2013届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第20讲 简单的三角恒等变换
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高三数学一轮复习 第三章 第六节 简单的三角恒等变换课件
π π π (2)∵cos 2α＝sin( ＋2α)＝2sin(α＋ )cos(α＋ )， 2 4 4 cos 2α π π ∴ ＝2cos(α＋ )＝2sin( －α)， 4 4 π sin（ ＋α） 4 π π 12 又0＜α＜ 且cos( －α)＝ ， 4 4 13 π ∴sin( －α)＝ 4 5 ＝ ， 13 π 1－cos （ －α）＝ 4
α cos sin 2 【尝试解答】 原式＝( － α sin cos 2 2α 2α cos －sin 2 2 sin α ＝ · α α cos α sin ·cos 2 2 2cos α sin α ＝ · ＝2. sin α cos α
α 2sin2α 2 )· α 2sin αcos α 2
π π π 当2x＋ ＝－ ，即x＝－ 时，f(x)有最小值－1. 4 4 4 π π ∴f(x)在区间[－ ， ]上的最大值、最小值分别是 2 4 4 和－1.
易错提示：(1)化简解析式时出错，导致错误答案． π (2)求最值时，误把x的范围当成2x＋ 的范围，导致错 4 误答案． 防范措施：(1)化简解析式，把函数式转化为Asin(ωx＋ φ)的形式是解答本题的关键，因此求解时应力求准确，必 要时应进行检验，看化简结果是否正确． (2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值或值域时，可令t＝ωx ＋φ，然后根据x的范围确定t的范围，最后可根据y＝sin t的 图象，确定函数的最值或值域．
x x 已知sin －2cos ＝0. 2 2 (1)求tan x的值； cos 2x (2)求 的值． π 2cos（ ＋x）· x sin 4 x x x 【解】 (1)由sin －2cos ＝0，得tan ＝2， 2 2 2
2×2 4 ∴tan x＝ ＝ ＝－ . x 1－22 3 2 1－tan 2 x 2tan 2
高考数学一轮复习 第20讲 简单的三角恒等变换课件 理 (浙江专)
素材3
求证：sins2iαnα＋β－2cos(α＋β)＝ssiinnβα.
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/182022/1/18
第20讲 简单的三角恒等变换
一 恒等变换下的化简求值
【例 1】已知 sin2x－2cos2x＝0，求 2cosco4πs＋2xx·sinx的值s2αcos2β－12cos2αcos2β 的值为
1 2
.
二 恒等变换下的拆角求值
【例 2】(1)已知 tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求 tan(π4＋α) 的值；
(2)scions77°°＋－csoisn1155°°·ssiinn88°°＝__________.
素材2
若 cos(π4＋x)＝35，1172π<x<74π，求sin21x－＋ta2nsxin2x的值．
三 恒等变换下的三角证明
【例 3】证明：2－2sicnoαs4＋α－34πsicno4αsα＋π4＝11＋ －ttaannαα.
2013年高考数学成功方案系列课件第三章第四节简单的三角恒等变换
∴－π2<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－ 1－cos2α－β＝－ 47，
∴tan(α－β)＝csionsαα－－ββ＝－ 37.
[答案]
－
7 3
1．定义运算 a
b＝a2－ab－b2，则 sin
π 6
π6＝ ( )
A．－12－
3 4
B．－12＋
3 4
C．－12
解析：sin
π 6
D.
(2)∵tan α＝－13，∴5sin2α2＋8sin2sα2incoαs－α2＋π411cos2α2－8
＝5sin2α2＋cos2α2si＋n α4－sincoαs＋α6·1＋c2os α－8
＝5＋4sinsinα＋α－3＋co3scαos
α－8＝4sin sin
α＋3cos α α－cos α
所以π6≤2x－π3≤23π，则有12≤sin(2x－π3)≤1. 因为函数f(x)＝4sin2(π4＋x)－2 3cos 2x＋t(x∈P)的最小值为3， 所以4×12＋2＋t＝3，解得t＝－1. (2)因为2＋m<f(x)在x∈P上恒成立，则由已知可得2＋m<3，得 m<1，故m的取值范围是(－∞，1)．
α·(1＋csoins
α sin α·
α 2 α)
sin 2cos2
cos2
α
α
＝2scionsαα＋2scionsαα·csoins αα·scionsα22＝2scionsαα＋2csionsα22
＝2scionsαα＋4ssiinn2αα2＝2cos
α＋4sin2α2 sin α
＝21－2sisni2nα2α＋4sin2α2
.
解析：sin 2A＝2sin Acos A＝－34<0. 又 A 为△ABC 的内角，∴sin A>0，cos A<0.
