八年级上册全等三角形专题练习(word版

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数学八年级上册全等三角形(篇)(Word版含解析)

数学八年级上册全等三角形（篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在ABC∆中，25,105A ABC∠=︒∠=︒，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC∆分割成两个等腰三角形，则BDA∠的度数是______．（2）已知在ABC∆中，AB AC=，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC∆分割成两个等腰三角形，则A∠的最小度数为________．【答案】130︒1807︒⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得：DA=DB，结合25A∠=︒，即可得到答案；（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD，③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出A∠的度数，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意，当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°，∴∠BDA=180°-25°×2=130°．故答案为：130°；（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，∴∠BAC=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．③如图3，∵AB=AC，当AD=BD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=3∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°，∴∠BAC=180 ()7︒．综上所述，∠A的最小度数为：180 ()7︒．故答案是：180 ()7︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．2．在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，∆为等腰三角形，符合条件的C点有∠=︒，在x轴或y轴上取点C，使得ABCABO36__________个．【答案】8【解析】【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．【详解】解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个与点A重合，故此时符合条件的点有3个；线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．3．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm，则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm ，可求得BD=12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC •BD=12×4×2=8×12=4（cm 2）．故答案是：4．4．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 为BC 中点，E 为AC 边上一动点，连接DE ，以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ∆，连接BF ，则BF 的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长，构建等边三角形BDG ，利用△BDF ≌△GDE ，转换BF=GE ，然后即可求得其最小值.【详解】以BD 为边作等边三角形BDG ，连接GE ，如图所示：∵等边三角形BDG ，等边三角形DEF∴∠BDG=∠EDF=60°，BD=GD=BG ，DE=DF=EF∴∠BDG+∠GFD=∠EDF+∠GFD ，即∠BDF=∠GDE∴△BDF ≌△GDE （SAS ）∴BF=GE当GE ⊥AC 时，GE 有最小值，如图所示GE′，作DH ⊥GE′∴BF=GE= CD+12DG=2+1=3 故答案为：3.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是由60°联想旋转全等，转换动长为定点到定线的长.5．如图，已知AB AC =，AD 平分BAC ∠，60DEB EBC ∠=∠=︒，若3BE =，3DE =，则BC =____________．【答案】33+【解析】【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F.由已知条件推出△BEM 是等边三角形，△FDE 是等边三角形，在△DNM 中求出NM 的长度，即可求出BC 的长度.【详解】如图，延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F ，∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵60DEB EBC ∠=∠=︒，∴△BEM 是等边三角形，∴△FDE 是等边三角形，∵3BE =，3DE =，∴33DM =-，∵△BEM 是等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴1332NM DM -==， ∴3333322BN BM NM -+=-=-=， ∴233BC BN ==+.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.6．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC 为格点三角形，在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC 成轴对称．【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC 成轴对称．故答案为：6．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．7．如图，已知30AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，14OD DP ==，点E ，F 在边OB 上，PE PF =.若6EF =，则OF 的长为____.【答案】18【解析】【分析】由30°角我们经常想到作垂线，那么我们可以作DM 垂直于OA 于M ，作PN 垂直于OB 于点N ，证明△PMD ≌△PND ，进而求出DF 长度，从而求出OF 的长度.【详解】如图所示，作DM垂直于OA于M，作PN垂直于OB于点N.∵∠AOB=30°，∠DMO=90°，PD=DO=14，∴DM=7，∠NPO=60°，∠DPO=30°，∴∠NPD=∠DPO=30°，∵DP=DP，∠PND=∠PMD=90°，∴△PND≌△PMD，∴ND=7，∵EF=6，∴DF=ND-NF=7-3=4，∴OF=DF+OD=14+4=18.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点B旋转α（0＜α＜60°）到△A′BC′，边AC 和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q.当△BPQ为等腰三角形时，则α＝__________.【答案】20°或40°【解析】【分析】过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，根据旋转可得△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，进而得到BP平分∠A'PC，再根据∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，可得∠CBQ=∠C'PQ=θ，即可得出∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况讨论，利用三角形内角和等于180°，即可得到关于θ的方程，进而得到结果．【详解】如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，∴BP平分∠A'PC，又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，∴∠BPQ=12（180°-∠C'PQ）=90°-12θ，分三种情况：①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，∴90°-12θ+2×（30°+θ）=180°，解得θ=20°；②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP，即90°-12θ=30°+θ，解得θ=40°；③当QP=QB时，∠QPB=∠QBP=90°-12θ，又∵∠BQP=30°+θ，∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°-12θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意），故答案为：20°或40°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及旋转的性质的运用，解决问题的关键是利用全等三角形对应边上高相等，得出BP平分∠A'PC，解题时注意分类思想的运用．9．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．【答案】1 2【解析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F.因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=12AC=12.故答案为1 2 .10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为_________【答案】85【解析】【分析】首先根据折叠可得CD=AC=6，B′C=BC=8，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B′CF ，CE ⊥AB ，然后求得△ECF 是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE ，得出BF 的长，即 B′F 的长．【详解】解：根据折叠的性质可知：DE=AE ，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B′CF ，CE ⊥AB ，B′F=BF ，∴B′D=8-6=2，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF ，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B′FC=135°，∴∠B′FE=90°，∵S △ABC =12AC•BC=12AB•CE ， ∴AC•BC=AB•CE ， ∵根据勾股定理得：22226810ABAC BC ∴ 4.8AC BC CE AB⋅== ∴EF=4.8，22 3.6AE AC EC -=∴B′F=BF=AB -AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=85，故答案是：85.【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE 、AE 是解决问题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，在△ABC 中，∠B=32°，将△ABC 沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则∠1-∠2的度数是（）A．32°B．64°C．65°D．70°【答案】B【解析】【分析】此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案【详解】如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH∠1=180︒-∠BEH-∠DEH=180︒-2∠DEH∠2=180︒-∠D-∠DEH-∠EHF=180︒-∠B-∠DEH-(∠B+∠BEH)=180︒-∠B-∠DEH-（∠B+∠DEH）=180︒-32°-∠DEH-32°-∠DEH=180︒-64°-2∠DEH∴∠1-∠2=180︒-2∠DEH-(180︒-64°-2∠DEH)=180︒-2∠DEH-180︒+64°+2∠DEH=64°故选B【点睛】此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键12．如图，等腰 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于D，∠ABC 的平分线分别交 AC，AD 于E，F，点M 为 EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于N，连接 DM，NF，EN．下列结论：①△AFE 为等腰三角形；②△BDF ≌△ADN ；③NF 所在的直线垂直平分AB ；④DM 平分∠BMN ；⑤AE ＝EN ＝NC ；⑥AE BN EC BC=．其中正确结论的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°，再根据三角形外角性质得∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°，则得到∠AEF=∠AFE ，可判断△AEF 为等腰三角形，于是可对①进行判断；求出BD=AD ，∠DBF=∠DAN ，∠BDF=∠ADN ，证△DFB ≌△DAN ，由题意可得BF>BD=AD,所以BF ≠AF,所以点F 不在线段AB 的垂直平分线上，所以③不正确，由∠ADB=∠AMB=90°，可知A 、B 、D 、M 四点共圆，可求出∠ABM=∠ADM=22.5°，继而可得∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，即可求出DM 平分∠BMN ,所以④正确；根据全等三角形的性质可得△AFB ≌△CAN ，继而可得AE=CN ，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可得△ENC 是等腰直角三角形,继而可得AE=CN=EN ，所以⑤正确；根据等腰三角形的判定可得△BAN 是等腰三角形，可得BD=AB ，继而可得22BD BC A BC B ==,由⑤可得22AE EN EC EC ==所以⑥正确. 【详解】解：∵等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°， ∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5° ∴∠AEF=∠AFE ，∴△AEF 为等腰三角形，所以①正确；∵∠BAC=90°，AC=AB ，AD ⊥BC ，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD ，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE= 12∠ABC=22.5°， ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE，AM⊥BE，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，在△FBD和△NAD中,∠FBD＝∠DAN ,BD＝AD ,∠BDF＝∠ADN ，∴△FBD≌△NAD，所以②正确；因为BF>BD=AD,所以BF AF,所以点F不在线段AB的垂直平分线上，所以③不正确∵∠ADB=∠AMB=90°，∴A、B、D、M四点共圆，∴∠ABM=∠ADM=22.5°，∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，∴DM平分∠BMN ,所以④正确；在△AFB和△CNA中，∠BAF＝∠C＝45°,AB＝AC, ∠ABF＝∠CAN＝22.5°,∴△AFB≌△CAN（ASA），∴AF=CN，∵AF=AE，∴AE=CN，∵AE=AF，FM=EM，∴AM⊥EF，∴∠BMA=∠BMN=90°，∵BM=BM，∠MBA=∠MBN，∴△MBA≌△MBN，∴AM=MN，∴BE垂直平分线段AN，∴AB=BN，EA=EN，∵BE=BE，∴△ABE≌△NBE，∴∠ENB=∠EAB=90°，∴EN⊥NC．∴△ENC是等腰直角三角形,∴AE=CN=EN，所以⑤正确；∵AF=FN,所以∠FAN =∠FNA,因为∠BAD =∠FND=45°,所以∠FAN+ ∠BAD =∠FNA+∠FND,所以∠BAN =∠BNA,所以AB=BN,所以22BDBCABCB==，由⑤可知，△ENC是等腰直角三角形，AE=CN=EN，∴22 AE ENEC EC==,所以AE BNEC BC=，所以⑥正确,故选D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．13．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【答案】C【解析】【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN=120°HN=MN=x即可解决问题．【详解】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°．∵∠MON=30°，∴∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH．∵BM=BH，BN=BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN=NH=x．∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=n，∴∠NCH=120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水. 某同学用直线（虛线）l表示小河，,P Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据轴对称分析即可得到答案.【详解】根据题意，所需管道最短，应过点P或点Q作对称点，再连接另一点，与直线l的交点即为水泵站M，故选项A、B、D均错误，选项C正确，故选：C.【点睛】此题考查最短路径问题，应作对称点，使三点的连线在同一直线上，这是此类问题的解题目标，把握此目标即可正确解题.15．如图，在四边形ABCD中，AB AC=，60ABD∠=，75ADB∠=，30BDC∠=，则DBC∠=（）°A．15 B．18 C．20 D．25【答案】A【解析】【分析】延长BD到M使得DM=DC，由△ADM≌△ADC，得AM=AC=AB，得△AMB是等边三角形，得∠ACD=∠M=60°，再求出∠BAO即可解决问题.【详解】如图，延长BD到M使得DM=DC.∵∠ADB=75°，∴∠ADM=180°﹣∠ADB=105°.∵∠ADB=75°，∠BDC=30°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=105°，∴∠ADM=∠ADC.在△ADM和△ADC中，∵AD ADADM ADCDM DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM≌△ADC，∴AM=AC.∵AC=AB，∴AM=AC=AB，∠ABC=∠ACB.∵∠ABD=60°，∴△AMB是等边三角形，∴∠M=∠DCA=60°.∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，∴∠BAO=∠ODC=30°.∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∴30°+2(60°+∠CBD)=180°，∴∠CBD=15°.故选：A.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定难度.16．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，5AB =,将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段EF 的长为（）A ．52B ．125C ．4D ．53【答案】B【解析】【分析】先利用折叠的性质证明出△ECF 是一个等腰直角三角形，因此EF=CE ，然后再根据文中条件综合得出S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE ，求出CE 进而得出答案即可. 【详解】根据折叠性质可知：CD=AC=3，BC=B C '=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B 'CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE+∠B 'CF=∠ACE+∠BCF ，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，又∵CE ⊥AB ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，又∵S △ABC =12AC∙BC=12AB∙CE ， ∴AC∙BC=AB∙CE ，∵3AC =，4BC =，5AB =,∴125CE =， ∴EF 125=. 所以答案为B 选项.【点睛】本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.17．如图，P 为∠AOB 内一定点，M 、N 分别是射线OA 、OB 上一点，当△PMN 周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（）A ．35°B ．40°C ．45°D ．50°【答案】A【解析】【分析】作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP 1M=∠OPM=50°，OP 1=OP 2=OP ，根据等腰三角形的性质求解．【详解】作P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2．连接OP 1，OP 2．则当M ，N 是P 1P 2与OA ，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，连接P 1O 、P 2O ，∵PP 1关于OA 对称，∠MPN=110°∴∠P 1OP=2∠MOP ，OP 1=OP ，P 1M=PM ，∠OP 1M=∠OPM ，同理可得：∠P 2OP=2∠NOP ，OP=OP 2，∴∠P 1OP 2=∠P 1OP+∠P 2OP=2（∠MOP+∠NOP ）=2∠AOB ，OP 1=OP 2=OP ，∴△P 1OP 2是等腰三角形．∴∠OP 2N=∠OP 1M ，∴∠P1OP2=180°-110°=70°，∴∠AOB=35°，故选A．【点睛】考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P1OP2是等腰三角形是．18．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】A【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∵△CDM周长的最小值为8，∴AD=8-12BC=8-2=6∴S△ABC=12BC•AD=12×4×6=12，故选A．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．19．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的序号有（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，∴∠BAE=120°，∴∠EAD=60°，②正确，∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴AC=AD，∵CE=DE，∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，∵∠AEC=∠BDC，∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，如图，当点D在AB上时，∵△BCD≌△∠ACE，∴∠CAE=∠CBD=60°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误故正确的结论有①②④，故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握20．如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（）A．①③B．①②④C．①②③④D．①③④【答案】C【解析】【分析】①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．【详解】①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°．∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE．在△DAE和△CBE中，∵AE BEDAE CBEAD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BCE（SAS）；故①正确；②∵△ADE≌△BCE，∴∠EDA=∠ECB．∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE⊥DE；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE．∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF．在△AEF和△BED中，∵BDE AFEBED AEFAE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD=AF；故③正确；④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF．∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形．∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE．∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④正确．故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．。

人教版八年级数学上册全等三角形达标检测卷(Word版含解析)

人教版八年级数学上册全等三角形达标检测卷（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．【答案】4【解析】【分析】由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.【详解】（1）当点P在x轴正半轴上，①如图，以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP＝45°，OA＝22，当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，当∠OAP为顶角时，AO=AP，∴OPA=∠AOP=45°，∴∠OAP=90°，∴OP=2OA=4，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，∵AP=OP，∴∠OAP=∠AOP=45°，∴∠OPA=90°，∴OP=2， ∴P 点坐标为（2，0）.（2）当点P 在x 轴负半轴上，③以OA 为腰时，∵A 的坐标是（2，2），∴OA ＝22，∴OA ＝OP ＝22，∴P 的坐标是（﹣22，0）．综上所述：P 的坐标是（2，0）或（4，0）或（22，0）或（﹣22，0）．故答案为：4．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．2．如图，在等边ABC ∆中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ∆∆+=_________．【答案】936 【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△APC，连接PD，根据旋转的性质知△APD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，∠BPD＝90︒，由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，则有S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的3倍和直角三角形的面积公式即可得到S△ADP＋S△BPD＝3×32＋12×3×4＝936+．【详解】将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD，连接PD ∴AD＝AP，∠DAP＝60︒，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60︒，AB＝AC，∴∠DAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP，∴∠DAB＝∠PAC，又AB=AC,AD=AP∴△ADB≌△APC∵DA＝PA，∠DAP＝60︒，∴△ADP为等边三角形，在△PBD中，PB＝4，PD＝3，BD＝PC＝5，∵32＋42＝52，即PD2＋PB2＝BD2，∴△PBD为直角三角形，∠BPD＝90︒，∵△ADB≌△APC，∴S△ADB＝S△APC，∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝34×32＋12×3×4＝9364+．故答案为：936+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．3．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD ，连接AC 、AD ，当△AOD 是等腰三角形时，求α的角度为______【答案】110°、125°、140°【解析】【分析】先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD ，则∠AOD=∠ADO ，②OA=OD ，则∠OAD=∠ADO ，③OD=AD ，则∠OAD=∠AOD ，分别求出α的角度即可.【详解】解：∵设∠CBO=∠CAD=a ，∠ABO=b ，∠BAO=c ，∠CAO=d ，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，∴b ﹣d=10°，∴（60°﹣a ）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD ，则∠AOD=∠ADO ，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②OA=OD ，则∠OAD=∠ADO ，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③OD=AD ，则∠OAD=∠AOD ，∴190°﹣α=50°，∴α=140°；所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD 是等腰三角形，故答案为：110°、125°、140°.【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.4．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证∆ACE ≅∆BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE ，∵线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，∴CA=CB ，CE=CD ，∵72ABC EDC ∠=∠=︒=∠DEC ，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD ，在∆ACE 与∆BCD 中，∵CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE ≅∆BCD （SAS ）， ∴∠AEC=∠BDC ，设∠AEC=∠BDC=x ，则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x ）=x-20°，∴在∆BDE 中，∠EBD=180°-（72°-x ）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．5．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．【答案】30°．【解析】【分析】如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB=12∠P'O P''=30°.【详解】解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N，由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB，∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°.故答案为30°.【点睛】本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.6．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.【答案】6； 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．【详解】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA 1=A 1B 1=3，∴A 2B 1=3，∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1，以此类推：a 2019=22018a 1=3×22018故答案是：6；3×22018．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a 2=2a 1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1…进而发现规律是解题关键．7．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为__________【答案】4【解析】如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm ，可求得BD=12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4（cm 2）．故答案是：4．8．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB －2∠ACD=100°，∴∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC ，∴∠DBC=∠DCB ，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.9．如图，∠BOC=60°，点A 是BO 延长线上的一点，OA=10cm ，动点P 从点A 出发沿AB 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s 时，△POQ 是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO 时，△POQ 是等腰三角形，如图2所示当点P 在BO 上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO 时，210t t -=解得10t =故答案为：103或10 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.10．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠=01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．在平面直角坐标系中，等腰△ABC 的顶点A 、B 的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C 有（）个．A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】【分析】要使△ABC 是等腰三角形，可分三种情况（①若AC =AB ，②若BC =BA ，③若CA =CB ）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】①若AC =AB ，则以点A 为圆心，AB 为半径画圆，与坐标轴有4个交点；②若BC =BA ，则以点B 为圆心，BA 为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A 点除外）； ③若CA =CB ，则点C 在AB 的垂直平分线上．∵A （0，0），B （2，2），∴AB 的垂直平分线与坐标轴有2个交点．综上所述：符合条件的点C 的个数有8个．故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键．12．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF∆和BEF∆中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．13．平面直角坐标系中，已知A （2，0），B （0，2）若在坐标轴上取C 点，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（）A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交坐标轴于点B ，C 1，C 2，C 5，得到以A 为顶点的等腰△ABC 1，△ABC 2，△ABC 5；②以B 为圆心，AB 为半径画圆，交坐标轴于点A ，C 3，C 6，C 7，得到以B 为顶点的等腰△BAC 3，△BAC 6，△BAC 7；③作AB 的垂直平分线，交x 轴于点C 4，得到以C 为顶点的等腰△C 4AB∴符合条件的点C 共7个故选C14．如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG＝2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG＝∠ACB；④∠CFB＝135°，其中正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】由已知条件可知∠ABC+∠ACB=90°，又因为CD、BE分别是△ABC的角平分线，所以得到∠FBC+∠FCB=45°，所以求出∠CFB=135°；有平行线的性质可得到：∠ABG=∠ACB，∠BAG=2∠ABF．所以可知选项①③④正确．【详解】∵AB⊥AC．∴∠BAC＝90°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝90°∵CD、BE分别是△ABC的角平分线，∴2∠FBC+2∠FCB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝45°∴∠BFC＝135°故④正确．∵AG∥BC，∴∠BAG ＝∠ABC∵∠ABC ＝2∠ABF∴∠BAG ＝2∠ABF 故①正确．∵AB ⊥AC ，∴∠ABC+∠ACB ＝90°，∵AG ⊥BG ，∴∠ABG+∠GAB ＝90°∵∠BAG ＝∠ABC ，∴∠ABG ＝∠ACB 故③正确．故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质．掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．15．如图所示，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD ，有下列四个结论：①∠PBC ＝15°，②AD ∥BC ，③PC ⊥AB ，④四边形ABCD 是轴对称图形，其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】根据周角的定义先求出∠BPC 的度数，再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形，∠PBC 即可求出；根据题意：有△APD 是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．【详解】根据题意，BPC 36060290150∠=-⨯-= ， BP PC =，()PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，∴AD//BC ，②正确；∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，∴PC ⊥AB ，③正确，所以四个命题都正确，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.16．如图，已知：30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A …在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上，112A B A △、223A B A △、334A B A △…均为等边三角形，若112OA =，则667A B A 的边长为( )A ．6B ．12C ．16D ．32【答案】C【解析】【分析】先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2，再利用外角定理求∠OB 1A 1=30°，则∠MON=∠OB 1A 1，由等角对等边得：B 1A 1=OA 1=12，得出△A 1B 1A 2的边长为12，再依次同理得出：△A 2B 2A 3的边长为1，△A 3B 3A 4的边长为2，△A 4B 4A 5的边长为：22=4，△A 5B 5A 6的边长为：23=8，则△A 6B 6A 7的边长为：24=16．【详解】解：∵△A 1B 1A 2为等边三角形，∴∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2，∵∠MON=30°，∴∠OB 1A 1=60°-30°=30°，∴∠MON=∠OB 1A 1，∴B 1A 1=OA 1=12， ∴△A 1B 1A 2的边长为12，同理得：∠OB 2A 2=30°， ∴OA 2=A 2B 2=OA 1+A 1A 2=12+12=1， ∴△A 2B 2A 3的边长为1，同理可得：△A3B3A4的边长为2，△A4B4A5的边长为：22=4，△A5B5A6的边长为：23=8，则△A6B6A7的边长为：24=16．故选：C．【点睛】本题考查等边三角形的性质和外角定理，运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，解题关键是总结规律，得出结论．17．如图，在四边形ABCD中，AB AC=，60ABD∠=，75ADB∠=，30BDC∠=，则DBC∠=（）°A．15 B．18 C．20 D．25【答案】A【解析】【分析】延长BD到M使得DM=DC，由△ADM≌△ADC，得AM=AC=AB，得△AMB是等边三角形，得∠ACD=∠M=60°，再求出∠BAO即可解决问题.【详解】如图，延长BD到M使得DM=DC.∵∠ADB=75°，∴∠ADM=180°﹣∠ADB=105°.∵∠ADB=75°，∠BDC=30°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=105°，∴∠ADM=∠ADC.在△ADM和△ADC中，∵AD ADADM ADCDM DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADM≌△ADC，∴AM=AC.∵AC=AB，∴AM=AC=AB，∠ABC=∠ACB.∵∠ABD=60°，∴△AMB是等边三角形，∴∠M=∠DCA=60°.∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，∴∠BAO=∠ODC=30°.∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∴30°+2(60°+∠CBD)=180°，∴∠CBD=15°.故选：A.【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有一定难度.18．如图，四边形ABCD中，∠C=，∠B=∠D=，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】【详解】作点A关于直线BC和直线CD的对称点G和H，连接GH，交BC、CD于点E、F，连接AE、AF，则此时△AEF的周长最小，由四边形的内角和为360°可知，∠BAD=360°-90°-90°-50°=130°，即∠1+∠2+∠3=130°①，由作图可知，∠1=∠G，∠3=∠H，△AGH的内角和为180°，则2（∠1+∠3）+ ∠2=180°②，又①②联立方程组，解得∠2=80°．故选D．考点：轴对称的应用；路径最短问题．19．如图，ABC △，AB AC =，56BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与O 点恰好重合，则∠OEC 的度数为（）A ．132︒B ．130︒C ．112︒D ．110︒【答案】C【解析】【分析】连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出∠BAO ，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB ，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO ，再求出∠OBC ，然后判断出点O 是△ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC ，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC ，根据翻折的性质可得OE=CE ，然后根据等边对等角求出∠COE ，再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.【详解】如图，连接OB 、OC ，∵56BAC ︒∠=，AO 为BAC ∠的平分线 ∴11562822BAO BAC ︒︒∠=∠=⨯=又∵AB AC =，∴()()11180180566222ABC BAC ︒︒︒︒∠=-∠=-= ∵DO 是AB 的垂直平分线， ∴OA OB =．∴28ABO BAO ︒∠=∠=，∴622834OBC ABC ABO ︒︒︒∠=∠-∠=-=∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线∴点О是ABC △的外心，∴OB OC =，∴34OCB OBC ︒∠=∠=，∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合∴OE CE =，∴34COE OCB ︒∠=∠=，在OCE △中，1801803434112OEC COE OCB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，做辅助线构造出等腰三角形是解决本题的关键.20．如图，在△ABC 中，BI ，CI 分别平分∠ABC，∠ACB，过I 点作DE∥BC，交AB 于D ，交AC 于E ，给出下列结论：①△DBI 是等腰三角形；②△ACI 是等腰三角形；③AI 平分∠BAC；④△ADE 周长等于AB ＋AC ．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】①∵IB 平分∠ABC ，∴∠DBI =∠CBI ．∵DE ∥BC ，∴∠DIB =∠CBI ，∴∠DBI =∠DIB ，∴BD =DI ，∴△DBI 是等腰三角形．故本选项正确；②∵∠BAC 不一定等于∠ACB ，∴∠IAC 不一定等于∠ICA ，∴△ACI 不一定是等腰三角形．故本选项错误；③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．故本选项正确；其中正确的是①③④．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．。

