电磁场3恒定电场
电磁场名词解释
电场：任何电荷在其所处的空间中激发出对置于其中别的电荷有作用力的物质。
磁场：任一电流元在其周围空间激发出对另一电流元（或磁铁）具有力作用的物质。
标量场：物理量是标量的场成为标量场。
矢量场：物理量是矢量的场成为矢量场。
静态场：场中各点对应的物理量不随时间变化的场。
有源场：若矢量线为有起点，有终点的曲线，则矢量场称为有源场。
通量源：发出矢量线的点和吸收矢量线的点分别称为正源和负源，统称为通量源。
有旋场：若矢量线是无头无尾的闭曲线并形成旋涡，则矢量场称为有旋场。
方向导数：是函数u （M ）在点 M0 处沿 l 方向对距离的变化率。
梯度：在标量场 u (M ) 中的一点 M 处，其方向为函数 u (M )在M 点处变化率最大的方向，其模又恰好等于此最大变化率的矢量 G ，称为标量场 u (M ) 在点 M 处的梯度，记作 grad u (M )。
通量：矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分为A 通过S 的通量。
环量：矢量场 A 沿有向闭曲线 L 的线积分称为矢量 A 沿有向闭曲线 L 的环量。
亥姆霍兹定理：对于边界面为S 的有限区域V 内任何一个单值、导数连续有界的矢量场，若给定其散度和旋度，则该矢量场就被确定，最多只相差一个常矢量；若同时还给出该矢量场的边值条件，则这个矢量场就被唯一确定。
（前半部分又称唯一性定理） 电荷体密度： ，即某点处单位体积中的电量。
传导电流：带电粒子在中性煤质中定向运动形成的电流。
运流电流：带电煤质本身定向运动形成形成的电流。
位移电流：变化的电位移矢量产生的等效电流。
电流密度矢量（体（面）电流密度）：垂直于电流方向的单位面积（长度）上的电流。
静电场：电量不随时间变化的，静止不动的电荷在周围空间产生的电场。
电偶极子：有两个相距很近的等值异号点电荷组成的系统。
磁偶极子：线度很小任意形状的电流环。
感应电荷：若对导体施加静电场，导体中的自由带电粒子将向反电场方向移动并积累在导体表面形成某种电荷分布，称为感应电荷。
电磁场与波 静电场和恒定电场
当电荷分布在一个表面上时， 定义面 V (r ) 1 E RdV 电荷密度为单位面积上的电荷 3 q O V 4 0 lim R
S 0
例 有限长直线l上均匀分布着线密度为ρl的线电荷, 如下 图所示，求线外一点的电场强度。
l cos d dqdE z ' l dz 40 1 l E (cos cos ) z' r r ' ( a 1a z z ) 2 R a z 40 a ( z z ' )a z ] 1 1l [ l Ez (sin 1 sin 2 ) dz ' dE 3 40 4 R 无限长线电荷的场
y q 真空中的介电常数 （电容率） 1 40 R
q1
x
2、 电场强度 （Electric Field Intensity）
例：两个点电荷位于（1，0，0）和（0，1，0），带电量分 别为20nC和-20nC，求（0，0，1）点处的电场强度
分布电荷的电场强度
设电荷以体密度ρV(r′)分布在体积V内。在V内取一微小体 （ 积元 d1 V）线电荷 ′，其电荷量dq=ρV(r)dV′，将其视为点电荷，则它 线电荷密度（ Charge Line Density）： 在场点 P(r)处产生的电场为 当电荷分布在一细线（其横向尺寸与长度的比值很小） P(r) dq R dE 上时，定义线电荷密度为单位长度上的电荷 3 R
40 R （ 2）面电荷 V (r ) R dV r 3 40 R 面电荷密度（ Charge Areal Density）： r
dV
V
q l lim l 0 l
（3）体电荷
《电磁场》第三版思考题目答案-(1)
二章：2.1点电荷的严格定义是什么？点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。
当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。
就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。
即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。
2.2 研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？常用的电荷分布模型有 体电荷，，面电荷，线电荷和点电荷常用的电流分布模型有体电流模型，面电流模型和线电流模型他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？点电荷的电场强度与距离r 的平方成反比。
电偶极子的电场强度与距离r 的立方成反比2.4 简述ερ=•∇E 和0E =⨯∇所表征的静电场特性ερ0=•∇E 表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。
