质点运动学习题详解
大学物理二习题答案与详解第01章 质点运动学习题详解.
习题一一、选择题1． 质点沿轨道AB 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C[ ]错误!(A) (B) (C) (D) 答案：C解：加速度方向只能在运动轨迹内侧，只有[B]、[C]符合；又由于是减速运动，所以加速度的切向分量与速度方向相反，故选（C ）。
2． 一质点沿x 轴运动的规律是245x t t =-+（SI 制）。
则前三秒内它的 [ ] （A ）位移和路程都是3m ；（B ）位移和路程都是-3m ； （C ）位移是-3m ，路程是3m ； （D ）位移是-3m ，路程是5m 。
答案：D 解：3253t t x xx==∆=-=-=-24dx t dt =-，令0dxdt=，得2t =。
即2t =时x 取极值而返回。
所以： 022*********|||||||||15||21|5t t t t S S S x x x x x x ----=====+=+=-+-=-+-=3． 一质点的运动方程是cos sin r R ti R tj ωω=+，R 、ω为正常数。
从t ＝/πω到t =2/πω时间内（1）该质点的位移是 [ ]（A ） -2R i ； （B ）2R i； （C ） -2j ； （D ）0。
（2）该质点经过的路程是 [ ]（A ）2R ； （B ）R π； （C ）0； （D ）R πω。
答案：B ；B 。
解：（1）122,t t ππωω==，21()()2r r t r t Ri ∆=-=； （2）∆t 内质点沿圆周运动了半周，故所走路程为πR 。
或者：,x y dx dy v v dt dt==，21,t t v R S vdt R ωπ====⎰4． 一细直杆AB ，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度v滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C 的速度 [ ]（A ）大小为/2v ，方向与B 端运动方向相同；（B）大小为/2v ，方向与A 端运动方向相同； （C ）大小为/2v , 方向沿杆身方向；（D ）大小为/(2cos )v θ ，方向与水平方向成θ角。
大学物理课后习题详解(第一章)中国石油大学
习 题 一1-1 一质点在平面xOy 内运动，运动方程为t x 2=，2219t y -= （SI ）．（1）求质点的运动轨道；（2）求s 1=t 和s 2=t 时刻质点的位置矢量；（3）求s 1=t 和s 2=t 时刻质点的瞬时速度和瞬时加速度；（4）在什么时刻，质点的位置矢量和速度矢量垂直?这时x 、y 分量各为多少?（5）在什么时刻，质点离原点最近?最近距离为多大?[解] 质点的运动方程t x 2=，2219t y -= （1）消去参数t ，得轨道方程为:22119x y -= ()0≥x（2）把s 1=t 代入运动方程，得j i j i r 172+=+=y x把s 2=t 代入运动方程，得()j i j i r 1142219222+=⨯-+⨯=（3）由速度、加速度定义式，有4/d d ,0/d d 4/d d ,2/d d y y x x y x -====-====t v a t v a t t y v t x v所以，t 时刻质点的速度和加速度分别为=v j i j i t v v 42y x -=+j j i a 4y x -=+=a a所以，s 1=t 时，j i v 42-=，j a 4-=s 2=t 时，j i v 82-=，j a 4-= （4）当质点的位置矢量和速度矢量垂直时，有0=⋅v r即 ()[][]04221922=-⋅-+j i j i t t t 整理，得 093=-t t解得 01=t ； 32=t ；33-=t （舍去）m 19,0,s 011===y x t 时 m 1,m 6,s 322===y x t 时（5）任一时刻t 质点离原点的距离()()()222222192tt yx t r -+=+=令0d d =tr 可得 3=t所以，s 3=t 时，质点离原点最近 () 6.08m 3=r1-2 一粒子按规律59323+--=t t t x 沿x 轴运动，试分别求出该粒子沿x 轴正向运动；沿x 轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔．[解] 由运动方程59323+--=t t t x 可得 质点的速度 ()()133963d d 2+-=--==t t t t tx v （1）粒子的加速度 ()16d d -==t tv a（2） 由式（1）可看出 当3s >t 时，0>v ，粒子沿x 轴正向运动；当3s <t 时，0<v ，粒子沿x 轴负向运动．由式（2）可看出 当1s >t 时，0>a ，粒子的加速度沿x 轴正方向；当1s <t 时，0<a ，粒子的加速度沿x 轴负方向． 因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当s 3>t 或1s 0<<t 间隔内粒子加速运动，在3s 1s <<t 间隔内里粒子减速运动．1-3 一质点的运动学方程为2t x =，()21-=t y （S1）．试求： （1）质点的轨迹方程;（2）在2=t s 时，质点的速度和加速度．[解] （1） 由质点的运动方程 2t x = （1）()21-=t y （2）消去参数t ，可得质点的轨迹方程 ()21-=x y（2） 由（1）、（2）对时间t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 t tx v 2d d x ==()12d d y -==t ty v所以 ()j i j i v 122y x -+=+=t t v v （3）2d d 22x ==tx a 2d d22y ==tya所以 j i a 22+= （4） 把2s =t 代入式（3）、（4），可得该时刻质点的速度和加速度．j i v 24+= j i a 22+=1-4 质点的运动学方程为t A x ωsin =，t B y ωcos =，其中 A 、B 、ω为正常数，质点的轨道为一椭圆．试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心．[证明] 由质点的运动方程 t A x ωs i n= （1） t B y ωc o s = （2）对时间t 求二阶导数，得质点的加速度 t A t x a ωωs i n d d 222x -==t B tya ωωcos d d222y -==所以加速度矢量为 ()r j i a 22c o s s i n ωωωω-=+-=t B t A可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心．