泛函分析第七章习题解答
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第七章 习题解答
1．设（X ，d ）为一度量空间，令
}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U
问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？
解 不一定。例如离散空间（X ，d ）。)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。 因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。
2. 设 ],[b a C ∞
是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义
)()(1)()(max 21
),()()()()(0
t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞
=∑
证明],[b a C ∞
按),(g f d 成度量空间。
证明 （1）若),(g f d =0，则)
()(1)()(max
)
()
()()(t g t f
t g t f r r r r b
t a -+-≤≤=0，即f=g
（2）)()(1)()(max 21
),()()()()(0
t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞
=∑
)()(1)()()()(1)()(max 2
1
)()()()()()()()(0t g t h t g t h t g t f t g t f r r r r r r r r b t a r r -+-+-+-≤≤≤∞
=∑ )()(1)()(max 21
)()(1)()(max 21)()()()(0
)()()()(0t g t h t g t h t g t f t g t f r r r r b t a r r r r r r b t a r r -+-+-+-≤≤≤∞=≤≤∞
=∑∑
=d （f ，g ）+d （g ，h ）
因此],[b a C ∞
按),(g f d 成度量空间。
3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集ΛΛn o o o 21,包含B ，而且B o n n =⋂∞
=1
。
证明 令n n n o n n
B x d Bo o .2,1},1
),({K =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使
n x x d 1),(10<
。设,0),(1
10>-=x x d n δ则易验证n o x U ⊂),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ⊃⋂∞=1。若n n o x ∞=⋂∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1
),(1<，因此
)(∞−→−−→−n x x n 。因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =⋂∞
=1。
4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明)
,(1)
,(),(___
y x d y x d y x d +=
是X 上的距离。
证明 （1）若0),(___
=y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而
t
t
+1在),[∞o 上是单增函数，于是)
,(),(1)
,(),(),(),(1),(),(___
___
z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
=
)
,(),(1)
,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++
)
,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___
__z y d z x d +。 5. 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞
∈的充要条件为n f 的各阶导数在 [a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。
证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞
∈，即
)()(1)()(max 2
1
),()()()()
(0t f t f t f t f f f d r r n r r n b
t a r r n -+-≤≤≤∞
=∑——>0 )(∞−→−n 因此对每个r ，
)()(1)
()(max 21
)
()()()
(0
t f t f t f t f r r n r r n b t a r r -+-≤≤∞
=∑——>0 )(∞−→−n ，这样 b
t a ≤≤max )()()()
(t f t f r r n -——>0 )(∞−→−n ，即)()(t f r n 在 [a ，b] 上一致收敛于)()
(t f r 。 反之，若的n f （t ）各阶导数在[a ，b]上一致收敛于f （t ），则任意o >ε，存在0r ，使
22
11ε<∑∞
+=o r r r
；存在r N ，使当r N n >时，max )()()
()(t f t f r r n - 00,2,1,0,2r r r Λ=<ε，取N=max{ N N N K 1}，当n>N 时，)()(1)()(max 2
1
),()()()()
(0t f t f t f t f f f d r r n r r n b
t a r r n -+-≤≤≤∞
=∑ )()(1)
()(max 21
)()()()
(0t f t f t f t f r r n r r n b t a r r -+-≤≤≤∞
=∑∑∞
+=+121o r r r εεε=+<22.0
0r r 即),(n f f d ——>0 )(∞−→−
n 。 6. 设],[b a B ⊂，证明度量空间],[b a C 中的集{f|当t ∈B 时f （t ）=0}为],[b a C 中的闭集，