0 =⨯∇E 表明静电场是无旋场。
2.5 表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
高斯定律：通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和除以0ε与闭合面外的电荷无关，即dV dS E V S ρε⎰⎰=⋅01在电场（电荷）分布具有某些对称性时，可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
2.6 简述0=•∇B 和J B 0μ=⨯∇所表征的静磁场特性0=⋅∇B 表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0，磁力线是无关尾的闭合线,J B 0μ=⨯∇表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源2.7 表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。
安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于穿过这个环路所有电流的代数和0μ倍,即I dl B C0μ=⋅⎰如果电路分布存在某种对称性，则可用该定理求解给定电流分布的磁感应强度。
工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理
fe Ee lim qt 0 q t
q t 为试验电荷的电荷量。
19
提供局外力的装置就是电源。 在电源中，其他形式的能量转换为电能。 在整个闭合回路中，电能又转换为别的 形式的能量。
20
2．电动势
下图是一个典型的导电回路， 蓝色部分为导 电媒质，黄色部分为电源。 电源中除库仑电场 外，还存在局外电场。 电源之外的导电媒 质中只有库伦电场。
0 1 E ex ， D ex 1 x 1 x
自由电荷体密度
0 0 D ( )=2 x 1 x (1 x)
32
D E E E
E
E
E E E 2 E J 上式说明积累自由电荷的体密度与 的空间 变化有关。 对于均匀导电媒质，介电常数 和电导率 都
5
如果体积的厚度可以忽略， 可以认为电荷在面上运动，形成面电流。 密度为 的面电荷 以速度 v 运动， 形成面电流密度 K ， 定义 K v 。 如图所示， db0 是垂直于 v 方向的线段元。
6
dl db0 dl dS dq dI K v dt dtdb0 dtdb0 dtdb0 db0
4
7
7
7
3
7
10 5
1.03× 10
7
10 15
16
3.2 恒定电场的基本方程
1．局外场
要维持导电媒质中的恒定电流，就必须有恒定 的电场强度。 （作用：克服运动中的阻力） 在电场的作用下，正自由电荷沿电场强度方向 运动， 负自由电荷沿相反方向运动。 对于金属导体， 主要是自由电子沿电场相反方向运动。
恒定电场的边界条件
当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密 度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。
如两种金属媒质(通常认为金属的介电常数为ε0)的分 界面上, 根据D1n-D2n=ρs, 则得
E1n
E2n
s 0
1E1n 2E2n
ρs是分界面上自由电荷面密度
s
01
1 2
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场 §4.2 恒定电场与静电场的比拟 §4.3 恒定磁场的基本方程 §4.4 恒定磁场的矢量磁位 §4.5 介质中的磁场 §4.6 恒定磁场的边界条件 §4.7 电感的计算 §4.8 恒定磁场的能量和力
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
§4.1 恒定电流的电场
恒定电场是电荷量保持恒定的定向运动电荷产生的场。
恒定电流的电流强度定义
I Q t
电磁场与电磁波
第四章 恒定电流的电场和磁场
一、微分形式的欧姆定律和焦耳定律
化,故dQ/dt=0
sJ ds 0 J 0
S E ds 0
恒定电流连续性方程的微分形式
S E ds 0
如果导体的导电性能均匀, σ是常数
说明：导体内部任一闭合面S内包含的净电荷Q=0。 所
以在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒
定电荷只能分布在导体的表面上。导体内部的恒定电
(电磁场PPT)第二章 恒定电场
第二章
由电路理论
恒定电场
2.1.3 欧姆定律的微分形式
U RI
R l
S
电导率与电阻率的关系： 1 ，
（r 电阻率）， （电导率）。 r