(浙江专用)高考数学一轮复习讲练测专题4.3简单的三角恒等变换(讲)(含解析)
4.备考重点： (1) 掌握和差倍半的三角函数公式； (2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.
知识点 1．两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；
，则
故 tan2 故选：A
考点 1 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用
【典例 3】（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，
终边分别是射线
OA
和射线
OB．射线
OA，OC
与单位圆的交点分别为
A
3 5
,
4 5
，
C(1, 0)
.若
BOC
【典例 4】（2018 年全国卷 II 文）已知
【答案】 . 【解析】
，则
__________．
，
解方程得
.
【规律方法】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
【典例 5】（2016·全国高考真题（理））若
A． 7 25
【答案】D
【解析】
B． 1 5
C． 1 5
，则 sin 2 （ ） D． 7 25
，
且
，故选 D.
【总结提升】 转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构 的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的 2 个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
知识点 1．两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；
，则
故 tan2 故选：A
考点 1 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用
【典例 3】（2019·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，
终边分别是射线
OA
和射线
OB．射线
OA，OC
与单位圆的交点分别为
A
3 5
,
4 5
，
C(1, 0)
.若
BOC
【典例 4】（2018 年全国卷 II 文）已知
【答案】 . 【解析】
，则
__________．
，
解方程得
.
【规律方法】
1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan α＋tan
β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
【典例 5】（2016·全国高考真题（理））若
A． 7 25
【答案】D
【解析】
B． 1 5
C． 1 5
，则 sin 2 （ ） D． 7 25
，
且
，故选 D.
【总结提升】 转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构 的差异，寻求联系，实现转化．注意三角函数公式逆用和变形用的 2 个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
高考一轮数学文科：第20讲-简单的三角恒等变换ppt课件
α＝ α
1(_3＋_)_降c_2o_s幂_α_公_，式t：ans2α2in＝2 2_11_＝－ ＋___cc_oo__ss___2αα__．___，cos2 2 ＝
(4)tanα2 ＝_1_＋s_i_cno_s_α_α_＝_1－__sci_no_sα_α__．
2．常见的几种角的变换
(1)α＝(α＋β)－_____β___，α＝__(_α_－__β_) _＋β.
课堂考点探究
探究点二 三角函数式的求值
考向1 给值求值
例 2 (1)[2016·辽宁丹东二模] 若 sin 2α＝23，则 tan
α＋ 1
tan
α＝(
)
A. 3 B. 2 C．3 D．2
(2)[2016·甘肃天水一中四模] 已知 cosα－π6 ＋sin α＝453，则 sinα＋76π的值是________．
都表示为 10°的三角函数，约 分即得结果．
课堂考点探究
[答案] (1)12
(2)
3 2
[解析] (1)1＋sins2in501°0°＝2（1－1＋cossin11000°°）＝1－2c（os1（＋9s0i°n 1＋0°10）°）＝2（11＋＋ssiinn1100°°）＝12.
(2)原式＝4sin21c0o°s21c0o°s 10°－sin 10°csoins 55°°－csoins 55°°＝
(2)2α＝(α＋β)＋__(_α_－__β)__，2β＝__(α_＋__β_)__－
(α－β)．
(3)
α＋β
α2
＝
__α__－__β2_ _
－
α2 －β
，
α
＝
2
×
____2____．
3．常数的变换
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
2013届高考一轮复习(理数,浙江)-第20讲 简单的三角恒等变换
2
7 ＝ . 25
17π 7π 5π π 因为 <x< ，则 <x＋ <2π， 12 4 3 4 π 4 故 sin( ＋x)＝－ ， 4 5 π sin ＋x π 4 4 tan( ＋x)＝ ＝－ ， 4 π 3 cos ＋x 4 7 4 28 故原式＝ ×(－ )＝－ . 25 3 75
三
恒等变换下的三角证明
3π π 2－2sinα＋ cosα＋ 4 4 1＋tanα 【例 3】证明： ＝ . 4 4 cos α－sin α 1－tanα
π 2－2cos α＋4 【证明】左边＝ cos2α－sin2α
2
π 2sin α＋4 ＝ 2 cos α－sin2α
2
π 1－cos2α＋2 ＝ cos2α－sin2α 1＋sin2α ＝ 2 cos α－sin2α
sin15° ＋cos15° －8° sin8° (2)原式＝ cos15° －sin15° －8° sin8° 1－cos30° sin15°cos8° · ＝ ＝tan15° ＝ cos8° cos15° sin30° ＝2－ 3.