数学八年级上册全册全套试卷专题练习(word版

数学八年级上册全册全套试卷专题练习（word 版一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00)45(a ≤≤得到ABM ，图()2所示．试问：()1当a 为多少时，能使得图()2中//AB CD ？说出理由，()2连接BD ，假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ，当00)45(a ≤≤时，探索DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．【答案】（1）15°；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105，证明见解析．【解析】【分析】（1）由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=，即可求出a ；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒,由FEM CAM C ∠=∠+∠，30C ∠=︒， EFM BDC DBM ∠=∠+∠， 45M ∠=︒，即可利用三角形内角和求出答案.【详解】()1当a 为15时，//AB CD ，理由：由图()2，若//AB CD ，则30BAC C ∠=∠=，453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-︒=︒，所以，当a 为15时，//AB CD ．注意：学生可能会出现两种解法：第一种：把//AB CD 当做条件求出a 为15，第二种：把a 为15当做条件证出//AB CD ，这两种解法都是正确的． ()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105︒证明： ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=︒,30FEM CAM ∴∠=∠+︒,EFM BDC DBM ∠=∠+∠,DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠,180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=︒,3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+︒+︒=︒,1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=︒--=︒,所以，DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105.【点睛】此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.2．如图1，等腰△ABC 中，AC =BC ＝42∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，D 为线段AO 上一动点，以CD 为一边在CD 下方作等腰△CDE ,使CD =CE 且∠DCE=45˚，连结BE .(1) 求证：△ACD ≌△BCE ；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、CQ,若CP ＝CQ ＝5,求PQ 的长.(3) 连接OE ，直接写出线段OE 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，45DAC ∴∠=，ACD BCE ≌，45PBC DAC ∴∠=∠=，∴在Rt BHC 中,2242422CH BC =⨯=⨯=， 54PC CQ CH ===，，3PH QH ∴==，6.PQ ∴=()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.最小值为：42 2.OE =-3．在四边形 ABCD 中，E 为 BC 边中点.（Ⅰ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，∠AED =90°，点 F 为 AD 上一点，AF =AB .求证：（1）△ABE ≌AFE ；（2）AD =AB +CD（Ⅱ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∠AED =120°，点 F ，G 均为 AD 上的点，AF =AB ，GD =CD .求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD =AB + 12BC +CD .【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=12BC ，即可得出结论．【详解】（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠FAE ，在△ABE 和△AFE 中， AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE ≌△AFE （SAS ），（2）∵△ABE ≌△AFE ，∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，∵E 为BC 的中点，∴BE=CE ，∴FE=CE ，∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠DEF=∠DEC ，在△DEF 和△DEC 中，FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△DEF ≌△DEC （SAS ），∴DF=DC ，∵AD=AF+DF ，∴AD=AB+CD ；（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，∴BE=CE=12BC ，同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），△DEG ≌△DEC （SAS ），∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，∵BE=CE ，∴FE=GE ，∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，∴∠AEF+∠GED=60°，∴∠GEF=60°，∴△EFG 是等边三角形，（2）∵△EFG 是等边三角形，∴GF=EF=BE=12BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+12BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．4．如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE ，PE 交CD 于F（1）证明：PC=PE ；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE考点：三角形全等的证明5．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求2HK+EF的值．【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8【解析】【分析】（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．【详解】解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0∴a＝b＝4过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM∴OA平分∠MON即OA是第一象限的角平分线（2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H∴∠OAH＝∠HAB＝45°∵BM⊥AE∴∠ABH＝∠OAE在△AOE 与△BAH 中OAE ABH OA ABAOE BAH ＝＝∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ）∴AH ＝OE在△ONE 和△AMH 中OE AH NOE MAH ON AM =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ）∴∠AMH ＝∠ONE设BM 与NE 交于K∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90°（3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于M 、N可证：△FMH ≌△FNH （SAS ）∴FM ＝FN同理：NE ＝EK∴OE+OF ﹣EF ＝2HK过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q可证：△APF ≌△AQE （SAS ）∴PF ＝EQ∴OE+OF ＝2OP ＝8∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8【点睛】本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．已知：AD 是ABC ∆的高，且BD CD =.（1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.图1. 图2. 图3.【答案】（1）见解析，（2）BFC ∠=60（3）8=CF .【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC ，BAD CAD ∠=∠；（2）在图2中，连接CE ，可证得BCE ∆是等边三角形，60BEC ∠= ，30BED ∠=且由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠，可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=；（3）连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，可证得Rt BEM Rt CEN ∆≅∆，BM CN =，BF FM CF CN -=+，可得线段CF 的长.【详解】解：（1）证明：如图1，AD BC ⊥，BD CD =AB AC ∴=BAD CAD ∴∠=∠；图1（2）解：在图2中，连接CEED BC ⊥，BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴∆是等边三角形60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由（1）可知2FAB BAE ∠=∠BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=⨯=图2（3）解：连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N'ABE A BE ∠=∠，BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴==AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠=在Rt EFM ∆中，906030FEM ∠=-= 2EF FM ∴=令FM m =，则2EF m = 62FG EG EF m ∴=-=-同理12FN EF m==，2124CF FG m==-在Rt BEM∆和Rt CEN∆中，EM EN=，BE CE=Rt BEM Rt CEN∴∆≅∆BM CN∴=BF FM CF FN∴-=+10124m m m∴-=-+解得1m=8CF∴=图3故答案为（1）见解析，（2）BFC∠=60（3）8CF=.【点睛】本题考查翻折的性质，涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点，属于较难的题型.7．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABFACFSS的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴ABFAFCS2S∆∆=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12BC，点D为BC的中点，AB =DE，BE∥AC．（1）求证：△ABC≌△DEB；（2）连结AD、AE、CE，如图2．①求证：CE是∠ACB的角平分线；②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②△ABE是等腰三角形，理由详见解析.【解析】【分析】（1）由AC//BE，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=12BC，D是BC中点可得AC=BD，利用HL即可证明△ABC≌△DEB；（2）①由（1）得BE=BC，由等腰直角三角形的性质可得∠BCE=45°，进而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根据SAS可证明△ACE≌△DCE，可得AE=DE，由AB=DE可得AE=AB即可证明△ABE是等腰三角形.【详解】（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC∴∠CBE=90°∴△ABC和△DEB都是直角三角形∵AC=12BC，点D为BC的中点∴AC=BD又∵AB=DE∴△ABC≌△DEB（H.L.）（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB∴BC=EB又∵∠CBE=90°∴∠BCE=45°∴∠ACE=90°-45°=45°∴∠BCE=∠ACE∴CE是∠ACB的角平分线②△ABE是等腰三角形，理由如下：在△ACE和△DCE中AC DCACE BCECE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCE（SAS）.∴AE=DE又∵AB=DE∴AE=AB∴△ABE是等腰三角形【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判断与性质，熟练掌握判定定理是解题关键.9．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE＋AE＝BE．【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据轴对称的性质可得AC＝AD，∠PAC＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC＝AB，∠BAC＝60°，即可得AB＝AD，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数；（3）CE ＋AE＝BE，如图，在BE上取点M使ME＝AE，连接AM，设∠EAC＝∠DAE＝x，类比（2）的方法求得∠AEB＝60°，从而得到△AME为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS即可判定△AEC≌△AMB，根据全等三角形的性质可得CE＝BM，由此即可证得CE ＋AE＝BE．【详解】(1)如图：（2）在等边△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD ，∴AB ＝AD∴∠ABD ＝∠D∵∠PAC ＝20°∴∠PAD ＝20°∴∠BAD ＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°()1180402D BAD ︒︒∴∠=-∠=. ∴∠AEB ＝∠D +∠PAD ＝60°（3）CE ＋AE ＝BE ．在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，在等边△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠EAC ＝∠EAD ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ．∵AD ＝AC ＝AB ，∴()11802602D BAC x x ︒︒∠=-∠-=- ∴∠AEB ＝60－x ＋x ＝60°． ∴△AME 为等边三角形．∴AM=AE ，∠MAE=60°，∴∠BAC=∠MAE=60°，即可得∠BAM=∠CAE.在△AMB 和△AEC 中，AB ACBAM CAEAM AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB≌△AEC.∴CE＝BM.∴CE＋AE＝BE．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE转化到BE 上，再证明CE＝BM即可得结论．10．如图，在等边ABC∆中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边CDE∆，连结BE．（1）求CAM∠的度数；（2）若点D在线段AM上时，求证：ADC BEC∆≅∆；（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断AOB∠是否为定值？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB∠是定值，60AOB∠=︒.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC=，DC EC=，，60ACB DCE∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD∠=∠，根据SAS就可以得出ADC BEC∆≅∆；（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知ACD BCE≅∆∆，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE≅∆∆而有30CBE CAD∠=∠=︒而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE≅∆∆同样可以得出结论．【详解】（1）ABC ∆是等边三角形，60BAC ∴∠=︒．线段AM 为BC 边上的中线，12CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=．在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，又60ABC ∠=︒，603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠，即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，同理可得：30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．③当点D在线段MA的延长线上时，ABC∆与DEC∆都是等边三角形，AC BC∴=，CD CE=，60ACB DCE∠=∠=︒，60ACD ACE BCE ACE∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD BCE∠∠∴=，在ACD∆和BCE∆中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS∴∆≅∆，CBE CAD∴∠=∠，同理可得：30CAM∠=︒150CBE CAD∴∠=∠=︒30CBO∴∠=︒，∵30BAM∠=︒，903060BOA∴∠=︒-︒=︒．综上，当动点D在直线AM上时，AOB∠是定值，60AOB∠=︒．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：()()()12222222a b c ab bc ac a b b c c a⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦．该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．（1）请你展开右边检验这个等式的正确性；（2）利用上面的式子计算：222201820192020201820192019202020182020++-⨯-⨯-⨯．【答案】（1）见解析；（2）3．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论；（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值．【详解】解：（1）12[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]=12（a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2）=12×（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）=a2+b2+c2-ab-bc-ac，故a2+b2+c2-ab-bc-ac=12[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]正确；（2）20182+20192+20202-2018×2019-2019×2020-2018×2020=12×[（2018-2019）2+（2019-2020）2+（2020-2018）2]=12×（1+1+4）=12×6=3．【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．12．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数abc（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（abc）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数abc”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数abc”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．【答案】（1）详见解析；（2）99或297．【解析】【分析】（1）首先由题意可得a +c =b ，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数abc ”能被99整除，所以将展开式中100a 拆成99a +a ，这样展开式中出现了a +c ，将a +c 用b 替代，整理出最终结果即可；（2）首先设出两个欢喜数m 、n ，表示出F （m ）、F （n ）代入F （m ）﹣F （n ）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.【详解】（1）证明：∵abc 为欢喜数，∴a +c =b ． ∵abc =100a +10b +c =99a +10b +a +c =99a +11b ，b 能被9整除，∴11b 能被99整除，99a 能被99整除，∴“欢喜数abc ”能被99整除；（2）设m =11a bc ，n =22a bc （且a 1＞a 2），∵F （m ）﹣F （n ）=a 1•c 1﹣a 2•c 2=a 1•（b ﹣a 1）﹣a 2（b ﹣a 2）=（a 1﹣a 2）（b ﹣a 1﹣a 2）=3，a 1、a 2、b 均为整数，∴a 1﹣a 2=1或a 1﹣a 2=3．∵m ﹣n =100（a 1﹣a 2）﹣（a 1﹣a 2）=99（a 1﹣a 2），∴m ﹣n =99或m ﹣n =297．∴若F （m ）﹣F （n ）=3，则m ﹣n 的值为99或297．【点睛】做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.13．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，()222222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由.（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．.【答案】（1）8、29是完美数（2）S 是完美数（3）mn 是完美数【解析】【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；（2）利用配方法，将S 配成完美数，可求k 的值（3）根据完全平方公式，可证明mn 是“完美数”；【详解】(1) 22228,8+=∴是完美数；222925,29=+∴是完美数(2) ()222)2313S x y k =++-+-（ 13.k S ∴=当时，是完美数(3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则()()()()222222mn a bc d ac bd ad bc =++=++- 即mn 也是完美数.【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．14．观察下列等式：22()()a b a b a b -=-+3322()()a b a b a ab b -=-++443223()()a b a b a a b ab b -=-+++55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++完成下列问题：（1）n n a b -=___________（2）636261322222221+++⋯⋯++++= （结果用幂表示）.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.【答案】（1）（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）264-1；（3）76.【解析】【分析】（1）根据规律可得结果（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）利用（1）得出的规律先计算（2-1）63626132(2222221+++⋯⋯++++)即可得出结果；（3）利用（1）得出的规律变形，再用完全平方公式进行变形，变成只含a-b 及ab 的形式，整体代入计算即可得到结果．【详解】解：（1）()()22a b a b a b -=-+，()()3322a b a b a ab b -=-++，()()443223a b a b a a b ab b -=-+++， ()()55432234a b a b a a b a b ab b -=-++++，由此规律可得：a n -b n =（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1），故答案是：（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）由（1）的规律可得（2-1）()636261322222221+++⋯⋯++++=264-1，∴636261322222221+++⋯⋯++++=264-1.故答案是：264-1.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.()()3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ]∴33a b -=24431⨯+⨯（）=76. 故答案是：76.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．15．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式2x 4x m -+有一个因式是()x 3+，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()2x 4x m x 3x n -+=++则()22x 4x m x n 3x 3n -+=+++ {n 34m 3n +=-∴=．解得：n 7=-，m 21=- ∴另一个因式为()x 7-，m 的值为21-问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式22x 3x k +-有一个因式是()2x 5-，求另一个因式以及k 的值．【答案】()4,x + 20.【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，二次三项式2x 4x m -+的二次项系数是1，因式是()x 3+的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式.所求的式子22x 3x k +-的二次项系数是2，因式是()2x 5-的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．【详解】解：设另一个因式为()x a +，得()()22x 3x k 2x 5x a +-=-+则()222x 3x k 2x 2a 5x 5a +-=+-- {2a 535a k -=∴-=-解得：a 4=，k 20=故另一个因式为()x 4+，k 的值为20【点睛】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．已知下面一列等式：111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；… （1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：（2）验证一下你写出的等式是否成立；（3）利用等式计算：11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++. 【答案】（1）一般性等式为111=(+11n n n n -+）；（2）原式成立；详见解析；（3）244x x+. 【解析】【分析】（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算；（3）根据前两部结论进行计算.【详解】解：（1）由111122⨯=-；11112323⨯=-；11113434⨯=-；11114545⨯=-；…，知它的一般性等式为111=(+11n n n n -+）；（2）1111(1)(1)n n n n n n n n +-=-+++111(1)1n n n n ==⋅++， ∴原式成立；（3）11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++ 1111112x x x x =-+-+++11112334x x x x +-+-++++ 114x x =-+ 244x x=+. 【点睛】解答此题关键是找出规律，再根据规律进行逆向运算.17．阅读下面的材料，并解答后面的问题材料：将分式23411x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 解：由分母为1x +，可设2341(1)(3)x x x x a b +-=+++.因为223(1)(3)333(3)x x a b x ax x a b x a x a b +++=++++=++++，所以223413(3)x x x a x a b +-=++++.所以341a a b +=⎧⎨+=-⎩，解之，得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以2341(1)(31)211x x x x x x +-++-=++ (1)(31)2231111x x x x x x ++=-=+-+++ 这样，分式23411x x x +-+就被拆分成了一个整式31x +与一个分式21x +的差的形式. 问题：（1）请将分式22361x x x ++-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；（2）请将分式4225932x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式.【答案】（1）2236112511x x x x x ++=++--；（2）4222259315122x x x x x +-=--++. 【解析】【分析】（1）仿照例题将2236x x ++分解为(1)(2)x x a b -++，求出a 、b 的值即可得到答案；（2）将42593x x +-分解为22(2)(5)x x m n +++，得到10923m m n +=⎧⎨+=-⎩，求出m 、n ，整理后即可得到答案.【详解】（1）由分母为x-1，可设2236x x ++=(1)(2)x x a b -++，∵(1)(2)x x a b -++=22222(2)()x ax x a b x a x b a +--+=+-+-，∴2236x x ++22(2)()x a x b a =+-+- ∴236a b a -=⎧⎨-=⎩，得511a b =⎧⎨=⎩，∴22361x x x ++-=(1)(25)111x x x -++-=(1)(25)1111x x x x -++--=11251x x ++-；（2）由分母为22x +，可设42593x x +-=22(2)(5)x x m n +++，∵22(2)(5)x x m n +++=4224251025(10)(2)m x mx x m x m n n x +++++=+++ ∴42593x x +-=42(10)(2)5x m n x m ++++，∴10923m m n +=⎧⎨+=-⎩，得11m n =-⎧⎨=-⎩， ∴4225932x x x +-+=222(2)(51)12x x x +--+=221512x x --+. 【点睛】此题是仿照例题解题的形式解题，正确理解题意，明确例题中的计算的方法是解题的关键.18．小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司，合做需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选一个公司单独完成，从节约开支角度考虑，小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由．【答案】从节约开支角度考虑，应选乙公司单独完成【解析】试题分析：需先算出甲乙两公司独做完成的周数．等量关系为：甲6周的工作量+乙6周的工作量=1；甲4周的工作量+乙9周的工作量=1；还需算出甲乙两公司独做需付的费用．等量关系为：甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2；甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8．试题解析：解：设甲公司单独完成需x 周，需要工钱a 万元，乙公司单独完成需y 周，需要工钱b 万元．依题意得：661491x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1015x y =⎧⎨=⎩．经检验：1015x y =⎧⎨=⎩是方程组的根，且符合题意．又6() 5.2101549 4.81015a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯=⎪⎩，解得：64a b =⎧⎨=⎩．即甲公司单独完成需工钱6万元，乙公司单独完成需工钱4万元．答：从节约开支角度考虑，应选乙公司单独完成．点睛：本题主要考查分式的方程的应用，根据题干所给的等量关系求出两公司单独完成所需时间和工钱，然后比较应选择哪个公司．19．某商场在一楼与二楼之间装有一部自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩与一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯本身也在行驶).如果二人都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍.又已知男孩走了27级到达顶部,女孩走了18级到达顶部(二人每步都只跨1级).(1)扶梯在外面的部分有多少级.(2)如果扶梯附近有一从二楼下到一楼的楼梯,台阶级数与扶梯级数相等,这两人各自到扶梯顶部后按原速度走下楼梯,到一楼后再乘坐扶梯(不考虑扶梯与楼梯间的距离).则男孩第一次追上女孩时,他走了多少台阶?【答案】(1)楼梯有54级(2) 198级【解析】【试题分析】(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分, 根据时间相等列方程，有：2727,21818.s x y s xy -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ ①两式相除,得327418s s -=-,解方程得54s =即可. 因此楼梯有54级.(2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有()()5415415454.423m n m n x x x x--+=+ 从而114231m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数，且01m n ≤-≤，经试验知只有13,26m n ==符合要求. 这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：13272541986⨯+⨯=(级).【试题解析】(1)设女孩速度为x 级/分,电梯速度为y 级/分,楼梯(扶梯)为s 级,则男孩速度为2x 级/分,依题意有2727,21818.s x y s x y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩①把方程组①中的两式相除,得327418s s -=-,解得54s =. 因此楼梯有54级. (2)设男孩第一次追上女孩时,走过扶梯m 次,走过楼梯n 次,则这时女孩走过扶梯()1m -次,走过楼梯()1n -次.将54s = 代入方程组①,得2y x =,即男孩乘扶梯上楼的速度为4x 级/分,女孩乘扶梯上楼的速度为3x 级/分.于是有()()5415415454.423m n m n x x x x--+=+ 从而114231m n m n --+=+,即616n m +=. 无论男孩第一次追上女孩是在扶梯上还是在下楼时,,m n 中必有一个为正整数，且01m n ≤-≤，经试验知只有13,26m n ==符合要求. 这时，男孩第一次追上女孩所走过的级数是：13272541986⨯+⨯=(级).20．小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本．（1）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同数量的笔记本吗；（2）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵a 元，是否存在正整数a ，使得每本硬面笔记本、软面笔记本的价格都是正整数，并且小明和小丽能买到相同数量的笔记本？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1））不能买到；（2）存在，a 的值为3或9．【解析】【分析】【详解】解：（1））设每本软面笔记本x 元，则每本硬面笔记本（x+1.2）元，由题意，得 12211.2x x =+，解得：x=1.6．此时12211.6 1.2 1.6=+=7.5（不符合题意），所以，小明和小丽不能买到相同数量的笔记本；（2）设每本软面笔记本m 元（1≤m≤12的整数），则每本硬面笔记本（m+a ）元，由题意，得1221m m a=+，解得：a=34 m，∵a为正整数，∴m=4，8，12．∴a=3，6，9．当86ma=⎧⎨=⎩时，12211.5m m a==+（不符合题意）∴a的值为3或9．五、八年级数学三角形解答题压轴题（难）21．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【解析】【分析】(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+∠D=180°﹣∠BOD，由对顶角相等，得到∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；②根据(1)的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，两等式相加得到2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，从而∠P=12(∠B+∠C)，然后将∠B=100º，∠C=120º代入计算即可；③与②的证明方法一样得到3∠P=∠B+2∠C.【详解】解：(1)在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；(2)解：①以线段AC为边的“8字型”有3个：以点O为交点的“8字型”有4个：②以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝12（∠B+∠C）=12（100°+120°）＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB，∴∠BAP＝23∠CAB，∠BDP＝23∠CDB，以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝13（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝23（∠CDB﹣∠CAB）．∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴3∠P＝∠B+2∠C．故答案为：(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线的定义．22．如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B.(1)用“8字型”如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________；(2)造“8字型”如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____________;(3)发现“8字型”如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线.①图中共有________个“8字型”；②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值.【答案】(1)360°；(2)540；(3)①6；②x=5.【解析】分析：（1）根据题意即可得到结论；（3）①由图形即可得到结论；②根据三角形内角和为180°的性质即可证得关系为∠D+∠B=2∠F，再根据∠B、∠D、∠F的比值，即可求得x的值；详解：（1）∵∠A+∠B=∠GKH+∠GHK，∠C+∠D=∠GHK+∠HGK，∠E+∠F=∠HGK+∠GKH，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）=2×180°=360°，故答案为：360°；（2）如图，连结BC，∵∠E+∠G=∠GCB+∠EBC，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=五边形FABCD的内角和，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）•180°=540°，故答案为：540°；（3）①图中共有6个“8字型”；故答案为：6．②：∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED∴∠DEG=∠AEG，∠ACH=∠BCH，∵在△DGE和△FGC中，∠DGE=∠FGC∴∠D+∠DEG=∠F+∠ACH∵在△BHC和△FHE中，∠BHC=∠FHE∴∠B+∠BCH=∠F+∠AEG∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH=∠F+∠ACH+∠F+∠AEG∴∠D+∠B=2∠F；∵∠B：∠D：∠F=4：6：x，∠D+∠B=2∠F，∴x=5．点睛：考查了多边形的内角与外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．23．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=，∠BQC=；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．。