1-5 质点的运动学方程为()j i r 222t t -+= （SI ），试求：（1）质点的轨道方程；（2）2s =t 时质点的速度和加速度．[解] （1） 由质点的运动方程，可得tx 2= 22t y -=消去参数t ，可得轨道方程2412x y -=（2） 由速度、加速度定义式，有j i r v t t 22d /d -==j r a 2d /d 22-==t将2s =t 代入上两式，得j i v 42-= j a 2-=1-6 已知质点的运动学方程为t r x ωcos =，t r y ωsin =，ct z =，其中r 、ω、c 均为常量．试求：（1）质点作什么运动?（2）其速度和加速度? （3）运动学方程的矢量式．[解] （1） 质点的运动方程 t r x ωc o s= （1） t r y ωsin = （2）ct z = （3）由（1）、（2）消去参数t 得 222r y x =+此方程表示以原点为圆心以r 为半径的圆，即质点的轨迹在xoy 平面上的投影为圆． 由式（2）可以看出，质点以速率c 沿z 轴匀速运动．综上可知，质点绕z 轴作螺旋线运动．（2） 由式（1）、（2）、（3）两边对时间t 求导数可得质点的速度tr tx v ωωsin d d x -==t r ty v ωωcos d d y ==c tz v ==d d z所以 k j i k j i v c t r t r v v v ++-=++=ωωωωc o s s i nz y x 由式（1）、（2）、（3）两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度t r tx a x ωωcos d d 222-==t r ty a y ωωsin d d 222-==0z =a所以 j i k j i a t r t r a a a ωωωωs i n c o s22z y x --=++= （3） 由式（1）、（2）、（3）得运动方程的矢量式k j i k j i r ct t r t r z y x ++=++=ωωsin cos1-7 湖中一小船，岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸（如图所示）．当收绳速度为0v 时，试问：（1）船的运动速度u 比v 大还是小?（2）若常量=v ．船能否作匀速运动?如果不能，其加速度为何值?[解] （1） 由图知222h s L +=两边对t 求导数，并注意到h 为常数，得 ts stL Ld d 2d d 2=又 ts u t L v d d ,d d -=-=所以 su Lv = （1） 即1>=s L vu因此船的速率u 大于收绳速率v ．（2） 将（1）式两边对t 求导，并考虑到v 是常量tu sts utL vd d d d d d +=所以 sa v u =-22 即 ()32222sv h sv ua =-=1-8 质点沿x 轴运动，已知228t v +=，当8=t s 时，质点在原点左边52m 处（向右为x 轴正向）．试求：（1）质点的加速度和运动学方程；（2）初速度和初位置；（3）分析质点的运动性质．[解] （1） 质点的加速度 t t v a 4/d d ==又 t x v /d d = 所以 t v x d d =对上式两边积分，并考虑到初始条件得()⎰⎰⎰+==-ttxt t t v x 82852d 28d d所以 3.4573283-+=t t x因而质点的运动学方程为 33283.457t t x ++-=（2） 将0=t 代入速度表达式和运动学方程，得m/s 802820=⨯+=vm 3.457032083.45730-=⨯+⨯+-=x（3） 质点沿x 轴正方向作变加速直线运动，初速度为8m/s ，初位置为3.457-m.1-9 一物体沿x 轴运动，其加速度与位置的关系为x a 62+=．物体在0=x 处的速度为s m 10，求物体的速度与位置的关系．[解] 根据链式法则 xv vtx x v tv a d d d d d d d d ===()x x x a v v d 62d d +==对上式两边积分并考虑到初始条件，得 ()⎰⎰+=xvx x v v 010d 62d故物体的速度与位置的关系为100462++=x x v s m1-10 一质点在平面内运动，其加速度j i a y x a a +=，且x a ，y a 为常量．（1）求t -v 和t -r 的表达式；（2）证明质点的轨迹为一抛物线．0=t 时，0r r =，0v v =．[解] 由 td d v a =得 t d a v =两边积分得⎰⎰=tvt 0d 0a v v因x a ，y a 为常量，所以a 是常矢量，上式变为t a v v =-0 即 t a v v +=0由 td d r v =得 ()t t t d d d 0a v v r +==两边积分，并考虑到0v 和a 是常矢量，()⎰⎰+=tr t t 00d d 0a v r r即 20021t t a v r r ++=（2） 为了证明过程简单起见，按如下方式选取坐标系，使一个坐标轴（如y 轴）与a平行，并使质点在0=t 时刻位于0r ．这样 00x t v x x += （1）00221y t v at y y ++=（2）联立 （1）~（2）式，消去参数t 得()()00x0y 0202x021y x x v v x x v a y +-+-=此即为轨道方程，它为一条抛物线．1-11 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为Bv g a -=，g 为重力加速度，B 为与物体的质量、形状及介质有关的常数．设0=t 时物体的初速度为零．（1）试求物体的速度随时间变化的关系式；（2）当加速度为零时的速度（称为收尾速度）值为多大?[解] （1） 由tv a d d =得t Bvg v d d =-两边分别积分，得⎰⎰=-t v t Bvg v 0d d所以，物体的速率随时间变化的关系为：()Bte Bg v --=1（2） 当0=a 时 有 0=-=Bv g a （或以∞=t 代入）由此得收尾速率 Bg v =1-12 一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a ，此后随t 均匀增加，经时间τ后，加速度变为2a ，经τ2后，加速度变为3a ，……．求经时间τn 后，该质点的加速度和所走过的距离．