【点评】进行三角变换的技巧是变角，即注意角的和、差、 倍、半、互余、互补关系根据实际情况对角进行“拆”或 “添”变形，这样可大大减少运算量．基本的解题规律为： 观察差异(或角、或函数、或运算)，寻找联系(借助熟知的公 式、方法或技巧)，综合分析，实现转化．
三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结 构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式， 因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足 够的了解：
1同角三角函数关系——可实现函数名称的转化． 2 诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以
实现角的形式的转化．
7 ＝ . 25
17π 7π 5π π 因为 <x< ，则 <x＋ <2π， 12 4 3 4 π 4 故 sin( ＋x)＝－ ， 4 5 π sin ＋x π 4 4 tan( ＋x)＝ ＝－ ， 4 π 3 cos ＋x 4 7 4 28 故原式＝ ×(－ )＝－ . 25 3 75
三
恒等变换下的三角证明
3π π 2－2sinα＋ cosα＋ 4 4 1＋tanα 【例 3】证明： ＝ . 4 4 cos α－sin α 1－tanα
π 2－2cos α＋4 【证明】左边＝ cos2α－sin2α
2
π 2sin α＋4 ＝ 2 cos α－sin2α
2
π 1－cos2α＋2 ＝ cos2α－sin2α 1＋sin2α ＝ 2 cos α－sin2α
sin15° ＋cos15° －8° sin8° (2)原式＝ cos15° －sin15° －8° sin8° 1－cos30° sin15°cos8° · ＝ ＝tan15° ＝ cos8° cos15° sin30° ＝2－ 3.
【点评】进行三角变换的技巧是变角，即注意角的和、差、 倍、半、互余、互补关系根据实际情况对角进行“拆”或 “添”变形，这样可大大减少运算量．基本的解题规律为： 观察差异(或角、或函数、或运算)，寻找联系(借助熟知的公 式、方法或技巧)，综合分析，实现转化．
三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结 构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式， 因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足 够的了解：
1同角三角函数关系——可实现函数名称的转化． 2 诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以
实现角的形式的转化．
2013届高考数学理一轮复习课件4.21三角恒等变换
D. 3
∴sin2α＝34.
∵α∈(0，π2)，∴sinα＝ 23，α＝π3
∴tanα＝tanπ3＝ 3，选 D.
2．已知函数 f(x)＝sinx－cosx 且 f′(x)＝
2f(x)，f′(x)是 f(x)的导函数，则co1s2＋x－sinsi2nx2x＝
(A )
A．－159
19 B. 5
11 C. 3
＝4
2－7 18
3 .
【点评】本题主要考查正弦定理、两角和与差的 正弦、同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦 与余弦等基础知识，同时考查基本运算能力．
1．三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给 值求值、给值求角．
2．三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考 ，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到 中间”去具体操作．
3．(20114江苏)已知 tan(x＋π4)＝2，则ttaann2xx
的值为
9
.
【解析】∵tan(x＋π4)＝11＋－ttaannxx＝2 ∴tanx＝13 ∴tan2x＝1－2tatannx2x＝43 故ttaann2xx＝13×43＝49.
4．(2011 重庆)已知 sinα＝12＋cosα，且 α
5．已知 sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝35，
β 为第三象限角，则 sin(β＋54π)＝
72 10
.
【解析】由已知得 sin[(α－β)－α]
＝－sinβ＝53
∴sinβ＝－53
∵β 为第三象限角
∴cosβ＝－54
∴sin(β＋54π)＝sinβcos54π＋cosβsin54π
7．已知向量 a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1) 且 a∥b，其中 θ∈(0，π2)．
2013届高考一轮复习课件数学(理)浙江专版第20讲简单的三角恒等变换备用例题
第20讲 │ 备用例题
π 1－cosx＋6
[解答] (1)f(x)＝
2
3 π 1 ＋ sinx＋6 － 2 2
3 π 1 π ＝ sinx＋6 － cosx＋6 2 2
π π ＝sinx＋6－6 ＝sinx，
第20讲 │ 备用例题
例1
已知函数 f(x)＝2 3sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．
π f(x)的最小正周期及在区间 0，2 f(x0)＝ ，x0∈4，2 ，求 cos2x0 的值． 5
第20讲 │ 备用例题
第20讲 │ 简单的三角恒等变换
第20讲
简单的三角恒等变换
第20讲 │ 考试说明 考试说明
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的 正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换．
第20讲 │ 备用例题
备用例题
[备选理由] 例 1 综合三角恒等变换，三角函数的性质，三 角函数的求值等知识，是常见题型；例 2 是三角变换与数列的 交汇．
[解答] (1)由 f(x)＝2 3sinxcosx＋2cos2x－1，得 f(x)＝ 3(2sinxcosx)＋(2cos2x－1) π ＝ 3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋6， 所以函数 f(x)的最小正周期为 π. π π 因为 f(x) ＝ 2sin 2x＋6 在区间 0，6 上为增函数，在区间 π π ， 上为减函数， 6 2 π π 又 f(0)＝1，f6 ＝2，f2 ＝－1， π 所以函数 f(x)在区间0，2 上的最大值为 2，最小值为－1.
