.答案 －8解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2，∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.8.已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两个相等的实根，则向量a 与b 的夹角是________.答案 2π3解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3. 9.已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________.答案 1∶2解析 如图所示，取AC 的中点D ，∴OA →＋OC →＝2OD →，∴OD →＝BO →，∴O 为BD 的中点，∴面积比为高之比.即S △AOC S △ABC ＝DO BD ＝12. 10.如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为________.答案 －92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →.∵|PO →|＋|PC →|＝3≥2|PO →|·|PC →|，∴|PO →|·|PC →|≤94， 即(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2|PO →|·|PC →|≥－92， 当且仅当|PO →|＝|PC →|＝32时，等号成立.故最小值为－92. 11.已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程. 解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，由PA →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得 (x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32(y －b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－x 2，b ＝y 3.∵b ＞0，∴y ＞0，把a ＝－x 2代入到①中，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0， 整理得y ＝14x 2(x ≠0). ∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0). 12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意，得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理，得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )， 即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0.所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝ 6.即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式，得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3(2＋1)2， 即△ABC 的面积的最大值为32＋32.13.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， λ∈(0，＋∞)，则________.(填序号) ①动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心；②动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心；③动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心；④动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.答案 ④解析 由条件，得AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C ＝λ·|AB →||BC →|cos(180°－B )|AB →|cos B ＋λ·|AC →||BC →|cos C |AC →|cos C＝0， 所以AP →⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.14.已知O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →.(1)若∠C ＝90°，则λ＋μ＝________；(2)若∠ABC ＝60°，则λ＋μ的最大值为________.答案 (1)12 (2)23解析 (1)若∠C ＝90°，则O 为AB 边的中点，BO →＝12BA →，即λ＝12，μ＝0，故λ＋μ＝12.(2)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，因为O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ BO →·BA →＝λBA →2＋μBA →·BC →，BO →·BC →＝λBA →·BC →＋μBC →2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12c 2＝λc 2＋12μac ，12a 2＝12λac ＋μa 2， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ λc ＋12μa ＝12c ，12λc ＋μa ＝12a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23－a 3c ，μ＝23－c 3a ，则λ＋μ＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋c 3a ≤43－23＝23.15.(2017·江苏南京一中质检)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点.若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________.答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →， 又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB → ＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2 ＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2 ＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0， 又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. 16.已知在△ABC 中，AB <AC ，∠BAC ＝90°，边AB ，AC 的长分别为方程x 2－2(1＋3)x ＋43＝0的两个实数根，若斜边BC 上有异于端点的E ，F 两点，且EF ＝1，∠EAF ＝θ，则tan θ的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤39，4311 解析 由题可知AB ＝2，AC ＝23，BC ＝AB 2＋AC2＝4.建立如图所示的坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,23).设BF →＝λBC →⎝ ⎛⎭⎪⎫λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34， BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋14BC →， 则F (2－2λ，23λ)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2λ，23λ＋32. 所以AE →·AF →＝(2－2λ，23λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2λ，23λ＋32 ＝3－4λ－3λ＋4λ2＋12λ2＋3λ＝16λ2－4λ＋3＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－182＋114∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，9. 因为点A 到BC 边的距离d ＝AB ·AC BC＝3， 所以△AEF 的面积S △AEF ＝12EF ·3＝32为定值. 所以S △AEF AE →·AF →＝12|AE →||AF →|sin θ|AE →||AF →|cos θ＝12tan θ， 故tan θ＝2S △AEF AE →·AF →＝3AE →·AF →∈⎝ ⎛⎦⎥⎤39，4311.。