[解] 由题意可设质点的加速度与时间t 的关系为kt a a +=t （k 为常数）由 a k a a 2τ=+=τ得τak =所以 a t t aa a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=ττ1t 故当τn t =时，质点的加速度 ()a n a 1n τ+=由tv a d d =得t a v d d =对上式两边积分得⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=tvt a t v 00d 1d τ 所以 22t aat v τ+=又 tx v d d = t v x d d =对上式两边积分⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ττn st t a at x 020d 2d 经过时间τn 后，质点所走过的距离()2232361621τττa n nt a at s n +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1-13 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速ky a -=，k 为常数，y 是离开平衡位置的坐标值．设0y 处物体的速度为0v ，试求速度v 与y 的函数关系．[解] 根据链式法则 yv vty y v tv a d d d d d d d d ===y a v v d d =对上式两边积分⎰⎰⎰-==y y yy v y ky y a v v 000d d d v即 ()()2022022121y y k v v--=-故速度v 与y 的函数关系为()220202yy k v v -+=1-14 一艘正以速率0v 匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶．其加速度的大小与速度的平方成正比，即2kv a -=， k 为正常数．试求舰艇在关闭发动机后行驶了x 距离时速度的大小．[解] 根据链式法则 xv vtx x v tv a d d d d d d d d ===v av x d d =对上式两边积分⎰⎰⎰-==vvvvxkvv v av x 0d d d 0化简得ln1v vkx -=所以kxev v -=0l-15 一粒子沿抛物线轨道2x y =运动，且知s m 3x =v ．试求粒子在m 32=x 处的速度和加速度．[解] 由粒子的轨道方程 2x y = 对时间t 求导数 x y 2d d 2d d xv tx xty v ===（1）再对时间t 求导数，并考虑到x v 是恒量2x y 2d d v tv a ==（2）把m 32=x 代入式（1）得m 43322y =⨯⨯=v 所以，粒子在m 32=x 处的速度为s m 543222x 2x =+=+=v v v与x 轴正方向之间的夹角85334arctanarctanxy '===v v θ由式（2）得粒子在m 32=x 处的加速度为22s m 1832=⨯=a加速度方向沿y 轴的正方向．1-16 一质点沿半径为0.10m 的圆周运动，其角位置342t +=θ．（1）在2s =t 时，它的法向加速度和切向加速度各是多少?（2）切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，θ值为多少?（3）何时切向加速度与法向加速度大小相等?[解] 质点的角速度 212d d t t==θω质点的线速度 222.11210.0t t R v =⨯==ω 质点的法向加速度n a ，切向加速度t a 为()4222n 4.1410.012t tR a =⨯==ω （1）t tv a 4.2d d t ==（2）（1）把2s =t 代入（1）式和（2）式，得此时2t 224n m/s8.424.2m/s 103.224.14=⨯=⨯=⨯=a a（2）质点的总加速度1364.262t 2n +=+=t t a a a由 a a 21t =得 1364.25.04.26+⨯=t t t解得 0.66s =t 所以 r a d 15.3423=+=t θ （3）当t n a a =即t t 4.24.144=时有 0.55s =t1-17 火车在曲率半径R ＝400m 的圆弧轨道上行驶．已知火车的切向加速度2.0t =a 2s m ，求火车的瞬时速率为s m 10时的法向加速度和加速度．[解] 火车的法向加速度 222n sm 25.040010===Rva方向指向曲率中心 火车的总加速度 2222t 2n s m 32.02.025.0=+=+=a a a设加速度a 与速度v 之间的夹角为θ，则025134.512.025.0arctanarctantn '====a a θ1-18 为了转播电视而发射的地球同步卫星在赤道上空的圆轨道上运动，周期等于地球的自转周期24h =T ．求卫星离开地面的高度和卫星的速率（距地球中心r 处的重力加速度2e ⎪⎭⎫⎝⎛=r R g a ，e R 是地球的半径．）[解] 设同步卫星距地球的中心为r ，速率为v ，则Tr v π2=（1）2e 2⎪⎭⎫⎝⎛==r R g a r v（2） 解（2）式可得()()m 1022.443600241063788.947322233222e ⨯=⨯⨯⨯⨯==ππT gR r代入（1）式可得s m 1007.33600241022.42237⨯=⨯⨯==ππTr v所以，卫星距地面的高度m 1058.31063781022.4737e ⨯=⨯-⨯=-=R r h1-19 若登月舱在登上月球之前绕月球以半径e 31R r = （e R 为地球半径）作圆周运动，并且已知这时月球对登月舱的引力加速度g a 121=．试计算登月舱的速率和飞行一周所需要的时间．[解] 设登月舱的速率为v ，周期为T ，则a rv=2即g R v1213e2=（1）v Tr =π2 即v TR =32e π （2）解（1）式可得s m 1032.1106378368.93633e ⨯=⨯⨯==R g v代入（2）式可得s 1001.1368.931063782363243e⨯=⨯==ππg R T1-20 如图所示，一卷扬机自静止开始作匀加速运动，绞索上一点起初在A 处经3s 到达鼓轮的B 处，然后作圆周运动．已知0.45m =AB ,鼓轮半径0.5m =R ，求该点经过点C 时，其速度和加速度的大小和方向．[解] 设A 点的切向加速度为t a ，经过B 点时的速率为B v ，法向加速度为n a由A 到B 过程：2t 21t a AB =（1）t a v t B = （2）在B 点： R a R v //t B B ==βω， （3）由B 到C 过程：πβωω22B 2C =- （4）在C 点： R v C C ω= （5） 联立以上五式，得m 64.05.035.045.0435.045.02422222C C =⨯⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=+⎪⎭⎫⎝⎛==ππωR Rt AB Rt AB R v 方向沿切向Rv a 2C n =2t 2tAB a =22222n2ts m 83.05.064.0345.02=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⨯=+=a a a 28330.4520.50.64arctanarctan22nt '=⨯==a a θ1-21 在一个转动的齿轮上，一个齿尖P 沿半径为R 的圆周运动，其路程随时间的变化规律为2021bt t v s +=，其中0v 和b 都是正常量．