所以 f(x)的值域为[－1,1]．
第20讲 │ 备用例题
x1＋x2 π x3＋x4 (2)由正弦曲线的对称性、 周期性可知 ＝ ， ＝2π 2 2 2 x2n－1＋x2n π π ＋ ，…， ＝2(n－1)π＋ ， 2 2 2 ∴x1＋x2＋…＋x2n－1＋x2n＝π＋5π＋9π＋…＋(4n－3)π 1 ＝nπ＋ n(n－1)· 4π＝(2n2－n)π. 2
高考数学一轮复习 4.2三角恒等变换课件
5
5
∵α∈
,
2
,
0
∴sin α=- 3 ,∴tan α=3- ,
5
4
∴tan 2α= 2 =ta n α
2
=-
3
.4
24
1 tan 2α
1
3 4
2
7
精品
10
5.已知α∈
2
,,sin α=
,则3 tan
5
α=
4
.
答案
1 7
解析 由已知得cos α=-4 ,∴tan α=3- ,
5
4.函数f(α)=acos α+bsin α(a,b∈R),可以化为f(α)=⑥ sain2 (αb+2φ1)
或f(α)=⑦ ac2osb(α2 -φ2) ,其中φ1、φ2可由a、b的值唯一确定. 5.在两角和的三角函数公式Sα+β,Cα+β,Tα+β中,当α=β时就得到二倍角的三角 函数公式:sin 2α=⑧ 2sin αcos α ,cos 2α=⑨ cos2α-sin2α ,tan 2α=⑩
A.- 3
2
答案
B.- 1
C1 .
D3.
2
2
2
C 原式=sin 45°·cos 15°-cos 45°·sin 15°=sin 1230°=
,故选C.
精品
7
2.sin 15°+cos 15°的值为 ( )
A. 1
2
答案
B. 6
C. 6
D3. 2
4
2
2
C sin 15°+cos 15°=2 sin(15°+45°)2= sin 60°2 6=
2013年数学高考总复习重点精品课件：简单的三角恒等变换 82张共83页文档
第四章 第五节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键
也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值
结合该函数的单调区间求得角．
4．三角函数的最值问题
(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y ＝ asinx ＋ bcosx ＝ a2＋b2 sin(x ＋ φ) ， 其 中 cosφ ＝
第四章 第五节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
二、角的构造技巧与公式的灵活运用 [例 2] 求 sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．
第四章 第五节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
解析：解法 1：因为 40°＝30°＋10°，于是 原 式 ＝ sin210°＋ cos2(30°＋ 10°)＋ sin10°cos(30°＋ 10°)＝ sin210°＋ 23cos10°－12sin10°2＋sin10° · 23cos10°－12sin10°＝34(sin210°＋cos210°)＝34.
第四章 第五节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
解析：由 sinx＝13－siny 及－1≤sinx≤1 得－23≤siny≤1. 而 sinx－cos2y＝sin2y－siny－23 ＝(siny－12)2－1112 所以当 siny＝12时，最小值为－1112， 当 siny＝－23时，最大值为49.
第四章 第五节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
点评：求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函 数，故首先要消去一个字母，而 sinx＝13－siny 能提供两种功 能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出 siny 的范围， 即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可 盲目认定－1≤siny≤1.
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键
也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值
结合该函数的单调区间求得角．
4．三角函数的最值问题
(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y ＝ asinx ＋ bcosx ＝ a2＋b2 sin(x ＋ φ) ， 其 中 cosφ ＝
第四章 第五节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
二、角的构造技巧与公式的灵活运用 [例 2] 求 sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．
第四章 第五节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
解析：解法 1：因为 40°＝30°＋10°，于是 原 式 ＝ sin210°＋ cos2(30°＋ 10°)＋ sin10°cos(30°＋ 10°)＝ sin210°＋ 23cos10°－12sin10°2＋sin10° · 23cos10°－12sin10°＝34(sin210°＋cos210°)＝34.
第四章 第五节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
解析：由 sinx＝13－siny 及－1≤sinx≤1 得－23≤siny≤1. 而 sinx－cos2y＝sin2y－siny－23 ＝(siny－12)2－1112 所以当 siny＝12时，最小值为－1112， 当 siny＝－23时，最大值为49.
第四章 第五节
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数学
点评：求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函 数，故首先要消去一个字母，而 sinx＝13－siny 能提供两种功 能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出 siny 的范围， 即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可 盲目认定－1≤siny≤1.