图2.1.5 J 与 E 之关系
在场论中 dI J dS
dU dI R J dS dl
dS
E dl
J E 欧姆定律 微分形式。
第二章
恒定电场
U RI 欧姆定律 积分形式。
本章要求:
理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳 定律深刻理解场量之间的关系。
掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔 接条件。
熟练掌握静电比拟法和电导的计算。
第二章
恒定电场知识结构
基本物理量 J、 E
欧姆定律
恒定电场
J 的散度
基本方程
E 的旋度
边界条件
边值问题
电位
一般解法 电导与接地电阻 特殊解(静电比拟)
第二章
第二章 恒定电场
Steady Electric Field
导电媒质中的电流 电源电动势与局外场强 基本方程 • 分界面衔接条件 • 边值问题 导电媒质中恒定电场与静电场的比拟 电导和接地电阻
恒定电场
第二章
恒定电场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和 恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，电 荷作宏观运动，电荷的分布不随时间变化（即：恒定 ），它与静电场有相似之处。
—焦耳定律积分形式
第二章
2.2 电源电动势与局外场强
2.2.1 电源 (Source)
恒定电场
提供非静电力将其它形式的 能转为电能的装置称为电源。
图2.2.1 恒定电流的形成
第二章恒定电场-工程电磁场导论-冯慈章课件
一、电源电动势与局外场强
电源是一种将其它能量转换成电能的装置； 局外力： f e
局外场强：Ee
方向由电源负极指向正 极
电源电动势： Ee dl
l
库仑场强：E
方向由电源正极指向负 极
Engineering electrical magnetic field
二、恒定电场
导电媒质中的恒定电场； 通有恒定电流的导体周围电介质或空气中的 恒定电场。
J1 J 2 J I / S E1 E2 J / p1 p2 P p1Sd , P2 p2 S 2d 1 P2 2 P 1
图2-4 平行板电容器的电场 功率的一个计算例子
2.2电源电动势与局外场强
Engineering electrical magnetic field
。 返 回 上 页 下 页
4. 元电流段的概念 元电流是元电荷dq以速度 v 运动形成的电流
C m s A m
νdV (体电流元) JdV
dq
νdS (面电流元） KdS νdl (线电流元） Idl
2.1.3 欧姆定律的微分形式 (Differential Form of Ohm’s Law)
dq I dt
2.1.2 电流密度（Current Density)
1. 电流面密度 J 体电荷 以速度 v 作匀速运动形成的电流。 电流密度 电流
J v
I J dS
S
J的大小 垂直于电流方向的平面 里，单位面积上通过 的电流强度。
A m2 J的方向与电流方向相同 ；
J2
en 2
2
1
1 J1
武汉工程大学工程电磁场第三章恒定电场
(1)边界条件
设有媒质电导率分别为 1,的2交界面，可得
1n 2n (3-14 )
E1t E2t (3-15)
上式说明，在不同导电媒质交界面处，电流密度矢量 的
法线分量连续。
在不同导电媒质交界面处，恒定电场强度 的E切线分量连
续。
n 1
1
1
不同导电媒质交界面处，恒定电场的折射定理：
tan 1 1 tan 2 2
单位长度上的绝缘电阻
R0
U0 I
ln R2
2
R1
（3-10）
8
§3-3 恒定电场的基本定理
1 电流连续性方程
在任意恒定电场中，作任意闭合曲 面S，由电荷守恒定律得
dS
I
q
（3-11）
S
t
在恒定电流场中，
S dS 0
q t 0
（3-12）
图3-3 穿过闭合曲面 的电流密度线
——恒定电场的电流连续性方程的积分形式
图3-5 电流由导体 流入土壤
16
1.具有漏电电流的两非理想电介质交界面的边界条件
(1)非理想介质
几乎所有电介质的电导率都不为零，都是非理想介质，它们
在电场的作用下，内部均将引起漏电电流（ ）。E
在处理非理想介质边界条件时，既要考虑其导电性，又要 考虑其特有的介质性能。
在新的情况下，不能断定交界面处是否有自由电荷存在， 因而增添一个描述静电场交界面处的连接条件，即
(2)恒定电场基本定理可以推出电路理论中的什么定律？ 12
3 恒定电场的拉普拉斯方程
E
2
0
当媒质均匀时 0 则得 2 0
通常将无旋又无源的场称之为调和场。调和场满足拉普拉斯 方程。而满足拉普拉斯方程的位函数，则称之为调和函数。
电磁场之恒定电场
l
E dl 0
本构关系
J E
电流连续性方程一般形式
q S J dS t
恒定电场: 任何闭合面内不能有电荷的增减,否则会导致电场的变化.