求t 时刻齿尖P 的速度及加速度的大小．[解] 设时刻t 齿尖P 的速率为v ，切向加速度t a ，法向加速度n a ，则Rbt v Rva b t va bt v t s v 202n t 0)(d d d d +====+==所以，t 时刻齿尖P 的加速度为24022n 2t )(Rbt v b a a a ++=+=1-22 一物体作斜抛运动，抛射角为α，初速度为0v ，轨迹为一抛物线（如图所示）．试分别求抛物线顶点A 及下落点B 处的曲率半径．[解] 物体在A 点的速度设为A v ，法向加速度为nA a ，曲率半径为A ρ，由题图显然有αcos 0A v v = （1） nA a =g （2） A n A2Aa v =ρ （3）联立上述三式得 gv αρ220A c o s =物体在B 点的速度设为B v ，法向加速度为nB a ，曲率半径为B ρ，由题图显然有0B v v = （4） αcos nB g a = （5） nB B2Ba v =ρ （6）联立上述三式得 αρc o s 2B g v =1-23 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点A 处，速度的大小为v ，其方向与水平线的夹角为030，求点A 的切向加速度和该处的曲率半径．[解] 设A 点处物体的切向加速度为t a ，法向加速度为n a ，曲率半径为ρ，则 n t a a g +=由图知 g g a 5.030sin 0t -=-=2/330cos 0n g g a ==又 n 2a v=ρ所以 gv g va v3322/322n2===ρ1-24 一门火炮在原点处以仰角0130=θ、初速10v m 100=发射一枚炮弹．另有一门位于600=x m 处的火炮同时以初速8020=v s m 发射另一枚炮弹，其仰角2θ为何值时，可望能与第一枚炮弹在空中相碰? 相碰时间和位置如何（忽略空气阻力的影响）?[解] 设经过时间t 后，炮弹1、炮弹2的坐标分别为()11,y x 、()22,y x ，则 对炮弹1 t v x 1101cos θ= 2110121sin gt t v y -=θ对炮弹2 t v x x 22002cos θ+= 2220221sin gt t v y -=θ当炮弹1、炮弹2相碰时 21x x = 21y y =即 t v x t v 2200110cos cos θθ+= （1）2220211021sin 21sin gt t v gt t v -=-θθ （2）解（2）式可得 625.030sin 80100sin sin 0120102=⨯==θθv v （3）所以 02682.38625.0arcsin ==θ 由（1）式可得 s 48.2682.38cos 8030cos 10060cos cos 02201100=⨯-⨯=-=θθv v x t相遇时的坐标设为（x ，y ），则m 77.21448.230cos 100cos 011021=⨯⨯====t v x x x θm 86.9348.28.92148.230sin 10021sin 2211021=⨯⨯-⨯⨯=-===gtt v y y y θ1-25 河宽为d ，靠河岸处水流速度变为零，从岸边到中流，河水的流速与离开岸的距离成正比地增大，到中流处为0v ．某人以相对水流不变的速率v 垂直水流方向驶船渡河，求船在达到中流之前的轨迹方程．[解] 取图示坐标系ky v =x已知 2d y =时，0x v v =代入上式得 d v k 02=所以 y dv v 0x 2=（1）又 v v =y积分得 vt y = （2） 代入（1）式得 vt d v v 0x 2=积分得 20vt d v x = （3）由（2）、（3）消去t 得 20y vdv x =1-26 如图所示，一航空母舰正以s m 17的速度向东行驶，一架直升飞机准备降落在舰的甲板上．海上有s m 12的北风吹着．若舰上的海员看到直升飞机以s m 5的速度垂直下降，求直升飞机相对海水及相对空气的速度?[解] 已知 k v 5-=机对舰 j v 17=舰对海 i v 12=气对海 故 ()s m 175j k v v v +-=+=舰对海机对舰机对海()m 51712k j i v v v -+-=+=海对气机对海机对气习题 1-26 图。
大学物理第二版习题答案
13级应用化学（2）班物理习题详解习题精解1-1某质点的速度为j t i v 82-=，已知t=0时它经过点（3，7），则该质点的运动方程为（ ）A.j t i t 242-B.()()j t i t 74322+-+ C.j 8- D.不能确定解：本题答案为B.因为 dt rd v =所以 ()dt j t i r d82-=于是有()d t j t i r d t rr ⎰⎰-=0820即 j t i t r r2042-=-亦即 ()j t i t j i r 24273-=-- 故 ()()j t i t r 74322+-+=1-2 一质点在平面上作曲线运动,1t 时刻位置矢量为j i r 621+-=，2t 时刻的位置矢量为j i r 422+=，求：（1）在12t t t -=∆时间内质点的位移矢量式;(2)该段时间内位移的大小和方向；（3）在坐标图上画出21,r r及r∆。
解 （1）在12t t t -=∆时间内质点的位移矢量式为()()m j i r r r 2412-=-=∆ （2）该段时间内位移的大小 ()()m r 522422=+=∆该段时间内位移的方向与轴的夹角为 ︒-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-6.2642tan 1α （3）坐标图上的表示如图1.1所示1-3某质点作直线运动，其运动方程为214x t t =+- ，其中x 以m 计，t 以s 计，求：（1）第3s 末质点的位置；（2）头3s 的位移大小；（3）头3s 内经过的路程。
解 （1）第3s 末质点的位置为2(3)14334()x m =+⨯-=（2）头3s 的位移大小为 ()(3)03()x x m -=（3）因为质点做反向运动是有()0v t =，所以令0dxdt=，即420,2t t s -==因此头3s 内经过的路程为 (3)(2)(2)(0)45515()x x x x m -+-=-+-=1-4 已知某质点的运动方程为22,2x t y t ==-，式中t 以s 计，x 和y 以m 计。