三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt
电磁学
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
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升幂或降幂的转化，同时也可完成角的转化．
2 求值．常见的有给角求值，给值求值，给值求角．
①给角求值的关键是正确地分析角(已知角与未知角) 之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值． ②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、 名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的 一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后 求待求式的值． ③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值， 讨论角的范围，求出该角．
【点评】本题从“幂”入手，借助倍角公式的变形公式，即降 幂公式先降幂再进行其他化简，这种化高次为低次是三角变换 的常用方法．
二
恒等变换下的拆角求值
2 π 1 π 【例 2】(1)已知 tan(α＋β)＝ ，tan(β－ )＝ ，求 tan( ＋α) 5 4 4 4 的值； sin7° ＋cos15°sin8° · (2) ＝__________. cos7° －sin15° sin8°
三
恒等变换下的三角证明
3π π 2－2sinα＋ cosα＋ 4 4 1＋tanα 【例 3】证明： ＝ . 4 4 cos α－sin α 1－tanα
π 2－2cos α＋4 【证明】左边＝ cos2α－sin2α
2
π 2sin α＋4 ＝ 2 cos α－sin2α
2
π 1－cos2α＋2 ＝ cos2α－sin2α 1＋sin2α ＝ 2 cos α－sin2α
【点评】对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或 化简，然后看所求式子能否化简，再看它们之间的相互联系， 通过分析找到已知与所求的纽带．
素材1
1 化简：sin αsin β＋cos αcos β－ cos2αcos2β 的值为 2
2 2 2 2
1 2
.பைடு நூலகம்
1－cos2α 1－cos2β 1＋cos2α 1＋cos2β 1 【解析】原式＝ · ＋ · － 2 2 2 2 2 cos2α· cos2β 1 1 ＝ (1＋cos2α· cos2β－cos2α－cos2β)＋ (1＋cos2α· cos2β 4 4 1 ＋cos2α＋cos2β)－ cos2αcos2β 2 1 ＝ . 2
π π 【解析】(1)因为 ＋α＝(α＋β)－(β－ )， 4 4 π π 所以 tan( ＋α)＝tan[(α＋β)－(β－ )] 4 4 π tanα＋β－tanβ－ 4 ＝ π 1＋tanα＋β· tanβ－ 4 2 1 － 5 4 ＝ 2 1 1＋ × 5 4 3 ＝ . 22
5 所以 tanC＝－tan(A＋B)＝－ ，所以 C 为钝角， 2 所以△ABC 为钝角三角形．
3.在△ABC 中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则∠C 的大小为( π A. 6 π 5π C. 或 6 6 ) 5π B. 6 π 2π D. 或 3 3
【解析】由已知， 9sin2A＋16cos2B＋24sinAcosB＝36，① 9cos2A＋16sin2B＋24sinBcosA＝1，② 1 ①＋②，得 25＋24sin(A＋B)＝37，所以 sin(A＋B)＝ ， 2 1 π 5π 所以 sinC＝ ，C＝ 或 . 2 6 6
2θ 2θ
2. A，B，C 是△ABC 的三个内角，且 tanA，tanB 是方 程 3x2－5x＋1＝0 的两个实数根，则△ABC 是( A．钝角三角形 C．等腰三角形 B．锐角三角形 D．等边三角形 )
5 【解析】tanA＋tanB＝ ，① 3 1 tanAtanB＝ ，② 3 tanA＋tanB 所以 tan(A＋B)＝ ＝ 1－tanAtanB 5 ＝ ， 1 2 1－ 3 5 3
2
7 ＝ . 25
17π 7π 5π π 因为 <x< ，则 <x＋ <2π， 12 4 3 4 π 4 故 sin( ＋x)＝－ ， 4 5 π sin ＋x π 4 4 tan( ＋x)＝ ＝－ ， 4 π 3 cos ＋x 4 7 4 28 故原式＝ ×(－ )＝－ . 25 3 75
sin15° ＋cos15° －8° sin8° (2)原式＝ cos15° －sin15° －8° sin8° 1－cos30° sin15°cos8° · ＝ ＝tan15° ＝ cos8° cos15° sin30° ＝2－ 3.