专题5.4 平面向量的综合应用(重难点突破)(解析版)
专题5.4 平面向量的综合应用一、考情分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.二、经验分享考点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。
考点二 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体。
考点三 向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题。
三、题型分析重难点题型突破1 平行与垂直例1、.已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________. 【答案】22【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：2202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =. 故答案为：22． 【变式训练1-1】、（山东省德州一中2018-2019学年期中）若，且，则实数的值是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．-2【答案】D 【解析】由得，，∴，故．【变式训练1-2】、（河北省示范性高中2019届联考）已知向量a ，b 满足2(1,2)a b m +=，(1,)b m =，且a 在b 25，则实数m =（ ） A 5B ．5±C ．2 D ．2±【答案】D【解析】向量a ，b 满足()21,2a b m +=，()1,b m =，所以0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22m a b ⋅=，()2225cos 152m b a m θ=+=，所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=， 解得2m =±.重难点题型突破2 平面向量与三角形例2、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】C【解析】由原等式，得OP ―→－OA ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，即AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)，根据平行四边形法则，知AB ―→＋AC ―→＝2AD ―→(D 为BC 的中点)，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故选C.【变式训练2-1】、在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是________三角形．( ) A . 等边 B . 等腰 C . 直角 D . 等腰直角 【答案】C .【解析】 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形． 【变式训练2-2】、已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 内心B . 外心C . 重心D . 垂心 【答案】C .【解析】 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD(D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，∴点P 的轨迹必过△ABC 的重心．【变式训练2-3】、如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O . 若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是___________．【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC= 重难点题型突破3 平面向量与三角函数结合例3．（河北省保定市2018-2019学年期末调研）过ABC ∆内一点M 任作一条直线，再分别过顶点,,A B C 作l 的垂线，垂足分别为,,D E F ，若0AD BE CF ++=恒成立，则点M 是ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心【答案】B【解析】因为过ABC ∆内一点M 任作一条直线，可将此直线特殊为过点A ，则0AD =，有0BE CF +=. 如图：则有直线AM 经过BC 的中点，同理可得直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点， 所以点M 是ABC ∆的重心，故选B 。
第4节 平面向量的综合应用
第4节 平面向量的综合应用课标要求 1.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．【知识衍化体验】知识梳理1．向量与平面图形（1）用向量解决的常见平面图形问题：、 、 、 、 等问题（2）用向量解决常见平面图形问题的步骤：问题→ 问题→ →解决 问题→解决 问题2．向量与解析几何向量在解析几何中的应用是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述，主要强调向量的坐标问题，用 来处理解析几何中的 ，结合直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答．3．向量与物理学科物理学中的 、 、 等可以抽象成数学中的向量，借助向量的运算可以解决物理中力的平衡、功的问题．【微点提醒】1．平面上三点A B C ，，，有A ，B ，C 三点共线()AB AC λλ⇔=∈R ；平面上不共线四点A B C D ，，，，有()AB CD AB CD λλ⇔=∈R .2．平面上四点A B C D ，，，，0AB CD AB CD ⊥⇔⋅=；平面上三点O A B ，，，向量OA ，OB 夹角的余弦值为||||OA OB OA OB ⋅⋅. 3．两点A B ，的距离||AB AB =.4．三个力1F ，2F ，3F ，同时作用于某物体上一点，物体保持平衡⇔1230F F F ++=；物体从点A 移动到点B 的位移s AB =；一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功为W F s =⋅．基础自测疑误辨析1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．（1）若AB BC λ=，则A ，B ，C 三点共线. （ ）（2）若AB CD λ=，则AB CD . （ ） （3）在ABC ∆中，0AB BC ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形. （ ） （4）在ABC ∆中，0AB BC ⋅>，则ABC ∆为钝角三角形. （ ）（5）点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足,[0,)||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹一定过△ABC的重心. （ ） 教材衍化2．已知O 是坐标原点，点C 满足OC OA OB αβ=+，其中R αβ∈，．若点C 在直线AB 上，则αβ+的值为______________.（必修4第77页第11题改编）3．在ABC ∆中，设(2,3),(1,),AB BC k ==且ABC ∆是直角三角形，则k =______________. （必修4第81页第例4改编）考题体验4．（2015新课标）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 5．（2017新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1- 6．（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1AE AF ⋅=，则λ的值为______________．7．（2019年全国卷Ⅱ理科19.2） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．若3AP PB =，则AB =______________．【考点聚焦突破】考点1 向量在平几情境中的应用【例1】（1）已知O ，A ，B ，C 是平面上不共线的四点，32若320-+=OA OB OC ，则||||=AB BC ______________． （2）如图，在圆O 的内接ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AC =，若4AO AM ⋅=，则AB =______________．