2018年-高三数学概率复习(3)几何概率)

2018年 高三数学概率复习（3） 几何概率 【知识点】第6课时 几何概型纵观近几年高考所涉及几何概型的考查内容特点是与实际生活密切相关，这就要求抓好破势训练，从不同角度，不同侧面对题目进行分析，查找思维的缺陷．1几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2几何概型中事件A 的概率计算公式 P(A)＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）．3要切实理解掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4.几何概型的试验中事件A 的概率P(A)只与子区域A 的几何度量(长度、面积和体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．5求试验中几何概型的概率关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．4．(2016·衡水调研卷)已知A ＝{(x ，y)|－1≤x ≤1，0≤y ≤2}，B ＝{(x ，y)|1－x 2≤y}．若在区域A 中随机地扔一粒豆子，则该豆子落在区域B 中的概率为( )A ．1－π8 B.π4 C.π4－1 D.π8例1 (1)在区间[0，3]上任取一个数x ，使得不等式x 2－3x ＋2>0成立的概率为________．【解析】 x 2－3x ＋2>0⇔x>2或x<1，由几何概型概率公式可得P ＝23.【答案】 23(2)已知一只蚂蚁在边长分别为5，12，13的三角形的边上随机爬行，则其恰在到三个顶点的距离都大于1的地方的概率为( )A.45B.35 C.π60 D.π3 【思路】 确定构成事件的区域→根据几何概型的概率计算公式求解【解析】 由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为2430＝45.探究1 (1)与长度有关的几何概型．如果试验的的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 P(A)＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与角度有关的几何概型．当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．思考题1 (1)(2015·重庆文改编)设p 在[0，5]上随机地取值，求方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实数根的概率为________．【解析】 方程有实数根⇔Δ＝p 2－4(p 4＋12)≥0⇒p ≤－1或p ≥2.又∵p ∈[0，5]，∴方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实数根的p 的取值范围是[2，5]．∴方程x 2＋px ＋p 4＋12＝0有实数根的概率为P ＝区间[2，5]的长度区间[0，5]的长度＝35.【答案】 35(2)在区间[0，π]上随机取一个数，使cosx 的值介于－32与32之间的概率为( ) A.13 B.23 C.38 D.58【解析】 cosx 的值介于－32与32之间的区间长度为5π6－π6＝2π3.由几何概型概率计算公式，得P ＝2π3π－0＝23.故选B. 【答案】 B例2 (1)设x ∈[0，3]，y ∈[0，4]，求点M 落在不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．【解析】 依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y)|⎩⎨⎧0≤x ≤3，0≤y ≤4}内，属于几何概型．该平面区域的图形为图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x ，y)|⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0}，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴，y 轴的交点分别为A(3，0)，D(0，32)，∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.【答案】316(2)两人约定在20：00到21：00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20：00至21：00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率．【思路】 两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即23小时．设两人分别于x 时和y时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，当且仅当－23≤x －y ≤23，因此转化成面积问题，利用几何概型求解．【解析】 设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－23≤x －y ≤23.两人到达约见地点所有时刻(x ，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x ，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示．因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为P ＝S 阴影S 单位正方形＝1－（13）212＝89. 探究2 (1)“面积比”是几何概率的一种重要概型，既有实际面积比也有可转化为面积比的问题．(2)会面的问题是利用数形结合转化成面积问题的几何概型，难点是把两个时间分别用x ，y 表示，构成平面内的点(x ，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成几何概型的面积问题．(3)对二元变量问题，一般都可转化为面积的问题．思考题2 (1)(2015·福建文)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x<0，的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12【解析】 依题意得，点C 的坐标为(1，2)，所以点D 的坐标为(－2，2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B.【答案】 B(2)(2016·湖北八校联考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．【解析】 利用定积分直接求面积，再利用几何概型的概率公式求解． 正方形内空白部分面积为⎠⎛－11[x 2－(－x 2)]dx＝⎠⎛－112x 2dx ＝23·x 3|－11＝23－⎝⎛⎭⎫－23＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.【答案】 23例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC <12V S －ABC 的概率是________．【解析】 当P 在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P ＝1－18＝78.【答案】 78探究3 几何概型的概率公式中的“几何度量”，除了前面的长度、面积，也可以是体积，而且只与体积大小有关．思考题3 (1)若在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离不大于a 的概率为________．【解析】 满足条件的点在以A 为球心，半径为a 的18球内，所以所求概率为P ＝18×43πa 3a 3＝π6. 【答案】π6(2)有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．【解析】 圆柱的体积V 柱＝πR 2h ＝2π， 半球的体积V 半球＝12×43πR 3＝23π.