【点评】进行三角变换的技巧是变角，即注意角的和、差、 倍、半、互余、互补关系根据实际情况对角进行“拆”或 “添”变形，这样可大大减少运算量．基本的解题规律为： 观察差异(或角、或函数、或运算)，寻找联系(借助熟知的公 式、方法或技巧)，综合分析，实现转化．
备选例题
等比数列 {an}中，a2＝sinα＋cosα，a3＝1＋sin2α，其 π 中 ＜α＜π.求： 2 1 3 (1)2sin2α－ cos4α＋ 是数列{an}的第几项？ 2 2 4 (2)若 tan(π－α)＝ ，求数列{an}的前 n 项和 Sn. 3
【解析】设数列{an}的公比为 q， a3 1＋sin2α sinα＋cosα2 则 q＝ ＝ ＝ ＝sinα＋cosα， a2 sinα＋cosα sinα＋cosα a2 所以 a1＝ ＝1. q 所以 an＝(sinα＋cosα)n－1(n∈N*)．
3 证明．它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式
的证明．常用方法：从左推到右；从右推到左； 左右互推．
θ 4 θ 3 1.若 sin ＝ ，cos ＝ ，则 θ 是( 2 5 2 5 A．第一象限角 C．第三象限角
)
B．第二象限角 D．第四象限角
θ θ 24 【解析】因为 sinθ＝2sin cos ＝ >0， 2 2 25 7 cosθ＝cos －sin ＝－ <0， 2 2 25 所以 θ 在第二象限．
4 4 (2)由 tan(π－α)＝ ，得 tanα＝－ ， 3 3 π 4 3 又 ＜α＜π，所以 sinα＝ ，cosα＝－ ， 2 5 5 1 1 n －1 所以 q＝sinα＋cosα＝ ，所以 an＝( ) ， 5 5 1n 1－ 5 5 1 1 n－1 故 Sn ＝ ＝ － ×( ) . 1 4 4 5 1－ 5
一
恒等变换下的化简求值
cos2x 的值． π 2cos ＋x· sinx 4
x x 【例 1】已知 sin －2cos ＝0，求 2 2
x x x 【解析】由 sin －2cos ＝0，得 tan ＝2， 2 2 2 4 所以 tanx＝ ＝－ ， 3 x 2 1－tan 2 cos2x－sin2x cosx＋sinx cos2x 所以 ＝ ＝ ＝ π sinx cosx－sinxsinx 2cos ＋x· sinx 4 4 1－ 1＋tanx 3 1 ＝ ＝ . 4 4 tanx － 3 x 2tan 2
素材2
sin2x＋2sin2x π 3 17π 7π 若 cos( ＋x)＝ ， <x< ，求 的值． 4 5 12 4 1－tanx
2sinxcosx1＋tanx 【解析】原式＝ 1－tanx π ＝sin2x· tan( ＋x)． 4 π π 而 sin2x＝sin[2( ＋x)－ ] 4 2 π ＝－cos2( ＋x) 4 π ＝－[2cos ( ＋x)－1] 4
素材3
sin2α＋β sinβ 求证： －2cos(α＋β)＝ . sinα sinα
sin[α＋β＋α] 2cosα＋βsinα 【证明】 左边＝ － sinα sinα sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα－2cosα＋βsinα ＝ sinα sinα＋βcosα－cosα＋βsinα ＝ sinα sinα＋β－α sinβ ＝ ＝sinα＝右边． sinα 故等式成立．
4.求值： 3tan20° tan40° ＋tan20° ＋tan40° ＝
3
.
【解析】原式＝ 3tan20° tan40° ＋tan60° (1－tan20° tan40° ) ＝ 3.
1＋tanα 1 5.若 ＝2013，则 ＋tan2α＝ cos2α 1－tanα
2013
.
1＋sin2α 1 【解析】 ＋tan2α＝ cos2α cos2α sinα＋cosα2 ＝ cosα＋sinαcosα－sinα cosα＋sinα 1＋tanα ＝ ＝ ＝2013. cosα－sinα 1－tanα
sin2α＋cos2α＋2sinαcosα ＝ cos2α－sin2α cosα＋sinα2 ＝ cosα－sinαcosα＋sinα cosα＋sinα ＝ cosα－sinα 1＋tanα ＝ ＝右边． 1－tanα 故等式成立．
【点评】观察左右两边式子间的差异，选择“从左证到右”， 利用凑角、降幂“1”的巧妙代换，将异角化为同角，高次化为 低次，最后弦化切，统一三角名称．
三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结 构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式， 因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足 够的了解：
1同角三角函数关系——可实现函数名称的转化． 2 诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以
实现角的形式的转化．
3 倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的
能运用同角三角函数的基本关系、 诱导公式、两角和与差的三角公式 进行简单的三角恒等变换．
三角变换的基本题型 — —化简、求值和证明
1 化简．