电位及电位方程
E 0 J 0 ( ) 0
对于均匀的导电媒质
E J E
E1t E2 t
E 2 E2 n
表 明
1）理想导体中电场为零，沿电流方向没有压降 2）理想介质中的E垂直于导体表面。
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§2.3
恒定电场基本方程.分界面上的衔接条件
载流导电媒质中恒定电场的基本方程（不包括电源）
积分形式 J dS 0
S
微分形式
J 0 E 0
-
+ + + 导线侧面电荷 引起的电场
-
+ + + 所有电荷引起 的电场叠加
-
③ 导体不是等位体； ④ 导体媒质内外伴随有磁场和温度场。
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3.导电媒质周围介质中的恒定电场
介质中的恒定电场是导电媒质中动态平衡电荷 所产生的恒定场，与静电场的分布相同。 注意 本章主要讨论导电媒质中的恒定电场。 4.研究恒定电场的意义
表 明
1）分界面导体侧的电流一定与导体表面平行。 2）导体与理想介质分界面上必有面电荷。 3）电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表 面非等位面
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讨论 ③ 理想导体与理想介质的分界面。
1
E1 0
J1 1E1 有限值
1
2 0
E 2 E2 n
元电荷以 速度v运 动 体分布电 荷以速度 v运动
电磁场与电磁波课件之恒定电场分析
媒质2是不良导体 媒质 是不良导体 由折射定理得
σ 2 = 10−2 S / m
tan α 1 σ 1 = →∞ tan α 2 σ 2
α2 ≈ 0
表明，只要 α1 ≠ 表明，
( α1 = 89°59′50′′, α 2 = 8′′ )
π
2 面穿出，良导体表面近似为等位面。 面穿出，良导体表面近似为等位面。
r r I → U = ∫ E ⋅ dl → G = σ U
r J
r r C Q U ∫s D ⋅ d S = = r r G I U ∫ J ⋅ dS
s
r r r r l ∫LE ⋅ dr = ε ∫s E ⋅ dS = ε r r r ∫ E ⋅ dl σ ∫ E ⋅ dS σ
L s
G σ = C ε
，电流线垂直于良导体表
b）媒质1是导体 ）媒质 是导体
(σ 1 ≠ 0)
媒质2是理想介质 媒质 是理想介质
(σ 2 = 0)
Q σ 2 = 0 J2 = 0
∴ J1n = J 2 n = 0 J1 = J1τ ≠ 0
①导体表面是一条电流线。 导体表面是一条电流线。
(σ 2 = 0)
σ1
导体与理想介质分界面
I
a
r
r J
R=
U 1 = I 2πσa
均匀导电媒质中的孤立球的电导为 G = 4πσ a
1 G 半球
=
1 2πσa
6. 跨步电压 在电力系统的接地体附近， 在电力系统的接地体附近，由于接地 电阻的存在，当有大电流通过时， 电阻的存在，当有大电流通过时，可能使 人体两足间的电压（跨步电压） 人体两足间的电压（跨步电压）超过允许 的数值，达到对人致命的程度。 的数值，达到对人致命的程度。 以浅埋半球接地器为例
中国农大学生电磁场仿真实验报告
电磁场仿真实验报告学院年级专业班学生姓名学号目录实验一静电场仿真实验二恒定电场的仿真实验三恒定磁场的仿真2r n∑ n∑实验一 静电场仿真1．实验目的建立静电场中电场及电位空间分布的直观概念。
2．实验原理当电荷的电荷量及其位置均不随时间变化时，电场也就不随时间变化，这种电场称为静电场。
点电荷 q 在无限大真空中产生的电场强度 E 的数学表达式为E = q4πε0 r（ r 是单位向量）（1-1）真空中点电荷产生的电位为ϕ=q4πε0 r（1-2）其中，电场强度是矢量，电位是标量，所以，无数点电荷产生的电场强度和电位是不一样的，电场强度为12n1 q2 i iE = E + E + + E =4πε0i r i =1 r i（ r 是单位向量）（1-3）电位为1q1 2 nϕ= ϕ +ϕ + +ϕ =4πε0ii =1 ri（1-4）本章模拟的就是基本的电位图形。
3．实验内容及步骤（1） 点电荷静电场仿真题目：真空中有一个点电荷-q ，求其电场分布图。
分析：真空中负点电荷的电位是：ϕ= -场强是： q4πε0 rE = -qr 4πε0 r假设其在坐标原点，则半径为 r ，用 x ，y 的坐标求出 r 进而求出 x ，y 与电位ϕ之间的关系，则可以做出图形。
作图过程：设原点为负电荷所在位置，平面上任意一点 p （x ，y ），给定 x ，y 可能是-10 到 10 之间的任 意值，求得半径向量 r 为：r 带入公式（2-2）得到电位：ϕ= -其中，1.0 *10-10是作为无穷小出现的，因为 x ，y 可能同时取 0，这时式子将没有意义。
第一次仿真代码如下：q = 1.6e-19; %设置单位点电荷电量e0 = 8.8541878e-12; %设置真空介电常数的值 x=-1:0.1:1; y=-1:0.1:1;[x,y]=meshgrid(x,y);fai=-q.*(1./sqrt(x.^2+y.^2+1e-10))./(4*pi*e0); E=-q.*(1./(x.^2+y.^2+1e-10))./(4*pi*e0); surfc(x,y,E); surfc(x,y,fai);以下是第一次仿真结果图：图 1-1 第一次负点电荷电位示意图2图1-2 第一次负点电荷场强示意图第一次运行结果发现结果失真严重：第二次运行结果如下：图1-1-2 第二次负点电荷电位示意图发现是1.0 *10 10 是作为无穷小太小了，故改为0.01。
(整理)电磁场理论知识点总结