大学物理学基础教程力学部分习题详解
第一章 力学引论本章主要阐述了力学的研究内容（即物体的机械运动），以及矢量分析和量纲分析的方法。
习 题1-1 什么叫质点？太阳、地球是质点吗？分子、原子是质点吗？试举例说明。
分析：本题说明参考系选择的重要性。
对于相同的物体，如果参考系的选择不同，结果将完全不同。
选择某一参考系，可以看成质点；选择另一参考系，就不可以看成质点。
答：在某些问题中，物体的形状和大小并不重要，可以忽略，可看成一个只有质量、没有大小和形状的理想的点，这样的物体就称为质点。
关于太阳、地球、分子、原子是否是质点，要视具体研究的问题而定。
例如，如果我们考察银河系或者整个宇宙的运动，那么太阳和地球的大小可以忽略，而且我们没有必要去考察他们的转动，此时它们可以被看作质点。
但是，如果我们要研究人造卫星、空间站的话，太阳和地球的大小和形状以及其自转就不能被忽略，那么它们就不能被看作质点。
1-2 西部民歌：“阿拉木汗住在哪里，吐鲁番西三百六。
”从位矢定义分析之。
分析：本题是关于参考系和坐标系选择的问题。
遇到一个问题，首先要搞清楚研究对象，然后选择一个合适的参考系，在此参考系中选择一个点作为坐标原点，建立坐标系，然后才可以定量的分析问题。
本题中心意思是选择则吐鲁番作为参照点，来定义阿拉木汗所住的位置。
答：选择地面参照系，以吐鲁番作为原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正向，在地面上建立直角坐标系。
那么阿拉木汗住址的位矢为：i ˆ360r −=v1-3 判断下列矢量表达式的正误：分析：本题考察矢量的运算问题。
矢量既有大小，又有方向，所以在进行矢量运算时，既要考虑矢量的大小，又要考虑矢量的方向。
（1）B A B A v v v v +=+答：× 矢量按平行四边形法则相加，而不是简单的数量相加（2）A B B A v v v v ×=×答：× 矢量相乘按右手定则，上式方程两边的矢量大小相同，方向相反。
1大学物理.运动学单元习题及问题详解
一、选择题1、质点作曲线运动，→r 表示位置矢量，s 表示路程，t a 表示切向加速度，下列表达式中（1）a dtdv =；（2）v dt dr =；（3）v dt ds =；（4）t a dt vd =。
[ D ] （A ）只有（1），（4）是对的； （B ）只有（2），（4）是对的；（C ）只有（2）是对的； （D ）只有（3）是对的。
2、对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的： （ ）(A) 切向加速度必不为零． (B) 法向加速度必不为零（拐点处除外）．(C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零． (D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零． 答：（B ）3、质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为 [ B ](A) t R π2, t R π2 ； (B) 0，t R π2； (C) 0，0； (D) tRπ2，0.4、一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r的端点处，其速度大小为 [ D ](A) dt dr (B) dt rd (C) dt r d (D) 22)()(dtdy dt dx +5、根据瞬时速度矢量v 的定义，在直角坐标系下，其大小||v 可表示为 （ ）(A)dr dt ． (B)dx dy dzdt dt dt ++．(C)||||||dx dy dz i j k dt dt dt++. (D) 2()(dy dz + 答：（D ）6、以下五种运动形式中，a保持不变的运动是 （ ）(A) 单摆的运动． (B) 匀速率圆周运动． (C) 行星的椭圆轨道运动． (D) 抛体运动． 答：（D ）7、质点做匀速率圆周运动时，其速度和加速度的变化情况为 （ ）（A ）速度不变，加速度在变化（B ）加速度不变，速度在变化 （C ）二者都在变化 （D ）二者都不变 答：（C ） 8、一质量为M 的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放图．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将(A) 保持静止 (B) 向右加速运动(C) 向右匀速运动 (D) 向左加速运动［ ］ 答案：（A ）9、一小球沿斜面向上运动，其运动方程为245t t s -+=，则小球运动到最高点的时刻是 [ B ] （A ）t=4s ； （B ）t=2s ； （C ）t=8s ； (D) t=5s10、在下列几种情况下，哪种情况不可能。
大学物理练习题及答案详解
大学物理练习题及答案详解-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN大学物理学(上)练习题第一编 力 学 第一章 质点的运动1．一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为,v瞬时速率为v ，平均速率为,v 平均速度为v，它们之间如下的关系中必定正确的是(A) v v ≠，v v ≠； (B) v v =，v v ≠；(C) v v =，v v =； (C) v v ≠，v v = [ ]2．一质点的运动方程为26x t t =-(SI)，则在t 由0到4s 的时间间隔内，质点位移的大小为 ，质点走过的路程为 。
3．一质点沿x 轴作直线运动，在t 时刻的坐标为234.52x t t =-（SI ）。
试求：质点在（1）第2秒内的平均速度； （2）第2秒末的瞬时速度； （3）第2秒内运动的路程。
4．灯距地面的高度为1h ，若身高为2hv 沿水平直线行走，如图所示，则他的头顶在地上的影子M 面移动的速率M v = 。
5．质点作曲线运动，r表示位置矢量，s 表示路程，t a 表示切向加速度，下列表达式（1）dv a dt =， （2）dr v dt =， （3）ds v dt =， （4）||t dv a dt=. （A ）只有（1）、（4）是对的； （B ）只有（2）、（4）是对的； （C ）只有（2）是对的； （D ）只有（3）是对的. [ ]6．对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的。