【训练1】（1）在△ABC 中，2=AB ，3=AC ，1=AB BC ，则BC =______________.（2）已知O 是ABC ∆所在平面上一点，若222()()()OA OB OC ==，则O 是ABC ∆的（ ）A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心考点2 向量在解几情境中的应用【例2】（1）已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(][),55,-∞-+∞ B ．(][),2525,-∞-+∞ C ．[]5,5-D ．[]25,25- （2）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线与抛物线相交于、A B 两点，自、A B 向准线作垂线，垂足分别为C 、D ，则CFD ∠=______________．【训练2】在平面直角坐标系xOy 中，已知F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 作两条相互垂直的直线12,l l ，12,l l 分别与抛物线交于点,A B 和,C D ，记AB 的中点为M ，CD 的中点为N ，则OM ON ⋅的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6考点3 向量在物理情境中的应用【例3】（1）已知两个力()11,2F =，()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力3F ，则3F =（ ） A ．()1,5- B ．()1,5- C ．()5,1- D ．()5,1-（2）在平面直角坐标系中，力()2,3F =作用一物体，使物体从点()2,0A 移动到点()4,0B ，则力F 对物体作的功为______________.【训练3】（1）已知三个力()12,1F =--，()23,2F =-，()34,3F =-，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力4F ，则4F =（ ）A ．()1,2--B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2（2）一个物体在力()1,2f =的作用下产生位移()3,4s =，那么力f 所做的功为________．考点4 向量的其他应用【例4】构造合适的向量，证明：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-．【训练4】已知11122=-+-a b b a ，则22a b +=______________．反思与感悟【思维升华】向量具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是数形结合思想的重要体现。
平面向量与其他知识的综合应用问题
学习指导２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀平面向量与其他知识的综合应用问题◉江苏省灌云高级中学㊀周玉凤㊀㊀平面向量是既有大小又有方向的量,同时具有 数 与 形 的双重特点,是数形结合自然一体的 桥梁 ,可以有效 串联 起平面向量与其他知识,实现不同数学知识点之间的交汇与融合．平面向量既可以将几何问题代数化,借助坐标㊁符号㊁数量等将推理转化为数学运算来处理,也可以将代数问题几何化,借助几何意义㊁图形等将运算转化为直观模型来解决．１平面向量的实际应用问题平面向量这一 数 形 兼备工具在实际问题中的应用,可以使一些相关问题转化为数学问题．合理应用平面向量,可使问题的解答更加简捷,清晰．特别是借助平面向量来解决实际生活中一些与 力 有关的应用问题．图１例１㊀(多选题)在日常生活中,我们会看到两人共提一个行李包的情境,如图１所示,假设行李包所受重力为G ,两个拉力分别为F １,F ２,若|F １|＝|F ２|,F １与F ２的夹角为θ,则以下结论正确的是(㊀㊀)．A．|F １|的最小值为１２|G |B ．θ的取值范围为[０,π]C ．当θ＝π２时,|F １|＝２２|G |D．当θ＝２π３时,|F １|＝|G |分析:根据题目条件,利用行李包为平衡状态时的受力平衡构建力的关系式,通过平面向量数量积公式的应用与转化,结合两拉力的夹角θ的取值范围或确定的取值,与各选项中的条件联系加以分析与判断．解析:当行李包为平衡状态时,|G |＝|F １＋F ２|为定值,且|F １|＝|F ２|,所以有|G |２＝|F １|２＋|F ２|２＋２|F １||F ２| c o s θ＝２|F １|２(１＋c o s θ),解得|F １|２＝|G |２２(１＋c o s θ)．对于选项A ,由θɪ[０,π),y ＝co s θ在[０,π)上单调递减,可知|F １|的最小值为１２|G |,故选项A 正确;对于选项B ,由题意可知,当θ＝π时,|F １|２＝|G |２２(１＋c o s θ)没有意义,故选项B 不正确;对于选项C ,当θ＝π２时,|F １|２＝|G |２２,所以|F １|＝２２|G |,故选项C 正确;对于选项D ,当θ＝２π３时,|F １|２＝|G |２,所以|F １|＝|G |,故选项D 正确．综上分析,选择:A C D．２平面向量与三角函数(或解三角形)的综合问题三角函数(或解三角形)和平面向量的综合问题是近几年高考数学的一个高频考点与热点．这类问题的求解,既要求我们具有娴熟的三角恒等变换技能,又要求能熟练地进行平面向量的基本运算,特别是平面向量中的数乘运算和数量积运算．例２㊀ ２０２１年全国决胜高考数学仿真试卷(理科)(一)(全国Ⅱ卷) 已知A ,B ,C 三点共线,A B ＝３,A C ң＝２CB ң,平面内一点P 满足P A ң PC ң|P A ң|＝P B ң P C ң|P B ң|,则s i n øP A B 的最大值是(㊀㊀)．A．３２㊀㊀㊀B ．１２㊀㊀㊀C ．１３㊀㊀㊀D．２２３分析:根据题目条件,结合平面向量的线性关系式确定线段上三点的比例关系,利用平面向量的数量积公式与条件加以转化,确定P C 为øA P B 的平分线,借助三角形的角平分线定理以及余弦定理的应用,最后利用同角三角函数的基本关系式来确定s i n øP A B 的最大值．解析:由A C ң＝２C B ң,可知C 为线段A B 上靠近点B 的三等分点,且|AC |＝２|C B |．由P A ң P C ң|P A ң|＝P B ң P Cң|P B ң|,可以得到c o s øA P C ＝c o s øB P C ,则øA P C ＝øB P C ,所以P C 为øA P B的平分线．根据三角形的角平分线定理,得|P A ||P B |＝|A C ||C B |＝２１,设|P B |＝m (m ＞０),则|P A |＝２m ．２４２０２３年１２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀在әA B P 中,由余弦定理,可得c o søP A B ＝|P A |２＋|A B |２－|P B |２２|P A | |A B |＝４m ２＋９－m ２１２m ＝m ４＋３４mȡ２m ４ˑ３４m ＝３２,当且仅当m ＝３时,等号成立．结合同角三角函数基本关系式,有s i n øP A B ＝１－c o s ２øP A B ɤ１－(３２)２＝１２．所以s i n øP A B 的最大值是１２．故选择:B ．点评:平面向量的概念㊁运算㊁数量积等的几何意义中涉及三角函数(或解三角形)相关知识,这也为三角函数(或解三角形)和平面向量的综合问题做好了无缝链接,实现不同知识之间交互与整合．３平面向量与函数(或不等式㊁数列)的综合问题平面向量作为数学工具,在 数 的视角与函数(或不等式㊁数列)等知识层面之间有着千丝万缕的联系,以 数 为本,拓展类比,交汇融合起平面向量与函数(或不等式㊁数列)相关知识的联系,创设更加丰富多彩的综合应用场景．例３㊀ ２０２１年全国高考数学临门一卷试卷(二) 定义向量列a １,a ２,a ３, ,a n 从第二项开始,每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量(即坐标都是常数的向量),即a n ＝a n －１＋d (n ȡ２,且n ɪN ∗),其中d 为常向量,则称这个向量列{a n }为等差向量列．这个常向量叫作等差向量列的公差向量,且向量列{a n }的前n 项和S n ＝a １＋a ２＋ ＋a n ．已知等差向量列{a n }满足a １＝(１,１),a ２＋a ４＝(６,１０),则向量列{a n }的前n 项和S n ＝．分析:根据题目条件,结合等差向量列的创新定义,易知等差数列的性质㊁通项公式与求和公式对等差向量列也适合,进而分别确定公差向量d 与通项公式a n ,利用对应的求和公式即可求解．解析:根据创新定义,类比等差数列的等差中项的性质,可得２a ３＝a ２＋a ４＝(６,１０),解得a ３＝(３,５)．所以,等差向量列{a n }的公差向量d ＝a ３－a １２＝(３,５)－(１,１)２＝(３－１,５－１)２＝(２,４)２＝(１,２)．类比等差数列的通项公式,可得等差向量列{a n }的通项公式为a n ＝(１,１)＋(n －１)(１,２)＝(１,１)＋(n －１,２n －２)＝(１＋n －１,１＋２n －２)＝(n ,２n －１)．再类比等差数列的前n 项和公式求S n ．