电磁场与电磁波总结第1章 场论初步一、矢量代数A •B =AB cos θA B ⨯=AB e AB sin θA •(B ⨯C ) = B •(C ⨯A ) = C •(A ⨯B ) A ⨯ (B ⨯C ) = B (A •C ) – C •(A •B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系矢量线元 x y z =++l e e e d x y z矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位矢量的关系 ⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系矢量线元 =++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ 体积元 dV = ρ d ρ d ϕ d z 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系矢量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ϕ r sin θ d ϕ 矢量面元 d S = e r r 2sin θ d θ d ϕ 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ϕ 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕθϕϕθcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ϕϕϕϕϕsin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕθϕθϕθθϕθϕθϕϕsin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕϕθθθθ三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度=⋅⎰A S Sd Φ 0lim∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γ maxn 0rot =lim∆→⋅∆⎰A lA e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x zA A A x y z11()∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A zA A A z ϕρρρρρϕ 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕx y z ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y z x y z A A A ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A z z z A A A ρϕρϕρρϕρ sin sin ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A r r zr r r A r A r A ρϕθθθϕθ 4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SV d dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u llcos cos cos ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P uu u ulx y zαβγ cos ∇⋅=∇e l u u θ grad ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e xy z u u uu x y z1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ 11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场 ()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u =∇F u六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z z u u uu zA A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中 1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第2章 电磁学基本规律一、麦克斯韦方程组 1. 静电场基本规律真空中方程：d ⋅=⎰SE S qεd 0⋅=⎰lE l 0∇⋅=E ρε 0∇⨯=E 场位关系：3''()(')'4'-=-⎰r r E r r r r V q dV ρπε =-∇E φ 01()()d 4π''='-⎰r r |r r |V V ρφε介质中方程：d ⋅=⎰D S Sqd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ 0∇⨯=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε 极化电荷：==⋅P e PS n n P ρ =-∇⋅P P ρ2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0∂∇⋅+=∂J tρ传导电流： =J E σ 与运流电流：ρ=J v恒定电场方程：d 0⋅=⎰J S Sd 0l⋅=⎰E l 0∇⋅=J 0∇⨯E =3. 恒定磁场基本规律真空中方程：0 d ⋅=⎰B l lI μ d 0⋅=⎰SB S 0∇⨯=B J μ 0∇⋅=B场位关系：03()( )()d 4π ''⨯-'='-⎰J r r r B r r r VV μ =∇⨯B A 0 ()()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ 介质中方程：d ⋅=⎰H l lId 0⋅=⎰SB S ∇⨯=H J 0∇⋅=B磁化：0=-BH M μ m 00(1)=+B H =H =H r χμμμμ 磁化电流：m =∇⨯J M ms n =⨯J M e4. 