静电场的标势及其微分方程

电场强度E等于电势 的负梯度，负号表示E的方向由高电势指 向低电势
4
讨论：
P2 P1
P2
v E
v dl
P1
(1) 一点上的电势的绝对值没有具体的物理意义，只有两点之间 的电势差才有物理意义；
(2) 选取某个电势参考点，规定该点的电势为零，这样可以单值 地确定空间各点的电势，且一般选无穷远点为电势的零点。
0
P
P
v E
v dl
P
P
v E
v dl
rv
P
v dl
电场中某点P的电势在数值上等于将单位正电荷从该点沿任意路 径移到无穷远处时电场力所做的功。
➢当已知电场强度时可以求出电势，已知电势时可以求出电场强度
v
E
P
P
v E
v dl
5
v
（1）点电荷的电场强度为 E
Q
rv，则点电荷的电势为：
40 r3
r r3
dV
ri为点电荷Qi到场点P的距离
多个电荷在某点P处激发的电势等于每个电荷在该点处激发的
电势的代数和
（3）电荷连续分布时： (xv) 1
(xv) dV
40 V r
6
（4）由公式
( xv)
v E
任意函数 (xv) (xv) C
也可都知是，描若述电(xv)场是E描v的写电电势场场Ev。的电势，则
v D
vv
对于各向同性线性均匀介质有： D E
v E
v
E
2
Poisson方程，静电势满足的基本 微分方程
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讨论： (1) Poisson方程的求解，必须给定边界条件。
2
(2) 若介质为不同类型的均匀介质组成，则对于每种介质，建立 Poisson方程，而在介质分界面上建立合适的边值关系以及边界条件。
静电场
静电场的基本特点：
电荷静止
v J
vv
0
场量不随时间变化 物理量 =0
t
静电场的基本问题：
给定自由电荷的分布，以及周围空间介质或 导体的分布，运用电磁场理论求解带电体系 的电场。
1
解决静电问题的基本方程：
v
微分方程: D
v E 0
边值关系： en E2 E1 0 en D2 D1
l1
l2
蜒 v v v v
E dl E dl
l1
l2
P2 v l1
v l2
静电场为保守力场，将电荷由P1点移至P2点电场力所
P1
作的功与路径无关，只与始末位置有关。
3
静电场是保守力场，可以引入标量势函数(x)来描述静电场
➢ 电荷在电场中由P1点移至P2点电场力所作的功的负值与电荷 量q的比值称为P1P2两点之间的电势差，即有
✓ 电势与电场强度之间并不是一一对应的关系，而是多对一的关 系，描述同一静电场的标势可以差任意一个常数。
（5）若空间中所有电荷分布都给定，则电势和电场都能完全确 定，但实际情况往往不是所有电荷分布都能预先给定，因此，必 须找出表示电荷与电场相互作用的微分方程。
2、静电势的微分方程
静电场的Maxwell方程为：
(P2 ) (P1)
WP1 P2 q
P2
ຫໍສະໝຸດ Baiduv E
v dl
P1
电场力做正功，电势降低
相距为dlv的两点的电势差为
vv
d E dl
由全微分定义：d
(xr )
( xv)
dx
(
xv)
dy
( xv)
dz
( xv)
v dl
x
y
v
dlvzevxdx evydy evzdz
比较以上两个微分式可得： E
3、静电势的边值关系
在两介质的分界面，电场满足的边值关系为：
en E2 E1 0 en D2 D1
对于各向同性线性均匀介质有：
r2 E2 n
r
1E1n
E2t E1t 0
en
介质2 介质1
vvv v E, B, D, H
在两介质的分界面，电势同样必须满足边值关系
2, 2 evt
4、导体表面的边值关系
1）导体的特点
a. 导体内部有大量可自由移动的自由电子 b. 导体材料满足欧姆定律 J E c. 在导体内部，如果存在电场就会有电流存在
2）静电平衡下导体的特点 10
S
➢ 导体内部电场为零，E 0, D E 0
否则，电荷将受到电场的作用力，形成电流，因而不处于平衡条件
到P1
的线元
E1t E29t
➢
电势沿法线方向的偏导数满足 2
2
n
S12
1
1
n
S12
证： en D2 D1
vv
DE
evn
(
2
v E2
v
1 E1
)
介质2
2evn 2 1evn 1
介质1 v
D
v
E
evn
n
en
2, 2 evt
1 , 1
2
2
n
S12
1
1
n
S12
n的方向为由介质1指向介质2
1 , 1
8
➢ 电势 在两介质分界面上连续，1 S12 2 S12
1 表示 S12 1在分界面 S12上的取值
证： P2 P1
P2
v E
v dl
P1
Pv v E dl
P2
v E
v dl
P1
P
v uuuv v uuuv
E1 P1P E2 PP2 0
介质的电磁性质方程：Dv
v E
2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
1、静电场的标势
静电场的Maxwell方程为：
v
D
v E 0
自由电荷分布
是电位移
v D
的源
静电场是无旋场
➢静电场的无旋性表明电场沿任意闭合回路L的环量等于零
vv
Ñ L E dl 0
蜒 v v v v
E dl E dl 0
P S12
➢ 边值关系1 S12 2 与 S12 en E2 E1 0 等价
证： 1 2 0 , 1 2 0
uuuuv P1P2 0
1
1
2
2
vv
vv
1 1 E1 l , 2 2 E2 l
vv v v E1 l E2 l
v E1
evt l
v E2
evt l
v l
为P1
➢ 导体内部不带净电荷，净电荷只能分布于导体表面上
由高斯定理
S E dS
q
0
可知，q=0
➢ 导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势面，整
个导体为等势体
由
v E
可知，
为常量，因而是等势体；如果导体表面上的电场
不沿法线方向，则必有切向分量，因而电荷将沿切线方向移动
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3）导体表面的边值关系
2 S12 常数
P Q
4 0
rv v Q
r
r 3 dl
4 0
dr Q 1
r r 2 4 0 r
rv
P
v dl
（2）电场强度的叠加性
电势的叠加性
E E1 E2
E1 1, E2 2
1 2 (1 2 )
即，对于多电荷体系：(P) 1
Qi
40 i ri
E(x)
V
x
4 0