八年级数学上册全等三角形单元达标训练题(Word版含答案)

八年级数学上册全等三角形单元达标训练题（Word 版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=120°，AB=10cm ，点P 是这个菱形内部或边上的一点．若以P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，A （P ，A 两点不重合）两点间的最短距离为______cm ．【答案】10310-【解析】解：连接BD ，在菱形ABCD 中，∵∠ABC =120°，AB =BC =AD =CD =10，∴∠A =∠C =60°，∴△ABD ，△BCD 都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P 与点D 重合时，PA 最小，最小值PA =10；②若以边PB 为底，∠PCB 为顶角时，以点C 为圆心，BC 长为半径作圆，与AC 相交于一点，则弧BD （除点B 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在AC 上时，AP 最小，最小值为10310-；③若以边PC 为底，∠PBC 为顶角，以点B 为圆心，BC 为半径作圆，则弧AC 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点A 重合时，PA 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，PA 的最小值为10310-（cm ）．故答案为：10310-．点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．【详解】解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ，∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ，∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ，∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ，∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠，∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152DE BD ==，12BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠，在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ，∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5，∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=．故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．3．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明CAI≅BAJ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF的长.【详解】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J在CAE和BAD中AC ABCAE BADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE≅BAD∴ICA ABJ∠=∠∴BFE CAB∠=∠（8字形）∴°120CFD∠=在CAI 和BAJ 中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI ≅BAJ ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.4．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，36ABO ∠=︒，在x 轴或y 轴上取点C ，使得ABC ∆为等腰三角形，符合条件的C 点有__________个．【答案】8【解析】【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．【详解】解：如下图所示，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个会与点B重合，故此时符合条件的点有3个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，同样与x轴和y轴各有两个交点，但其中一个与点A重合，故此时符合条件的点有3个；线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．5．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.【答案】6； 3×22018.【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．【详解】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°-120°-30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°-60°-30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=3，∴A2B1=3，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1，以此类推：a2019=22018a1=3×22018故答案是：6；3×22018．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a 3=4a 1，a 4=8a 1，a 5=16a 1…进而发现规律是解题关键．6．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．7．在△ABC 中，∠ACB ＝90º，D 、E 分别在 AC 、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE ，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形，则∠BAC 的度数为_________．【答案】45°或60°【解析】【分析】根据题意画出图形，设∠BAC的度数为x，则∠B=90°-x，∠EFB =135°-x，∠BEF=2x-45°，当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.【详解】∵∠ACB＝90º，△CFD是等腰三角形，∴∠CDF=∠CFD=45°，设∠BAC的度数为x，∴∠B=90°-x，∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE，点 F 恰好落在 BC 边上，∴∠DFE=∠BAC=x，∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x，∵∠ADE=∠FDE，∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x，∴∠DEF=∠AED=112.5°-x，∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x）-（112.5°-x）=2x-45°，∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：①当FE=FB时，如图1，则∠BEF=∠B，∴90-x=2x-45，解得：x=45；②当BF=BE时，则∠EFB=∠BEF，∴135-x=2x-45，解得：x=60，③当EB=EF时，如图2，则∠B=∠EFB，∴135-x=90-x，无解，∴这种情况不存在.综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.故答案是：45°或60°.图1 图2【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.8．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，则DE的长为______．【答案】1 2【解析】过点Q作AD的延长线的垂线于点F.因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠ACB=60°.因为∠ACB=∠QCF，所以∠QCF=60°.因为PE⊥AC，QF⊥AC，所以∠AEP=∠CFQ=90°，又因为AP=CQ，所以△AEP≌△CFQ，所以AE=CF，PE=QC.同理可证，△DEP≌△DFQ，所以DE=DF.所以AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以DE=12AC=12.故答案为1 2 .9．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，按此做法继续下去，第2019个等腰三角形的底角度数是______________．【答案】2018180 2⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第2019个三角形中以A2019为顶点的内角度数．【详解】解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，∴∠BA1C=°180-2B∠=80°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=12∠BA1C=12×80°；同理可得∠EA3A2=（12）2×80°，∠FA4A3=（12）3×80°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（12）n-1×80°．∴第2017个三角形中以A2019为顶点的底角度数是（12）2018×80°，故答案为：（12）2018×80°．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为_________【答案】8 5【解析】【分析】首先根据折叠可得CD=AC=6，B′C=BC=8，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE，得出BF 的长，即B′F的长．【详解】解：根据折叠的性质可知：DE=AE，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，B′F=BF，∴B′D=8-6=2，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF=CE ，∠EFC=45°， ∴∠BFC=∠B′FC=135°，∴∠B′FE=90°，∵S △ABC =12AC•BC=12AB•CE ， ∴AC•BC=AB•CE ， ∵根据勾股定理得：22226810ABAC BC ∴ 4.8AC BC CE AB⋅== ∴EF=4.8，22 3.6AE AC EC =-=∴B′F=BF=AB -AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=85，故答案是：85.【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE 、AE 是解决问题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知：如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，AE 与BD 相交于点F ，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE ；③AF=BF ；④DF=EF ，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC 是等腰三角形的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF ∆ 和BEF ∆ 中 ={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．12．如图，30MON ∠=︒．点1A ，2A ，3A ，⋯，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋯，在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，⋯均为等边三角形，若11OA =，则201920192020A B A ∆的边长为（）A ．20172B ．20182C ．20192D ．20202【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形的性质和30MON ∠=︒，可求得1130∠=︒OB A ，进而证得11OA B ∆是等腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得规律333、、=⋅⋅⋅=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果．【详解】解：∵30MON ∠=︒，112A B A ∆是等边三角形，∴11260∠=︒B A A ，1112A B A A =∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ∆是等腰三角形，∴111=A B OA ，∵11OA =，∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA =2，同理得23342==A B 、34482==A B ，根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ∆的边长为20182，故选：B ．【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键． 13．如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且3，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（）A．362B．332C．6 D．3【答案】D【解析】分析：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．详解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=12OC=3，CH=3OH=3 2 ,∴CD=2CH=3．故选D．点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．14．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为（）A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°【答案】B【解析】根据要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A 关于BC 和ED 的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M ＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN ＋∠ANM ＝2(∠AA′M ＋∠A″)即可得出答案：如图，作A 关于BC 和ED 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M ，交CD 于N ，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．作DA 延长线AH ．∵∠BAD ＝120°，∴∠HAA′＝60°．∴∠AA′M ＋∠A″＝∠HAA′＝60°．∵∠MA′A ＝∠MAA′，∠NAD ＝∠A″，且∠MA′A ＋∠MAA′＝∠AMN ，∠NAD ＋∠A″＝∠ANM ，∴∠AMN ＋∠ANM ＝∠MA′A ＋∠MAA′＋∠NAD ＋∠A″＝2(∠AA′M ＋∠A″)＝2×60°＝120°．故选B ．15．如图，已知AD 为ABC ∆的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE ∆，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED ∆为等腰三角形；⑤BDE ACE S S ∆∆=，其中正确的有( )A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤【答案】D【解析】【分析】 ①根据等腰直角三角形的性质即可证明∠CBE ＝∠DAE ，再得到△ADE ≌△BCE ；②根据①结论可得∠AEC ＝∠DEB ，即可求得∠AED ＝∠BEG ，即可解题；③证明△AEF ≌△BED 即可；④根据△AEF ≌△BED 得到DE=EF, 又DE ⊥CF ，故可判断；⑤易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE ＝EF ，S △AEF ＝S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE ＝S △ACE ，所以S △BDE ＝S △ACE ．【详解】①∵AD 为△ABC 的高线，∴CBE ＋∠ABE ＋∠BAD ＝90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE ＝∠BAE ＝∠BAD ＋∠DAE ＝45°，AE ＝BE ，∴∠CBE ＋∠BAD ＝45°，∴∠DAE ＝∠CBE ，故①正确；在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；②∵△ADE ≌△BCE ，∴∠EDA ＝∠ECB ，∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°，∴∠EDC ＋∠ECB ＝90°，∴∠DEC ＝90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE ＝∠ADB ＋∠ADE ，∠AFE ＝∠ADC ＋∠ECD ，∴∠BDE ＝∠AFE ，∵∠BED ＋∠BEF ＝∠AEF ＋∠BEF ＝90°，∴∠BED ＝∠AEF ，在△AEF和△BED中，BDE AFEBED AEFAE BE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD＝AF故③正确；∵△AEF≌△BED∴DE=EF, 又DE⊥CF，∴△DEF为等腰直角三角形，故④错误；④∵AD＝BC，BD＝AF，∴CD＝DF，∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形，∵DE⊥CE，∴EF＝CE，∴S△AEF＝S△ACE，∵△AEF≌△BED，∴S△AEF＝S△BED，∴S△BDE＝S△ACE．故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．16．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A ．（-2012，2）B ．（-2012，-2）C ．（-2013，-2）D ．（-2013，2）【答案】A【解析】试题分析：首先由正方形ABCD ，顶点A （1，3）、B （1，1）、C （3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M 的对应点的坐标，即可得规律：第n 次变换后的点M 的对应点的为：当n 为奇数时为（2-n ，-2），当n 为偶数时为（2-n ，2），继而求得把正方形ABCD 连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标．试题解析：∵正方形ABCD ，顶点A （1，3）、B （1，1）、C （3，1）．∴对角线交点M 的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M 的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M 的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M 的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n 次变换后的点M 的对应点的为：当n 为奇数时为（2-n ，-2），当n 为偶数时为（2-n ，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为（-2012，2）．故选A ．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．坐标与图形变化-平移．17．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.【详解】①正确，理由如下：∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确；②正确，理由如下：由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确；③错误，理由如下：∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知，AD=BE,∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形，故③错误；④正确，理由如下：如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确；故答案为：B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.18．如图所示，在四边ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，若在BC 和CD 上分别找一点M ，使得△AMN 的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM 的度数为（）A ．110°B ．120°C ．140°D ．150°【答案】B【解析】【分析】根据要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【详解】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB=120°，∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，故选B．【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用，根据轴对称的性质，得出M，N的位置是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（）A．（3，4），（2，4）B．（3，4），（2，4），（8，4）C．（2，4），（8，4）D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）【答案】B【解析】试题解析：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，由勾股定理得PC=3，则P的坐标是（3，4）；②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，过P′作P′N⊥OA于N，在Rt△OP′N中，设CP′=x，则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，x=2，则P′的坐标是（2，4）；过P″作P″M⊥OA于M，设BP″=a，则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，解得：a=2，∴BP″=2，CP″=10-2=8，即P″的坐标是（8，4）；假设0P=PD，则由P点向0D边作垂线，交点为Q则有PQ2十QD2=PD2，∵0P=PD=5=0D，∴此时的△0PD为正三角形，于是PQ=4，QD=120D=2.5，PD=5，代入①式，等式不成立．所以排除此种可能．故选B．20．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB，点P是x轴上的一个动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，对应的点P的坐标和△ABP的最小周长分别为( )A．(1，0)，224 B．(3，0)，224 C．(2,0), 25D．(2,0),252【答案】D【解析】作A关于x轴的对称点N（1，-2），连接BN与x轴的交点即为点P的位置，此时△ABP的周长最小.设直线BN 的解析式为y kx b =+，∵N (1，-2)，B (3，2)，∴232k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得24k b =⎧⎨=-⎩， ∴24y x =-，当0y =时，240x -=，解得，2x =，∴点P 的坐标为（2，0）；∵A (1，2)，B (3，2)，∴AB //x 轴，∵AN ⊥x 轴，∴AB ⊥x 轴，在Rt △ABC 中，AB ＝2，AN ＝4，由勾股定理得，BN 22222425AB AN +=+=∵AP =NP , ∴△ABP 的周长最小值为：AB +BP +AP =AB +BP +PN =AB +BN 5 故选D.点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P 的位置是解题的关键.。

八年级上册全等三角形检测题(WORD版含答案)

八年级上册全等三角形检测题（WORD 版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在等边ABC ∆中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ∆∆+=_________．【答案】936 【解析】【分析】把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS 证得△ADB ≌△APC ，连接PD ，根据旋转的性质知△APD 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，由△ADB ≌△APC 得S △ADB ＝S △APC ，则有S △APC ＋S △APB ＝S △ADB ＋S △APB ＝S △ADP ＋S △BPD ，根据等边3S △ADP ＋S △BPD ＝332＋12×3×4＝936+．【详解】将线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60︒得到线段AD ，连接PD∴AD ＝AP ，∠DAP ＝60︒，又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60︒，AB ＝AC ，∴∠DAB ＋∠BAP ＝∠PAC ＋∠BAP ，∴∠DAB ＝∠PAC ，又AB=AC,AD=AP∴△ADB ≌△APC∵DA ＝PA ，∠DAP ＝60︒，∴△ADP 为等边三角形，在△PBD 中，PB ＝4，PD ＝3，BD ＝PC ＝5，∵32＋42＝52，即PD 2＋PB 2＝BD 2，∴△PBD 为直角三角形，∠BPD ＝90︒，∵△ADB ≌△APC ，∴S△ADB＝S△APC，∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝3×32＋12×3×4＝936+．故答案为：936+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．2．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=12B′E=BE=2，3,∴GD=B′F=2，∴3∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB′=27．考点：1轴对称；2等边三角形.3．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长为_____．【答案】14．【解析】【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC＝14．【详解】∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，同理FE＝EC，∴△AED的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝8+6＝14．故答案为：14．【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的等角对等边的性质.4．等腰三角形顶角为30°，腰长是4cm，则三角形的面积为__________【答案】4 【解析】如图，根据30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可由等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm ，可求得BD=12AB =4×12=2，因此此三角形的面积为：S=12AC•BD=12×4×2=8×12=4（cm 2）．故答案是：4．5．如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，点E 为AD 边上一点，连接BD .CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE AB ∥，若8AB =，6CE =，则BC 的长为_______________.【答案】7【解析】【分析】由AB AD =，BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上，因此，可连接AC 交BD 于点O ，易证ABD △是等边三角形，EDF 是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度，应用勾股定理可求解.【详解】解：如图，连接AC 交BD 于点O∵AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，∴AC 垂直平分BD ，ABD △是等边三角形∴30BAO DAO ∠=∠=︒，8AB AD BD ===，4BO OD ==∵CE AB ∥∴30BAO ACE ∠=∠=︒，60CED BAD ∠=∠=︒∴30DAO ACE ∠=∠=︒∴6AE CE ==∴2DE AD AE =-=∵60CED ADB ∠=∠=︒∴EDF 是等边三角形∴2DE EF DF ===∴4CF CE EF =-=，2OF OD DF =-=∴2223OC CF OF =-=∴2227BC BO OC =+=【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.6．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，D 是线段AB 上一个动点，把ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A '处，当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，ADC ∠的大小为________．【答案】112.5︒或67.5︒【解析】当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，有两种情况，一是当A D BC '时，二是当A D AC '时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．【详解】如图1，当点D 在线段AB 上，且A DBC '时，45A DB B '∠=∠=︒， 45180ADC A DC '∴∠+∠-=︒︒，解得112.5A DC ADC '∠=∠=︒.图1如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒，解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.图2【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．7．如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AD 是 BC 边上的高，E 是 AD 上的一点。

八年级全等三角形单元综合测试(Word版含答案)

