欧式看涨期权二叉树定价

阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

欧式看涨期权二叉树定价（含matlab代码和结果图）

实验概述

本实验首先介绍了二叉树方法的来源和主要理论基础，然后给出期权的二叉

树定价方法的基本过程和MATLAB7. 0实现的过程。

19. 2 实验目的

(1)了解二叉树的定价机理;

(2)掌握用MATLAB7. 0生成股票价格的二叉树格子方法;

(3)掌握欧式期权和美式期权的二叉树定价方法。

19. 3 实验工具

MATLAB 7. 0。

19. 4 理论要点

构造二叉树图(Binomial Tree)是期权定价方法中最为常见的一种。这个树图

表示了在期权有效期内股票价格可能遵循的路径。二叉树定价方法与风险中性定

价理论是紧密联系的。Cox, Ross & Rubinstein (1979)首次提出了构造离散的风险

中性概率可以给期权定价，在此基础上他们给出了二叉树定价方法。

1)一个简单的例子

假设当前(3月份)股票的价格So =50元，月利率是25%。4月份股票价

格有两种可能:S=100元，S=25元。有一份看涨期权合约，合约约定在4月份低高

可以以50元价格买进一股股票。现在考虑一个投资组合，进行几项操作:以价格

C卖出3份看涨期权合约;以50元购入2股股票;以25%的月利率借人40元现金，

法拉兹·日·阿卜——学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。．

培根阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——借期为一个月。所示。根据

上述组合，我们可以得到以下到期收益分布表，如表19. 1 投资组合的到期收益

分布表表19.1

四月份

三月份

元S=100 S=25元高低

-150 0 卖出3份看涨期权合约3C

200 50 -100 买人两股股票-50

40 -50 借人现金

总计0

0 0

这个例子说明，元，即为期权的价格。由一价定律3C-100+40=0，可得C= 20唯一需要做的是假设对投资者而言不存可以用一个相当简单的方法为期权定价，月份使得在4在套利机会。我们可以通过某种方式构造一个股票和期权的组合，它的收益率一定等于无该组合的价值是确定的。于是我们可以说该组合无风险，风险收益率。二叉树方法正是基于上述思想构造了二项分布下的风险中性概率。2)二叉树模型考虑一个不支付红利的股票期权价格估值。我们把期权的有效期分为很多

pS以概率很小的时间间隔Δt。假设在每一个时间段内股票价格从开始的价格。也就是说在任何一个时期，，其中，u>1,O

4 Su3Su Su

2 2 Su Su p

Su Su

S S S S

Sd Sd

2 2 Sd Sd 1-p

3 4Sd SdSd 法拉兹·日·阿卜——学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。．

培根阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——19. 2 二叉树模型图图19. 1股票价值变化的可能性

股票都有个时期，在任何一个时期，例如，我们假定将期权的有效期分成4时，我们有两种可能的价值，即每个时间段都假定是一个两状态过程。当N=4 。以下结点图19. 2t??r de? P=在风险中性概率Q下，d?u]

+(1-p)f且有，f[pf t?r?e d0=u期后的期权可能的价格分布，分别为期权价格高点和fu 和fd是在△t其中低点。??t?t??2?ee u=，我们有和令u=1/d，根据股票回报率的方差d=t?那么欧式看涨期权的到期收益的，若每个股票价格路径的样本点个数为

N+1N-jj N，1Su，…，d-X]，j=0f 样本路径为：max [0，N, =

?t??e]

=+(1-p)f向后递归可得：f[pf i+1,ji+1,j+1ijN-jj N1，…，，] j=0相应欧式看跌期权的到期收益表示:f =max[0,X-Su，d N,j因此我们下面仅考虑美美式看涨期权的到期收益与欧式看涨期权是一致的，N-jj，…，N j=0，式看跌期权的格子(Lattice): f

=max[0,X-Su1d]，N,ji-jj??t?e[pf,+(1-p)f]}。向后递归可得: max{X-Sud i+1,ji+1,j+1i=N-1，N-2，...，0；j=0,1, (i)

19. 5 实验过程

我们首先给出欧式期权的二叉树定价的MATLAB代码，然后给出美式期权的二叉树定价的代码。

19. 5. 1 欧式看涨期权

1)欧式看涨期权的二叉树定价

法拉兹·日·阿卜——学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。．

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下面的函数LatticeEurCall( )给出了利用二叉树的方法给欧式看涨期权定

%欧式看涨期权的二叉树定价价:

%LatticeEurCall.m

function [price, lattice]=LattceEurCall(SO,E,r,T,sigma, N)

%S:股票现价,E：执行价格,r：利率,T:期权的有效期限,sigma：波动率，N：0结点数

deltaT=T/N；%日期步长

u=exp(sigma*sqrt(deltaT);

d=1/u;

p=(exp(r*deltaT)/(u-d); %凤险中性概率

lattice=zeros(N+ 1, N+1)

for j=0,N

lattice(N+1,j+1)=max(0,S0*(u^j)*(d^(N-j))-E);

end

for i=N-1:-1:0

for j=0:i

lattice(i+1,j+1)=exp(-r*deltaT)*…

法拉兹·日·阿卜——学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。．

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(p* lattice(i+2,j+2)+(1-p)* lattice(i+2,j+1));

end

end

price= lattice1,1);

假设存在有效期为1年的欧式看涨期权，股票初始价格为50，利率为0. 03，波动率为0. 2，执行价格为40，且令结点数N为10，在命令窗口中输人: [price, lattice]=LatticeEurCall(50,40，0. 03，1，0. 2，10)

就可以得到一个以下三角矩阵表示二叉树的格子以及欧式看涨期权的价格11. 614 5，如图19. 3所示。

2)欧式看涨期权的二叉树的收敛性质

Gox, Ross & Rubinstein (1979)证明了二叉树收敛于Black-Scholes期权定价公式。取当前时刻为t一△t，在给定参数p, u和d的条件下将二叉树公式:

?r?t e f(S,t一△t)=[pf(Su,t)+(1-p)f(Sd,t)]

在(S, t)处进行泰勒展开，可以得到:

2f1??f?f22??(?t))??0ttrS,St)?(S,)?S(S,(2?t?S2?S当△t→0时，二叉树模型收敛于Black-Scholes偏微分方程。下面给出一个二叉树收敛的直观结果，给出代码CompLatticeBls. m。法拉兹·日·阿卜——学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。．