（A ）切向加速度必不为零； （B ）法向加速度必不为零（拐点处除外）；（C ）由于速度沿切线方向；法向分速度必为零，因此法向加速度必为零； （D ）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；（E ）若物体的加速度a为恒矢量，它一定作匀变速率运动. [ ]Av B vvv7．在半径为R 的圆周上运动的质点，其速率与时间的关系为2v ct =（c 为常数），则从0t =到t 时刻质点走过的路程()s t = ；t 时刻质点的切向加速度t a = ；t 时刻质点的法向加速度n a = 。
华理工大学大学物理习题之质点运动学习题详解
习题一一、选择题1． 质点沿轨道AB 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C 处的加速度 [ ](A) (B) (C) (D) 答案：C解：加速度方向只能在运动轨迹内侧，只有[B]、[C]符合；又由于是减速运动，所以加速度的切向分量与速度方向相反，故选（C ）。
2． 一质点沿x 轴运动的规律是245x t t =-+（SI 制）。
则前三秒内它的 [ ] （A ）位移和路程都是3m ； （B ）位移和路程都是-3m ；（C ）位移是-3m ，路程是3m ； （D ）位移是-3m ，路程是5m 。
答案：D 解：3253t t x xx==∆=-=-=-24dx t dt =-，令0dxdt=，得2t =。
即2t =时x 取极值而返回。
所以： 022*********|||||||||15||21|5t t t t S S S x x x x x x ----=====+=+=-+-=-+-=3． 一质点的运动方程是cos sin r R ti R tj ωω=+v v v，R 、ω为正常数。
从t ＝/πω到t =2/πω时间内（1）该质点的位移是 [ ]（A ） -2R i ϖ； （B ）2R i ϖ； （C ） -2j v； （D ）0。
（2）该质点经过的路程是 [ ]（A ）2R ； （B ）R π； （C ）0； （D ）R πω。
答案：B ；B 。
解：（1）122,t t ππωω==，21()()2r r t r t Ri ∆=-=r r r r ；（2）t 内质点沿圆周运动了半周，故所走路程为R 。
或者：a ϖCA BaϖCABaϖCAB a ϖCAB,x y dx dy v v dt dt==，21,t t v R S vdt R ωπ====⎰4． 一细直杆AB ，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度v ϖ滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C 的速度（A ）大小为/2v ，方向与B 端运动方向相同；（B ）大小为/2v ，方向与A 端运动方向相同； （C ）大小为/2v , 方向沿杆身方向；（D ）大小为/(2cos )v θ ，方向与水平方向成θ角。
大学物理期末复习题及问题详解(1)
j i r )()(t y t x +=大学物理期末复习题力学部分一、填空题：1. 已知质点的运动方程，则质点的速度为 ，加速度为 。
2.一质点作直线运动，其运动方程为221)s m 1()s m 2(m 2t t x --⋅-⋅+=，则从0=t 到s 4=t 时间间隔质点的位移大小 质点的路程 。
3. 设质点沿x 轴作直线运动，加速度t a )s m 2(3-⋅=，在0=t 时刻，质点的位置坐标0=x 且00=v ，则在时刻t ，质点的速度 ，和位置 。
4．一物体在外力作用下由静止沿直线开始运动。
第一阶段中速度从零增至v,第二阶段中速度从v 增至2v ，在这两个阶段中外力做功之比为 。
5．一质点作斜上抛运动（忽略空气阻力）。
质点在运动过程中，切向加速度是，法向加速度是 ，合加速度是 。
（填变化的或不变的） 6．质量m =40 kg 的箱子放在卡车的车厢底板上，已知箱子与底板之间的静摩擦系数为s ＝0.40，滑动摩擦系数为k ＝0.25，试分别写出在下列情况下，作用在箱子上的摩擦力的大小和方向．(1)卡车以a = 2 m/s 2的加速度行驶，f =_________，方向_________．(2)卡车以a = -5 m/s 2的加速度急刹车，f =________，方向________．7．有一单摆，在小球摆动过程中，小球的动量 ；小球与地球组成的系统机械能 ；小球对细绳悬点的角动量 （不计空气阻力）．（填守恒或不守恒）二、单选题：1.下列说法中哪一个是正确的（ ）（A ）加速度恒定不变时，质点运动方向也不变（B ）平均速率等于平均速度的大小（C ）当物体的速度为零时，其加速度必为零（D ）质点作曲线运动时，质点速度大小的变化产生切向加速度，速度方向的变化产生法向加速度。
2. 质点沿Ox 轴运动方程是m 5)s m 4()s m 1(122+⋅-⋅=--t t x ，则前s 3它的（ ） （A ）位移和路程都是m 3 （B ）位移和路程都是-m 3（C ）位移为-m 3，路程为m 3 （D ）位移为-m 3，路程为m 53. 下列哪一种说法是正确的（ ）（A ）运动物体加速度越大，速度越快（B ）作直线运动的物体，加速度越来越小，速度也越来越小（C ）切向加速度为正值时，质点运动加快（D ）法向加速度越大，质点运动的法向速度变化越快4.一质点在平面上运动，已知质点的位置矢量的表示式为j i r 22bt at +=（其中a 、b 为常量），则该质点作（ ）（A ）匀速直线运动 （B ）变速直线运动（C ）抛物线运动 （D ）一般曲线运动5. 用细绳系一小球，使之在竖直平面作圆周运动，当小球运动到最高点时，它（ ）（A ）将受到重力，绳的拉力和向心力的作用（B ）将受到重力，绳的拉力和离心力的作用（C ）绳子的拉力可能为零（D ）小球可能处于受力平衡状态6．功的概念有以下几种说法（1）保守力作功时，系统相应的势能增加（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零（3）作用力和反作用力大小相等，方向相反，所以两者作功的代数和必为零以上论述中，哪些是正确的（ ）（A ）（1）（2） （B ）（2）（3）（C ）只有（2） （D ）只有（3）7．质量为m 的宇宙飞船返回地球时，将发动机关闭，可以认为它仅在地球引力场中运动，当它从与地球中心距离为1R 下降到距离地球中心2R 时，它的动能的增量为（ ）（A ）2E R mm G ⋅ （B ）2121E R R R R m Gm - （C ）2121E R R R mGm - （D ）222121E R R R R m Gm -- 8．下列说法中哪个或哪些是正确的（ ）（1）作用在定轴转动刚体上的力越大，刚体转动的角加速度应越大。
程守洙《普通物理学》(第6版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解(1-2章)【圣才出品】