电磁感应定律d d ⋅=-⋅⎰⎰S E l B S ld dt ∂∇⨯=-∂BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律： d ()d ∂⋅=+⋅∂⎰⎰D H l J S l S t ∂∇⨯=+∂DH J t 位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0∂⎧⋅=+⋅⎪∂⎪∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B S l S l SSV Sl t l t V d ρ 0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D H J B E D B t t ρ ()() ()()0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00∂∂⎫⎧∇⨯=-∇⨯=⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪∇⨯=+∇⨯=--⎬⎨∂∂⎪⎪∇=∇=⎪⎪⎪⎪∇=∇=⎩⎭⋅⋅⋅⋅B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ∂⎧∇⨯=--⎪∂⎪∂⎪∇⨯=+⇒⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩⋅⋅B E J D H J D B tt ρρ 三、边界条件 1. 一般形式12121212()0()()()0⨯-=⨯-=⋅-=⋅-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界面 和 理想介质界面111100⨯=⎧⎪⨯=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0⨯-=⎧⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章 静态场分析一、静电场分析1. 位函数方程与边界条件位函数方程： 220∇=-∇=ρφφε电位的边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s nn φφφφεερ 111=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解方法：2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ 连续分布： 12=⎰e VW dV φρ 电场能量密度：12D E ω=⋅e二、恒定电场分析1. 位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：20∇=φ边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩nn φφφφεε 12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =⋅⎰E J VP dV3. 任意电阻的计算2211d d 1⋅⋅====⋅⋅⎰⎰⎰⎰E l E l J SE SSSU R G Id d σ （L R =σS ）4. 静电比拟法：C —— G ，ε —— σ2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 2211d d d ⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分方程与边界条件矢量位：2∇=-A J μ 12121211⨯⨯⨯A A e A A J n s μμ()=∇-∇=标量位：20m φ∇= 211221∂∂==∂∂m m m m n nφφφφμμ 2. 电感定义：d d ⋅⋅===⎰⎰B S A l SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ 连续分布：m 1d 2A J =⋅⎰V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=⋅ 第4章 静电场边值问题的解一、边值问题的类型● 狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ ● 纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()∂=∂f s nφ● 混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()∂==∂f s f s nφφ ● 自然边界：lim r r φ→∞=有限值二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。
恒定电场的基本原理
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工程电磁场
1．局外场
要维持导电媒质中的恒定电流，
就必须有恒定的电场强度。
（克服运动中的阻力）
在电场的作用下，
正自由电荷沿电场强度方向运动。
（负自由电荷沿相反方向运动）
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工程电磁场
由电荷产生的电场称为库仑电场。
在一个闭合回路中
库仑电场的电场强度 EC 的闭合线积分为零。
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工程电磁场
如果面的宽度也可以忽略，
则可以认为电流在线上运动，形成线电流。
如图所示，线上的电流，
其运动方向由线的走向
完全限定，
因此只需要确定其大小，
密度为 的线电荷
以速度 v 沿线运动形成线电流 I ，定义 I v 。
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工程电磁场
I v dl dl dq dt dt dt