八年级全等三角形单元综合测试（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】363【解析】【分析】分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°∵∠C＝45°∴∠AME＝∠C又∵∠AME＞∠C∴这种情况不成立；②若AE＝EM∵∠B＝∠AEM＝45°∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°∴∠BAE＝∠MEC在△ABE和△ECM中，BBAE CENAE EIIC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ECM（AAS），∴CE＝AB6，∵AC＝BC2AB＝3∴BE＝23﹣6；③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝45°∴AE平分∠BAC∵AB＝AC，∴BE＝1BC＝3．2故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．2．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．【答案】4【解析】【分析】以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．【详解】解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．3．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒，100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.4．如图，在01A BA △中，20B ∠=︒，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．【答案】11()802n -︒⋅.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数．【详解】解：∵在△A 0BA 1中，∠B=20°，A 0B=A 1B ， ∴∠BA 1 A 0= 1801802022B ︒︒︒-∠-= =80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1= 108022BA A ︒∠= =40°；同理可得，∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴第n个等腰三角形的底角∠A n= 11()802n-︒⋅.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．5．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且72ABC EDC∠=∠=︒，92AEB∠=︒，则EBD∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE，由线段AB，DE的垂直平分线交于点C，得CA=CB，CE=CD，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD，易证∆ACE≅∆BCD，设∠AEC=∠BDC=x，得则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，BDE中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE，∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，∴CA=CB，CE=CD，∵72ABC EDC∠=∠=︒=∠DEC，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD，在∆ACE与∆BCD中，∵CA CBACE BCDCE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE≅∆BCD（SAS），∴∠AEC=∠BDC，设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．6．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，又∵AB=AC，EA=EA，∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=1302BEC∠=︒，∴∠ADB=30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，DA⊥AC，AD=24 cm，则BC 的长________cm．【答案】72【解析】【分析】按照等腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质进行解答即可.【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵DA⊥AC，AD=24 cm∴DC=2AD=48cm，∵∠BAC=120°，DA⊥AC∴∠BAD=∠BAC-90°=30°∴BD=AD=24cm∴BC=BD+DC=72cm故答案为72.【点睛】本题考查了腰三角形的性质、角的和差以及含30°直角三角形的性质，其中灵活运用含30°直角三角形的性质是解答本题的关键.8．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是 ______cm．【答案】8．【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，作EF∥BC于F，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BD=5，DE=3，∴EM=2，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=1，∴BN=4，∴BC=2BN=8（cm），故答案为8．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．9．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB －2∠ACD=100°，∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.10．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO时，210t t-=解得10t=故答案为：103或10【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题，由题意知A、B是定点，P是动点，所以要分情况讨论：以AP、AB为腰、以AP 、BP 为腰或以BP 、AB 为腰．则满足条件的点P 可求．【详解】由题意可知：以AP 、AB 为腰的三角形有3个；以AP 、BP 为腰的三角形有2个；以BP 、AB 为腰的三角形有2个．所以，这样的点P 共有7个.故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．12．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°）所以 x°=180°-2α【点睛】求出M,N在什么位子△PMN周长最小是解此题的关键.13．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是（）A．4 B．245C．5 D．6【答案】C【解析】试题解析：如图，∵AD是∠BAC的平分线，∴点B关于AD的对称点B′在AC上，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N=BM+MN，过点B作BE⊥AC于E，∵AC=10，S△ABC=25，∴12×10•BE=25，解得BE=5，∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰三角形，∴B′N=BE=5，即BM+MN的最小值是5．故选C．14．如图，点D，E是等边三角形ABC的边BC，AC上的点，且CD=AE，AD交BE于点P，BQ⊥AD于点Q，已知PE=2，PQ=6，则AD等于( )A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【解析】【分析】由题中条件可得△ABE≌△CAD，得出AD=BE，∠ABE=∠CAD，进而得出∠BPD=60°．在Rt△BPQ中，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，求出BP的长，进而可得结论．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2×6=12，∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．故选C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，证明∠BPD=60°是解答本题的关键．15．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A=30°，∠B为钝角，则符合条件的∠B有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】【详解】如下图，当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况：∠B=135°或90°，当30°角为等腰三角形的顶角时有一种情况：∠B=112.5°，所以符合条件的∠B有三个.又因为∠B为钝角，则符合答案的有两个，故本题应选B.点睛：因为不确定这个等腰三角形的底边，所以应当以点A为一个确定点进行分类讨论：①当以B为顶点时，即以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于点D，构成等腰△BAD；②当以点A为顶点时，即以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点D，构成等腰△ABD；或作线段AB的垂直平分线交AC于点D构成等腰△DAB.16．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△A CI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC．其中正确的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．故本选项正确；②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．故本选项错误；③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．故本选项正确；其中正确的是①③④．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．17．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】A【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∵△CDM周长的最小值为8，∴AD=8-12BC=8-2=6∴S△ABC=12BC•AD=12×4×6=12，【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．18．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为( )A．1 B．1+3C．2+3D．3【答案】B【解析】【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，推出AM=MM’可得MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，共线时最短；由于点E 也为动点，可得当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE的值.【详解】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM=MM’，∴MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE=4+33，∴MA+MD+ME的最小值为4+33．故选B．本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（）A．（3，4），（2，4）B．（3，4），（2，4），（8，4）C．（2，4），（8，4）D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）【答案】B【解析】试题解析：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，由勾股定理得PC=3，则P的坐标是（3，4）；②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，过P′作P′N⊥OA于N，在Rt△OP′N中，设CP′=x，则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，x=2，则P′的坐标是（2，4）；过P″作P″M⊥OA于M，设BP″=a，则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，解得：a=2，∴BP″=2，CP″=10-2=8，即P ″的坐标是（8，4）；假设0P=PD ，则由P 点向0D 边作垂线，交点为Q 则有PQ 2十QD 2=PD 2，∵0P=PD=5=0D ，∴此时的△0PD 为正三角形，于是PQ=4，QD=120D=2.5，PD=5，代入①式，等式不成立．所以排除此种可能．故选B ．20．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB ，点P 是x 轴上的一个动点，连接AP 、BP ，当△ABP 的周长最小时，对应的点P 的坐标和△ABP 的最小周长分别为( )A ．(1，0)，224+B ．(3，0)，224+C ．(2,0), 25D ．(2,0),252+【答案】D【解析】作A 关于x 轴的对称点N （1，-2），连接BN 与x 轴的交点即为点P 的位置，此时△ABP 的周长最小.设直线BN 的解析式为y kx b =+，∵N (1，-2)，B (3，2)，∴232k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得24k b =⎧⎨=-⎩， ∴24y x =-，当0y =时，240x -=，解得，2x=，∴点P的坐标为（2，0）；∵A(1，2)，B(3，2)，∴AB//x轴，∵AN⊥x轴，∴AB⊥x轴，在Rt△ABC中，AB＝2，AN＝4，由勾股定理得，BN==∵AP=NP,∴△ABP的周长最小值为：AB+BP+AP=AB+BP+PN=AB+BN故选D.点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P的位置是解题的关键.。

八年级上册全等三角形检测题(Word版含答案)

八年级上册全等三角形检测题（Word 版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，将△AEF 沿直线EF 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在直线BC 上．则线段CP 长的取值范围是____.【答案】15CP ≤≤【解析】【分析】根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.【详解】如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，此时CP=AC ，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP 的最大值为5，所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5，故答案为1≤CP≤5.【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，点P 在直线BC 上确定出点E 、F 位于什么位置时PC 有最大（小）值是解题的关键.2．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．【答案】(－4，2)或(－4，3)【解析】【分析】【详解】把点C 向下平移1个单位得到点D （4，2），这时△ABD 与△ABC 全等，分别作点C ，D 关于y 轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD 与△ABC 全等.故答案为(－4，2)或(－4，3).3．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，36ABO ∠=︒，在x 轴或y 轴上取点C ，使得ABC ∆为等腰三角形，符合条件的C 点有__________个．【答案】8【解析】【分析】观察数轴，按照等腰三角形成立的条件分析可得答案．【详解】解：如下图所示，若以点A 为圆心，以AB 为半径画弧，与x 轴和y 轴各有两个交点，但其中一个会与点B 重合，故此时符合条件的点有3个；若以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，同样与x 轴和y 轴各有两个交点，但其中一个与点A重合，故此时符合条件的点有3个；线段AB的垂直平分线与x轴和y轴各有一个交点，此时符合条件的点有2个．∴符合条件的点总共有：3＋3＋2=8个．故答案为：8．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，可以观察图形，得出答案．4．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长为_____．【答案】14．【解析】【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC＝14．【详解】∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠CBF＝∠DFB，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，同理FE＝EC，∴△AED的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝8+6＝14．故答案为：14．【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的等角对等边的性质.5．△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为_____．【答案】117°或108°或84°．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质进行分割，写出△ABC中的最大内角的所有可能值.【详解】①∠BAD＝∠BDA＝12（180°﹣24°）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝12∠BDA＝39°，如图1所示：∴∠BAC＝78°+39°＝117°；②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°，如图2所示：∴∠DAC＝180°﹣2×48°＝84°，∴∠BAC＝24°+84°＝108°；③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°，如图3所示：∴∠BAC＝24°+48°＝72°，∠C＝180°﹣2×48°＝84°；∴其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为117°或108°或84°，故答案为：117°或108°或84°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分割找出所有情况.6．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1），若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个【答案】5【解析】【分析】分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数量即可【详解】解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个故答案为:5【点睛】本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键7．如图，△ABC 中， AB=11 ， AC= 5 ，∠ BAC 的平分线 AD 与边 BC 的垂直平分线 CD 相交于点 D ，过点 D 分别作 DE⊥AB ，DF⊥AC ，垂足分别为 E 、F ，则 BE 的长为_____．【答案】3【解析】【分析】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，易证得Rt△CDF≌Rt△BDE，则可得BE=CF，继而求得答案．【详解】如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，∴AE=AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD BDDF DE⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE=CF，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=11，AC=5，∴BE=12（11-5）=3．故答案为：3．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,∠ABC的平分线BF交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当EDC=30︒，CF=43，则DH=______．【答案】23【解析】连接AF.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.∵DE=DC，∠EDC=30°，∴∠DEC=∠DCE=75°，∴∠ACF=75°-60°=15°.∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF.在△ABF和△CBF中，AB BCABF CBF BF BF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABF≌△CBF，∴AF=CF，∴∠FAC=∠ACF=15°，∴∠AFH=15°+15°=30°.∵AH⊥CD，∴AH=12AF=12CF=23.∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，∴DH=AH=2 3 .故答案为2 3 .点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=36°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=8．10．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD ，然后根据△BDC 的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8.故答案为8.点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD ，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（）．A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB =⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．12．已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( )A ．3B ．33C ．32D ．不能确定【答案】B【解析】已知，如图，P 为等边三角形内任意一点，PD 、PE 、PF 分别是点P 到边AB 、BC 、AC 的距离，连接AP 、BP 、CP ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知等边三角形的边长为3，可求得高线AH =332，因S △ABC =12BC •AH =12AB •PD+12BC•PE +12AC •PF ，所以12×3×AH =12×3×PD +12×3×PE +12×3×PF ，即可得PD +PE +PF =AH =332，即点P 到三角形三边距离之和为332．故选B.点睛：本题考查了等边三角形的性质，根据三角形的面积求点P 到三边的距离之和等于等边三角形的高是解题的关键，作出图形更形象直观．13．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=（）A ．102aB ．92aC ．20aD ．18a 【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出22A B O ∠，依此类推即可得到结论．【详解】解：1212B A B B =，11A B O α∠=，2212A B O α∴∠=，同理332111222A B O αα∠=⨯=， 44312A B O α∠=， 112n n n A B O α-∴∠=， 101092A B O α∴∠=，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．14．如图，30MON ∠=︒．点1A ，2A ，3A ，⋯，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋯，在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，⋯均为等边三角形，若11OA =，则201920192020A B A ∆的边长为（）A ．20172B ．20182C ．20192D ．20202【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形的性质和30MON ∠=︒，可求得1130∠=︒OB A ，进而证得11OA B ∆是等腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得规律333、、=⋅⋅⋅=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果．【详解】解：∵30MON ∠=︒，112A B A ∆是等边三角形，∴11260∠=︒B A A ，1112A B A A =∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ∆是等腰三角形，∴111=A B OA ，∵11OA =，∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA =2，同理得23342==A B 、34482==A B ，根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ∆的边长为20182，故选：B ．【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．15．如图所示，等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，其中1(0,1)A ，()21,13A --，()31,13A -，4(0,2)A ，()52,223A --，……，按此规律排下去，则2019A 的坐标为（）A ．(673,6736733-B ．(673,6736733--C ．(0,1009)D ．(674,6746743- 【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，及点的坐标特征，每三个点一个循环，2019÷3=673，A 2019的坐标在第四象限即可得到结论．【详解】∵2019÷3=673，∴顶点A2019是第673个等边三角形的第三个顶点，且在第四象限．第673个等边三角形边长为2×673=1346，∴点A2019的横坐标为12⨯1346=673．点A2019的纵坐标为673-134632⨯=673﹣6733．故点A2019的坐标为：()673,6736733-．故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质，是点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质，确定出点A2019所在三角形是解答本题的关键．16．如图，已知等边△ABC的面积为43， P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR＋QR的最小值是（）A．3B．23C．15D．4【答案】B【解析】如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR=ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PE的长就是PR+QR的最小值，设等边△ABC的边长为x 3，∵等边△ABC的面积为3，∴12x33解得x=4，∴等边△ABC的高为32x=23，即PE=23，所以PR+QR的最小值是23，故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题等，解题的关键是正确添加辅助线构造出最短路径.17．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．有下列结论：①∠C=2∠A；②BD平分∠ABC；③S△BCD=S△BOD．其中正确的选项是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②【答案】D【解析】①、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，∴∠C=2∠A，正确；②、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD．∴∠A=∠ABD=36°．∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD．∴BD是∠ABC的角平分线，正确；③，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误；故选：D.18．如图，已知，点A（0，0）、B（43，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2017个等边三角形的边长等于（）A 3B3C3D3【答案】A 【解析】【分析】【详解】根据锐角三函数的性质，由OB=43，OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三角形的性质，可知∠A1AB=60°，进而可得∠CAA1=30°，∠CA1O=90°，因此可推导出∠A2A1B=30°，同理得到∠CA2B1=∠CA3B2=∠CA4B3=90°，∠A2A1B=∠A3A2B2=∠A4A3B3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA1=OCcos∠CAA1=23，B1A2=1232⨯，以此类推，可知第2017个等边三角形的边长为：2017201513()4322⨯=.故选A.【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.19．如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（）A．①③B．①②④C．①②③④D．①③④【答案】C【解析】【分析】①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．【详解】①∵AD为△ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°．∵Rt△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE．在△DAE和△CBE中，∵AE BEDAE CBEAD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BCE（SAS）；故①正确；②∵△ADE≌△BCE，∴∠EDA=∠ECB．∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE⊥DE；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE．∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF．在△AEF和△BED中，∵BDE AFEBED AEFAE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△BED（AAS），∴BD=AF；故③正确；④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF．∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形．∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE．∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④正确．故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．20．如图所示，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是（）A．2B．1+22C．2D2-1【答案】B 【解析】第一次折叠后，等腰三角形的底边长为1，腰长为22；第一次折叠后，等腰三角形的底边长为22，腰长为12，所以周长为1122122++=+.故答案为B.。

人教版八年级上册数学全等三角形单元试卷(word版含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠D CE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论.试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F，则△ADF为等边三角形∴AD=DF，又∵∠DEC=∠DCB，∠DEC+∠EDB=60°，∠DCB+∠DCF=60°，∴∠EDB=∠DCA ，DE=CD，在△DEB和△CDF中，120EBD DFCEDB DCFDE CD，，∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEB≌△CDF，∴BD=DF，∴BE=AD .(2).EB=AD成立；理由如下：作DF∥BC交AC的延长线于F，如图所示：同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，又∵∠DBE=∠DFC=60°，∴△DBE≌△CFD（AAS），∴EB=DF，∴EB=AD.点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.2．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【解析】【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，在△MCF和△NCG中，CMF CNGCM CNMCF NCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．3．如图，在ABC∆中，ACB∠为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD.以AD为直角边且在AD的上方作等腰直角三角形ADF.（1）若AB AC =，90BAC ∠=︒①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系； ②当点D 在线段C 的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；（2）如图3，若AB AC ≠，90BAC ∠≠︒，45BCA ∠=︒，点D 在线段BC 上运动，试探究CF 与BD 的位置关系.【答案】（1）①CF ⊥BD ，证明见解析；②成立，理由见解析；（2）CF ⊥BD ，证明见解析.【解析】【分析】（1）①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△ABD 全等，②先求出∠CAF=∠BAD ，然后与①的思路相同求解即可；（2）过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ，可得△ACE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE ，∠AED=45°，再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△AED 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED ，然后求出∠BCF=90°，从而得到CF ⊥BD ．【详解】解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF 是等腰直角三角形，∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，∴∠CAF=∠BAD ，在△ACF 和△ABD 中，∵AB=AC ，∠CAF=∠BAD ，AD=AF ，∴△ACF ≌△ABD(SAS)，∴CF=BD ，∠ACF=∠ABD=45°，∵∠ACB=45°，∴∠FCB=90°，∴CF ⊥BD ；②成立，理由如下：如图2：∵∠CAB=∠DAF=90°，∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠CAF=∠BAD，在△ACF和△ABD中，∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，∴△ACF≌△ABD(SAS)，∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，∴CF⊥BD；（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，∵∠BCA=45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=AE，∠AED=45°，∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，∴∠CAF=∠EAD，在△ACF和△AED中，∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，∴△ACF≌△AED(SAS)，∴∠ACF=∠AED=45°，∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，∴CF⊥BD．【点睛】本题考查全等三角形的动点问题，综合性较强，有一定难度，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4．如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ；（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =29CP ，求PF AF的值．（提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ）【答案】（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【解析】【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌ 得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD = 则在Rt AHF △ 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，在BCE 和CAD 中，60BE CDCBE ACDBC CA=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCE CAD≌（SAS），∴∠BCE=∠DAC，∵∠BCE+∠ACE=60°，∴∠DAC+∠ACE=60°，∴∠AFE=60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF=90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH=60°，∴∠FAH=30°，∴AF=2FH，∵EBC DCA≌，∴EC=AD，∵AD=AF+DF=2FH+DF，∴2FH+DF=EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，∵∠AFK=60°，AF=KF，∴△AFK为等边三角形，∴∠KAF=60°，∴∠KAB=∠FAC，在ABK和ACF中，AB ACKAB ACFAK AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABK ACF≌(SAS)，BK CF=∴∠AKB=∠AFC=120°，∴∠BKE=120°﹣60°=60°，∵∠BPC=30°，∴∠PBK=30°，∴29 BK CF PK CP===，∴79PF CP CF CP=-=，∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP==-+=-=∴779559CPPFAF CP== .【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.5．已知4AB cm=，3AC BD cm==.点P在AB上以1/cm s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为()t s．（1）如图①，AC AB⊥，BD AB⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1t=时，ACP△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图②，将图①中的“AC AB⊥，BD AB⊥”为改“60CAB DBA∠=∠=︒”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/xcm s，是否存在实数x，使得ACP△与BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，11tx=⎧⎨=⎩或232tx=⎧⎪⎨=⎪⎩【解析】【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．【详解】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，在△ACP 和△BPQ 中，AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）．∴∠ACP=∠BPQ ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠CPQ=90°，即线段PC 与线段PQ 垂直．（2）①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，34t t xt =-⎧⎨=⎩，解得11t x =⎧⎨=⎩， ②若△ACP ≌△BQP ，则AC=BQ ，AP=BP ，34xt t t =⎧⎨=-⎩，解得232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上所述，存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．6．如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ，证得△ACD ≌△CBE ，得到AD=CE ，CD=BE ，即有DE=AD-BE ；(2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD ．证明的方法与(1)一样．【详解】(1)不成立．DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ，理由如下：如图，∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE(AAS)，∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=CE-CD=AD-BE ；(2)结论：DE=BE-AD ．∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB(AAS)，∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=CD-CE=BE-AD ．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．7．如图1，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边的中点连接AD ，则易证AD ＝BD ＝CD ，即AD ＝12BC ；如图2，若将题中AB ＝AC 这个条件删去，此时AD 仍然等于12BC ．理由如下：延长AD 到H ，使得AH ＝2AD ，连接CH ，先证得△ABD ≌△CHD ，此时若能证得△ABC ≌△CHA ，即可证得AH ＝BC ，此时AD ＝12BC ，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC ≌△CHA ，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC 折叠（如图3），点A 与点D 重合，折痕为EF ，此时不难看出△BDE 和△CDF 都是等腰直角三角形．BE ＝DE ，CF ＝DF ．由勾股定理可知DE 2+DF 2＝EF 2，因此BE 2+CF 2＝EF 2，若图2中△ABC 也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE 、CF 、EF 还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF 绕着点D 旋转（如图5），射线DE 、DF 分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.【解析】【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【详解】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝12 BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，∴△EDB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠HCD＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CF2+CH2，∵DF⊥EH，ED＝DH，∴EF＝FH，∴EF2＝BE2+CF2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．证明方法类似（2）．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．8．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点，且AE CD=，BD与EC交于点F，则BFE∠的度数是___________度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点，且AE CD=，BD与EC的延长线交于点F ，此时BFE ∠的度数是____________度；（2）如图③，在ABC ∆中，AC BC =，ACB ∠是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，且AE CD =，BD 与EC 的延长线交于点F ，若ACB α∠=，求BFE ∠的大小（用含法α的代数式表示）．【答案】（1）60；（2）60；（3）BFE α∠=【解析】【分析】（1）①只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD ，推出∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°；②只要证明△ACE ≌△CBD ，可得∠ACE=∠CBD=∠DCF ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°；（2）只要证明△AEC ≌△CDB ，可得∠E=∠D ，即可推出∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α.【详解】解：（1）①如图①中，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=CB ，∠A=∠BCD=60°，∵AE=CD ，∴△ACE ≌△CBD ，∴∠ACE=∠CBD ，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60；②如图②，∵△ABC 是等边三角形，∴AC=CB ，∠A=∠BCD=60°，∴∠CAE=∠BCD=′120°∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．故答案为60；（2）如图③中，图③点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴=，OC OA∴∠=∠=OAC ACOα=-，∴∠=∠︒EAC DCBα180=，AE CDAC BC=，∴∆≅∆，AEC CDB∴∠=∠，E D∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=．BFE D DCF E ECA OACα【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．9．操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．【答案】（1）见解析；（2）70°；（3）2【解析】（1）根据SAS证明△BAD≌△CAE即可．（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）同法可证△BAD≌△CAE，推出EC=BD=4，由∠BEC=∠BAC=120°，推出∠FCE=30°即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB＝∠EAD＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同理可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，∵CF⊥EF，∴∠F＝90°，∴∠FCE＝30°，∴EF＝12EC＝2.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证:△DEF是等边三角形．【答案】(1)见解析；（2）成立，理由见解析；(3)见解析【解析】【分析】（1）因为DE=DA+AE ，故通过证BDA AEC ≅△△，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE.（2）成立，仍然通过证明BDA AEC ≅△△，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD.（3）由BDA AEC ≅△△得BD=AE ，=BDA AEC ∠∠，ABF 与ACF 均等边三角形，得==60BA AC ︒∠F ∠F ，FB=FA ，所以=BA BA AC AC ∠F ＋∠D ∠F ＋∠E ，即FBD FAB ≅∠∠，所以BDF AEF ≅△△，所以FD=FE ，BFD AFE ≅∠∠，再根据=60BFD FA BFA =︒∠＋∠D ∠，得=60AF FA =︒∠E ＋∠D ，即=60FE =︒∠D ，故DFE △是等边三角形.【详解】证明：(1)∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m∴∠BDA ＝∠CEA=90°，∵∠BAC ＝90°∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD ，又AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AE+AD= BD+CE(2)∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—α∴∠DBA=∠CAE ，∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC∴△ADB ≌△CEA ，∴AE=BD ，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE（3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA =∠CAE∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF∴DF=EF，∠BFD=∠AFE∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°∴△DEF为等边三角形.【点睛】利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.。