第1章力和运动1.1复习笔记一、质点运动的描述机械运动是指一个物体相对于另一个物体的位置，或者一个物体的某些部分相对于其他部分的位置，随着时间而变化的过程．1．质点（1）质点是指具有一定质量且大小和形状可以忽略的理想物体；（2）质点的简化具有相对性．2．参考系和坐标系（1）参考系①参考系是指在描述物体运动时，被选作参考的物体或物体系；②参考系的选择具有任意性．（2）坐标系①选取在参考系上选定一点作为坐标系的原点O，取通过原点并标有长度的线作为坐标轴．②常用坐标系笛卡尔坐标系、平面极坐标系和球坐标系等．（3）参考系和坐标系的关系坐标系用来定量地描述一个物体在各时刻相对于参考系的位置．3．空间和时间（1）空间反映物质的广延性，与物体的体积和物体位置的变化相联系；（2）时间反映物理事件的顺序性和持续性．4．运动学方程在选定的参考系中，运动质点的位置P（x，y，z）是t 的函数，即x＝x（t），y＝y（t），z＝z（t）5．位矢（1）位矢是用来确定某时刻质点位置的矢量，用r 表示．（2）特点①矢量性；②瞬时性；③相对性．6．位移位移表示质点在一段时间内位置改变的矢量，用r表示．7．速度（1）平均速度：（2）瞬时速度（速度）：8．加速度（1）质点的平均加速度（2）瞬时加速度加速度是矢量：①a与v成锐角，速率增加；②a与v成钝角，速率减小；③a与v成直角，速率不变．二、圆周运动和一般曲线运动1．切向加速度和法向加速度自然坐标系下的加速度式中，切向加速度a t和法向加速度a n分别为：2．圆周运动的角量描述（1）圆周运动的瞬时角速度（角速度）式中，△θ为角位移，单位为rad；ω的单位为1/s或rad/s．（2）圆周运动的瞬时角加速度（角加速度）式中，α的单位为1/s2或rad/s2．（3）角量和线量的关系22 d d t n R a R t a R R υωυαυω⎧⎫⎪=⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎭⎩线量角量3．抛体运动的矢量描述（1）速度分量：（2）速度矢量：（3）加速度：（4）位矢：（5）轨迹方程：三、相对运动常见力和基本力1．相对运动（1）伽利略坐标变换（2）速度变换与加速度变换质点P 在K’系的速度/加速度与它在K 系的速度/加速度的关系质点在两个相对作匀速直线运动的参考系中的加速度是相同的．2．常见力（1）重力重力是指地球表面附近的物体受到地球的吸引作用而使物体受到的力．（2）弹力弹力是指形变物体恢复原状时与它接触的物体产生的力．弹力的三种表现形式：①两物体间的相互挤压两物体间相互挤压所产生的弹力又称正压力或支承力．该力大小取决于相互挤压的程度，方向总是垂直于接触面并指向对方．②绳线对物体的拉力该力大小取决于绳线收紧的程度，方向总是沿着绳线并指向绳线收紧的方向．③弹簧的弹力弹簧的弹力总是力图使弹簧恢复原状，又称恢复力．F＝－kx（胡克定律）式中：k为弹簧的劲度系数或劲度，负号表示弹力和位移方向相反．（3）摩擦力摩擦力是指两个相互接触的物体在沿接触面相对运动或有相对运动的趋势时，在接触面间产生的一对阻止相对运动的力．（4）万有引力万有引力是存在于任何两个物体之间的吸引力．式中：G为引力常量，．3．基本力（1）电磁力电磁力是指存在于静止电荷之间的电性力以及存在于运动电荷之间的电性力和磁性力．（2）强力强力是指存在于核子、介子和超子之间的强相互作用．（3）弱力弱力是指在亚原子领域中存在的短程相互作用．四、牛顿运动定律1．牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到作用在它上面的力迫使它改变这种状态为止，又称惯性定律．相关说明：（1）惯性是物体所具有的保持其原有运动状态不变的特性．（2）力是引起运动状态改变的原因．（3）牛顿定律只适用于惯性系．2．牛顿第二定律物体受到外力作用时，它所获得的加速度的大小与外力的大小成正比，并与物体的质量成反比，加速度方向与外力方向相同．dtv d m a m F ==力是物体产生加速度的原因，并非物体有速度的原因．3．牛顿第三定律两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等方向相反．BAAB F F -=。
新编物理基础学全册(王少杰版)课后习题答案及详解
新编物理基础学全册课后习题详细答案王少杰，顾牡主编第一章1-1.质点运动学方程为：cos()sin(),r a t i a t j btk ωω=++其中a ，b ，ω均为正常数，求质点速度和加速度与时间的关系式。
分析：由速度、加速度的定义，将运动方程()r t 对时间t 求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。
解：/sin()cos()==-++v dr dt a t i a t j bk ωωωω2/cos()sin()a dv dt a t i t j ωωω⎡⎤==-+⎣⎦1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2/d d v v K t -=， 式中K 为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为 0Kxv v e -= 。
其中0v 是发动机关闭时的速度。
分析：要求()v v x =可通过积分变量替换dxdvv dt dv a ==，积分即可求得。
证：2d d d d d d d d v x vv t x x v t v K -==⋅= d Kdx v =-v⎰⎰-=x x K 0d d 10v v v v , Kx -=0ln v v0Kxv v e -=1-3．一质点在xOy 平面内运动，运动函数为22,48x t y t ==-。
（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。
分析：将运动方程x 和y 的两个分量式消去参数t ，便可得到质点的轨道方程。
写出质点的运动学方程)(t r表达式。
对运动学方程求一阶导、二阶导得()v t 和()a t ，把时间代入可得某时刻质点的位置、速度、加速度。
解：（1）由2,x t =得：,2x t =代入248y t =-可得：28y x =-，即轨道曲线。
画图略 （2）质点的位置可表示为：22(48)r ti t j =+- 由/v dr dt =则速度：28v i tj =+ 由/a dv dt =则加速度：8a j =则：当t=1s 时，有24,28,8r i j v i j a j =-=+=当t=2s 时，有48,216,8ri j v i j a j =+=+=1-4．一质点的运动学方程为22(1)x t y t ==-，，x 和y 均以m 为单位，t 以s 为单位。
物理学教程第二版上册课后习题答案详解