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工程电磁场
衡量电源将其他能量转换为电能的能力，
将单位正电荷从电源负极运动到正极，
局外力所做的功定义为电源的电动势，
用 e 表示。
a
e Ee • dl
b
可见 与 R 互为倒数。
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工程电磁场
上式称为欧姆定律 的微分形式 是导电媒质中恒定 电场的辅助方程。
若 不随电场强度方向改变而变化，
则称导电媒质为各 向同性媒质。
若 不随电场强度和电流密度量值变化，
则称导电媒质为线 性媒质。
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工程电磁场
若媒质中 处处相等，
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工程电磁场
工程电磁场 倪光正第3章静态电磁场Ⅱ：恒定电流的电场和磁场
例 3.1 一接地系统
i
2
土壤 J线
1 a
接地体
等位面
[解] 15106 S/m钢
2102 S/m土 壤
1 895950
2 8 0
3.良导体与理想介质 ( 2 0 ) 分界面上的边界条件
1
+
+
+
+
J c1
+
+ E2t + 2 +
2 0 J1n J2n 0
U
E2n E2
E线
E2t
J c1n 0 J c2n 0
2I
R半球
接地器
I
1
a
屏蔽室接地电阻（深度 20 m） 返回 下页
高压大厅网状接地电阻（深度1米）
返回 上页
3.2.3 跨步电压
I
o
a 土壤
~r
E dl
AB
r
r
I
o
a 土壤
~r E dl
r
I dr
rb r 2
I
r
1 b
1 r
r b
bI r2
U 0 (安全电压)
AB r
r
bI
(3) 推广到其他学科，即可籍以用电测法求得非电 量的相似解答。
3.2.2 接地电阻
1.基本概念
接地——将电气设备的某一部分与大地在电气上相联结。 接地器——埋于地中的导体系统 ( 球、棒、网及其组合 ) 。 接地的工程意义：
• 保护性接地 • 工作接地
ⅰ 电子电路中 ⅱ 电力工程中
A
o
B
短路点
第3章 静态电磁场Ⅱ： 恒定电流的电场和磁场
工程电磁场
E E tan tan
2n
1t
1 1 2 2
Hale Waihona Puke J 1n2tB
2n
B1n H 2t
B
2n
B1n
H
1t
H1t-H2t=K
1 2
1 2
tan 2
tan 1
D2n-D1n=
tan 2 tan 1
tan tan
1 2
1
2
1 2
边值问题
I，，
- I 2 I
1 2 2 1 2
能量分布
W
e
1 D EdV 2 v
W
e
1 B H dV 2 v
法拉第观 点
在静电场中的 每一段电通密 度管， 沿其轴向 要受到纵张力， 而在垂直于轴 的方向要受到 侧压力。 纵张力 与侧压力的值 都相等
每一束磁感应线所 形成的磁感应管沿 其轴向受到纵张力 的作用，同时在垂 直方向受到侧压 力。每单位面积上 的张力和压力的量 值相等
2
无
2 J
泊松方程 拉普拉斯
（自由电荷）
0
2
（自由电荷）
镜像法
0
2
2
m
0
1 2
q，
q，，
- q 2 q
1 2 1 2 2 1 2
I，
I，，
- I 2 I
1 2 1 2 2 1 2
I，
时变电磁场 4 把随时间变化的电场和磁场 统称为时变磁场。 磁场和电场 不仅是空间的函数， 而且还是 时间的函数。
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电流连续性原理 在恒定电流场中，从任一封闭面或任一点流出的总电流
为零，或流进的电流等于流出的电流；
电流在任一封闭面中或任一点是连续的；
如果以一系列曲线描述电流场，令曲线上各点的切线方 向表示为该点电流密度的方向，这些曲线称为电流线， 表明电流线是连续闭合的；
和电场线不同，电流线没有起点和终点。
J1 Sen J2 S(en ) 0
J1n J 2n
电流密度的法向分量在分界面上是连续的
（2）E 的边界条件
在分界面上取一矩形闭合回
路，其两个边分处于两导电媒
质中且和分界面平行，高h为
无穷小，则沿此闭合路径的电
场强度的线积分等于零。即：
l E dl 0
E1 (let ) E2 let 0
e Ee dl
电源电动势与有无外电路无关，它是 表示电源本身的特征量。
电源内部：ET Ec Ee ET dl e
l
电源以外区域：ET Ec ET dl 0
v
l
局外场 Ee 是非保守场
电源电动势与局外场强
电源以外的恒定电场是保守场
（3）电流连续性
从任一封闭面S中流出的电流等于该封闭面中电量在单位 时间的减少（电荷守恒定律），即：
电流就依靠电解质溶液里阴、阳离子的定向移动而通过溶 液,所以电解质溶液的导电过程,就是电解质溶液的电解过程
（2）接地
接地是指将地面上的金属物体或电气回路中的某一接点通过 导体与大地保持等电位。电力系统的接地按其功用可分：
➢ 工作接地。根据电力系统正常运行的需要而设置的接地，例如 三相系统的中性点接地、双极直流输电系统的中点接地等。它 所要求的接地电阻值为0.5~100Ω。
在具有不同电导率的两种媒质的分界面上，电流要发生突变
（1） J 的边界条件
在分界面上取一个小的柱形闭
合面，上下两底面分处于两导体
中且和分界面平行，高h为无限小
，则从闭合面流出的电流等于上
下两底面流出的电流的代数和，
根据电流连续性原理，此电流为
零，即：
SJ dS 0
en（ J1
-
J2）
0
➢ 电流密度是恒定电场的基本物理量，是一个矢量；
➢ 在各向同性线性导电媒质中，它与电场强度方向一致。
已知 J ，则通过面元 dS 的电流为：
dI J dS
穿过任意曲面S的电流为：
I
J
dS
J
endS
S
S
电流强度
I
是电流密度
J
的通量。
面电流密度
对电流分布在曲面附近很薄 一层中的情况，且不需要分析 薄层中的场时，可忽略薄层的 厚度——视作面电流。
金、银、铜、铝这样的金属电导率很高，具有良好 的导电性能，因此称为良导体；