青岛版八年级数学上册1.1全等三角形-同步练习（word版含答案）

1.1全等三角形基础过关1. 如图，△ABC≌△ECD，AB和EC是对应边，C和D是对应顶点，则下列结论中错误的是（）A. AB＝CEB. ∠A＝∠EC. AC＝DED. ∠B＝∠D1题 2题2. 如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB＝6cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则AD的长为（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 以上都不对3. 下列说法中正确的有（）①形状相同的两个图形是全等图形②对应角相等的两个三角形是全等三角形③全等三角形的面积相等④若△ABC≌△DEF，△DEF ≌△MNP，△ABC≌△MNP.A.0个B.1个C.2个D.3个4. 如图,△ABE≌△ACD,∠B＝50°,∠AEC＝120°,则∠DAC的度数等于（）A.120°B.70°C.60°D.50°4题 6题5．如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等，如果△ABC和△DEF不全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI______全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）6．如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝______．7．△ABC中，∠BAC∶∠ACB∶∠ABC＝4∶3∶2，且△ABC≌△DEF，则∠DEF＝______．能力提升8．如图，△ABC与△DEF是全等三角形，则图中的相等线段（）A．1 B．2 C．3 D．48题 9题 10题9．如图，△ABC与△DBE是全等三角形，则图中相等的角有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对10．如图，△ABC ≌△FED ，则下列结论错误的是（）A ．EC=BDB ．EF ∥ABC ．DF=BD D ．AC ∥FD11.如图，在△ABC 中，AC ＞BC ＞AB ，且△ABC ≌△DEF ，则在△DEF 中，______＜______＜_______(填边).11题 12题12. 如图，△ABC ≌△AED ，AB ＝AE ，∠1＝27°，则∠2＝___________.13. 已知△DEF ≌△ABC ，AB ＝AC ，且△ABC 的周长为23cm ，BC ＝4cm ，则△DEF 的边中必有一条边等于______.应用拓展14.如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的．若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α= ．14题 15题 F E DC BA15.如图，△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，则∠DFE= °，EC= ．16.已知△ABC≌△DEF，且∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，△DEF中最大边长是，最大角是度．17.如图，△ABC≌△FED，AC与DF是对应边，∠C与∠D是对应角，则AC//FD成立吗？请说明理由．创新突破18．如图，△ABC≌△ADE，∠CAD=10°，∠B= =25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．19.已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE BF=．求证：（1）AF CE∥．=；（2）AB CD答案1.D2.B3.C4.B 5．一定，一定不6．50°7．40°8．D 9．D 10．C 11. DE EF DF 12. 27° 13. 4cm或9.5cm 14. 80° 15. 100、 2 16. 10、 9017．解：AC//FD成立．因为AC与FD为对应边，所以∠ABC与∠FED为对应角．因为∠C与∠D为对应角，所以∠A与∠F为对应角．又因为△ABC≌△FED，所以∠A=∠F，从而AC//FD．18．解：因为△ABC≌△ADE，所以∠DAE=∠BAC=(∠EAC-∠CAD)=55°．从而∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB +∠B =10°+55°+25°．∠DGB=∠DFB-∠D =90°-25°=65°．19.证明:（1）在ABF△和△CDE中，AB CD DE BF=⎧⎨=⎩，，∴△ABF≌△CDE(HL)．∴AF CE=．（2）由（1）知∠ACD=∠CAB，∴AB∥CD．1 2。

八年级上册数学全等三角形单元练习(Word版含答案)

八年级上册数学全等三角形单元练习（Word版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】363【解析】【分析】分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°∵∠C＝45°∴∠AME＝∠C又∵∠AME＞∠C∴这种情况不成立；②若AE＝EM∵∠B＝∠AEM＝45°∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°∴∠BAE＝∠MEC在△ABE和△ECM中，BBAE CENAE EIIC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ECM（AAS），∴CE＝AB6，∵AC＝BC2AB＝3∴BE ＝23﹣6；③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＝45°∴AE 平分∠BAC∵AB ＝AC ，∴BE ＝12BC ＝3．故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．2．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．【详解】∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，故①正确；若∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ， ∵∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，∴∠ABF=∠EBD ，∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，又∵∠BAD=∠C ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AF=AE ，故③正确；∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE ，∴AN ⊥BE ，FN=EN ，在△ABN 与△GBN 中， ∵90ABN GBN BN BN ANB GNB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABN ≌△GBN （ASA ），∴AN=GN ，又∵FN=EN ，∠ANE=∠GNF ，∴△ANE ≌△GNF （SAS ），∴∠NAE=∠NGF ，∴GF ∥AE ，即GF ∥AC ，故④正确；∵AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，∴EF 不一定等于AE ，∴EF 不一定等于FG ，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．3．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC ，OD ，∵点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，∴OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，∵OP=5cm ，∴12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，∵△PEF 的周长是5cm ，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm ，∴CD=OD=OD=5cm ，∴△OCD 是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230AOB AOP BOP COP DOP COD ，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．4．如图，△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，则△ADE 的周长为_____．【答案】14．【解析】【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD ＝DF ，CE ＝EF ，则△ADE 的周长＝AB +AC ＝14．【详解】∵BF 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠CBF ，∵DE ∥BC ，∴∠CBF ＝∠DFB ，∴∠DBF ＝∠DFB ，∴BD ＝DF ，同理FE ＝EC ，∴△AED 的周长＝AD +AE +ED ＝AB +AC ＝8+6＝14．故答案为：14．【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的等角对等边的性质.5．如图，在ABC ∆中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，,82,38BD BC BAC DBC =∠=︒∠=︒，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．【答案】30°【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD ∠的度数，然后作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DB ，∠BEA =∠BDA ，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC ，从而可证△EBC 是等边三角形，可得∠BEC =60°，EB=EC ，进一步即可根据SSS 证明△AEB ≌△AEC ，可得∠BEA 的度数，问题即得解决．【详解】解：∵AB AC =，82BAC ∠=︒，∴180492BAC ABC ︒-∠∠==︒， ∵38DBC ∠=︒，∴493811ABD ∠=︒-︒=︒，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接BE 、CE 、AE ，如图，则BE=BD ，∠EBA=∠DBA =11°，∠BEA =∠BDA ，∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，∵BD=BC ，∴BE=BC ，∴△EBC 是等边三角形，∴∠BEC =60°，EB=EC ，又∵AB=AC ，EA=EA ，∴△AEB ≌△AEC （SSS ），∴∠BEA =∠CEA =1302BEC ∠=︒， ∴∠ADB =30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．6．如图，已知，点E是线段AB的中点，点C在线段BD上，8BD=，2DC=，线段AC交线段DE于点F，若AF BD=，则AC=__________.【答案】10.【解析】【分析】延长DE至G，使EG=DE，连接AG，证明BDE AGE∆≅∆，而后证明AFG∆、CDF∆是等腰三角形，即可求出CF的长，于是可求AC的长.【详解】解：如图，延长DE至G，使EG=DE，连接AG，∵点E是线段AB的中点，∴AE=BE,∴在BDE∆和AGE∆中，BE AEBED AEGDE EG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BDE AGE∆≅∆,∴AG=BD, BDE AGE∠=∠,∵AF=BD=8,∴AG=AF,∴AFG AGE∠=∠∠=∠,∵AFG DFC∠=∠,∴BDE DFC∴FC=DC,∴FC=2,∴AC=AF+FC=8+2=10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.7．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．【答案】22【解析】【分析】等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；【详解】解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，∴腰的不应为4，而应为9，∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.故答案为22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.8．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG＝CD，F是GD上一点，且DF＝DE．若∠A＝100°，则∠E的大小为_____度．【答案】10【解析】【分析】由DF=DE，CG=CD可得∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G，进而可得∠ACB=4∠E，最后代入数据即可解答.【详解】解：∵DF＝DE，CG＝CD，∴∠E ＝∠DFE ，∠CDG ＝∠CGD ，∵GDC ＝∠E +∠DFE ，∠ACB ＝∠CDG +∠CGD ，∴GDC ＝2∠E ，∠ACB ＝2∠CDG ，∴∠ACB ＝4∠E ，∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∴∠ACB ＝40°，∴∠E ＝40°÷4＝10°．故答案为10．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.9．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..10．如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若8AC =，5BC =，则BD 的长为_______.【答案】1.5【解析】【分析】延长BD 交AC 边于点E ，根据BD⊥CD,CD 平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的长，再根据A ABD ∠=∠，求出BE 的长即可求得BD.【详解】延长BD 交AC 于点E ，∵BD⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=900，∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD又∵CD=CD∴△BCD≌△ECD∴BD=ED,CE=BC=5，∴AE=AC -CE=8-5=3，∵A ABD ∠=∠,∴BE=AE=3，∴BD=1.5【点睛】此题考察等腰三角形的性质，延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由等边三角形的性质可得BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，利用SAS可证明△ABD≌△ACD，从而可判断①正确；利用ASA可证明△ADE≌△ADF，从而可判断③正确；在Rt△ADE与Rt△ADF中，∠EAD=∠FAD=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得2DE=2DF=AD，从而可判断②正确；同理可得2BE=2CF=BD，继而可得4BE=4CF=AB，从而可判断④正确，由此即可得答案.【详解】∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，∴BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，在△ABD与△ACD中90AD ADADB ADCDB DC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD，故①正确；在△ADE与△ADF中60EAD FADAD ADEDA FDA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ADE≌△ADF，故③正确；∵在Rt△ADE与Rt△ADF中，∠EAD=∠FAD=30°，∴2DE=2DF=AD，故②正确；同理2BE=2CF=BD，∵AB=2BD，∴4BE=4CF=AB，故④正确，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.12．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点显然符合题意．以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交与两点（O点除外）．以OA中点为圆心OA长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，13．如图，等腰 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于D，∠ABC 的平分线分别交 AC，AD 于E，F，点M 为 EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于N，连接 DM，NF，EN．下列结论：①△AFE为等腰三角形；②△BDF≌△ADN；③NF所在的直线垂直平分AB；④DM平分∠BMN；⑤AE＝EN＝NC；⑥AE BNEC BC=．其中正确结论的个数是( )A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【解析】【分析】①由等腰三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°，再根据三角形外角性质得∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°，则得到∠AEF=∠AFE，可判断△AEF为等腰三角形，于是可对①进行判断；求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，证△DFB≌△DAN，由题意可得BF>BD=AD,所以BF≠AF,所以点F不在线段AB的垂直平分线上，所以③不正确，由∠ADB=∠AMB=90°，可知A、B、D、M四点共圆，可求出∠ABM=∠ADM=22.5°，继而可得∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，即可求出DM 平分∠BMN ,所以④正确；根据全等三角形的性质可得△AFB ≌△CAN ，继而可得AE=CN ，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可得△ENC 是等腰直角三角形,继而可得AE=CN=EN ，所以⑤正确；根据等腰三角形的判定可得△BAN 是等腰三角形，可得BD=AB ，继而可得2BD BC A BC B ==,由⑤可得2AE EN EC EC ==所以⑥正确. 【详解】解：∵等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°， ∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5° ∴∠AEF=∠AFE ，∴△AEF 为等腰三角形，所以①正确；∵∠BAC=90°，AC=AB ，AD ⊥BC ，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD ，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE= 12∠ABC=22.5°， ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE ，AM ⊥BE ，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN ，在△FBD 和△NAD 中,∠FBD ＝∠DAN ,BD ＝AD ,∠BDF ＝∠ADN ，∴△FBD ≌△NAD ，所以②正确；因为BF>BD=AD,所以BF ≠AF,所以点F 不在线段AB 的垂直平分线上，所以③不正确∵∠ADB=∠AMB=90°，∴A 、B 、D 、M 四点共圆，∴∠ABM=∠ADM=22.5°，∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，∴DM 平分∠BMN ,所以④正确；在△AFB 和△CNA 中，∠BAF ＝∠C ＝45°,AB ＝AC, ∠ABF ＝∠CAN ＝22.5°,∴△AFB≌△CAN（ASA），∴AF=CN，∵AF=AE，∴AE=CN，∵AE=AF，FM=EM，∴AM⊥EF，∴∠BMA=∠BMN=90°，∵BM=BM，∠MBA=∠MBN，∴△MBA≌△MBN，∴AM=MN，∴BE垂直平分线段AN，∴AB=BN，EA=EN，∵BE=BE，∴△ABE≌△NBE，∴∠ENB=∠EAB=90°，∴EN⊥NC．∴△ENC是等腰直角三角形,∴AE=CN=EN，所以⑤正确；∵AF=FN,所以∠FAN =∠FNA,因为∠BAD =∠FND=45°,所以∠FAN+ ∠BAD =∠FNA+∠FND,所以∠BAN =∠BNA,所以AB=BN,所以22BDBCABCB==，由⑤可知，△ENC是等腰直角三角形，AE=CN=EN，∴22 AE ENEC EC==所以AE BNEC BC=，所以⑥正确,故选D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．14．如图，△ABC的周长为32，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA＝BE，CA＝CD，由△ABC的周长为32以及BC＝12，可得DE＝8，利用中位线定理可求出PQ．【详解】∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ＝∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，∴∠BAQ＝∠BEQ，∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，∴PQ＝12DE＝4．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．15．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定【答案】C【解析】【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN=120°HN=MN=x即可解决问题．【详解】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°．∵∠MON=30°，∴∠CBH+∠CBN=∠ABM+∠CBN=30°，∴∠NBM=∠NBH．∵BM=BH，BN=BN，∴△NBM≌△NBH，∴MN=NH=x．∵∠BCH=∠A=60°，CH=AM=n，∴∠NCH=120°，∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，a），等腰直角三角形ODC的斜边经过点B，OE⊥AC，交AC于E，若OE＝2，则△BOD与△AOE的面积之差为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】首先证明△DOB ≌△COA （SAS ），推出S △DOB ﹣S △AOE =S △EOC ，再证明△OEC 是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】∵A （a ，0），B （0，a ），∴OA =OB ．∵△ODC 是等腰直角三角形，∴OD =OC ，∠D =∠DCO =45°．∵∠DOC =∠BOA =90°，∴∠DOB =∠COA ．在△DOB 和△COA 中，∵OD =OC ，∠DOB =∠COA ，OB =OA ，∴△DOB ≌△COA （SAS ），∴∠D =∠OCA =45°，S △DOB ﹣S △AOE =S △EOC ．∵OE ⊥AC ，∴∠OEC =90°，∴△CEO 是等腰直角三角形，∴OE =EC =2，∴S △DOB ﹣S △AOE =S △EOC 12=⨯2×2=2．故选A ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OEC 是等腰直角三角形．17．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=6,∠BAC=120°，点P 、Q 分别是线段BC 、射线BA 上一点，则CQ+PQ 的最小值为（）A ．6B ．7.5C ．9D ．12【答案】C【解析】【分析】通过作点C 关于直线AB 的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.【详解】解：如图，作点C 关于直线AB 的对称点1C ，1CC 交射线BA 于H ，过点1C 作BC 的垂线，垂足为P ，与AB 交于点Q ，CQ+PQ 的长即为1PC 的长.∵AB=AC=6,∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，易得BC=63，在Rt △BHC 中，∠ABC=30°，∴HC=33，∠BCH=60°，∴163CC =，在1Rt △PCC 中，1PCC ∠=60°，∴19PC =∴CQ+PQ 的最小值为9，故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解题的关键.18．如图，点D ，E 是等边三角形ABC 的边BC ，AC 上的点，且CD =AE ，AD 交BE 于点P ，BQ ⊥AD 于点Q ，已知PE =2，PQ =6，则AD 等于( )A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C【解析】【分析】由题中条件可得△ABE ≌△CAD ，得出AD =BE ，∠ABE =∠CAD ，进而得出∠BPD =60°．在Rt △BPQ 中，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，求出BP 的长，进而可得结论．【详解】∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠C =60°．又∵AE =CD ，∴△ABE ≌△CAD （SAS ），∴∠ABE =∠CAD ，AD =BE ，∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2×6=12，∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．故选C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，证明∠BPD=60°是解答本题的关键．19．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；【详解】①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°∴△CQB≌△CPA（ASA），∴AP＝BQ，故②正确；∵△CQB≌△CPA，∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故③正确，∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，∴∠AOE＝120°，故⑤正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．20．如果三角形有一个内角为120°，且过某一顶点的直线能将该三角形分成两个等腰三角形，那么这个三角形最小的内角度数是( )A．15°B．40 C．15°或20°D．15°或40°【答案】C【解析】【分析】依据三角形的一个内角的度数为120°，且过某一顶点能将该三角形分成两个等腰三角形，运用分类思想和三角形内角和定理，即可得到该三角形其余两个内角的度数．【详解】如图1，当∠A=120°，AD=AC，DB=DC时，∠ADC=∠ACD=30°，∠DBC=∠DCB=15°，所以，∠DBC=15°，∠ACB=30°+15°=45°；故∠ABC=60°，∠C=80°；如图2，当∠BAC=120°，可以以A为顶点作∠BAD=20°，则∠DAC=100°，∵△APB，△APC都是等腰三角形；∴∠ABD=20°，∠ADC=∠ACD=40°，如图3，当∠BAC=120°，以A为顶点作∠BAD=80°，则∠DAC=40°，∵△APB，△APC都是等腰三角形，ACD=40°．∴∠ABD=20°，∠ADC=100°，∠【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．。

人教版数学八年级上册全册全套试卷练习(Word版含答案)

