结构力学第11章 静定结构总论

§11-1
几何构造分析与受力分析之间的对偶关系 为一个W=0的对称体系,分析此体 的对称体系, 图(a)为一个 为一个 的对称体系 系几何构造分析和受力分析之间的对偶关系. 系几何构造分析和受力分析之间的对偶关系. 几何构造分析: 几何构造分析: α≠0,体系几何不变且无多余约束; α≠0,体系几何不变且无多余约束; α =0,体系为几何可变(瞬变)且有多余约束. ,体系为几何可变(瞬变)且有多余约束. 受力分析(如图 , 受力分析(如图(b), (c) ):
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§11-3
空间杆件体系的几何构造分析
规律1 空间中一点与一刚体用三根链杆相连, 规律 空间中一点与一刚体用三根链杆相连,且三链杆不在同 一平面内,则组成几何不变的整体,且无多余约束. 一平面内,则组成几何不变的整体,且无多余约束.
如图,当刚片ABC是一平面铰接三角形 如图,当刚片 是一平面铰接三角形 用三链杆按规律1联结成 时,与平面外一点O用三链杆按规律 联结成 与平面外一点 用三链杆按规律 一个铰接四面体. 一个铰接四面体.
图(a)中六根 中六根 支杆不交于同一直 线,体系是几何不 变体系. 变体系.
图(b)中1,3,5, 中 , , , 6四根支杆互相平行, 四根支杆互相平行, 四根支杆互相平行 刚体可绕直线BB 刚体可绕直线 '转 体系是可变的. 动,体系是可变的.
图(c)中2,4,5, 中 , , , 6四根支杆位于同一 四根支杆位于同一 平面内, 平面内,六杆支杆都 交于直线BD,体系是 交于直线 , 可变的. 可变的.
F1 cos α F2 cos α = Fx F1 sin α + F2 sin α = Fy
2. 从W=0的一个简例看对偶关系 的一个简例看对偶关系
得
D=
cos α sin α
cos α sin α
= sin 2α
α≠0,D ≠0,平衡方程组有唯一解 , , α =0, D =0,F1-F2=Fx,Fy=0,无解或解不唯一 , , ,
§11-1 几何构造分析与受力分析之间的对偶关系
1. 从计算自由度 的力学含义和几何含义看对偶关系 从计算自由度W的力学含义和几何含义看对偶关系 W的几何含义:W=各部件的自由度总数 全部约束数 的几何含义: 各部件的自由度总数 各部件的自由度总数-全部约束数 的几何含义 W的力学含义: 的力学含义: 的力学含义 (1)W>0,平衡方程个数大于未知力个数,体系不能维持平衡, ) > ,平衡方程个数大于未知力个数,体系不能维持平衡, 体系为几何可变; 体系为几何可变; (2) W<0,平衡方程个数小于未知力个数,体系能维持平衡, ) < ,平衡方程个数小于未知力个数,体系能维持平衡, 体系有多余约束; 体系有多余约束; (3)W=0,平衡方程个数等于未知力个数,方程组的系数行列式 ) ,平衡方程个数等于未知力个数,方程组的系数行列式D D≠0,方程组有唯一解,体系几何不变且无多余约束 ,方程组有唯一解, D=0,方程组无解或有无穷多解, 体系几何可变且有多余约束 ,方程组无解或有无穷多解,
§11-2
零载法 所示两体系W=0 图(a)所示两体系 所示两体系
2. 从虚功原理角度看零载法
在零荷载作用下,应用虚功原理求约束力 得到如图(b)的体系 在零荷载作用下,应用虚功原理求约束力FX.得到如图 的体系 虚功方程为
FX X = 0
X ≠ 0 FX = 0
X = 0 FX × 0 = 0
§11-3
空间杆件体系的几何构造分析
规律3 一刚体与另一刚体(基础 用六根链杆相联, 基础)用六根链杆相联 规律 一刚体与另一刚体 基础 用六根链杆相联,如链杆中有三 根位于同一平面内而不交于一点, 根位于同一平面内而不交于一点,当六根链杆不交于同 一直线时,则组成几何不变的整体,且无多余约束. 一直线时,则组成几何不变的整体,且无多余约束. 例11-3 试分析图示体系的几何构造. 试分析图示体系的几何构造. 去掉六根支杆, 解 去掉六根支杆,分析体系内几何构造 ABCD是一个铰接四面体,在此基础 是一个铰接四面体, 是一个铰接四面体 按规律1由 , , 联结结点 联结结点E, 上:按规律 由BE,CE,DE联结结点 , 构成一个大刚体;重复应用规律1, 构成一个大刚体;重复应用规律 ,依次 联结结点F, , , 联结结点 ,G,H,构成几何不变且无多 余约束的整体. 余约束的整体. 由规律2,体系是无多余约束的几何不变体系. 由规律 ,体系是无多余约束的几何不变体系.
