近世代数习题与答案

近世代数习题与答案文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）

一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) 一、 (从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。 (A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝ 2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是

（ ）。

(A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H

3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。

(A) （2），（3） (B) （2） (C)（3）

4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。

(A) 6 (B) 3 (C) 2

5、下列不成立的命题是( )。

(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环

二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分） （请将正确答案填入空格内） 1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。 2、F 是域，则[](())F x f x 是域当且仅

当 。

3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~:

A ～

B ⇔秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。

4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。

5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。

三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”） 1、设G 是群，∅≠H，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （ ）

2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。 ( )

3、商环6Z Z 是一个域。 （ ）

4、设f 是群G 到群-

G 的同态映射，若1()f H G -， 则H G 。 （ ）

5、任意群都同构于一个变换群。 （ ） 四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分） （要求写出主要计算步骤及结果） 1、找出6Z 的全部理想，并指出哪些是极大理想。对极大理想K ,写出6Z K 的全部元。 2、确定3次对称群S 3的所有子群及所有正规子群。

五、证明题（本题共4小题,每小题10分，共40分） 1、 设f 是群G 到群-

G 的满同态，N 是G 的正规子群，证明：G Kerf N G N f =⋅⇔=-)(。 2、设N G, [G:N]=2008, 证明：对G x ∈∀, 恒有2008x N ∈。

3、设R 为交换环，若R 的理想P ≠R ,则R ／P 是整环当且仅当P 是素理想。

4、设R [x ]是实数域R 上的一元多项式环，取21[]x R x +∈，证明：

2[]

(1)R x C x ≅+，C 为复数域。

《近世代数》测试题（一）

一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分)

一、 (从下列备选答案中选择正确答案)

1、设G ＝Z ，对G 规定运算o ，下列规定中只有（ ）构成群。

(A) aob=a+b-2 (B) aob=a b (C) aob=2 a+3 b （“”为数的乘法）

2、设H≤G，a，b∈G，则Ha = Hb的充要条件是（）.

(A) ab∈H(B) ab－1∈H (C) a－1b∈H

3、在整数环Z中，包含（15）的极大理想是（）。

(A) （3） (B) （5） (C) （3）或（5）

4、若Q是有理数域,则是( )

(A) 6 (B) 3 (C) 2

5、下面不成立

．．．的命题是（）

(A) 域是整环(B) 除环是域(C) 整数环是整环

二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）

（请将正确答案填入空格内）

1、环Z(i)={a+bi|a,b∈Z}的单位是________________。

2、若a是群G中的一个8阶元,则a6的阶为________ 。

(F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M100 (F)中规定等价关系～

3、设M

100

下：

A～B⇔秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。

4、6次对称群S

中,(1245)-1(46)=____________。

6

5、12的剩余类环Z12的零因子是。

三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分）

（请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”）

1、若H N，H G,那么NH G。（）

2、设I是一主理想环，则I是一欧氏环。

（）

Z是一个域。（）3、商环

(9)

4、设f 是群G到群-G的同态映射，H G，则 f (H)-G。（）

5、素数阶的群G 一定是循环群。

（ ）

四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分）（要求写出主要计算步骤

及结果）

1、在10次对称群S 10中，σ=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛1968752431010987654321.

将σ表成一些不相交轮换之积，并求1σ-及()σ。

2、在整数环Z 中，试求出所有包含30的极大理想。

五、证明题（本题共4小题,每小题10分，共40分）

1、设f 是环R 到环R '的满同态，A 为R 的理想，证明：

R Kerf A R A f =+⇔'=)(。

2、设N G, [G:N]=2009, 证明：对G x ∈∀, 恒有2009x N ∈。

3、设R 为交换环，则R 的每个极大理想都是素理想。

4、设G 与G 是两个群，f G G ，K = Kerf ，H G ≤，令H = {x |x ∈G ，

f (x ) ∈H }，证明：H G ≤且H H K ≅。