人教版数学八年级上册全册全套试卷练习（Word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB AC=，D、E是斜边BC上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF.（1）试说明：△AED≌△AFD；（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE的长；（3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长.【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130【解析】试题分析：()1由ABE AFC≌，得到AE AF=，BAE CAF∠=∠，45,EAD∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=EAD DAF∠=∠，从而得到.AED AFD≌()2由△AED AFD≌得到ED FD=，再证明90DCF∠=︒，利用勾股定理即可得出结论.()3过点A作AH BC⊥于H,根据等腰三角形三线合一得，14.2AH BH BC===1DH BH BD=-=或7,DH BH BD=+=求出AD的长，即可求得2DE.试题解析：()1ABE AFC≌，AE AF=，BAE CAF∠=∠，45,EAD∠=90,BAC∠=45,BAE CAD∴∠+∠=45,CAF CAD∴∠+∠=即45.DAF∠=在AED和AFD中，{AF AEEAF DAEAD AD，=∠=∠=.AED AFD∴≌()2AED AFD≌，ED FD∴=，,90.AB AC BAC =∠=︒45B ACB ∴∠=∠=︒， 45ACF ，∠=︒ 90.BCF ∴∠=︒设.DE x =,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==222,FC DC DF +=()22239.x x ∴+-=解得： 5.x = 故 5.DE =()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，14.2AH BH BC === 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65. 22234DE AD ==或130.点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.2．如图，AB=12cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC=BD=9cm ，点P 在线段AB 上以3 cm/s 的速度，由A 向B 运动，同时点Q 在线段BD 上由B 向D 运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当运动时间t=1（s ），△ACP 与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系；（2）将 “AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”改为“∠CAB=∠DBA ”，其他条件不变．若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能使△ACP 与△BPQ 全等. （3）在图2的基础上延长AC ，BD 交于点E ，使C ，D 分别是AE ，BE 中点，若点Q 以（2）中的运动速度从点B 出发，点P 以原来速度从点A 同时出发，都逆时针沿△ABE 三边运动，求出经过多长时间点P 与点Q 第一次相遇．【答案】（1）△ACP ≌△BPQ ，理由见解析；线段PC 与线段PQ 垂直（2）1或32（3）9s 【解析】【分析】（1）利用SAS 证得△ACP ≌△BPQ ，得出∠ACP=∠BPQ ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；（2）由△ACP ≌△BPQ ，分两种情况：①AC=BP ，AP=BQ ，②AC=BQ ，AP=BP ，建立方程组求得答案即可．（3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【详解】（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，又∵∠A=∠B=90°，在△ACP 与△BPQ 中，AP BQ A B AC BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）， ∴∠ACP=∠BPQ ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°， ∠CPQ=90°，则线段PC 与线段PQ 垂直. （2）设点Q 的运动速度x,①若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BP ，AP=BQ ，912tt xt=-⎧⎨=⎩，解得31t x =⎧⎨=⎩， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，912xtt t =⎧⎨=-⎩解得632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上所述，存在31t x =⎧⎨=⎩或632t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得△ACP 与△BPQ 全等.（3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点； ∴EB=EA=18cm. 当V Q =1时，依题意得3x=x+2×9，解得x=9；当V Q =32时，依题意得3x=32x+2×9，解得x=12.故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.3．如图，在△ABC 中，∠ABC 为锐角，点D 为直线BC 上一动点，以AD 为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE ，∠DAE ＝90°，AD ＝AE ．（1）如果AB ＝AC ，∠BAC ＝90°．①当点D 在线段BC 上时，如图1，线段CE 、BD 的位置关系为___________，数量关系为___________②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图3，如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90°，点D 在线段BC 上运动．探究：当∠ACB 多少度时，CE ⊥BC ？请说明理由．【答案】（1）①垂直，相等．②都成立，理由见解析；（2）45°，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据∠BAD=∠CAE ，BA=CA ，AD=AE ，运用“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系； ②先根据“SAS ”证明△ABD ≌△ACE ，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；（2）先过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD ≌△CAE ，得出对应角相等，即可得出结论．【详解】（1）：（1）CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE=BD ．理由：如图1，∵∠BAD=90°-∠DAC ，∠CAE=90°-∠DAC ， ∴∠BAD=∠CAE ．又 BA=CA ，AD=AE ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ） ∴∠ACE=∠B=45°且 CE=BD ． ∵∠ACB=∠B=45°，∴∠ECB=45°+45°=90°，即 CE ⊥BD ．故答案为垂直，相等； ②都成立，理由如下： ∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°， ∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAE ＋∠DAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ，在△DAB 与△EAC 中，AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△DAB ≌△EAC ， ∴CE ＝BD ，∠B ＝∠ACE ，∴∠ACB ＋∠ACE ＝90°，即CE ⊥BD ；（2）当∠ACB ＝45°时，CE ⊥BD （如图）．理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 的延长线于点G ，则∠GAC ＝90°，∵∠ACB ＝45°，∠AGC ＝90°﹣∠ACB ， ∴∠AGC ＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，在△GAD与△CAE中，AC AGDAG EACAD AE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△GAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠AGC＝45°，∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝45°＋45°＝90°，即CE⊥B C．4．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE 的度数．【答案】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由见解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．【解析】【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.【详解】（1）如图，∠BDC ＝∠BAC+∠B+∠C ，理由是：过点A 、D 作射线AF ，∵∠FDC ＝∠DAC+∠C ，∠BDF ＝∠B+∠BAD ， ∴∠FDC+∠BDF ＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B ，即∠BDC ＝∠BAC+∠B+∠C ；（2）①如图（2），∵∠X ＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX ＝∠X ＝90°， ∵∠A ＝40°， ∴∠ABX+∠ACX ＝50°，故答案为：50；②如图（3），∵∠A ＝40°，∠DBE ＝130°， ∴∠ADE+∠AEB ＝130°﹣40°＝90°， ∵DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ，∴∠ADC ＝12∠ADB ，∠AEC ＝12∠AEB ， ∴∠ADC+∠AEC ＝1(ADB AEB)2∠+∠＝45°，∴∠DCE ＝∠A+∠ADC+∠AEC ＝40°+45°＝85°．【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.5．综合与实践：我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等. （1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.如图，已知ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ∆∆≌.（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等. 【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形. 【解析】【分析】（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证. 【详解】（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒. 在BDC ∆和111B D C ∆中，1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，∴111BDC B D C ∆∆≌， ∴11BD B D =.在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中，11AB A B =，11BD B D =，∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌， ∴1A A ∠=∠.在ABC ∆和111A B C ∆中，1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠︒. ∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆（HL ）；∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌，得到11BD B D =，再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌，得到1A A ∠=∠，再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌；∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；故答案为：钝角三角形或直角三角形. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，在△ABC 中，AB=BC=AC=20 cm ．动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P ，点Q 的速度都是2 cm/s ，当点P 第一次到达B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）∠A=______度；（2）当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，求t 的值；（3）当△APQ 为等边三角形时，直接写出t 的值．【答案】（1）60；（2）103或203；（3）5或20 【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质即可解答；（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形；②当P 于B 重合，Q 与C 重合时，△APQ 为等边三角形. 【详解】解：（1）60°．（2）∵∠A=60°，当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°． ∴QA=2PA ．即2022 2.t t -=⨯ 解得 10.3t =当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°． ∴PA=2QA ．即2(202)2.t t -= 解得 20.3t =∴当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，t 的值为102033或．（3）①由题意得：AP=2t ，AQ=20-2t ∵∠A=60°∴当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形 ∴2t=20-2t ，解得t=5②当P 于B 重合，Q 与C 重合，则所用时间为：4÷2=20 综上，当△APQ 为等边三角形时，t=5或20．【点睛】本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.7．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC 边上的中线AD 的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE.根据SAS 可证得到△ADC ≌△EDB ，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.（直接运用）如图②，AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，AF是ACD的边CD上中线.求证：BE=2AF.（灵活运用）如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.【详解】（1）∵△ADC≌△EDB，∴BE=AC=8，∵AB=12，∴12-8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，∵D为AE中点∴2＜AD＜10；（2）延长AF到H，使AF=HF，由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，∴∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，又AB=AC，AD=AE∴△BAE≌△ACH（SAS），故BE=AH,又AH=2AF∴BE= 2AF.（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，由题意得△DBF≌△ADG，∴FD=GD，BF=AG,∵DE⊥DF，∴DE垂直平分GF,∴EF=EG,∵∠C=90°，∴∠B+∠CAB=90°，又∠B=∠DAG，∴∠DAG +∠CAB=90°∴∠EAG=90°，故EG2=AE2+AG2，∵EF=EG, BF=AG∴EF2=AE2+BF2，则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.8．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段．．．．叫做这个三角形的三分线.（1）图①是顶角为36︒的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；（2）图③是顶角为45︒的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.（3）ABC 中，30B ∠=︒，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=︒，则x 所有可能的值为_________.【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.【解析】【分析】(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案. 【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）①当AD=AE 时，如图4，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠ADE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30=2x+x ，解得：x=20；②当AD=DE 时，如图5，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠DAE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30+2x+x=180，解得：x=40.③当AE=DE 时，则∠EAD=∠EDA=1802(90)2x x -=-， ∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°又∵∠ADC=30+30=60°，∴这种情况不存在.∴x 所有可能的值为20或40.故答案是：20或40图4 图5【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.9．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）填空：∠ACB=____；∠CAM=____；（2）求证：△AOC≌△BEC；（3）延长BE交射线AM于点F，请把图形补充完整，并求∠BFM的度数；（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F．∠BFM 的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM的度数；若变化，请写出变化规律．【答案】（1）60°，30°；（2）答案见解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可进行解答；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；（3）补全图形，由△ADC≌△BEC得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形内角和定理即可求得∠BFM的度数；（4）画出相应图形，可知当点D在线段AM的延长线上且在BC下方时，如图，可以得出△ACD≌△BCE，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，据此得出结论．【详解】(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°；∴线段AM为BC边上的高，∴∠CAM=12∠BAC=30°，故答案为60，30°；（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE.在△ADC和△BEC中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE(SAS)；（3）补全图形如下：由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC≌△BEC，∴∠CBE=∠CAM=30°，∵∠BMF=90°，∴∠BFM=60°；（4）当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下：∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠CBE=∠CAD=30°，又∵∠AMC=∠BMO，∴∠AOB=∠ACB=60°.即动点D在射线AM上时,∠AOB为定值60°.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.解题时注意：全等三角形的对应角相等，等边三角形的三个内角都相等，等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.10．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=α（0°<α<60°），点A关于射线CP 的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE.（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；（2）在α（0°<α<60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明.=︒-；（2）∠AEB的大小不会发生变化，且∠AEB=60°；（3）【答案】（1）∠DBC60αBD=2AE+CE，证明见解析.【解析】【分析】（1）如图1，连接CD，由轴对称的性质可得AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，由△ABC是等边︒+，BC=DC，然后利用三角形的三角形可得AC=BC，∠ACB=60°，进一步即得∠BCD=602α内角和定理即可求出结果；（2）设AC、BD相交于点H，如图2，由轴对称的性质可证明△ACE≌△DCE，可得∠CAE=∠CDE，进而得∠DBC=∠CAE，然后根据三角形的内角和可得∠AEB=∠BCA，即可作出判断；（3）如图3，在BD上取一点M，使得CM=CE，先利用三角形的外角性质得出=︒，进而得△CME是等边三角形，可得∠MCE=60°，ME=CE，然后利用角的和差∠BEC60关系可得∠BCM=∠DCE，再根据SAS证明△BCM≌△DCE，于是BM=DE，进一步即可得出线段AE，BD，CE之间的数量关系.【详解】解：（1）如图1，连接CD，∵点A关于射线CP的对称点为点D，∴AC=DC，∠DCP=∠ACP=α，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，︒+，BC=DC，∴∠BCD=602α∴∠DBC =∠BDC ()1806021806022BCD αα︒-︒+︒-∠===︒-；（2）∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°.理由：设AC 、BD 相交于点H ，如图2，∵点A 关于射线CP 的对称点为点D ，∴AC=DC ，AE=DE ，又∵CE=CE ，∴△ACE ≌△DCE （SSS ），∴∠CAE =∠CDE ，∵∠DBC =∠BDC ，∴∠DBC =∠CAE ，又∵∠BHC =∠AHE ，∴∠AEB =∠BCA =60°，即∠AEB 的大小不会发生变化，且∠AEB =60°；（3）AE ，BD ，CE 之间的数量关系是：BD =2AE +CE .证明：如图3，在BD 上取一点M ，使得CM=CE ，∵∠BEC =∠BDC +∠DCE =6060αα︒-+=︒，∴△CME 是等边三角形，∴∠MCE =60°，ME=CE ，∴60260BCM BCD MCE DCE ααα∠=∠-∠-∠=︒+-︒-=，∴∠BCM =∠DCE ，又∵BC=DC ，CM=CE ，∴△BCM ≌△DCE （SAS ），∴BM=DE ，∵AE=DE ，∴BD=BM+ME+DE =2DE+ME =2AE+CE .【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．观察下列各式:()()2111,x x x -+=-()()23 111,x x x x -++=-()()324 111,x x x x x -+++=-()()4325 1 11,x x x x x x -++++=-······()1根据规律()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=(其中n 为正整数) ;()()3029282(51)5555251-+++++()3计算：201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-++-+--++ 【答案】（1）1n x -；（2）311-5；（3）2020213-- 【解析】【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；（2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可；（3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果.【详解】（1）根据上述规律可得()()122 1 ...1n n x x x x x ---+++++=1n x -，故填：1n x -；（2）由（1）可知()3029282(51)555551-+++++=311-5()3 201920182017321(2)(2)(2)(2)(2)(2)1-+-+-+⋅+-+-+-+=201920182011732[(2)1](2)(2)(2)(2)(2)(2)13⎡⎤---+-+-+⋯+-+--+⎣⎦-+ =2020(2)13--- =2020213-- 【点睛】本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形.12．阅读下列解题过程，再解答后面的题目.例题：已知224250x y y x ++-+=，求x y +的值. 解：由已知得22(21)(44)0x x y y -++++=即22(1)(2)0x y -++=∵2(1)0x -≥，2(2)0y +≥ ∴有1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩∴1x y +=-.题目：已知22464100x y x y +-++=，求xy 的值. 【答案】-32【解析】【分析】先将左边的式子写成两个完全平方的和的形式，根据非负数的性质求出x 、y 的值，再代入求出xy 的值．【详解】解：将22464100x y x y +-++=，化简得22694410x x y y -++++=，即()()223210x y -++=．∵()230x -≥，()2210y +≥，且它们的和为0，∴3x = ，12y， ∴12233xy ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是将左边的式子写成两个完全平方的和的形式．13．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数，它（填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M ，它的各位数字之和的3倍记为N ，M ﹣N 的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？【答案】（1）证明见解析（2）abcabc 能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个【解析】分析：（1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；（2）设abcabc 为六位连接数，将abcabc 进行因数分解，判断得出它能被13整除；（3）设xyxy 为四位连接数，用含x 、y 的代数式表示M 与N ，再计算M ﹣N ，然后将13M N -表示为77x +7y +3413x y +，根据M ﹣N 的结果能被13整除以及M 与N 都是1～9之间的整数，求得x 与y 的值，即可求解．详解：（1）123123为六位连接数；∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：设abcabc 为六位连接数．∵abcabc =abc ×1001=abc ×13×77，∴abcabc 能被13整除；（3）设xyxy 为四位连接数，则M =1000x +100y +10x +y =1010x +101y ，N =3（x +y +x +y ）=6x +6y ，∴M ﹣N =（1010x +101y ）﹣（6x +6y ）=1004x +95y ，∴13M N -=10049513x y +=77x +7y +3413x y +．∵M ﹣N 的结果能被13整除，∴3413x y +是整数．∵3x +4y 取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有13，26，39，52，∴x =1，y =9；x =2，y =5；x =3，y =1；x =8，y =7；x =9，y =3；x =5，y =6；x =6，y =2；满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7个．点睛：本题考查了因式分解的应用，整式的运算，理解“连接数”的定义是解题的关键．14．对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法：当0a b ->时，一定有a b >；当0a b -=时，一定有a b =；当0a b -<时，一定有a b <．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．请根据以上材料完成下面的题目：（1）已知：228A x y y =+，8B xy =，且A B >，试判断y 的符号；（2）已知：a 、b 、c 为三角形的三边，比较222a c b +-和2ac 的大小．【答案】（1）y ＞0；（2）222a c b +-＜2ac【解析】【分析】（1）根据题意得到22880x y y xy +->，因式分解得到22(2)0y x ->，进而得到y 的符号即可；（2）将222a c b +-和2ac 作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求．【详解】解：（1）因为A ＞B ，所以A-B ＞0，即22880x y y xy +->，∴222(44)2(2)0y x x y x +-=->，因为2(2)0x -≥，∴y ＞0（2）因为a 2−b 2＋c 2−2ac ＝a 2＋c 2−2ac−b 2＝（a−c ）2−b 2＝（a−c−b ）（a−c ＋b ）， ∵a ＋b ＞c ，a ＜b ＋c ，所以（a−c−b ）（a−c ＋b ）＜0，所以a 2−b 2＋c 2−2ac 的符号为负．∴222a c b +-＜2ac【点睛】本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法．15．（观察）1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．（发现）根据你的阅读回答问题：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为；（2）设参与上述运算的第一个因数为a ，第二个因数为b ，用等式表示a 与b 的数量关系是．（类比）观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n ，…，56×4，57×3，58×2，59×1．猜想mn 的最大值为，并用你学过的知识加以证明．【答案】（1）625；（2）a+b=50； 900；证明见解析.【解析】【分析】发现：（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625；（2）观察题目给出的等式即可发现a与b的数量关系是a＋b＝50；类比：由于m＋n＝60，将n＝60−m代入mn，得mn＝−m2＋60m＝−（m−30）2＋900，利用二次函数的性质即可得出m＝30时，mn的最大值为900．【详解】解：发现：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．故答案为625；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50．故答案为a+b=50；类比：由题意，可得m+n=60，将n=60﹣m代入mn，得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，∴m=30时，mn的最大值为900．故答案为900．【点睛】本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍. 若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍.（注：垃圾处理量垃圾处理率垃圾排放量）（1）求该市2018年平均每天的垃圾排放量；（2）预计该市2020年平均每天的垃圾排放量比2019年平均每天的垃圾排放量增加10%. 如果按照创卫要求“城市平均每天的垃圾处理率不低于90%”，那么该市2020年平均每天的垃圾处理量在2019年平均每天的垃圾处理量的基础上，至少还需要増加多少万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求？【答案】（1）100；（2）98.【解析】【分析】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x万吨，根据题意列方程求出x的值即可；（2）设设2020年垃圾的排放量还需要増加m万吨，根据题意列出不等式，解得m的取值范围即可得到答案.【详解】（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，40 2.540 1.25100x x⨯=⨯+，解得：x=100，经检验，x=100是原分式方程的解，答：2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨.（2）由（1）得2019年垃圾的排放量为200万吨，设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，40 2.5200(110%)m ⨯+⨯+≥90%， m ≥98，∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求.【点睛】此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，找到各量之间的关系是解题的关键.17．阅读下面的解题过程：已知2113x x =+，求241x x +的值。

八年级数学上册全等三角形单元练习(Word版含答案)

八年级数学上册全等三角形单元练习（Word 版含答案）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒，100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.2．如图,A,B,C 三点在同一直线上,分别以AB,BC （AB>BC ）为边,在直线AC 的同侧作等边ΔABD 和等边ΔBCE,连接AE 交BD 于点M,连接CD 交BE 于点N,连接MN. 以下结论：①AE=DC ，②MN//AB ，③BD ⊥AE ，④∠DPM=60°，⑤ΔBMN 是等边三角形.其中正确的是__________（把所有正确的序号都填上）.【答案】①②④⑤【解析】【分析】①由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为60°，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形DBC全等即可得结论；②由①中三角形ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定义得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA 可得出三角形EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得∠BMN=60°，进行可得∠BMN=∠ABD，故MN//AB，从而可判断②，⑤正确；③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；④由①得∠EAB=∠CDB，根据三角形内角和和外角的性质可证得结论.【详解】①∵等边△ABD和等边△BCE，∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，∴∠ABE=∠DBC=120°，在△ABE和△DBC中，∵AB DBABE DBC BE BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE=DC，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠AEB=∠DCB，又∠ABD=∠EBC=60°，∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，即∠MBE=∠NBC=60°，在△MBE和△NBC中，∵AEB DCB EB CBMBE NBC ∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，∴△MBE≌△NBC（ASA），∴BM=BN，∠MBE=60°，则△BMN为等边三角形，故⑤正确；∵△BMN为等边三角形，∴∠BMN=60°,∵∠ABD=60°,∴∠BMN=∠ABD，∴MN//AB，故②正确；③无法证明PM=PN，因此不能得到BD⊥AE；④由①得∠EAB=∠CDB，∠APC+∠PAC+∠PCA=180°，∴∠PAC+∠PCA=∠PDB+∠PCB=∠DBA=60°，∵∠DPM =∠PAC+∠PCA∴∠DPM =60°，故④正确，故答案为：①②④⑤.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正确的是__________________．(填所有正确说法的序号)【答案】4【解析】【分析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．【详解】①连接NP，MP．在△ANP与△AMP中，∵AN AMNP MPAP AP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ANP≌△AMP，则∠CAD =∠BAD ，故AD 是∠BAC 的平分线，故此选项正确；②∵在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，∴∠CAB =60°．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB =30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC =60°，故此选项正确；③∵∠1=∠B =30°，∴AD =BD ，∴点D 在AB 的中垂线上，故此选项正确；④∵在Rt △ACD中，∠2=30°，∴CD =12AD ，∴BC =BD +CD =AD +12AD =32AD ，S △DAC =12AC •CD =14AC •AD ，∴S △ABC=12AC •BC =12AC •32AD =34AC •AD ，∴S △DAC ：S △ABC =1：3，故此选项正确．故答案为①②③④．【点睛】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．4．如图，已知，点E 是线段AB 的中点，点C 在线段BD 上，8BD =，2DC =，线段AC 交线段DE 于点F ，若AF BD =，则AC =__________.【答案】10.【解析】【分析】延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，证明BDE AGE ∆≅∆，而后证明AFG ∆、CDF ∆是等腰三角形，即可求出CF 的长，于是可求AC 的长.【详解】解：如图，延长DE 至G ，使EG=DE ，连接AG ，∵点E 是线段AB 的中点，∴AE=BE,∴在BDE ∆和AGE ∆中，BE AE BED AEGDE EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴BDE AGE ∆≅∆,∴AG=BD, BDE AGE ∠=∠,∵AF=BD=8,∴AG=AF,∴AFG AGE ∠=∠∵AFG DFC ∠=∠,∴BDE DFC ∠=∠,∴FC=DC,∴FC=2,∴AC=AF+FC=8+2=10.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质，能利用中点条件作辅助线构造全等三角形是解题的关键.5．如图，在第一个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ，在边A 1B 上任取一D ，延长CA 2到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ，在边A 2B 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第三个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去，第n个等腰三角形的底角的度数是_____度．【答案】1752n - 【解析】【分析】先根据∠B ＝30°，AB ＝A 1B 求出∠BA 1C 的度数，在由A 1A 2＝A 1D 根据内角和外角的关系求出∠DA 2A 1的度数，同理求出∠EA 3A 2＝754，∠FA 4A 3＝758,即可得到第n 个等腰三角形的底角的度数＝1752n ．【详解】∵在△ABA 1中，∠B ＝30°，AB ＝A 1B ，∴∠BA 1C ＝1802B ︒-∠＝75°， ∵A 1A 2＝A 1D ，∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角， ∴∠DA 2A 1＝12∠BA 1C ＝12×75°＝37.5°；同理可得，∠EA 3A 2＝754，∠FA 4A 3＝758, ∴第n 个等腰三角形的底角的度数＝1752n ．故答案为1752n -．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，利用等边对等角求出等腰三角形底角的度数.6．如图,在ABC 中, 90,ACB ABD ︒∠=是ABC 的轴对称图形,点E 在AD 上,点F 在AC 的延长线上.若点B 恰好在EF 的垂直平分线上,并且5AE =,13AF =,则DE =______．【答案】4．【解析】【分析】连接BE ，BF ，根据轴对称的性质可得△ABD ≌△ACB ，进而可得DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF ，然后证明Rt △DBE ≌Rt △CBF 可得DE=CF ，然后可得ED 长．【详解】解：连接BE ，BF ，∵△ABD 是△ABC 的轴对称图形，∴△ABD ≌△ACB ，∴DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，∴∠BCF=90°，∵点B 恰好在EF 的垂直平分线上，∴BE=BF ，在Rt △DBE 和Rt △CBF 中BD BC EB FB =⎧⎨=⎩，∴Rt △DBE ≌Rt △CBF （HL ），∴DE=CF ，设DE=x ，则CF=x ，∵AE=5，AF=13，∴AC=AD=5+x ，∴AF=5+2x ，∴5+2x=13，∴x=4，∴DE=4，故答案为：4．【点睛】此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质，关键是掌握成轴对称的两个图形全等．7．已知如图，每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上，123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________【答案】()8,0-【解析】【分析】根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.【详解】解：设到第n 个三角形顶点的个数为y则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,∴OA 19=9-1=8,∴19A 的坐标为()8,0-故答案是()8,0-【点睛】本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A 19所在的三角形是解题关键8．如图，在四边形ABCD 中，∠A +∠C ＝180°，E 、F 分别在BC 、CD 上，且AB ＝BE ，AD ＝DF ，M 为EF 的中点，DM ＝3，BM ＝4，则五边形ABEFD 的面积是_____．【答案】12【解析】【分析】延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．【详解】延长BM至G，使MG＝BM＝4，连接FG、DG，如图所示：∵M为EF中点，∴ME＝MF，在△BME和△GMF中，BM MGBME GMFME MF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BME≌△GMF（SAS），∴FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，S△BEM＝S△GFM，∴FG∥BE，∴∠C＝∠GFC，∵∠A+∠C＝180°，∠DFG+∠GFC＝180°，∴∠A＝∠DFG，∵AB＝BE，∴AB＝FG，在△DAB和△DFG中，AB FGA DFGAD DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAB≌△DFG（SAS），∴DB＝DG，S△DAB＝S△DFG，∵MG＝BM，∴DM⊥BM，∴五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积＝12×BG×DM＝12×8×3＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．9．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．【答案】8【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的性质，可知AD=BD，然后根据△BDC的周长为BC+CD+BD=14，可得AC+BC=14，再由BC=6可得AC=8，即AB=8.故答案为8.点睛：此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，解题时，先利用线段的垂直平分线求出BD=AD，然后根据三角形的周长互相代换，即可其解.10．如图，在△ABC 中，AD 是高，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=4cm，△ABD 的周长为15cm，则△ABC 的周长为______【答案】23cm．【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AC=2AE=8，DA=DC，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AC=2AE=8，DA=DC ，∵△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=15，∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=15+8=23cm ，故答案是：23cm ．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（）．A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB =⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．12．已知点M(2,2)，且2，在坐标轴上求作一点P ，使△OMP 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（） A ．(22,0)B ．(0,4)C ．(4,0)D ．(0,82) 【答案】D【解析】【分析】分类讨论：OM=OP ；MO=MP ；PM=PO ，分别计算出相应的P 点，从而得出答案．【详解】∵M(2,2),且OM=22,且点P 在坐标轴上当22OM OP == 时P 点坐标为：()()22,0,0,22±± ，A 满足；当22MO MP ==时：P 点坐标为：()()4,0,0,4，B 满足；当PM PO =时：P 点坐标为：()()2,0,0,2，C 满足故答案选：D【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．13．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（）A ．7.5°B ．10°C ．15°D ．18°【答案】C【解析】根据等腰三角形性质求出∠C=∠B，根据三角形的外角性质求出∠B=∠C=∠AED+α﹣30°，根据AE=AD ，可得∠AED=∠ADE=∠C+α，得出等式∠AED=∠AED+α﹣30°+α，求出α=15°，即得到∠DEC=α=15°，故选C.点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错．14．如图，60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE ∆是等腰三角形，那么OEC ∠的度数不可能为（）A ．120°B ．75°C ．60°D ．30°【答案】C【解析】【分析】分别以每个点为顶角的顶点，根据等腰三角形的定义确定∠OEC 是度数即可得到答案.【详解】∵60AOB ∠=，OC 平分AOB ∠，∠AOC=30︒，当OC=CE 时，∠OEC=∠AOC=30︒，当OE=CE 时，∠OEC=180OCE COE ∠∠︒--=120︒，当OC=OE 时，∠OEC=12（180COE ∠︒- ）=75︒， ∴∠OEC 的度数不能是60°，故选：C.【点睛】此题考查等腰三角形的定义，角平分线的定义，根据题意正确画出符合题意的图形是解题的关键.15．如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于G ．则下列结论中错误的是( )A ．AD ＝BEB ．BE ⊥ACC ．△CFG 为等边三角形D ．FG ∥BC 【答案】B【解析】试题解析：A.ABC 和CDE △均为等边三角形，60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=︒，，，在ACD 与BCE 中，{AC BCACD BCE CD CF =∠=∠=，ACD BCE ∴≌，AD BE ∴=，正确.B .据已知不能推出F 是AC 中点，即AC 和BF 不垂直，所以AC BE ⊥错误，故本选项符合题意.C.CFG 是等边三角形，理由如下：180606060ACG BCA ∠=︒-︒-︒=︒=∠，ACD BCE ≌，CBE CAD ∴∠=∠，在ACG 和BCF 中，{CAG CBFAC BCBCF ACG ∠=∠=∠=∠，ACG BCF ∴≌，CG CH ∴=，又∵∠ACG=60° CFG ∴是等边三角形，正确.D.CFG 是等边三角形，60CFG ACB ∴∠︒=∠﹦，.FG BC ∴ 正确.故选B.16．如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE 、BD 相交于点 O ，AE 、BD 分别交 CD 、CE 于 M 、N ，连接 MN 、OC ，则下列所给的结论中：①AE ＝BD ；②CM ＝CN ；③MN ∥AB ；④∠AOB ＝120º；⑤OC 平分∠AOB ．其中结论正确的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】由题意易证：△ACE ≅△DCB ，进而可得AE ＝BD ；由△ACE ≅△DCB ，可得∠CAE=∠CDB ，从而△ACM ≅△DCN ，可得：CM ＝CN ；易证△MCN 是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE ，即MN ∥AB ；由∠CAE=∠CDB ，∠AMC=∠DMO ，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB ＝120º；作CG ⊥AE ，CH ⊥BD ，易证CG =CH ，即：OC 平分∠AOB ．【详解】∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AC=DC ，CE=CB ，∠ACE=∠DCB=120°，∴△ACE ≅△DCB(SAS)∴AE ＝BD ，∴①正确；∵△ACE ≅△DCB ，∴∠CAE=∠CDB ，∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC ，在△ACM 和△DCN 中，∵60CAE CDB AC DCACD DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ACM ≅△DCN （ASA ）,∴CM ＝CN ，∴②正确；∵CM ＝CN ，∠DCE=60°，∴△MCN 是等边三角形，∴∠MNC=60°，∴∠MNC=∠BCE ，∴MN ∥AB ，∴③正确；∵△ACE ≅△DCB ，∴∠CAE=∠CDB ，∵∠AMC=∠DMO，∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO，即：∠ACM=∠DOM=60°，∴∠AOB＝120º，∴④正确；作CG⊥AE，CH⊥BD，垂足分别为点G，点H，如图，在△ACG和△DCH中，∵90?AMC DHCCAE CDBAC DC∠=∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACG≅△DCH（AAS），∴CG=CH，∴OC 平分∠AOB，∴⑤正确.故选D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理和性质定理，等边三角形的性质定理以及角平分线性质定理的逆定理，添加合适的辅助线，是解题的关键.17．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E,若△ABC的周长为24，CE＝4，则△ABD的周长为（）A．16 B．18 C．20 D．24【答案】A【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可.【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB=DC ，BC=2CE=8又∵AABC 的周长为24，∴AB+BC+AC=24∴AB+AC=24-BC=24-8=16∴△ABD 的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16，故答案为A【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，理解并应用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.18．如图钢架中，∠A=a ,焊上等长的钢条P 1P 2, P 2P 3, P 3P 4, P 4P 5……来加固钢架.著P 1A= P 1P 2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )A ．15°≤ a <18°B ．15°< a ≤18°C ．18°≤ a <22.5°D ．18° < a ≤ 22.5°【答案】C【解析】【分析】由每根钢管长度相等，可知图中都是等腰三角形，利用等腰三角形底角一定是锐角，可推出取值范围.【详解】∵AB=BC=CD=DE=EF∴∠P 1P 2A=∠A=a由三角形外角性质，可得∠P 2P 1P 3=2∠A=2a同理可得，∠P 1P 3P 2=∠P 2P 1P 3=2a ，∠P 3P 2P 4=∠P 3P 4P 2=∠A+∠P 1P 3P 2=3a ，∠P 4P 3P 5=∠P 4P 5P 3=∠A+∠P 3P 4P 2=4a ，在△P 4P 3P 5中，∠P 3P 4P 5=180°-2∠P 4P 3P 5=180°-8a当∠P 5P 4B ≥90°即∠P 5P 4A ≤90°时，不能再放钢管，∴3180890+-≤a a ，解得a ≥18°又∵等腰三角形底角只能是锐角，∴4a ＜90°，解得a ＜22.5∴1822.5οο≤<a故选C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.19．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．【详解】①在等边△ABC中，AB=BC．∵点P、Q的速度都为1cm/s，∴AP=BQ，∴BP=CQ．只有当CM=CQ时，BP=CM．故①错误；②∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，在△ABQ与△CAP中，∵AB CAABQ CAPAP BQ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABQ≌△CAP（SAS）．故②正确；③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．故③正确；④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=43，当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=83，∴当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形．故④正确．正确的是②③④，故选C．【点睛】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．20．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC．其中正确的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．故本选项正确；②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．故本选项错误；③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．故本选项正确；其中正确的是①③④．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．。