∴圆柱内一点P 到点O 的距离小于等于1的概率为13.∴点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.【答案】 23例4 过等腰Rt △ABC 的直角顶点C 在∠ACB 内部随机作一条射线，设射线与AB 相交于点D ，求AD<AC 的概率．【解析】 在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接CE(如图)，则当射线CD 落在∠ACE 内部时，AD<AC.易知∠ACE ＝67.5°，∴AD<AC 的概率P ＝67.5°90°＝0.75.【答案】 0.75探究4 (1)解决概率问题先判断概型，本题属于几何概型，满足两个条件：①每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域表示；②每次试验的各种结果是等可能的．(2)对于两个区域A 、B ，且A ⊆B ，当区域B 为平面图形时，如果点P 在整个平面图形上或线段长度上分布不是等可能的，注意观察角度是否等可能，若与角度有关，则可以选择角度作为区域的测度．当考查对象为线时，一般用角度比计算．思考题4 (1)如图所示，M 是半径为R 的圆周上的一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．【解析】 当弦MN 的长度恰为2R 时，∠MON ＝π2，如图．当点N 落在半圆弧NMN ︵′上时，弦MN 的长度不超过2R ，故所求概率为P ＝12.【答案】 12(2)在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．【解析】 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的．射线OA 是否落在∠xOT 内只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．于是，记B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}， ∵∠xOT ＝60°，∴P(B)＝60°360°＝16.【答案】 161．几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是试验结果在一个区域内的分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关．2．几何概型的“约会问题”已经是程序化的方式与技巧，必须熟练掌握． 【自主练习】1．设x ∈[0，4]，则x 2≤4的概率是( ) A.23 B.14 C.13 D.12答案 D解析 由x 2≤4解得－2≤x ≤2.因为x ∈[0，4]，取交集得x ∈[0，2]，所以x 2≤4的概率是2－04－0＝12. 2. (2014·辽宁文)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8答案 B解析 由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P ＝半圆的面积长方形的面积＝12π2＝π4，故选B.3．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( ) A.14 B.13 C.427 D.415答案 A解析 面积为36 cm 2时，边长AM ＝6 cm ； 面积为81 cm 2时，边长AM ＝9 cm. ∴P ＝9－612＝312＝14.4.如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14B.13 C.12 D.23答案 D解析 依题意可知∠AOC ∈[15°，75°]，∠BOC ∈[15°，75°]，故OC 活动区域为与OA ，OB 构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(90°－30°)＝60°. P(A)＝OC 活动区域的圆心角度数∠AOB 的度数＝60°90°＝23.5．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率是( )A.π4 B ．1－π4C.π8 D ．1－π8答案 D解析 P ＝4×4×sin150°－π×124×4×sin150°＝1－π8.6．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B ．1－π12C.π6 D ．1－π6答案 B解析 正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×4π3×13＝2π3，则点P 到点O 的距离小于或等于1的概率为2π38＝π12，故点P 到点O 的距离大于1的概率为1－π12.7．(2013·陕西理)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4B.π2－1 C ．2－π2D.π4答案 A解析 依题意知，有信号的区域面积为π4×2＝π2，矩形面积为2，故无信号的概率P ＝2－π22＝1－π4.8．(2013·四川理)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78答案 C解析 设通电x 秒后第一串彩灯闪亮，y 秒后第二串彩灯闪亮．依题意得0≤x ≤4，0≤y ≤4，∴S ＝4×4＝16.又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x －y|≤2，如图可知，符合要求的S ′＝16－12×2×2－12×2×2＝12，∴P ＝S ′S ＝1216＝34.9．若在区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≥0，y ≥0内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( ) A.π2 B.π8 C.π6 D.π4答案 D解析 区域为△ABC 内部(含边界)，则概率为P ＝S 半圆S △ABC ＝π212×22×2＝π4，故选D.10．如图所示，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线f(x)＝sinx ，x ∈(0，π)，及直线x ＝a，a ∈(0，π)与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a的值是( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6答案 B解析 图中阴影部分的面积为S 1＝⎠⎛a sinxdx ＝－cosx |a0＝1－cosa ，矩形面积S ＝a·6a＝6，则根据几何概型有P ＝S 1S ＝1－cosa 6＝14，解得cosa ＝－12，所以a ＝2π3.故选B.11. (2014·福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 几何概型与随机模拟实验的关系．由题意知，这是个几何概型问题，S 阴S 正＝1801 000＝0.18.∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.12．若在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是________． 答案π40解析 将取出的两个数分别用x ，y 表示，则0≤x ≤10，0≤y ≤10.如图所示，当点(x ，y)落在图中的阴影区域时，取出的两个数的平方和也在区间[0，10]内，故所求概率为14π×10102＝π40.13．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．答案 3解析 设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h（2h ＋2）（2h ＋1）＝14，解得h ＝3，故长方体的体积为1×1×3＝3.14. (2016·潍坊一模)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？ 答案 乙商场中奖的可能性大解析 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR 26.