常系数非齐次线性微分方程组待定系数法的新的推导方法
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云南师范大学学报 $ 自然科学版 &
第: )卷
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的解是齐次线性微分方程 ! ) "的解 +
解决这一问题 $ 在
3 & 4
中$ 我们给出了用待定系数法
求常系数非齐次线性微分方程组特解的充要条件 在本文中 $ 我们将主要给出推导常系数非 和公式 + 齐次线性微分方程 ! 组" 的待定系数法的新的简便 的算子方法 +
定理 . 是特征方程 : 重根 B设 E ! A "7 ’的 I 则 ;阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 ! ! I J’ " $ . " K IE 9 有形如 C 7 9 的特解 其中 表示 DL 9 " $ L 9 " @ @! @! 次多项式 +
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以 6 7 8 表 示 微 分 算 子 $: ! 6"7 6; < 8 9 1. = 6; <><= 6< = ? 9 " . ; 1. ;表示算子多项式 $ @!
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但其推导过程却很繁 方 程 组 特 解 的 常 用 方 法$
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第) 2卷第 %期 ) ’ ’ 2年 . .月
云南师范大学学报 Q R S T U V W R X YS U U V UZR T [V W \U ] ^ _ T ‘ ] a b
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常系数非齐次线性微分方程 ! 组" 待定系数法的新的推导方法 #
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云南师范大学学报 Q 自然科学版 R
第" G卷
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中图分类号 * . / &
求常系数线性微分方程组的特解是微分方程 理 论 的 重 要 部 分 之 一$ 但在微分方程的初等解 法
3 . $ ) 4
; ; 1. 表 示 @次多项式 $ : ! A " 7A <= A <><= A . ; 1.
中$ 这 部 分 的 内 容 却 太 简 略 了$ 以至于没有
4 !, 7’ 3 ’, 4 6, ( 1 % 通解 / 故将通解 $ 代入方程 " $ % & !0 ) & 4 8 25 4 !, 3
7’ 3 ’, 它相当于 <个齐次微分方程 1 & + $ -& "! . / : 7’ 3 ’, $ -6 1 & + $ -& " / ] !, / =/ < : ]! . 它们分别有通解
表示特征方程 + <= ;7 ’ 引理 . B;阶常系数非齐次线性微分方程
E 9 : ! 6" C7 D ? 9 " @! 的特解是下列齐次线性微分方程 @< . ! 61 E " : ! 6" C7 ’
引起足够的重视 + 为了深入探讨常系数线性微分 方 程 组 的 新 解 法$ 算 子 方 法 有 其 独 到 之 处+事 实 上$ 从算子 方 法 入 手 去 寻 求 常 系 数 线 性 微 分 方 程 组" 的新解法会显得非常方便 + 在我们前期的工 ! 2 4 作中 $ 我们先后给出了算子分解方法 3 初等行变 $ 换法 逆算子的形式幂级数展开 法 等 $ 并且将 $ 有关的方法初步推广到了变系数线性微分方程
其中 W 为算子多项式 8 现设 "! X 是方 $ -& $ % & ; & / 1 % 程$ 则$ 于是有 F &的解 / E -6 ; & X $ % &! 0? % & / 7$
7’ , $ -6 1 & G E -6 ; G E X $ % & 7’ , !$ -6 1 & W $ -& $ E -6 ; & X $ % & 7’ , 1 % !$ -6 1 & W $ -& 0 ? % & 7$ 7’ , 1 % !W $ -& $ -6 1 & 0 ? % & 7$
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或者
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* 1 % $ ] & !0 9 $ % &’ " $ % & $ ^ & 7’ 3 * 其中 " 的通解 8 因此 $ % &是齐次方程 + $ -& " : ]! . 将通解 $ 实际 ^ &代入方程 $ F &去求 出 $ F &的特 解 /
: 算子方法推导一阶常系数非齐次线性 微分方程组的待定系数法
3 5 4 3 & 4 3 % 4 组" ! + 待定系数法不失为求常系数非齐次线性微分
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的解 + 证 明* 设 C 7 F ! 9 "是 方 程 ! . " 的 解 $则 E 9 E 9 而 D? 是齐次微分方程 : ! 6" F ! 9 " 7 D? 9 " $ 9 " @! @! @< . 3 2 4 ! 61 E " G 7 ’的 特 解 $所 以 有 ! 61