(完整word版)人教版八年级上册数学——全等三角形复习题

全等三角形复习题一、填空题1. 如图（1） , AC , BD 相交于点 0,A AOB ◎△ COD ，/ A= / C , 则其他对应角分别为 ______________________________ ，对应边为DABO 图（1）也 __________ 。

_,底边和腰相等的两个等腰三2. 如图（2） , △ ABC 中，AB=AC , AD 平分/ BAC ，贝U 3 .斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是角形全等的根据是 __________ 。

4.已知△ ABC ◎△ DEF , △ DEF 的周长为 32 cm , DE=9 cm , EF=12 cm 贝U AB= BC= ____________ , AC=o图（4）5. 6. 7. 8.或“〉”9. 公理是图（2）图（3）如图（3） , AC=BD ，要使△ ABCDCB 还需知道的一个条件是 ______ _______________ 如图（4）,若/ 1 = / 2,Z C= / D ，则△ ADB 也 _____________ ，理由 ________________ 如图（5） , / C= / E ,Z 1 = / 2, AC=AE ，则△ ABD 按边分是 _____________ 三角形。

女口图（6） , AB=AC , BD 丄 AC 于 D , CE 丄AB 于 E ,交 BD 于 P ,贝U PD _____ P E （填“ <” 或“=”）. 如图（7） , △ ABC 中，AB=AC ,现想利用证三角形全等证明/ B=Z C , SSS 公理, 则图中所添加的辅助线应是若证三角形全等所用的图（6）10 .一个三角形的三边为 x+y=.11 .如图（8） , AD=AE , 则需增加的条件是 ___________图（7）X ,另一个三角形的三边为若这两个三角形全等,y 、2、6, 若厶 AEC ^A ADB , 12 .如图（9）,在厶 ABC 中，/ C=90° , AD 平分/ BAC , BC=10 cm , 距离为O。

(完整word版)八年级全等三角形证明经典50题(含答案).doc

1.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求ADA 解：延长AD 至IJE,使AD=DE・・・D 是BC 中点BD=DC在厶ACD 和厶BDE 中AD=DEZBDE= ZADC BD=DCAA ACD A BDE•*. AC=BE=2・・•在△ ABE 中AB-BE < AE<AB+BE・・・AB=4即 4・2 <2AD < 4+21 < AD < 3・・・AD=2延长CD 与P,使D 为CP 中点。

连接VDP=DC,DA=DBA AC BP 为平行四边形又 Z ACB=90・・・平行四边形ACBP 为矩形AAB=CP=1/2AB 2.已知：D 是AB 中点，Z ACB=90 0,求证：CD [AB 2AAP,BP3.已知：BC=DE , Z B= ZE, Z C= ZD , F 是CD 中点，求证：Z 1= Z2证明：连接BF和EF・・・ BC=ED,CF=DF, Z BCF= Z EDF・・・三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）・・・ BF=EF, ZCBF=Z DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF/. Z EBF=Z BEFo・・・ Z ABC= Z AED o・・・ Z ABE= Z AEBo/. AB=AE o在三角形ABF和三角形AEF屮AB=AE,BF=EF,ZABF= Z ABE+ Z EBF= ZAEB+ Z BEF= Z AEF・・・三角形ABF和三角形AEF全等。

・・・ Z BAF= Z EAF（Z 1= Z 2）o4. 己知：Z 1= Z 2 , CD=DE , EF//AB ,求证：EF=AC过C作CG〃EF交AD的延长线于点GCG// EF,可得，Z EFD= CGDDE= DCZFDE= Z GDC （对顶角）AA EFD^A CGDEF= CGZCGD = Z EFD又，EF// AB・・・，Z EFD= Z 1Z1= Z 2・・・Z CGD= Z 2・・・△ AGC为等腰三角形,AC= CG又EF=CG・・・EF= AC5.已知：AD 平分Z BAC, AC=AB+BD ,求证：Z B=2 Z C证明：延长AB取点E,使AE=AC,连接DEVAD 平分Z BACAZ EAD=Z CAD・・・AE=AC, AD = ADA A AED^A ACD ( SAS)AZ E=Z CVAC = AB+BD・・・AE= AB+BD・・・AE= AB+BEABD = BE・・・Z BDE=Z EVZ ABC=Z E+ Z BDEAZ ABC = 2 ZEAZ ABC = 2 ZC6.己知：AC 平分Z BAD , CE丄AB , Z B+ Z D=180 ° ,求证：AE=AD+BE・・・CE丄AB ・・・Z CEB=Z CEF= 90° ・・・EB=EF, CE = CE, AACEB^ACEF ・・・Z B=Z CFEVZ B+Z D= 180 ° , ZCFE+Z CFA= 180 0AZ D = Z CFAVAC 平分Z BAD・・・Z DAC = Z FACVAC = AC・・・△ ADC 竺△ AFC ( SAS)/.AD = AF ・・・AE= AF+ FE= AD + BE解：延长AD至IJE,使AD=DE・・・D是BC中点・・・BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DEZBDE= Z ADCBD=DC7.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC屮点, AD是整数，求ADA 证明:在AE上取F,使EF= EB,连接CFAAACD^ABDE•*. AC=BE=2・・•在△ ABE中AB-BE < AE<AB+BE・・・AB=4即4・2 < 2AD < 4+21 < AD < 3・・・AD=218.已知：D 是AB 中点，Z ACB=90 0,求证：CD -AB2解：延长AD到E,使AD=DE・・・D是BC屮点・・・BD=DC在厶ACD和厶BDE中AD=DEZBDE= Z ADCBD=DCAA ACD A BDE•*. AC=BE=2•・•在A ABE中9.已知：BC=DE , Z B= ZE, Z C= ZD , F 是CD 中点，求证：Z 1= Z2A证明：连接BF和EF。

八年级全等三角形专题练习(word版

八年级全等三角形专题练习（word版一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______【答案】110°、125°、140°【解析】【分析】先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.【详解】解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°；所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，故答案为：110°、125°、140°.【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.2．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，12），且△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____．【答案】-83．【解析】【分析】先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝132，故可得出a的值．【详解】∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2，∴223+213AB＝＝，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴1113•1313222 ABCS AB AC⨯⨯＝＝＝，作PE⊥x轴于E，连接OP，此时BE＝2﹣a，∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，∴111•••222 ABP POA AOB BOPS S S S OA OE OB OA OB PE ++＝﹣＝﹣，111113332222222a⨯⨯+⨯⨯⨯⨯＝（﹣）﹣＝，解得a＝﹣83．故答案为﹣83．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S△ABP=S△POA+S△AOB-S△BOP列出关于a的方程．3．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC ，OD ，∵点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，∴OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，∵OP=5cm ，∴12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，∵△PEF 的周长是5cm ，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm ，∴CD=OD=OD=5cm ，∴△OCD 是等边三角形，∴∠COD=60°， ∴11122230AOB AOP BOP COP DOP COD ，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．4．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=︒时，11n n n A A B --∠=__________．【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．【详解】解：∵在1ABA ∆中，70A ∠=︒，1AB A B =∴170BA A A ∠==︒∠∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ∆的外角 ∴12111211703522B A A A B A BA A ︒∠=∠===︒∠ 同理可得，2321217017.542B A A BA A ︒∠===︒∠，343131708.7582B A A BA A ︒∠===︒∠ ∴111702n n n n A A B ---︒∠=．故答案为：1702n -︒ 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键．5．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．【答案】22【解析】【分析】等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；【详解】解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，∴腰的不应为4，而应为9，∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.故答案为22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.6．已知如图，每个小正方形的边长都是1231,,, ....A A A 都在格点上，123345567,, ....A A A A A A A A A 都是斜边在x 轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三角形.若123A A A △的三个顶点坐标为()()()1232,0,1,1,0,0A A A -,则依图中规律,则19A 的坐标为 ___________【答案】()8,0-【解析】【分析】根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A 19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA 19,写出坐标即可.【详解】解：设到第n 个三角形顶点的个数为y则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,∴A 19是第9个三角形的最后一个顶点,∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,由图可知,第奇数个三角形在x 轴下方,关于直线x=1对称,∴OA 19=9-1=8,∴19A 的坐标为()8,0-故答案是()8,0-【点睛】本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A 19所在的三角形是解题关键7．如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AD 是 BC 边上的高，E 是 AD 上的一点。

八年级上册数学全等三角形(篇)(Word版含解析)

八年级上册数学全等三角形（篇）（Word版含解析）一S八年级数学轴对称三角形填空题（难）1.如图，在AABC 中，AB=10. ZB二60。

，点D、E 分别在AB、BC 上，且BD=BE=4,将△BDE沿DE所在直线折叠得到ZkB' DE （点B'在四边形ADEC内），连接AB',则AB'的【答案】2Λ∕7・【解析】【分析】【详解】过点D作DF丄HE于点F,过点B'作B'G丄AD于点G,T Z B二60°, BE=BD=4,.∙. △ BDE是等边三角形，•・・△ B Z DE^ △ BDE,.∙. B'F=丄B'E=BE=2, DF=2√3,2・•・ GD=B r F=2,・•・ B z G=DF=2 √3 ,•・• AB=10>・•・ AG=IO - 6=4.・•・AB,=2 √7・考点：1轴对称：2等边三角形.2. 如图，在Z ∖Λ0B4］中，ZB = 20o, A t β = A i B ,在AB 上取点C,延长A 人到舛，使得A l A 2=A l C i 在A 2C ±取一点£>,延长儿心到九，使得A 2A 5=A 2D x ...,按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角Z 人的度数为 ____________________ ・【答案】(-Γ,∙80∖ 2【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出ZBA I AO 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出ZCA 2A 1, ZDA 3A 2及ZEAA 的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角ZAn 的度数.【详解】解：•••在厶AOBAI 中，ZB=20% A 0B=AiB,∙.∙ AiA 2=AiC, ZBAI AO 是 MZC 的外角,同理可得，ZDA 3A 2=20∖ ZEA 4A 3=10∖・•・第n 个等腰三角形的底角ZAn= (I)K -I ∙80β. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得岀ZCA 2A 1, ZDA 3A 2及 ZEAaA 3的度数，找出规律是解答此题的关键.3. 如图，在ΔABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AD t 一点，BE = AC.若ZC = 70。