所以得到等差向量列{a n }的前n 项和S n ＝n (a １＋a n )２＝n [(１,１)＋(n ,２n －１)]２＝n (１＋n ,２n )２＝(n ＋n ２,２n ２)２＝(n ＋n ２２,n ２)．故填:(n ＋n ２２,n ２)．４平面向量与几何(平面几何㊁解析几何或立体几何)的综合应用㊀㊀平面向量作为数学工具,在 形 的视角与几何(平面几何㊁解析几何或立体几何)知识层面之间有着密切的联系,以 形 为媒,以 形 创设,可以将向量知识渗透进平面几何㊁解析几何或立体几何等相关知识中．例４㊀ ２０２１年浙江省Z ２０联盟高考数学第三次联考试卷(５月份) 已知A ,B ,C ,D 是以O 为球心,２为半径的球面上的四个点,O A ң＋O B ң＋O C ң＝０,则A D ＋B D ＋C D 不可能等于(㊀㊀)．A．６B ．７C ．８D．６２分析:根据题目条件,确定O ,A ,B ,C 四点共面,进而结合点D 的变化情况,从 点D 和A ,B ,C 中的一个重合 与 O D ʅ平面A B C 两个极端位置来确定A D ＋B D ＋C D 的取值,进而求出其取值范围,利用选项中的数值加以分析与判断．解析:连接A B ,B C ,A C ．因为A ,B ,C ,D 是以O 为球心,２为半径的球面上的四个点,O A ң＋O B ң＋O C ң＝０,所以O ,A ,B ,C 四点共面,且әA B C 为等边三角形,øA O B ＝øA O C ＝øB O C ＝１２０ʎ．当点D 和A ,B ,C 中的一个重合时,A D ＋B D ＋C D ＝２ˑ２２＋２２－２ˑ２ˑ２c o s １２０ʎ＝４３(极限状态,不能重合)．连接O D ,当O D ʅ平面A B C 时,易得A D ＋B D ＋C D ＝３ˑ２２＝６２．所以４３＜A D ＋B D ＋C D ɤ６２．对比各选项中的数值,则知选项A 中的值不可能,故选择:A ．点评:利用平面向量解决此类平面向量与几何(平面几何㊁解析几何或立体几何)的综合问题时,可以选择建系,使问题坐标化,从 数 的视角将问题巧妙解决;也可直接利用平面向量自身 形 的性质来数形结合,合理解决．平面向量是衔接代数与几何的纽带,沟通 数 与形 ,是数形结合的典范,也为平面向量与其他知识的交汇融合提供了更多的新颖情境与创新应用,实现抽象的问题与具体的问题之间的交互与转化,方法巧妙,思维创新,在解决一些具体问题中有奇效,值得借鉴与推广．在复习备考过程中,应当选择一些典型的平面向量与实际应用问题㊁三角函数(或解三角形)问题㊁函数(或不等式㊁数列等)问题以及几何(平面几何㊁解析几何或立体几何)问题的综合应用进行求解训练,提高学生处理这类综合问题的能力．Z３４。
高二数学 平面向量的综合应用
五、小结
1.向量的基本知识点 2.向量在代数中的应用 3.向量在平面解析几何中的应用
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4
例4
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使得r：x ur a (t2
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2r
),且ur存在实r数k和tr,
3)b, y k a tb,
且 x y, 求：k t 2 的最大值。
t
变式：已知向量
r a
(cos,sin ),
r b
(cos ,sin
),且
rr a, b
rr
rr
满足r关系r k a b 3 a kb （, k为正实数）
rr
a P（b b 0) 有且只有一个实数，使得a b
x1gy2 x2 gy1 0
4.用向量法处理向量的模：
r2 a
r2 a
二、基础r应用r
r r rr
例1.已知r a与r b是r 非零向量，且 a b a b
求r a 与r ar b的夹角。
解：设 ar 与ar rb 的夹r角2 为r r 2 r 2 r r r 2
的对应关系记作 vr rf (u)
求证：对于任意r向量r a, b及常r 数 m,r n
恒有r f (ma nb)r mf (a) nf (b) 证明：r 设 ar (x1, y1),b (x2, y2 )
mra nrb (mx1 nx2, my1 ny2) f (ma nrb) (mx1 nx2, 2my1 2ny2 mx1 nx2)
11、平面向量的综合应用
高考必备：十一、平面向量的综合应用要点强记一、平面向量的基：1、 基的概念：平面向量的基，实际上就是我们选定的两个向量12,e e ，它们满足如下两个条件：①两个均为非零向量；②两个向量不平行。
特殊地，当121,1e e == 时，我们称这一组基（12,e e ）为单位基。
在直角坐标系中，我们所取的基为（,i j），不但其模长为1，且互相垂直，因此，它是一组非常特殊的基。
2、 基的功能：如果（12,e e ）是某一平面的一组基，那么这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+ ；这是平面向量的基本定理，它表明了该平面内的任一向量都可以用这组基来线性表示。
因此，基的功能是把平面内的向量运算转化为基的运算。
3、 坐标的概念：若（12,e e ）是某一平面的一组基，a 是该平面内的一个向量，且12a xe ye =+ ，则称(),x y 是向量a 在基（12,e e ）下的坐标。
根据定义，我们知道：①向量的坐标与选取的基有关，基不同则坐标不同；②我们前面所学习的向量的坐标运算，只是在直角坐标系下（特殊基,i j 下）有效，对于一般的基，不能套用运算公式，建议大家根据向量的几何运算进行。
二、平面向量的四大亮点：1、 向量的模：公式22AB AB = ，为我们提供了求两点距离的工具。
当12AB xe ye =+ 时，则222222121122()2AB xe ye x e xye e y e =+=++ ；注意只有在直角坐标系的单位基(),i j 下，才有222AB x y =+ ；在解题过程中，选取适当的基底()12,e e ，然后利用上面的公式求解，这是解题的关键。
2、 向量的定比分点：定比分点公式，为判定三点共线、求各点的坐标、各线段长度的比值等解析几何问题，提供了更为方便、简捷的工具。
①定比分点有三种形式的定义：（文字语言定义）点p 分有向线段AB 的比为λ；⇔（向量形式定义）AP PB λ= ；⇔（坐标形式定义）设(,)p p P x y 、(,)A A A x y 、(,)B B B x y ，则;1;1A B p A B p x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩要熟练掌握三者之间的转换； ②λ的确定：先定AP PBλ= ，再定λ的符号，根据“内分为正，外分为负”原则。
2022年高考数学总复习：平面向量的综合应用
第 1 页 共 18 页 2022年高考数学总复习：平面向量的综合应用1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0垂直问题 数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向量夹角问题 数量积的定义 cos θ＝a ·b |a ||b |(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量长度问题数量积的定义 |a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )，a 为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．4．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．知识拓展。
高考数学 常见题型 平面向量的综合应用
例2 已知在锐角△ABC中，向量p＝(2－2sinA，cosA＋
sinA)，q＝(sinA－cosA,1＋sinA)，且p与q是共线向量．
(1)求A的大小；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos(
C－3B 2
)取最大值时，B的大
小．
【思路】 向量与三角函数的结合往往是简单的组 合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一 个等式．因此这种题目较为简单．
对点训练 (2015·河 南 中 原 名 校 联 考 ) 在 △ ABC 中，A，B，C 为三个内角，a，b，c 为对应的三条边，π3<C<π2， 且a－b b＝sinAsi－n2sCin2C.
(1)判断△ABC 的形状； (2)若|B→A＋B→C|＝2，求B→A·B→C的取值范围．
【解析】
(1)由
平面向量的综合应用
题型一 向量与平面几何
例1 已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P 为AB边上任意一点，则C→P·(B→A－B→C)的最大值为________．
【解析】 方法一：(坐标法)以C为原点，建立平面直 角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且 0≤y≤3,0≤x≤4，则 C→P ·(B→A－ B→C )＝ C→P ·C→A ＝(x，y)·(0,3)＝ 3y，当y＝3时，取得最大值9.