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# 收稿日期 * ) ’ ’ 2 1’ % 1. d 云南师范大学科研启动基金 ! 和云南省引进高层次人才工作经费 ! 资助 e 基金项目 * ) ’ ’ ) " ) ’ ’ 2 " 作者简介 * 化存才 ! 男$ 云南省玉溪市人 $ 博士 $ 教授 $ 现从事非线性动力学理论与应用研究 B . ( % 5 1" $
化存才
云南师范大学数学学院 $ 云南 昆明 % ! & ’ ’ ( ) "
摘 关 要 * 文章给出新的简便的算子方法推导常系数非齐次线性微分方程 ! 组" 的待定系数法 + 键 词 * 常系数线性微分方程组 ,待定系数法 ,特解 文献标识码 * 0 文章编号 * . ’ ’ / 1( / ( 2 ! ) ’ ’ 2 " ’ % 1’ ’ ’ . 1’ )
理: 还可以推广到更一般的结果 I 方程组 $ 的特 F & 解形式可与 ; 的特征根的重数无关 8 引理 ) C一阶 常系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 组 $ F &的解是下列齐次线性微分方程组
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( 1 % 上就是求 $ F &的形如 " $ % &! 0 9 $ % &的特解 8 7’ 3 基于下列的引理 ) 并 仿照定 理 ,的 证明 / 定 /
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云南师范大学学报 $ 自然科学版 &
第: )卷
# ( !" $ % &’ " $ % & $ ) & * 是齐次方程 # 其中 " 的通解 $ % & + $ -& " !. / " $ % & ! , * 恰好是齐次方程 1 % 4 6, 的 0 ’" + $ -& "! . $ % & 4 25
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的解是齐次线性微分方程 ! ) "的解 +
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3 & 4
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定理 . 是特征方程 : 重根 B设 E ! A "7 ’的 I 则 ;阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 ! ! I J’ " $ . " K IE 9 有形如 C 7 9 的特解 其中 表示 DL 9 " $ L 9 " @ @! @! 次多项式 +
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实际 上就是 求 $ $ , &去求出 $ , &的特解 / , &的 形 如
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以 6 7 8 表 示 微 分 算 子 $: ! 6"7 6; < 8 9 1. = 6; <><= 6< = ? 9 " . ; 1. ;表示算子多项式 $ @!
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求常系数线性微分方程组的特解是微分方程 理 论 的 重 要 部 分 之 一$ 但在微分方程的初等解 法
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引起足够的重视 + 为了深入探讨常系数线性微分 方 程 组 的 新 解 法$ 算 子 方 法 有 其 独 到 之 处+事 实 上$ 从算子 方 法 入 手 去 寻 求 常 系 数 线 性 微 分 方 程 组" 的新解法会显得非常方便 + 在我们前期的工 ! 2 4 作中 $ 我们先后给出了算子分解方法 3 初等行变 $ 换法 逆算子的形式幂级数展开 法 等 $ 并且将 $ 有关的方法初步推广到了变系数线性微分方程
其中 W 为算子多项式 8 现设 "! X 是方 $ -& $ % & ; & / 1 % 程$ 则$ 于是有 F &的解 / E -6 ; & X $ % &! 0? % & / 7$
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: 算子方法推导一阶常系数非齐次线性 微分方程组的待定系数法
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的解 + 证 明* 设 C 7 F ! 9 "是 方 程 ! . " 的 解 $则 E 9 E 9 而 D? 是齐次微分方程 : ! 6" F ! 9 " 7 D? 9 " $ 9 " @! @! @< . 3 2 4 ! 61 E " G 7 ’的 特 解 $所 以 有 ! 61
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化存才
云南师范大学数学学院 $ 云南 昆明 % ! & ’ ’ ( ) "
摘 关 要 * 文章给出新的简便的算子方法推导常系数非齐次线性微分方程 ! 组" 的待定系数法 + 键 词 * 常系数线性微分方程组 ,待定系数法 ,特解 文献标识码 * 0 文章编号 * . ’ ’ / 1( / ( 2 ! ) ’ ’ 2 " ’ % 1’ ’ ’ . 1’ )
理: 还可以推广到更一般的结果 I 方程组 $ 的特 F & 解形式可与 ; 的特征根的重数无关 8 引理 ) C一阶 常系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 组 $ F &的解是下列齐次线性微分方程组
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