八年级数学全等三角形专题练习(word版

八年级数学全等三角形专题练习（word 版一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在四边形ABCD 中，BC CD = ，对角线BD 平分ADC ∠，连接AC ，2ACB DBC ∠=∠，若4AB =，10BD =，则ABC S =_________________．【答案】10【解析】【分析】由等腰三角形的性质和角平分线的性质可推出AD ∥BC ，然后根据平行线的性质和已知条件可推出CA=CD ，可得CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，根据等腰三角形的性质和已知条件可得DE 的长和BCF CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明△BCF ≌△CDE ，可得CF=DE ，再根据三角形的面积公式计算即得结果．【详解】解：∵BC CD =，∴∠CBD =∠CDB ，∵BD 平分ADC ∠，∴∠ADB =∠CDB ，∴∠CBD =∠ADB ，∴AD ∥BC ，∴∠CAD =∠ACB ，∵2ACB DBC ∠=∠，2ADC BDC ∠=∠，∠CBD =∠CDB ，∴ACB ADC ∠=∠，∴CAD ADC ∠=∠，∴CA=CD ，∴CB=CA=CD ，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，如图，则152DE BD ==，12BCF ACB ∠=∠， ∵12BDC ADC ∠=∠，ACB ADC ∠=∠，∴BCF CDE ∠=∠，在△BCF 和△CDE 中，∵BCF CDE ∠=∠，∠BFC =∠CED =90°，CB=CD ，∴△BCF ≌△CDE （AAS ），∴CF=DE =5，∴11451022ABC S AB CF =⋅=⨯⨯=．故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、角平分线的定义以及全等三角形的判定和性质等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．2．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在ABC ∆中，25,105A ABC ∠=︒∠=︒，过B 作一直线交AC 于D ，若BD 把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______．（2）已知在ABC ∆中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ∆分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________．【答案】130︒ 1807︒⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得：DA=DB ，结合25A ∠=︒，即可得到答案；（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD ，CD=AD ，②当AD=BD ，AC=CD ，③AB=AC ，当AD=BD=BC ，④当AD=BD ，CD=BC ，分别求出A ∠的度数，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：当DA=BA ，BD=BA 时，不符合题意，当DA=DB 时，则∠ABD=∠A=25°，∴∠BDA=180°-25°×2=130°．故答案为：130°；（2）①如图1，∵AB=AC ，当BD=AD ，CD=AD ，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD ，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，∴∠BAC=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．③如图3，∵AB=AC，当AD=BD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=3∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°，∴∠BAC=180 ()7︒．综上所述，∠A的最小度数为：180 ()7︒．故答案是：180 ()7︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．3．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．【答案】①②③【解析】【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误．【详解】解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB ，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC ，∴BD=DC ，在△BDF 和△CDA 中，∠BDF=∠CDA ，∠A=∠DFB ，BD=CD ，∴△BDF ≌△CDA （AAS ），∴BF=AC ，故①正确．∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC，∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，∴∠ABE=∠CBE=22.5°，∵∠BDF=∠BHG=90°，∴∠BGH=∠BFD=67.5°，∴∠DGF=∠DFG=67.5°，∴DG=DF，故③正确．作GM⊥AB于M．如图所示：∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC，∴GH=GM＜DG，∴S△DGB＞S△GHB，∵S△ABE=S△BCE，∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误，故答案为：①②③．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．4．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明CAI≅BAJ ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF 的长.【详解】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J在CAE和BAD中AC ABCAE BADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE≅BAD∴ICA ABJ∠=∠∴BFE CAB∠=∠（8字形）∴°120CFD∠=在CAI和BAJ中°90ICA ABJCAI BJACA BA∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI≅BAJ,AI AJ CI BJ==∴°60CFA AFJ∠=∠=∴°30FAI FAE∠=∠=在RtAIF和RtAJF中°30FAI FAE∠=∠=∴12IF FJ AF==设FJ x =7,4CF BF ==则47x x +=- 32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.5．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC ，OD ，∵点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，∴OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，∵OP=5cm ，∴12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，∵△PEF 的周长是5cm ，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm ，∴CD=OD=OD=5cm ，∴△OCD 是等边三角形， ∴∠COD=60°，∴11122230AOB AOP BOP COP DOP COD ，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．6．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE，由线段AB，DE的垂直平分线交于点C，得CA=CB，CE=CD，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD，易证∆ACE≅∆BCD，设∠AEC=∠BDC=x，得则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，BDE中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE，∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，∴CA=CB，CE=CD，∵72ABC EDC∠=∠=︒=∠DEC，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD，在∆ACE与∆BCD中，∵CA CBACE BCDCE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE≅∆BCD（SAS），∴∠AEC=∠BDC，设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°-x，∠CEB=92°-x，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，若∠BAC=126°，则∠EAD=_____°.【答案】72°【解析】【分析】根据AB 的中垂线可得BAD ∠，再根据AC 的中垂线可得EAC ∠，再结合∠BAC=126°即可计算出∠EAD .【详解】根据AB 的中垂线可得BAD ∠=B根据AC 的中垂线可得EAC ∠=C ∠18012654B C ︒︒︒∠+∠=-=又 126BAD DAE EAC BAC ︒∠+∠+∠=∠=+C+126B DAE ︒∴∠∠∠=72DAE ︒∴∠=【点睛】本题主要考查中垂线的性质，重点在于等量替换表示角度.8．如图，已知AB AC =，AD 平分BAC ∠，60DEB EBC ∠=∠=︒，若3BE =，3DE =，则BC =____________．【答案】33+【解析】【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F.由已知条件推出△BEM 是等边三角形，△FDE 是等边三角形，在△DNM 中求出NM 的长度，即可求出BC 的长度.【详解】如图，延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，作DF ∥BC 于点F ，∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵60DEB EBC ∠=∠=︒，∴△BEM 是等边三角形，∴△FDE 是等边三角形，∵3BE =，3DE =，∴33DM =-，∵△BEM 是等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴13322NM DM -==， ∴33333BN BM NM -+=-=-=， ∴233BC BN ==+.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.9．如图，∠AOB ＝45°，点M 、点C 在射线OA 上，点P 、点D 在射线OB 上，且OD ＝32，则CP +PM +DM 的最小值是_____．34【解析】【分析】如图，作点C 关于OB 的对称点C ′，作点D 关于OA 的对称点D ′，连接OC ′，PC ′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论．【详解】解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝32，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，则C′T＝OT＝2，∴D′T＝42，∴C′D′＝34，∴CP+PM+DM的最小值是34．故答案为：34．【点睛】本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键.10．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO时，210t t-=解得10t=故答案为：103或10【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】由等边三角形的性质可得BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，利用SAS可证明△ABD≌△ACD，从而可判断①正确；利用ASA可证明△ADE≌△ADF，从而可判断③正确；在Rt△ADE与Rt△ADF中，∠EAD=∠FAD=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得2DE=2DF=AD，从而可判断②正确；同理可得2BE=2CF=BD，继而可得4BE=4CF=AB，从而可判断④正确，由此即可得答案.【详解】∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，∴BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，在△ABD与△ACD中90AD ADADB ADCDB DC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACD，故①正确；在△ADE与△ADF中60EAD FADAD ADEDA FDA∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ADE≌△ADF，故③正确；∵在Rt△ADE与Rt△ADF中，∠EAD=∠FAD=30°，∴2DE=2DF=AD，故②正确；同理2BE=2CF=BD，∵AB=2BD，∴4BE=4CF=AB，故④正确，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.12．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】以O点为圆心，OA为半径作圆与x轴有两交点，这两点显然符合题意．以A点为圆心，OA为半径作圆与x轴交与两点（O点除外）．以OA中点为圆心OA长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，13．平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，2）若在坐标轴上取C点，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】【分析】【详解】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点B，C1，C2，C5，得到以A为顶点的等腰△ABC1，△ABC2，△ABC5；②以B为圆心，AB为半径画圆，交坐标轴于点A，C3，C6，C7，得到以B为顶点的等腰△BAC3，△BAC6，△BAC7；③作AB的垂直平分线，交x轴于点C4，得到以C为顶点的等腰△C4AB∴符合条件的点C共7个故选C14．如图，△ABC的周长为32，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA＝BE，CA＝CD，由△ABC的周长为32以及BC＝12，可得DE＝8，利用中位线定理可求出PQ．【详解】∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ＝∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，∴∠BAQ＝∠BEQ，∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，∴PQ＝12DE＝4．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．15．如图，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA＝CB, CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝α,AD,BE相交于点O，点M,N分别是线段AD,BE的中点，以下4个结论:①AD＝BE;②∠DOB＝180°－α;③△CMN是等边三角形；④连OC,则OC平分∠AOE.正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得到AD=BE；故①正确；②设CD与BE交于F，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC，得到∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC根据线段的中点的定义得到AM=BN，根据全等三角形的性质得到CM=CN，∠ACM=∠BCN，得到∠MCN=α，推出△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，根据全等三角形的性质得到CH=CG，根据角平分线的判定定理即可得到OC平分∠AOE，故④正确．【详解】解：①∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中AC BCACD BCECD CE⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；故①正确；②设CD与BE交于F，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵∠CFE=∠DFO，∴∠DOE=∠DCE=α，∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；③∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=12AD，BN=12BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中AC BCCAM CBNAM BN⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝∴△ACM≌△BCN（SAS），∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=α，∴∠ACM+∠MCB=α，∴∠BCN+∠MCB=α，∴∠MCN=α，∴△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH，CE=CD，∴△CGE≌△CHD（AAS），∴CH=CG，∴OC平分∠AOE，故④正确，故选：B．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．16．如图，已知等边△ABC的边长为4，面积为43，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（）A．3 B．42C．23D．43【答案】C【解析】【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，∴BD⊥AC，EC＝2，连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，∴PE+PC的最小值是22-=．4223AC E C-＝22故选C．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．17．如图，已知△ABC与△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD 交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．其中正确结论的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，即可得出正确选项．【详解】（1）△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD=120°．在△BCD和△ACE中，∵AC BCBCD ACECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，故结论①正确；（2）∵△BCD≌△ECA，∴∠GAC=∠FBC．又∵∠ACG=∠BCF=60°，AC=BC，∴△ACG≌△BCF，∴AG=BF，故结论②正确；（3）∵△ACG≌△BCF，∴CG=CF．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°，∴△FCG为等边三角形，∴∠FGC=60°，∴∠FGC=∠DCE，∴FG∥BE，故结论③正确；（4）过C作CN⊥AE于N，CZ⊥BD于Z，则∠CNE=∠CZD=90°．∵△ACE≌△BCD，∴∠CDZ=∠CEN．在△CDZ和△CEN中，CZD CNECDZ CENCD CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDZ≌△CEN，∴CZ=CN．∵CN⊥AE，CZ⊥BD，∴∠BOC=∠EOC，故结论④正确．综上所述：四个结论均正确．故选D．【点睛】本题综合考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等重要几何知识点，有一定难度，需要学生将相关知识点融会贯通，综合运用．18．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．有下列结论：①∠C=2∠A；②BD平分∠ABC；③S△BCD=S△BOD．其中正确的选项是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②【答案】D【解析】①、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，∴∠C=2∠A，正确；②、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD．∴∠A=∠ABD=36°．∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD．∴BD是∠ABC的角平分线，正确；③，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误；故选：D.19．如图，已知长方形ABCD，AB＝1，BC＝2，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为( )A．1 B．3C．3D．3【答案】B【解析】【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，推出AM=MM’可得MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，共线时最短；由于点E 也为动点，可得当D’E⊥BC时最短，此时易求得D’E=DG+GE的值.【详解】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM’D’，MD=M’D’，易得到△ADD’和△AMM’均为等边三角形，∴AM=MM’，∴MA+MD+ME=D’M+MM’+ME，∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点，∴当D’E⊥BC时最短，此时易求得3∴MA+MD+ME的最小值为3故选B ．【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．20．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（）．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．详解：∵60BAC ∠=︒，∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴12EBC ABC ∠=∠，12ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022EBC ECB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故①正确．如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，∴AD 为BAC ∠的平分线，∴DF DG =，∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，又∵120BDC ∠=︒，∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．∴BDF CDG ∠=∠，∵在BDF 和CDG △中，90BFD CGD DF DGBDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDF ≌()CDG ASA ，∴DB CD =，∴1(180120)302DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，∴ABE CBE ∠=∠，1302BAE BAC ∠=∠=︒，根据三角形的外角性质，30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，∴DEB DBE ∠=∠，∴DB DE =，故②正确．∵DB DE DC ==，∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，综上所述，正确结论有①②③，故选：D ．点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．。

八年级全等三角形专题练习(word版

13．如图所示，等边三角形的边长依次为2，4，6，8，……，其中，，，，，……，按此规律排下去，则的坐标为（）
【答案】60°
【解析】
【分析】
此题需分三步：第一步是作出△CEF的周长最小时E、F的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF的值.
【详解】
分别作出C关于AD、AB的对称点分别为C1、C2，连接C1C2，分别交AD，AB于点E、F再连接CE、CF此时△CEF的周长最小，理由如下：
6．已知如图，每个小正方形的边长都是都在格点上，都是斜边在轴上，且斜边长分别为 .的等腰直角三角形.若的三个顶点坐标为 ,则依图中规律,则的坐标为___________
【答案】
【解析】
【分析】
根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA19,写出坐标即可.
【详解】
如图1，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OB=4，
又∵∠AOC=∠BOM=60°，
∴△BOM是等边三角形，
∴BM=BO=4，
∴Rt△ABM中，AM= = ；
如图2，当∠AMB=90°时，
∵O是AB的中点，AB=8，
∴OM=OA=4，
又∵∠AOC=60°，
∴△AOM是等边三角形，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据周角的定义先求出∠BPC的度数，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，∠PBC即可求出；根据题意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD是轴对称图形，进而可得②③④正确．

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八年级上册全等三角形专题练习（word版一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．【答案】4【解析】【分析】由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.【详解】（1）当点P在x轴正半轴上，①如图，以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP＝45°，OA＝22，当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，当∠OAP为顶角时，AO=AP，∴OPA=∠AOP=45°，∴∠OAP=90°，∴OP=2OA=4，∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，∵AP=OP，∴∠OAP=∠AOP=45°，∴∠OPA=90°，∴OP=2， ∴P 点坐标为（2，0）.（2）当点P 在x 轴负半轴上，③以OA 为腰时，∵A 的坐标是（2，2），∴OA ＝22，∴OA ＝OP ＝22，∴P 的坐标是（﹣22，0）．综上所述：P 的坐标是（2，0）或（4，0）或（22，0）或（﹣22，0）．故答案为：4．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．2．如图，在01A BA △中，20B ∠=︒，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．【答案】11()802n -︒⋅.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数．【详解】解：∵在△A 0BA 1中，∠B=20°，A 0B=A 1B ，∴∠BA 1 A 0= 1801802022B ︒︒︒-∠-= =80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角，∴∠CA 2A 1= 108022BA A ︒∠= =40°；同理可得，∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴第n 个等腰三角形的底角∠A n = 11()802n -︒⋅.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．3．如图，△ABC 是等边三角形，高AD 、BE 相交于点H ，BC=43，在BE 上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF ，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的面积为_____．53 【解析】试题分析：如图所示，由△ABC 是等边三角形，BC=433，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4．由GE 为边作等边三角形GEF ，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE 是等边三角形；S △ABC =12AC•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN =223314231442⨯-⨯-⨯⨯=53，故答案为53．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内的两点，AE 平分∠BAC ，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm ，DE=3cm ，则BC 的长是 ______cm ．【答案】8．【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM 为等边三角形，△EFD 为等边三角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE 交BC 于M ，延长AE 交BC 于N ，作EF ∥BC 于F ，∵AB=AC ，AE 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BD=5，DE=3，∴EM=2，∵△BDM 为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=1，∴BN=4，∴BC=2BN=8（cm），故答案为8．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．5．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△A n B n A n+1的边长为_____．【答案】2n．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∵OA2＝4，∴OA1＝A1B1＝2，∴A2B1＝2，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴A 2B 2＝2B 1A 2，B 3A 3＝2B 2A 3， ∴A 3B 3＝4B 1A 2＝8，A 4B 4＝8B 1A 2＝16，A 5B 5＝16B 1A 2＝32，以此类推△A n B n A n +1的边长为 2n ．故答案为：2n ．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA 5=2OA 4=4OA 3=8OA 2=16OA 1是解题的关键．6．如图,在ABC 中, 90,ACB ABD ︒∠=是ABC 的轴对称图形,点E 在AD 上,点F 在AC 的延长线上.若点B 恰好在EF 的垂直平分线上,并且5AE =,13AF =,则DE =______．【答案】4．【解析】【分析】连接BE ，BF ，根据轴对称的性质可得△ABD ≌△ACB ，进而可得DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，再利用线段垂直平分线的性质可得BE=BF ，然后证明Rt △DBE ≌Rt △CBF 可得DE=CF ，然后可得ED 长．【详解】解：连接BE ，BF ，∵△ABD 是△ABC 的轴对称图形，∴△ABD ≌△ACB ，∴DB=CB ，AD=AC ，∠D=∠BCA=90°，∴∠BCF=90°，∵点B 恰好在EF 的垂直平分线上，∴BE=BF ，在Rt △DBE 和Rt △CBF 中BD BC EB FB =⎧⎨=⎩，∴Rt △DBE ≌Rt △CBF （HL ），∴DE=CF ，设DE=x ，则CF=x ，∵AE=5，AF=13，∴AC=AD=5+x ，∴AF=5+2x ，∴5+2x=13，∴x=4，∴DE=4，故答案为：4．【点睛】此题主要考查了轴对称和线段垂直平分线的性质，关键是掌握成轴对称的两个图形全等．7．在△ABC 中，∠ACB ＝90º，D 、E 分别在 AC 、AB 边上，把△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE ，点 F 恰好落在 BC 边上，若△CFD 与△BFE 都是等腰三角形，则∠BAC 的度数为_________．【答案】45°或60°【解析】【分析】根据题意画出图形，设∠BAC 的度数为x ，则∠B=90°-x ，∠EFB =135°-x ，∠BEF=2x-45°，当△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论，即可求解.【详解】∵∠ACB ＝90º，△CFD 是等腰三角形，∴∠CDF=∠CFD=45°，设∠BAC 的度数为x ，∴∠B=90°-x ，∵△ADE 沿 DE 翻折得到△FDE ，点 F 恰好落在 BC 边上，∴∠DFE=∠BAC=x ，∴∠EFB=180°-45°-x=135°-x ，∵∠ADE=∠FDE ，∴∠ADE=（180°-45°）÷2=67.5°，∴∠AED=180°-∠ADE-∠BAC=180°-67.5° -x=112.5°-x ，∴∠DEF=∠AED=112.5°-x ，∴∠BEF=180°-∠AED-∠DEF=180°-（112.5°-x ）-（112.5°-x ）=2x-45°，∵△BFE 都是等腰三角形，分三种情况讨论：①当FE=FB 时，如图1，则∠BEF=∠B，∴90-x=2x-45，解得：x=45；②当BF=BE时，则∠EFB=∠BEF，∴135-x=2x-45，解得：x=60，③当EB=EF时，如图2，则∠B=∠EFB，∴135-x=90-x，无解，∴这种情况不存在.综上所述：∠BAC 的度数为：45°或60°.故答案是：45°或60°.图1 图2【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理，用代数式表示角度，并进行分类讨论，是解题的关键.8．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，作DF ∥BC ，∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BE=6cm ，DE=2cm ，∴DM=4，∵△BEM 为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=36°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=8．9．如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若8AC =，5BC =，则BD 的长为_______.【答案】1.5【解析】【分析】延长BD 交AC 边于点E ，根据BD⊥CD,CD 平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的长，再根据A ABD∠=∠，求出BE 的长即可求得BD.【详解】延长BD交AC于点E，∵BD⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=900，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD又∵CD=CD∴△BCD≌△ECD∴BD=ED,CE=BC=5，∴AE=AC-CE=8-5=3，∵A ABD∠=∠,∴BE=AE=3，∴BD=1.5【点睛】此题考察等腰三角形的性质，延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为_________【答案】8 5【解析】【分析】首先根据折叠可得CD=AC=6，B′C=BC=8，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B′FD=90°，CE=EF=4.8，由勾股定理求出AE，得出BF 的长，即B′F的长．【详解】解：根据折叠的性质可知：DE=AE，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B′CF，CE⊥AB，B′F=BF，∴B′D=8-6=2，∠DCE+∠B′CF=∠ACE+∠BCF ，∵∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B′FC=135°，∴∠B′FE=90°，∵S △ABC =12AC•BC=12AB•CE ， ∴AC•BC=AB•CE ， ∵根据勾股定理得：22226810ABAC BC ∴ 4.8AC BC CE AB⋅== ∴EF=4.8，22 3.6AE AC EC =-=∴B′F=BF=AB -AE-EF=10-3.6-4.8=1.6=85，故答案是：85.【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CE 、AE 是解决问题的关键．二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，平面直角坐标系中存在点A （3，2），点B （1,0），以线段AB 为边作等腰三角形ABP ，使得点P 在坐标轴上.则这样的P 点有（）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题，由题意知A 、B 是定点，P 是动点，所以要分情况讨论：以AP 、AB 为腰、以AP 、BP 为腰或以BP 、AB 为腰．则满足条件的点P 可求．【详解】由题意可知：以AP 、AB 为腰的三角形有3个；以AP 、BP 为腰的三角形有2个；以BP 、AB 为腰的三角形有2个．所以，这样的点P 共有7个.故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．12．如图，30MON ∠=︒．点1A ，2A ，3A ，⋯，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋯，在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，⋯均为等边三角形，若11OA =，则201920192020A B A ∆的边长为（）A ．20172B ．20182C ．20192D ．20202【答案】B【解析】【分析】根据等边三角形的性质和30MON ∠=︒，可求得1130∠=︒OB A ，进而证得11OA B ∆是等腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得规律333、、=⋅⋅⋅=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果．【详解】解：∵30MON ∠=︒，112A B A ∆是等边三角形，∴11260∠=︒B A A ，1112A B A A =∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ∆是等腰三角形，∴111=A B OA ，∵11OA =，∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA =2，同理得23342==A B 、34482==A B ，根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ∆的边长为20182，故选：B ．【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．13．在平面直角坐标系中，等腰△ABC 的顶点A 、B 的坐标分别为(1，0)、(2，3)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C 有( )个.A ．9B ．7C ．8D ．6【答案】C【解析】【分析】要使△ABC 是等腰三角形，可分三种情况（①若CA =CB ，②若BC =BA ，③若AC =AB ）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】①若CA =CB ，则点C 在AB 的垂直平分线上．∵A （1，0），B （2，3），∴AB 的垂直平分线与坐标轴有2个交点C 1，C 2．②若BC =BA ，则以点B 为圆心，BA 为半径画圆，与坐标轴有3个交点（A 点除外）C 3，C 4，C 5；③若AC =AB ，则以点A 为圆心，AB 为半径画圆，与坐标轴有4个交点C 6，C 7，C 8，C 9．而C 8（0，-3）与A 、B 在同一直线上，不能构成三角形，故此时满足条件的点有3个．综上所述：符合条件的点C 的个数有8个．故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解答本题的关键．14．如图，已知正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（）A．（-2012，2）B．（-2012，-2）C．（-2013，-2）D．（-2013，2）【答案】A【解析】试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．试题解析：∵正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）．∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．故选A．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．坐标与图形变化-平移．15．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；【详解】①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，故①正确；由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°∴△CQB≌△CPA（ASA），∴AP＝BQ，故②正确；∵△CQB≌△CPA，∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°∴△PCQ为等边三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，故③正确，∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，∴PD≠CD，∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，∴∠AOE＝120°，故⑤正确，故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．16．如图, 在△DAE中, ∠DAE＝40°, B、C两点在直线DE上，且∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，则∠BAC的大小是（）A．100°B．90°C．80°D．120°【答案】A【解析】【分析】由已知条件，利用了中垂线的性质得到线段相等及角相等，再结合三角形内角和定理求解.【详解】解：如图，∵BG是AE的中垂线，CF是AD的中垂线，∴AB=BE，ACECD∴∠AED=∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CDA=∠CAD=∠DAE+∠CAE，∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°∴∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE+∠DAE=3∠DAE+∠BAD+∠EAC=120°+∠BAD+∠EAC=180°∴∠BAD+∠EAC=60°∴.∠BAC=∠BAD+∠EAC+∠DAE=60°+40°=100°；故选：A【点睛】本题考查了中垂线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的判定与性质；找着各角的关系利用内角和列式求解是正确解答本题的关键.17．如图，ABC △，AB AC =，56BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与O 点恰好重合，则∠OEC 的度数为（）A ．132︒B ．130︒C ．112︒D ．110︒【答案】C【解析】【分析】连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出∠BAO ，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB ，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO ，再求出∠OBC ，然后判断出点O 是△ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC ，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC ，根据翻折的性质可得OE=CE ，然后根据等边对等角求出∠COE ，再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.【详解】如图，连接OB 、OC ，∵56BAC ︒∠=，AO 为BAC ∠的平分线∴11562822BAO BAC ︒︒∠=∠=⨯= 又∵AB AC =，∴()()11180180566222ABC BAC ︒︒︒︒∠=-∠=-= ∵DO 是AB 的垂直平分线， ∴OA OB =．∴28ABO BAO ︒∠=∠=，∴622834OBC ABC ABO ︒︒︒∠=∠-∠=-=∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线∴点О是ABC △的外心，∴OB OC =，∴34OCB OBC ︒∠=∠=，∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合∴OE CE =，∴34COE OCB ︒∠=∠=，在OCE △中，1801803434112OEC COE OCB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，做辅助线构造出等腰三角形是解决本题的关键.18．如图所示，在四边ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，若在BC 和CD 上分别找一点M ，使得△AMN 的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM 的度数为（）A ．110°B ．120°C ．140°D ．150°【答案】B【解析】【分析】根据要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【详解】作A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M ，交CD 于N ，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．∵∠DAB=120°，∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，故选B．【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用，根据轴对称的性质，得出M，N的位置是解题的关键．19．等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是（）A．70°，70°B．40°，100°C．70°，40°D．70°，70°或40°，100°【答案】D【解析】分析：由等腰三角形的一个角是40度，可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解，小心别漏解．详解：若40°的角是顶角，则底角为：（180°﹣40°）=70°，∴此时另外两个角的度数是70°，70°；若40°的角是底角，则另一底角为40°，∴顶角为：180°﹣40°﹣40°=100°，∴此时另外两个角的度数是100°，40°．∴另外两个角的度数是：70°、70°或40°、100°．故选：D．点睛：此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是注意分类讨论思想的应用，注意别漏解．20．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB，点P是x轴上的一个动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，对应的点P的坐标和△ABP的最小周长分别为( )A．(1，0)，224 B．(3，0)，224 C．(2,0), 25D．(2,0),252【答案】D【解析】作A关于x轴的对称点N（1，-2），连接BN与x轴的交点即为点P的位置，此时△ABP的周长最小.设直线BN 的解析式为y kx b =+，∵N (1，-2)，B (3，2)，∴232k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得24k b =⎧⎨=-⎩， ∴24y x =-，当0y =时，240x -=，解得，2x =，∴点P 的坐标为（2，0）；∵A (1，2)，B (3，2)，∴AB //x 轴，∵AN ⊥x 轴，∴AB ⊥x 轴，在Rt △ABC 中，AB ＝2，AN ＝4，由勾股定理得，BN 22222425AB AN +=+=∵AP =NP , ∴△ABP 的周长最小值为：AB +BP +AP =AB +BP +PN =AB +BN 5 故选D.点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P 的位置是解题的关键.。

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