(2)因为P→E·P→F＝(N→E－N→P)·(N→F－N→P) ＝(－N→F－N→P)·(N→F－N→P) ＝(－N→P)2－N→F2＝N→P2－1， P是椭圆1x62 ＋1y22 ＝1上的任意一点， 设P(x0，y0)，则有1x620 ＋1y220 ＝1， 即x02＝16－43y20.又N(0,1)，
A→B·A→C＝tanA，当A＝π6时，△ABC的面积为________． 【解析】 根据平面向量数量积的概念得 A→B ·A→C ＝| A→B
平面向量的综合应用
2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量的综合应用1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝a·b|a||b|(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．2．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．3．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s 的夹角)．4．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．概念方法微思考1．根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示 (1)线段的长度问题．(2)直线或线段平行问题．(3)直线或线段垂直问题．(4)角的问题等．2．如何用向量解决平面几何问题？提示 用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题，最后把运算结果“翻译”成几何关系．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ )(2)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是菱形．( √ )(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )题组二 教材改编2．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3，4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)，∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62，∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2，∴△ABC 为直角三角形．3．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________．答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，即x ＋2y ＝4.题组三 易错自纠。
平面向量的综合应用PPT教学课件
2
∴ a b a 2a b b 2 a a 3 a
∴ ab 3 a
∴ cos a (a b)
2
a ab
a21 2
2
a
3
a ab a 3 a a 3 a 2
例2.已知 a =（1，2），b =（-3，2），
k为何值时:
(1) k a b 与 a 3b 垂直？
解（：1）k a b=k(1,2)+(-3,2=) (K-
胚胎干细胞应用 （1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官： 解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
MⅡ
精细胞
变形
精子
精细胞变形总结：
1.细胞核
精子的头部
2.高尔基体
精子头部的顶体
3.中心体
精子的尾部
4.线粒体
线粒体鞘
5.细胞内其他物质 原生质滴
(球状,最后脱落)
胎
卵原细胞
儿
有丝分裂
卵
时
多个卵原细胞
子 发 生 过
初 情 期
期 完 成
染色体复制
初级卵母细胞
MⅠ
程至
次级卵母细胞 第一极体
生
MⅡ
殖
衰 卵子 第二极体
f (ma nb) (mx1 nx2, 2my1 2ny2 mx1 nx2) mf (a) (mx1, 2my1 mx1) nf (b) (nx2, 2ny2 nx2 )
f (ma nb) mf (a) nf (b)
例4 已知 a ( 3, 1),b (1 , 3 ),且存在实数k和t,
桑椹胚 ：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，
《平面向量》第5讲 平面向量的综合应用
求证：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)= 0
应用三、用向量方法解决代数问题
例题3. 证明：对任意的实数a,b,c,d，恒有
2
ac bd a 2 b2 c 2 d 2 成立. 证明：设 m a, b , n c , d .
例题4. 证明：两角差的余弦公式：
cos cos cos sin sin
☆课堂小结☆
一个 转化 问题
向量 问题 + 翻译 向量 运算
回答 问题
课题：
平面向量的综合应用
☆主要方法☆
一个 转化 问题
向量 问题 + 翻译 向量 运算
回答 问题
应用一、用向量方法证明共线与相交问题 例题1.如图，已知△ABC的三条高是
AD，BE，CF，用向量方法
证明：AD，BE，CF相交于一点．
思路设计：
解析：设 AD，BE 交于一点 H， → → → BC＝a，CA＝b，CH＝h， → → 则BH＝a＋h，AH＝h－b,
→ → 分析：通过证明BA· CA＝0. 解析：证明：如图所示， → → → → → → ， BA· CA＝(BO＋OA)· OA －OC → → → ＝ → ， ∵BO＝OC且 OA OC → → →2 →2 ∴BA· CA＝OA －OC ＝0. ∴∠BAC＝90° .
( ) | | | |
训练： 已知: 一个圆的直径的端点是A (x1, y1)，B (x2, y2).
应用一、用向量方法证明共线与相交问题
→ → ∵BH⊥AC， ∴(a＋h)· b＝0.① 同理∴(h－b)· a＝0.② ①＋②得 h· b＋h· a＝0， → → ∴CH· BA＝0. ∴三条高线 AD，BE，CF 相交于一点．
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的综合应用》课件ppt
C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)， 所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)， 故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58， 所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合 应用[培优课]
题型一 平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C， 又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14， 所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a， 由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b， 所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc， 当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415， 所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.
平面向量的综合应用
2、向量数量积： a b a b cos a， b 若a x1，y1 、 b x 2，y 2 则a b x1x 2 y1y 2 3、 a与b的夹角： cos a， b a b ab x1x 2 y1 y 2 x 21 y 21 x 2 2 y 2 2
2
2
2
C
3、已知向量OA 1, 2 , OB 2, m ，若OA OB，则向量OA与 AB
C
3 2 A、 B、 C、 D、 4 4 3 3 重 心。 4、已知在 ABC中， OA OB OB OC OC OA, 则O是 ABC的____
1
y
2
6、平移公式：
x xh
'
y yk
'
或
x x h
'
y y' k
基础检测
1、已知正方形ABCD的边长为1， AB a、 BC =b、 AC =c，则a b c 的模等于
C
2
A、 0 B、 3 C、 2 2 D、
2、设a、是两个非零向量，则 b a b a b 是a b的 A、充分不必要 C、充要条件 夹角为 B、必要不充分 D、既不充分也不必要条件
1、求函数的正周期. 2 、若x 0,2 ,当OP OQ
1时，求x的取值范围.