FNBC = FNCD = X FNDE = FNEF = X 2 FNFA 2 X 2 2 = X 2
结点A的隔离体如图 ,求得X=0.即各杆轴力全部为 结点 的隔离体如图(c),求得 的隔离体如图 . 初参数法或通路法. 零,不存在自内力,体系几何不变.—初参数法或通路法. 不存在自内力,体系几何不变. 初参数法或通路法
§11-4
静定空间刚架 的杆端内力, (1)求杆 的杆端内力,隔离体如图 . )求杆BC的杆端内力 隔离体如图(a).
∑ Fx = 0 FNBC = 0 ∑ Fy = 0 ( FQy ) BC = FP ∑ Fz = 0 ( FQz ) BC = 0 ∑ M x = 0 ( M t ) BC = 0 ∑ M y = 0 ( M y ) BC = 0 ∑ M z = 0 ( M z ) BC = FP l2
§11-2
零载法 解:W=0,可用零载法,支座反力为零,且 ,可用零载法,支座反力为零,
试用零载法检验图(a)所示桁架的几何不变性 所示桁架的几何不变性. 例11-2 试用零载法检验图 所示桁架的几何不变性.
FNGE = FNGF = FNHA = FNHI = 0
余下部分如图(b), 为初参数) 余下部分如图 ,设: FNAB=X(为初参数 为初参数 按B,C,D,E,F的次序应用结点法: 的次序应用结点法: , , , , 的次序应用结点法
§11-2
零载法
例11-1 试用零载法检验图(a)所示桁架的几何不变性. 试用零载法检验图 所示桁架的几何不变性. 所示桁架的几何不变性 解:W=2×10-20=0,可用零载法,得 × ,可用零载法,
FxA = FyA = FyB = 0
由结点A,B,C,G的平衡条件得 由结点 , , , 的平衡条件得
中支杆4, , 图(a)中六根支 中六根支 图(b)中六根支 中六根支 图(c)中支杆 ,5, 中支杆 互相平行, 杆不交于同一直线, 杆交于同一直线AB, 互相平行 杆不交于同一直线, 杆交于同一直线 , 6互相平行,三杆在 刚体可绕直线AB转动 无穷远处交于一点, 转动, 无穷远处交于一点, 体系无多余约束且几 刚体可绕直线 转动, 何不变. 体系是可变的. 体系是可变的. 何不变. 体系是可变的. 体系是可变的.
§11-2 零载法
1. 零载法及其应用举例 零载法:对于 零载法:对于W=0的体系 的体系 如果几何不变,在荷载为零时,它的全部内力都为零; 如果几何不变,在荷载为零时,它的全部内力都为零; 如果几何可变,在荷载为零时,它的某些内力可不为零. 如果几何可变,在荷载为零时,它的某些内力可不为零. (a)所示体系 W=0,几何不变; 所示体系, 图(a)所示体系, W=0,几何不变; 荷载为零,全部支座反力都为零. 荷载为零,全部支座反力都为零. 所示体系, 图(b)所示体系, W=0,几何可变; 所示体系 ,几何可变; 荷载为零,水平支座反力 可以不为零. 荷载为零,水平支座反力Fx可以不为零. 自内力:荷载为零而内力不全为零的内力状态. 自内力:荷载为零而内力不全为零的内力状态.
FNAC = FNAJ = FNBG = FNBH = 0 FNCD = FNCI = FNGF = FNGI = 0
余下部分如图(b), 余下部分如图 ,FNEI=0,设: FNDH=X , 可见: 为任一值时 各结点都能保持平衡. 为任一值时, 可见:X为任一值时,各结点都能保持平衡. 即:桁架可以有自内力存在,是几何可变体系. 桁架可以有自内力存在,是几何可变体系.