三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量 少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含 三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式； 能求出的值应尽量求出值． 依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法： 异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次．
1 3 (1)2sin2α － cos4α＋ 2 2 1 ＝ ×(4sin2α－cos4α＋3) 2 1 ＝ [4sin2α－(1－2sin22α)＋3] 2 1 ＝ (2sin22α＋4sin2α＋2) 2 ＝(1＋sin2α)2 ＝(sinα＋cosα)4 ＝a5， 1 3 所以 2sin2α－ cos4α＋ 是数列{an}中的第 5 项． 2 2
2 求值．常见的有给角求值，给值求值，给值求角．
①给角求值的关键是正确地分析角(已知角与未知角) 之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值． ②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、 名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的 一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后 求待求式的值． ③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值， 讨论角的范围，求出该角．
【点评】本题从“幂”入手，借助倍角公式的变形公式，即降 幂公式先降幂再进行其他化简，这种化高次为低次是三角变换 的常用方法．
二
恒等变换下的拆角求值
2 π 1 π 【例 2】(1)已知 tan(α＋β)＝ ，tan(β－ )＝ ，求 tan( ＋α) 5 4 4 4 的值； sin7° ＋cos15°sin8° · (2) ＝__________. cos7° －sin15° sin8°
三
恒等变换下的三角证明
3π π 2－2sinα＋ cosα＋ 4 4 1＋tanα 【例 3】证明： ＝ . 4 4 cos α－sin α 1－tanα
π 2－2cos α＋4 【证明】左边＝ cos2α－sin2α
2
π 2sin α＋4 ＝ 2 cos α－sin2α
2
π 1－cos2α＋2 ＝ cos2α－sin2α 1＋sin2α ＝ 2 cos α－sin2α
【点评】对于附加条件求值问题，要先看条件可不可以变形或 化简，然后看所求式子能否化简，再看它们之间的相互联系， 通过分析找到已知与所求的纽带．
素材1
1 化简：sin αsin β＋cos αcos β－ cos2αcos2β 的值为 2
2 2 2 2
1 2
.பைடு நூலகம்
1－cos2α 1－cos2β 1＋cos2α 1＋cos2β 1 【解析】原式＝ · ＋ · － 2 2 2 2 2 cos2α· cos2β 1 1 ＝ (1＋cos2α· cos2β－cos2α－cos2β)＋ (1＋cos2α· cos2β 4 4 1 ＋cos2α＋cos2β)－ cos2αcos2β 2 1 ＝ . 2
π π 【解析】(1)因为 ＋α＝(α＋β)－(β－ )， 4 4 π π 所以 tan( ＋α)＝tan[(α＋β)－(β－ )] 4 4 π tanα＋β－tanβ－ 4 ＝ π 1＋tanα＋β· tanβ－ 4 2 1 － 5 4 ＝ 2 1 1＋ × 5 4 3 ＝ . 22
5 所以 tanC＝－tan(A＋B)＝－ ，所以 C 为钝角， 2 所以△ABC 为钝角三角形．
3.在△ABC 中，3sinA＋4cosB＝6,3cosA＋4sinB＝1，则∠C 的大小为( π A. 6 π 5π C. 或 6 6 ) 5π B. 6 π 2π D. 或 3 3
【解析】由已知， 9sin2A＋16cos2B＋24sinAcosB＝36，① 9cos2A＋16sin2B＋24sinBcosA＝1，② 1 ①＋②，得 25＋24sin(A＋B)＝37，所以 sin(A＋B)＝ ， 2 1 π 5π 所以 sinC＝ ，C＝ 或 . 2 6 6
2θ 2θ
2. A，B，C 是△ABC 的三个内角，且 tanA，tanB 是方 程 3x2－5x＋1＝0 的两个实数根，则△ABC 是( A．钝角三角形 C．等腰三角形 B．锐角三角形 D．等边三角形 )
5 【解析】tanA＋tanB＝ ，① 3 1 tanAtanB＝ ，② 3 tanA＋tanB 所以 tan(A＋B)＝ ＝ 1－tanAtanB 5 ＝ ， 1 2 1－ 3 5 3
2
7 ＝ . 25
17π 7π 5π π 因为 <x< ，则 <x＋ <2π， 12 4 3 4 π 4 故 sin( ＋x)＝－ ， 4 5 π sin ＋x π 4 4 tan( ＋x)＝ ＝－ ， 4 π 3 cos ＋x 4 7 4 28 故原式＝ ×(－ )＝－ . 25 3 75
sin15° ＋cos15° －8° sin8° (2)原式＝ cos15° －sin15° －8° sin8° 1－cos30° sin15°cos8° · ＝ ＝tan15° ＝ cos8° cos15° sin30° ＝2－ 3.