例2：已知向量a、 b、 c、，设实数 d x、y满足 a b 1， c a x 2 3 b d ya xb, 若a b、 c d，且 c 10
向量的综合应用（一）
娄底一中：刘瑞华
知识网络
概念
1 5730 p 2
第33课--平面向量的综合应用
第33课平面向量的综合应用基础知识：1.向量与平面几何(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.2.平面向量与三角函数解决平面向量与三角函数的交汇问题关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决.3.向量与不等式利用向量的载体作用，可以将向量与线性规划、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明朗化.一、典型例题1.在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是（）.A.52-B.2-C.32-D.1-答案：B解析：设OA x = ，则2OM x =- ，于是()=22(2)cos π2(2)OA OB OC OA OM x x x x ⋅+⋅=-=--≥ 2[(2)]224x x +--⨯=-，当且仅当2x x =-即1x =时等号成立，所以最小值为2-，故选B.2.设O 在ABC ∆的内部且满足23OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比为（）.A.1B.2C.3D.32答案：C解析：如图，建立平面直角坐标系，设(0,0),(,),(,0),(,)A B a b C c O x y ，则(,)OA x y =-- ，(,)OB a x b y =-- ，(,)OC c x y =--；因为23OA OB OC ++=0，所以2360260a c x b y +-=⎧⎨-=⎩，解得3b y =，从而3ABC AOC S b S y ∆∆==，故选C.3．已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值是（）.A.21- B.2C.0D.1答案：D解析：由题可知，圆心()1,0C ，设()1cos ,sin A θθ+，因为AB 为直径，所以()1cos ,sin B θθ--，设(),P x y ，则()()1cos ,sin ,1cos ,sin PA x y PB x y θθθθ=+--=----，所以()22221cos sin PA PB x y θθ⋅=--+-= ()()()222221111121x y x x x -+-=-++-=+，故PA PB ⋅ 的最小值为1，选D.二、课堂练习1.如图，在等腰直角三角形ABC 中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC ∆（包括边界）内任一点，则AN MP ⋅的取值范围为（）.A.[1,1]-B.33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[1,1]-答案：B解析：以M 为坐标原点，,MB MC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则222(,),,244P x y A N ⎛⎫⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以322(,),44MP x y AN ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ，322AN MP ⋅=+ ；令322z =+，即322y x z =-+，目标函数在22,A B ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭分别取得最小值和最大值，其值分别为33,44-，故选B.2．已知,,A B C 为圆O 上三点，CO 的延长线与线段AB 的延长线交于圆O 外D 点．若,OC mOA nOB =+则m n +在以下哪个范围内（）.A.(1,)-+∞B.(1,0)-C.(,1)-∞-D.(1,)+∞答案：B解析：由于,,A B D 三点共线，所以存在实数λ满足()1,OD OA OB λλ=+-又,1,OD tOC t =<- 所以()1,tOC OA OB λλ=+- 即1OC OA OB t t λλ-=+ ，对比OC mOA nOB =+ 可知：1,m n t t λλ-==，()11,0m n t+=∈-，所以m n +的取值范围是()1,0-．3．已知,,a b e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足2430-×+=b e b ，则||-a b 的最小值是（）.A.1B.1C.2D.2答案：A解析：设()()(),,1,0,,x y m n a e b ===，则由π,3a e =得πcos 3a e a e ⋅=⋅，即x =，整理得y ∴=；由2430-×+=b e b 得22430m n m +-+=，整理得()2221m n -+=，因此||-a b 的最小值为圆心()2,0到直线y =减去半径1，为，故选A.三、课后作业1.已知P 是边长为2的正ABC ∆的边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+（）.A.最大值为8B.是定值6C.最小值为6D.是定值3答案：B解析：取BC 中点D ，建立如图所示的平面直角坐标系，易知3),(1,0),(1,0),(,0)A B C P m -，其中11m -≤≤；则(,3)AP m = ，(1,3),(1,3)AB AC =--=，(0,23)AB AC +=- ，所以()6AP AB AC ⋅+=，故选B.2.已知腰长为2的等腰直角ABC ∆中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅的最小值为__________．答案：48322-解析：如图建立平面直角坐标系，则((22,2,2A B--，,(0,2M -由P 为该平面内一动点，且||2PC =，所以P 的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆，所以()2cos 2sin ,P θθ，∴()()(42cos 22sin 222cos 2sin 24PA PB PC PM θθθθ⎡⎤⋅+⋅=---⋅-+⨯⎣⎦，-，-()(22cos 2sin 2cos 2sin 216sin 2sin 32θθθθθθ⎡⎤-⋅--=++⎣⎦，-，-，当sin 1θ=-时，得到最小值为48322-，故答案为482-.3．在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC +⋅⋅ 的最小值为（）.A.1 B.2C.2- D.1-答案：C解析：建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则()0,2A ．设点P 的坐标为(),x y ，则()(),2,,PA x y PO x y =--=--，故()()22222PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+- ()222122x y ⎡⎤=+--≥-⎣⎦，当且仅当0,1x y ==时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为2-．选C ．4.在ABC中,角A 是,B C 的等差中项,BAC ∠的平分线交BC 于点D ,若4AB =,且1λ4AD AC AB =+()λ∈R 则AD 的长为_______答案：33解析：因为角A 是,B C 的等差中项,π,3A ∴=又因,,B D C 三点共线，所以有131,,44λλ+=∴=如图所示，过点D 分别作,AC AB 的平行线交,AB AC 于点,,M N则13,,44AN AC AM AB == ABC 中，π,3A A ∠=∠的平分线交BC 于D ，∴四边形AMDN 是菱形，4,3,33.AB AN AM AD =∴==∴= 故答案为35.如图，在平面斜坐标系xOy 中，135xOy ∠=，斜坐标定义：如果12OP x y =+e e （其中1e ，2e分别是x 轴，y 轴的单位向量），则(),x y 叫做P 的斜坐标.（1）已知P 得斜坐标为(2，则OP =__________．（2）在此坐标系内，已知()()0,2,2,0A B ，动点P 满足AP BP =，则P 的轨迹方程是__________．答案：（1）1（2）y x=解析：（1）∵121OP =+=e ，∴1OP =．（2）设(),P x y ，由AP BP = 得()(),22,x y x y -=-，整理得y x =．6.已知在直角梯形ABCD 中，22AB AD CD ===，90ADC ∠=︒，若点M 在线段AC 上，则MB MD +的取值范围为__________．答案：⎣解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则()()()()002,01,20,2A B C D ，，，，，,设()01AM AC λλ=≤≤ ，则()2M λλ，，故()λ22λMD =--，，()2λ2λMB =-- ，，则()22λ24λMB MD +=-- ，，MB MD +=，当λ0=时，MB MD+ 取得最大值为3λ5=时，MB MD +取得最小值为5，∴5MB MD ⎡+∈⎢⎣故答案为5⎡⎢⎣.。
高三数学教案： 平面向量的综合应用
课题：平面向量的综合应用学生情况分析天津市第五十一中学中学是市级重点中学，学生整体素质较高，思维活跃，课堂参与意识较浓，且高一学生已具有一定的理性分析能力和概括能力。
教材分析向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。
注重基本概念和基本运算的教学，对概念要理解深刻到位，运算要准确，尤其是向量互相垂直、平行的充要条件和平面向量基本定理（包括坐标运算），应当达到运用自如、熟练掌握的程度；其次教学中应把向量与其他知识内容进行整合，将几何问题、函数问题、三角问题、以后学到的解析几何问题等转化为向量运算，特别是坐标形式的向量运算问题，充分揭示数学中化归思想的深刻含义，同时也显示出向量的巨大威力。
由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题；加强向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性；因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想。
教学目标：（一）知识目标理解向量的有关概念，掌握向量的各种运算及其应用（二）能力目标1、培养学生的思维能力：包括观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括。
2．培养学生数形结合和化归转化的数学思想方法。
3．培养学生自主地获取知识的能力，并在所学知识的基础上进行再创新的能力。
（三）德育教育1．培养学生勇于探索、勤于思考的精神。
2．培养学生联系实际的能力，使学生懂得数学是源于生活，服务于生活的数学特点。
3．培养学生掌握从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃，又从一般到特殊，从抽象到具体，应用到实践中去。
教学重点：平面向量基础知识的掌握。
教学难点：平面向量基础知识的综合运用。
高中数学A版必修第二册专题一平面向量的综合应用-课件
3
3
m， ∠AOB 内，且∠AOC＝30°，所以设 C
3
m ，m>0，由O→C＝xO→A＋yO→B(x，y∈R)，可得 m，
3
m ＝
m＝x，
x＝m，
x(1，0)＋y(0，3)．由向量的坐标运算可得
3m＝3y，即 3
y＝
93m，所以yx＝
m 3 ＝3
m
9
3.故选 C.