§11-3
空间杆件体系的几何构造分析
2. 空间铰接体系的计算自由度 空间铰接体系的计算自由度W 体系的结点总数: 体系的结点总数: j 链杆与支杆的总数: 链杆与支杆的总数: b 计算自由度W为 计算自由度 为: W=3j-b
若W>0:体系是几何可变的; > :体系是几何可变的; 若W<0:体系有多余约束; < :体系有多余约束; 若W=0: 体系可能是几何不变且无多余约束, : 体系可能是几何不变且无多余约束, 也可能是几何可变且有多余约束. 也可能是几何可变且有多余约束. 计算例11-3 所示体系的计算自由度 . 所示体系的计算自由度W. 例11-4 计算例 解:j=8,b=24,W=3j-b=0 , ,
§11-3
空间杆件体系的几何构造分析
规律2 一刚体与另一刚体(基础 用六根链杆相联, 基础)用六根链杆相联 规律 一刚体与另一刚体 基础 用六根链杆相联,如链杆中有三 根交于一点而不在同一平面内, 根交于一点而不在同一平面内,当六根链杆不交于同一 直 线时,则组成几何不变的整体,且无多余约束. 线时,则组成几何不变的整体,且无多余约束.
第11章 静定结构总论
§11-1 几何构造分析与受力分析之间的对偶关系 §11-2 零载法 §11-3 空间杆件体系的几何构造分析 §11-4 静定空间刚架 §11-5 静定空间桁架 §11-6 悬索结构 §11-7 静定结构的一般性质 §11-8 各种结构形式的受力特点 §11-9 简支梁的包络图和绝对最大弯矩 §11-10 位移影响线 §11-11 小结
即一个铰接四面体的形状是几何不变,且无多余约束的. 即一个铰接四面体的形状是几何不变,且无多余约束的.
§11-3
空间杆件体系的几何构造分析
(2)两个刚体之间的联接方式 ) 一个刚体在空间内有六个自由度, 一个刚体在空间内有六个自由度,即沿三个坐标轴方向的 移 动和绕三个坐标轴的转动.即将一刚体固定到另一刚体 基础 基础) 动和绕三个坐标轴的转动.即将一刚体固定到另一刚体(基础 上需要六根链杆. 上需要六根链杆.
所有约束力都应为零, 所有约束力都应为零, 体系中不存在自内力状态. 体系中不存在自内力状态.
FX可为任意值,体系 可为任意值, 中存在自内力状态. 中存在自内力状态.
的体系中: 在W=0的体系中:自内力状态能 否)存在是体系 的体系中 自内力状态能(否 存在是体系 几何可(不 变的标志 变的标志. 几何可 不)变的标志.
§11-4 静定空间刚架
1 内力计算 空间结构杆件轴线与荷载不 在同一平面内,如图所示. 在同一平面内,如图所示. 杆件截面一般有六个内力 分量,如图所示. 分量,如图所示.
FN
—轴力,沿杆件轴线方向作用; 轴力,沿杆件轴线方向作用; 轴力
FQ1,FQ2—剪力,分别沿截面两个主轴方向作用; 剪力, 剪力 分别沿截面两个主轴方向作用; Mt —扭矩,绕杆件轴线旋转的力偶矩; 扭矩,绕杆件轴线旋转的力偶矩; 扭矩 M1,M2 —弯矩,分别绕截面两个主轴旋转的力偶矩. 弯矩,分别绕截面两个主轴旋转的力偶矩. 弯矩
§11-3 空间杆件体系的几何构造分析
空间结构:杆件轴线不在同一平面内的结构. 空间结构:杆件轴线不在同一平面内的结构. 1. 空间几何不变体系的组成规律 (1)一点与一刚体之间的联接方式 ) 一点在空间内有三个自由度,即沿三个坐标轴方向的移动. 一点在空间内有三个自由度,即沿三个坐标轴方向的移动. 中点O由三根不在同一平面内的链杆固定 图(a)中点 由三根不在同一平面内的链杆固定 中点 在基础上,结点 在空间的位置便固定了 在空间的位置便固定了. 在基础上,结点O在空间的位置便固定了. 中三根链杆在同一平面内, 图(b)中三根链杆在同一平面内,结点 沿平面 中三根链杆在同一平面内 结点O沿平面 AOB的法线方向可以移动.体系有一个自由度,有一 的法线方向可以移动.体系有一个自由度, 的法线方向可以移动 个多余约束. 个多余约束.