【点评】进行三角变换的技巧是变角，即注意角的和、差、 倍、半、互余、互补关系根据实际情况对角进行“拆”或 “添”变形，这样可大大减少运算量．基本的解题规律为： 观察差异(或角、或函数、或运算)，寻找联系(借助熟知的公 式、方法或技巧)，综合分析，实现转化．
备选例题
等比数列 {an}中，a2＝sinα＋cosα，a3＝1＋sin2α，其 π 中 ＜α＜π.求： 2 1 3 (1)2sin2α－ cos4α＋ 是数列{an}的第几项？ 2 2 4 (2)若 tan(π－α)＝ ，求数列{an}的前 n 项和 Sn. 3
【解析】设数列{an}的公比为 q， a3 1＋sin2α sinα＋cosα2 则 q＝ ＝ ＝ ＝sinα＋cosα， a2 sinα＋cosα sinα＋cosα a2 所以 a1＝ ＝1. q 所以 an＝(sinα＋cosα)n－1(n∈N*)．
3 证明．它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式
的证明．常用方法：从左推到右；从右推到左； 左右互推．
θ 4 θ 3 1.若 sin ＝ ，cos ＝ ，则 θ 是( 2 5 2 5 A．第一象限角 C．第三象限角
)
B．第二象限角 D．第四象限角
θ θ 24 【解析】因为 sinθ＝2sin cos ＝ >0， 2 2 25 7 cosθ＝cos －sin ＝－ <0， 2 2 25 所以 θ 在第二象限．
4 4 (2)由 tan(π－α)＝ ，得 tanα＝－ ， 3 3 π 4 3 又 ＜α＜π，所以 sinα＝ ，cosα＝－ ， 2 5 5 1 1 n －1 所以 q＝sinα＋cosα＝ ，所以 an＝( ) ， 5 5 1n 1－ 5 5 1 1 n－1 故 Sn ＝ ＝ － ×( ) . 1 4 4 5 1－ 5
一
恒等变换下的化简求值
cos2x 的值． π 2cos ＋x· sinx 4
x x 【例 1】已知 sin －2cos ＝0，求 2 2
x x x 【解析】由 sin －2cos ＝0，得 tan ＝2， 2 2 2 4 所以 tanx＝ ＝－ ， 3 x 2 1－tan 2 cos2x－sin2x cosx＋sinx cos2x 所以 ＝ ＝ ＝ π sinx cosx－sinxsinx 2cos ＋x· sinx 4 4 1－ 1＋tanx 3 1 ＝ ＝ . 4 4 tanx － 3 x 2tan 2
素材2
sin2x＋2sin2x π 3 17π 7π 若 cos( ＋x)＝ ， <x< ，求 的值． 4 5 12 4 1－tanx
2sinxcosx1＋tanx 【解析】原式＝ 1－tanx π ＝sin2x· tan( ＋x)． 4 π π 而 sin2x＝sin[2( ＋x)－ ] 4 2 π ＝－cos2( ＋x) 4 π ＝－[2cos ( ＋x)－1] 4
素材3
sin2α＋β sinβ 求证： －2cos(α＋β)＝ . sinα sinα
sin[α＋β＋α] 2cosα＋βsinα 【证明】 左边＝ － sinα sinα sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα－2cosα＋βsinα ＝ sinα sinα＋βcosα－cosα＋βsinα ＝ sinα sinα＋β－α sinβ ＝ ＝sinα＝右边． sinα 故等式成立．
4.求值： 3tan20° tan40° ＋tan20° ＋tan40° ＝
3
.
【解析】原式＝ 3tan20° tan40° ＋tan60° (1－tan20° tan40° ) ＝ 3.
1＋tanα 1 5.若 ＝2013，则 ＋tan2α＝ cos2α 1－tanα
2013
.
1＋sin2α 1 【解析】 ＋tan2α＝ cos2α cos2α sinα＋cosα2 ＝ cosα＋sinαcosα－sinα cosα＋sinα 1＋tanα ＝ ＝ ＝2013. cosα－sinα 1－tanα
sin2α＋cos2α＋2sinαcosα ＝ cos2α－sin2α cosα＋sinα2 ＝ cosα－sinαcosα＋sinα cosα＋sinα ＝ cosα－sinα 1＋tanα ＝ ＝右边． 1－tanα 故等式成立．
【点评】观察左右两边式子间的差异，选择“从左证到右”， 利用凑角、降幂“1”的巧妙代换，将异角化为同角，高次化为 低次，最后弦化切，统一三角名称．
三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结 构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式， 因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足 够的了解：
1同角三角函数关系——可实现函数名称的转化． 2 诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以
实现角的形式的转化．
3 倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的
能运用同角三角函数的基本关系、 诱导公式、两角和与差的三角公式 进行简单的三角恒等变换．
三角变换的基本题型 — —化简、求值和证明
1 化简．
三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量 少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含 三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式； 能求出的值应尽量求出值． 依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法： 异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次．
1 3 (1)2sin2α － cos4α＋ 2 2 1 ＝ ×(4sin2α－cos4α＋3) 2 1 ＝ [4sin2α－(1－2sin22α)＋3] 2 1 ＝ (2sin22α＋4sin2α＋2) 2 ＝(1＋sin2α)2 ＝(sinα＋cosα)4 ＝a5， 1 3 所以 2sin2α－ cos4α＋ 是数列{an}中的第 5 项． 2 2