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
k－λ＝0，
k＝1， k＝－1，
所以
解得
或
又因为λ>0，所以 k＝1.
λk－1＝0， λ＝1， λ＝－1，
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
13 ，
16．已知向量 a＝( 3，－1)，b＝ 2 2 .
(1)求与 a 平行的单位向量 c； (2)设 x＝a＋(t2＋3)b，y＝－k·ta＋b，若存在 t∈[0，2]，使得 x⊥y 成立，求 k 的取值范围．
3
3
2
2
1 cos∠DAB＝－ ，所以∠DAB＝120°.故选 C.
2
专题1 平面向量的综合应用
刷难关
8．在边长为 1 的正方形 ABCD 中，M 为边 BC 的中点，点 E 在线段 AB 上运动，则E→C·E→M的取值范围是
(C)
1 ，2
A. 2
3 0， B. 2
13 ，
C. 2 2
D．[0，1]
1 |C→D|的取值范围为__(_2_，__1__]．
解析
如图．∵E 为 Rt△ABC 中斜边 AB 的中点，AB＝2，∴CE＝1.∵C→D·C→E＝1，即|C→D|·|C→E|·cos∠ECD＝1，
5.4 平面向量的综合应用
解析 → ， → 分别为平行于AB，AC的单位向量，由平行四边形法则可知 → ＋ → 为
|AB| |AC|
|AB| |AC|
( )→ →
AB AC
→
∠BAC 的平分线．因为
＋ →→
·BC＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于 BC，所以 AB＝AC.
|AB| |AC|
| | | → → →
AB AC AB 又·＝
→→→
→→
BC＝OC－OB＝(6，k－5)，且AB∥BC，
∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，
解得 k＝－2 或 k＝11.
由 k<0 可知 k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2 的直线方程为 y＋1＝－2(x－2)，即 2x＋y－
3＝0.
x2 y2
→→
(2)若点 O 和点 F 分别为椭圆 ＋ ＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP·FP
2．向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量
的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的
主体．
3．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似， 可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即 W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ 为 F 与 s 的夹角)． 4．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数 量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 知识拓展
→→
22
－2，因为－2≤x0≤2，故当 x0＝2 时，OP·FP取得最大值 4 ＋2＋3＝6.
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【解析】 (1)∵m⊥n，∴m·n＝0. 故 22sinx－ 22cosx＝0，∴tanx＝1.
π (2)∵m 与 n 的夹角为 3 ，
∴cos〈m，n〉＝|mm|··|nn|＝ 22sinx1－ ×122cosx＝12，
故 sin(x－π4 )＝12.
又
π
π ππ
ππ
x∈(0，2 )，∴x－ 4 ∈(－ 4 ，4 )，x－ 4 ＝ 6 ，即
【答案】
7 8
(2)已知△ABC 的三边长 AC＝3，BC＝4，AB＝5，P 为 AB 边上任意一点，则C→P·(B→A－B→C)的最大值为________．
【解析】 方法一： (坐标法)以 C 为原点，建立平面直角坐标 系如图所示，设 P 点坐标为(x，y)且 0≤y≤3，0≤x≤4，则C→P·(B→A －B→C)＝C→P·C→A＝(x，y)·(0，3)＝3y，当 y＝3 时，取得最大值 9.
(1)若|a－b|＝ 2，求证：a⊥b； (2)设 c＝(0，1)，若 a＋b＝c，求 α，β的值．
【解析】 (1)由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 ＝2.
因为 a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以 1－2a·b＋1＝2.所以 a·b＝0. 故 a⊥b.
(2)因为 a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0，1)， 所以csionsαα＋＋scionsββ＝＝10，， 由此得 cosα＝cos(π－β)，由 0<β<π，得 0<π－β<π. 又 0<α<π，所以 α＝π－β. 代入 sinα＋sinβ＝1，得 sinα＝sinβ＝12， 又 α>β，所以 α＝5π 6 ，β＝π6 . 【答案】 (1)略 (2)α＝5π 6 ，β＝π6
A. 5－1
3＋1 B. 2
5＋1 C. 2
D. 3＋1
【解析】 ∵F→2M＝O→M－O→F2，∴(O→M＋O→F2)·F→2M＝(O→M＋ O→F2)·(O→M－O→F2)＝0，即|O→M|2－|O→F2|2＝0，∴|O→F2|＝|O→M|＝c.在 △MF1F2 中，边 F1F2 上的中线等于|F1F2|的一半，可得M→F1⊥M→F2. ∵|M→F1|＝ 3|M→F2|，∴可设|M→F1|＝ 3λ，|M→F2|＝λ(λ>0)，得( 3λ)2 ＋λ2＝4c2，解得 λ＝c，∴|M→F1|＝ 3c，|M→F2|＝c，∴根据双曲线 定义得 2a＝|M→F1|－|M→F2|＝( 3－1)c，∴双曲线的离心率 e＝22ca＝
的最大值、最小值分别为( )
A．9，7
B．8，7
方法二：由正弦定理，得sibnB＝sinaA.
即11＝sin3A，∴sinA＝
3 2.
2
π ∵0<A<π，∴A＝ 3 或
A＝2π 3 .
π
π
π
若 A＝ 3 ，∵B＝ 6 ，∴C＝ 2 ，∴c＝2.