所以，在甲商场中奖的概率为P 1＝πR 26πR 2＝16.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3，3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种，摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)共3个，所以在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝15.由于p 1<p 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．15．(2016·广东深圳)已知复数z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M.设集合P ＝{－4，－3，－2，0}，Q ＝{0，1，2}，从集合P 中随机抽取一个数作为x ，从集合Q 中随机抽取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率； 答案 16解析 记“复数z 为纯虚数”为事件A.∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i ，0，i ，2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型， 其中事件A 包含的基本事件共2个：i ，2i ， ∴所求事件的概率为P(A)＝212＝16. 16．张先生订了一份报纸，送报人在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00～8：00之间，求张先生在离开家之前能得到报纸的概率． 答案 78解析 以横坐标x 表示报纸送到时间，以纵坐标y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件A 发生，则P(A)＝1×1－12×12×121×1＝78.1．(2016·重庆一中期中)在[－2，3]上随机取一个数x ，则(x ＋1)(x －3)≤0的概率为( ) A.25 B.14 C.35 D.45答案 D解析 由(x ＋1)(x －3)≤0，得－1≤x ≤3.由几何概型得所求概率为45.2．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( ) A.4π81 B.81－4π81C.127D.827 答案 C解析 由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P ＝1333＝127.3.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM<1的概率为( )A.13B.25C.33D.3－12答案 B解析 由题意知∠BAD ＝π6，∠BAC ＝π4＋π6＝5π12，所以BM<1的概率为π6÷5π12＝25.4．已知实数a 满足－3<a<4，函数f(x)＝lg(x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1，定义域为R 的概率为P 2，则( ) A ．P 1>P 2 B ．P 1＝P 2C ．P 1<P 2D ．P 1与P 2的大小不确定答案 C解析 若f(x)的值域为R ，则Δ1＝a 2－4≥0，得a ≤－2或a ≥2. 故P 1＝－2－（－3）4－（－3）＋4－24－（－3）＝37.若f(x)的定义域为R ，则Δ2＝a 2－4<0，得－2<a<2. 故P 2＝47.∴P 1<P 2.5．(2016·湖南澧县三校)假设在时间间隔T 内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机．若这两条短信进入手机的间隔时间不大于t(0<t<T)，则手机受到干扰．手机受到干扰的概率是( ) A ．(t T )2B ．(1－tT )2C ．1－(tT )2D ．1－(1－tT )2答案 D解析 分别设两个互相独立的信号为X ，Y ，则所有事件集可表示为0≤x ≤T ，0≤y ≤T.由题目得，如果手机受到干扰的事件发生，必有|x －y|≤t.这时x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤T ，0≤y ≤T ，|x －y|≤t ，约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤T ，0≤y ≤T ，|x －y|≤t ，的可行域为如图阴影部分．而所有事件的集合即为正方形面积，阴影区域面积为T 2－2×12(T －t)2＝T 2－(T －t)2所以阴影区域面积和正方形面积比值即为干扰发生的概率，即1－(1－tT )2，故选D.6．(2015·重庆文)在区间[0，5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________． 答案 23解析 设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4（3p －2）≥0，x 1＋x 2＝－2p<0，x 1x 2＝3p －2>0，结合0≤p ≤5，解得23<p ≤1或2<p ≤5，所以所求概率P ＝（1－23）＋（5－2）5＝23.7．设区域Ω＝{(x ，y)|0≤x ≤2，0≤y ≤2}，区域A ＝{(x ，y)|xy ≤1，(x ，y)∈Ω}，在区域Ω中随机取一个点，则该点恰好在区域A 中的概率为________． 答案1＋2ln242×12＋ 解析 区域A 如图中阴影部分，区域Ω的面积为4，区域A 的面积为1xdx ＝ 1＋lnx |212＝1＋2ln2，所以该点恰好在区域A 中的概率P ＝S A S Ω＝1＋2ln24.8．(2016·顺义区一模)已知关于x 的一次函数y ＝ax ＋b.(1)设集合A ＝{－2，－1，1，2}和B ＝{－2，2}，分别从集合A 和B 中随机取一个数作为a ，b ，求函数y ＝ax ＋b 是增函数的概率；(2)若实数a ，b 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≥0，－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，求函数y ＝ax ＋b 的图像不经过第四象限的概率．解析 (1)抽取全部结果所构成的基本事件空间为(－2，－2)，(－2，2)，(－1，－2)，(－1，2)，(1，－2)，(1，2)，(2，－2)，(2，2)，共8个． 设函数是增函数为事件A ，需a>0，有4个， 故所求概率为P(A)＝12.(2)实数a ，b 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≥0，－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，要函数y ＝ax ＋b 的图像不经过第四象限，则需使a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，对应的图形为正方形，面积为1，作出不等式组对应的平面区域如图：则根据几何概型的概率公式可得函数y ＝ax ＋b 的图像不经过第四象限的概率为S 正方形OFBCS 多边形ABCDE ＝172＝27. 9．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．答案 (1)2536 (2)221288解析 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x ，y ，则0≤x<24，0≤y<24且y －x>4或y －x<－4. 作出区域⎩⎪⎨⎪⎧0≤x<24，0≤y<24，y －x>4或y －x<－4.设“两船无需等待码头空出”为事件A ，则P(A)＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y>2或y －x>4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x<24，0≤y<24，y －x>4或x －y>2.P(B)＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.。