电导率为无限大的导体称为理想导体，理想导体中 电场为零；
在很多情况下，可以将良导体近似为理想导体。
电导率为零的介质称为理想介质，理想介质中电流 密度为零。
（4）焦尔定律的微分形式
自由电荷在导电媒质中移动时，要与其他质点发生碰撞 ，将电荷的动能转化为质子的热震动，造成能量损失，要 在导电媒质中维持恒定电流，必须持续对电荷提供能量， 提供的能量最终转化为媒质热能。
电场是维持恒定电流的必要条件， 导电媒质中电子的漂移速度和外加电 场强度成正比。
J
Ne2
E E
欧姆定律的微分形式
me
Ne2
me
σ为电导率，单位S/m（ 西门子/米）
➢ 导电媒质中任意一点的电流密度与电场强度成正比；
➢σ代表媒质的导电性能， σ值越大导电能力越强；
➢同一种媒质在不同的温度、湿度等环境条件下，电导率 也有区别；
3 恒定电场
3.1 电流与电流密度 3.2 恒定电场的基本方程 3.3 恒定电场的边界条件 3.4 恒定电场与静电场比拟 3.5 恒定电场应用
研究对象：
恒定电场：导电媒质中的电荷在电场作用下运动形 成的不随时间变化的产生的恒定电流场。
本章任务
掌握电流密度, 电流密度与电场强度之间关系， 引出电动势和局外电场强度，学习恒定电场的基本方 程，导出分界面条件,讨论边值问题。
若电荷密度为ρ的电荷以速度v运动，则在dt时间内，电 荷的位移为vdt，若沿着电荷的运动方向取一截面面积为S ，长度为vdt的圆柱体，则在dt时间内，穿过端面S的电荷量
为：dq Svdt
穿过端面S的电流强度为： I vS
即电流密度与电荷密度和运动速度的关系为：
J
v
（3）电流密度与电场强度的关系
q
SJ dS t
q V dV
电荷守恒定律的 积分、微分形式
SJ dS
V
dV t
高斯定理
J
t
电流中的电场也是由电荷产生的。在恒定电流场中，虽 然电荷是运动的，但电流不随时间变化，那么运动电荷在 空间的分布也就不随时间变化，因此上式变为：
电流连续性方程积分形式
SJ dS 0 电流密度通过任一闭合面的净通量为零
导电媒质中有电流时，必伴随功率损耗。可以证明其功 率密度为：
p J E
焦耳定律的微分形式
电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即：
P UI I 2R
焦耳定律的积分形式
3.2 恒定电场的基本方程
（1）局外场
局外场
要在闭合导体回路中产生恒定的电流
，必须维持导体中的电场。仅靠电荷产
生的库伦场不能维持恒定的电流，因此 要维持恒定电流，电流在沿闭合回路运
2 1
2
2
n
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1
n
静电模拟
➢从数学上看，这两组方程完全相同，物理量之间有一定 对应关系，即：电流场的电流密度对应于无源区静电场 的电位移矢量，电流场的电场强度对应于无源区静电场 的电场强度，电流场中媒质的电导率对应于无源区静电 场中介质的介电常数；
➢具有对应媒质结构和相同边界条件的电流场和静电场的 分布特性完全类似；
恒定电流的形成
动时，还必须受到局外力的作用。 局外电场强度：作用于单位正电荷的局外力 电源
v
v Ee
lim
qt 0
fe qt
➢提供局外力的装置就是电源；
➢局外场强的方向在电源内部由电源负极指向正极。
（2）电源电动势
电源提供能量的能力称为电动势，定义为局外力将单位
正电荷经电源内部由负极至正极所做的功。
重点：电流密度的定义；恒定电场的基本性质； 学会将恒定电流场表述为边值问题。
基本思路
基本物理量 vJ ,
v E
欧姆定律
J的散度 边界条件
基本方程 边值问题
E的旋度 电位
一般解法
电导与接 地电阻
特殊解（静 电比拟）
3.1 电流与电流密度
（1）电流强度
大量电荷的定向运动形成电流； 导电媒质中的自由电子运动——传导电流； 真空或气体中大量带电粒子的定向运动——运流电流。
电流的大小用电流强度表示 电流强度定义为单位时间流过导电体截面的电荷量
I lim q = dq t0 t dt 单位：安培(A)
I 是通量，不能描述电流在电流场中的分布情况。
（2）电流密度
J ：定量描述空间各点的电流分布和方向
J
lim
S 0
I S
en
单位：A/m2
➢ 单位时间内垂直通过单位面积的电量，方向为正电荷在 该点的运动方向；
➢ 当导线的电导率无限大，即导线是理想导体时，电场切 向分量为零，这时导线外的电场与导线表面垂直。
3.4 恒定电场与静电场的比拟
静电场无源区和电源以外的恒定电流场对比
表1 对应的物理量
静电场 0
E φD q ε
导电媒质中恒定电流场
（电源外）
E
φ
J
I
σ
表2 基本方程和边界条件
静电场 0
E 0 E
1
J1n
1
(2 2
1 1
)
J
n
在恒定电场的建立过程中，导电媒质分界面积累自由电荷。
E1t E2t
1E1n 2E2n E -
1 2
1
1
n
2
2
n
电流线的折射定律
J1n J 2n E1t E2t
J1 cos1 J2 cos2 2 J1 sin1 1J2 sin2
tan1 1 tan2 2
➢ 电场切向分量不为零，导体非等位体，表面非等位面；
➢ 若 1 （理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导体
表面，导体不损耗能量。
双导线的恒定电场
➢ 在导线内，电场在界面法线方向的分量为零，仅沿界面 的切向即导线方向有分量；
➢ 在导线外，电场强度在界面的法向分量取决于导线表面 的自由电荷面密度，一般情况下不为零，而电场强度在 界面的切向分量连续，当导线的电导率有限时，电场切 向分量不为零，这时导线外的电场与导线表面不垂直；
et（ E1
-
E2）
0
en
（E1
-
E2）
0
E1t E2t
电场强度的切向分量在分界面上是连续的
（3）电位的边界条件
J E E1t E2t
1E1n 2 E2n
J1t J 2t
1 2
电场强度的法向分量不连续的原因是由于导电媒质分界面
上有面电荷分布。
S
2E2n
1E1n
2
J2n
2
电流连续性方程微分形式 J 0
恒定电场是无散的
J E
J 0
J (E) E E 0
E 0
0
E
-
E
均匀的导电媒质中
恒定电场与静电场均为保守场，则有：