若 A＝2π 3 ，则 C＝π－2π 3 －π6 ＝π6 ，∴c＝b＝1.
综上所述，c＝1 或 c＝2.
【答案】 B
题型五 向量与解析几何
(2017·江西省宜春中学与新余一中联考)已知 F1，F2 分别 是双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支
上存在一点 M，使得(O→M＋O→F2)·F→2M＝0(其中 O 为坐标原点)，
且|M→F1|＝ 3|M→F2|，则双曲线的离心率为( )
【答案】 C
(2)(2017·山东质检)在△ABC 中，已知向量A→B＝(cos18°，
cos72°)，B→C＝(2cos63°，2cos27°)，则△ABC 的面积等于( )
2 A. 2
2 B. 4
3 C. 3
D. 2
【解析】 由已知得，|A→B|＝ cos218°＋cos272°＝1，|B→C|
＝
22，所以△ABC
的面积等于12×2×1×
22＝
2 2.
【答案】 A
题型二 平面向量与三角函数
(2015·广东，理)在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m ＝( 22，－ 22)，n＝(sinx，cosx)，x∈(0，π2 )．
(1)若 m⊥n，求 tanx 的值； π
(2)若 m 与 n 的夹角为 3 ，求 x 的值．
x＝51π2 ，
故 x 的值为51π2 .
【答案】
(1)1
5π (2) 12
★状元笔记 向量与三角函数综合题的解法
解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量 的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．
思考题 2 (2013·江苏)已知向量 a＝(cosα，sinα)，b＝ (cosβ，sinβ)，0<β<α<π.
【答案】 D
★状元笔记 利用向量的载体作用，可以将向量与线性规划数、不等式结 合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结 论明朗化．
思考题 4 设 e1，e2 是平面内两个不共线的向量，A→B＝
(a－1)e1＋e2，A→C＝be1－2e2(a>0，b>0)，若 A，B，C 三点共线，
题型三 向量与解三角形
在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，向 量 m＝(2sinB，2－cos2B)，n＝(2sin2(π4 ＋B2)，－1)，m⊥n.
(1)求角 B 的大小； (2)若 a＝ 3，b＝1，求 c 的值．
【解析】 (1)∵m⊥n，∴m·n＝0，∴(2sinB)·[2sin2(π4 ＋B2)]
×18＝196.
(2)∵B→A·B→C＝227，∴accosB＝227，即 ac＝24.① 又sinaA＝sincC，C＝2A，∴c＝2acosA＝32a.② 由①②解得 a＝4，c＝6. ∴b2＝a2＋c2－2accosB＝16＋36－2×4×6×196＝25. ∴b＝5，即边 AC 的长为 5. 【答案】 (1)cosC＝18 cosB＝196 (2)5
【答案】 (1)π6 或5π 6 (2)c＝1 或 c＝2
★状元笔记 本例的第(1)小题，利用向量垂直的充要条件将问题转化为三 角方程，使问题获得解决．第(2)小题的方法一、方法二突出了余 弦定理和正弦定理的应用．本例不仅考查了解三角形的技巧和方 法，还注重了分类讨论思想的考查．
思考题 3 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的 对边，C＝2A，cosA＝34.
7 A. 7
7 C. 14
B．－
7 7
D．－
7 14
【解析】 A→C＝A→B＋A→D，|A→C|2＝|A→B＋A→D|2＝7；E→B＝A→B －A→E＝12A→B－A→D，|E→B|2＝|12A→B－A→D|2＝1.故A→C·E→B＝(A→B＋ A→D)·(12A→B－A→D)＝12，cos〈A→C，E→B〉＝|AA→ →CC|·|EE→→BB|＝147.故选 C.
★状元笔记 平面几何问题的向量解法
(1)坐标法． 把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具 体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问 题得到解决． (2)基向量法． 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构 造关于设定未知量的方程来进行求解．
思考题 1 (1)(2017·天津大联考)如图所示，平行四边形 ABCD 中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，E 为 DC 的中点，那 么A→C与E→B所成角的余弦值为( )
快速解法(基向量法)设B→D＝a，D→F＝b，则B→A·C→A＝(a＋
3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，B→F·C→F＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2
＝－1，解得|a|2＝183，|b|2＝58，则B→E·C→E＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝
4|b|2－|a|2＝78.
＝ 4cos263°＋4cos227° ＝ 2 ， A→B · B→C ＝ 2cos18 ° cos63 ° ＋
2cos72°cos27°＝2cos18°cos63°＋2sin18°sin63°＝2cos45
°＝ 2，故 cos(π－B)＝|BA→→CB|·|BA→ →CB|＝ 22，所以 cosB＝－ 22，故 sinB
题型四 向量与不等式
(2017·衡水中学调研卷)已知 O 是坐标原点，点 A(－1，
x＋y≥2，
2)，若点 M(x，y)为平面区域x≤1，
上的一个动点，则O→A·O→M
y≤2，
的取值范围是( ) A．[－1，0]
B．[0，1]
C．[1，3]
D．[1，4]
【解析】 作出点 M(x，y)满足的平面区 域，如图所示阴影部分所示，设 z＝O→A·O→M， 因为 A(－1，2)，M(x，y)，所以 z＝O→A·O→M ＝－x＋2y，即 y＝12x＋12z.平移直线 y＝12x， 由图像可知，当直线 y＝12x＋12z 经过点 C 时， 截距最大，此时 z 最大，最大值为 4，当直线 y＝12x＋12z 经过点 B 时，截距最小，此时 z 最小，最小值为 1，故 1≤z≤4，即 1≤O→A·O→M≤4.
＋(2－cos2B)·(－1)＝0.
∴2sinB·[1－cos(π2 ＋B)]＋cos2B－2＝0.
∴2sinB＋2sin2B＋(1－2sin2B)－2＝0.
∴sinB＝12.
π ∵0<B<π，∴B＝ 6 或
B＝5π 6 .
π (2)∵a＝ 3>b，∴B＝ 6 . 方法一：由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accosB. ∴c2－3c＋2＝0，∴c＝1 或 c＝2.
专题研究 平面向量的综合应用
专题讲解
题型一 向量与平面几何
(1) (2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E， F 是 AD 上的两个三等分点，B→A·C→A＝4，B→F·C→F＝－1，则B→E·C→E 的值是________．