物理学教程（第二版）上册习题答案第一章 质点运动学1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ． (1) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜Δr ｜= Δs = Δr(B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r(C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s(D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s(2) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v(C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr ｜＝PP ′,而Δr ＝｜r ｜-｜r ｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有｜d r ｜＝d s ,但却不等于d r ．故选(B)．(2) 由于｜Δr ｜≠Δs ,故t s t ΔΔΔΔ≠r ,即｜v ｜≠v ． 但由于｜d r ｜＝d s ,故ts t d d d d =r ,即｜v ｜＝v ．由此可见,应选(C)．1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x ． 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确(C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解 tr d d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；td d r 表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式t s d d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解．故选(D)．1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程, a ｔ表示切向加速度．对下列表达式,即(1)d v /d t ＝a ；(2)d r /d t ＝v ；(3)d s /d t ＝v ；(4)d v /d t ｜＝a ｔ．下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的(C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的分析与解td d v 表示切向加速度a ｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；tr d d 在极坐标系中表示径向速率v r (如题1 -2 所述)；t s d d 在自然坐标系中表示质点的速率v ；而td d v 表示加速度的大小而不是切向加速度a ｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)．1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变(D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a ｔ起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于a ｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, a ｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a ｔ为一不为零的恒量,当a ｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．1 -5 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s ．求：(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小；(2) 质点在该时间内所通过的路程；(3) t ＝4 s 时质点的速度和加速度．分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：0Δx x x t -=,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据0d d =t x 来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0～t p 和t p ～t 内的位移大小Δx 1 、Δx 2 ,则t 时间内的路程21x x s ∆+∆=,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用tx d d 和22d d t x 两式计算．题 1-5 图解 (1) 质点在4.0 s 内位移的大小m 32Δ04-=-=x x x(2) 由 0d d =tx 得知质点的换向时刻为s 2=p t (t ＝0不合题意)则m 0.8Δ021=-=x x xm 40Δ242-=-=x x x所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为m 48ΔΔ21=+=x x s (3) t ＝4.0 s 时1s0.4s m 48d d -=⋅-==t t x v 2s0.422m.s 36d d -=-==t t x a 1 -6 已知质点的运动方程为j i r )2(22t t -+=,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求：(1) 质点的运动轨迹；(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr ；分析 质点的轨迹方程为y ＝f (x ),可由运动方程的两个分量式x (t )和y (t )中消去t 即可得到．对于r 、Δr 、Δr 、Δs 来说,物理含义不同,(详见题1-1分析).解 (1) 由x (t )和y (t )中消去t 后得质点轨迹方程为2412x y -= 这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为j r 20= , j i r 242-=图(a)中的P 、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置．(3) 由位移表达式,得j i j i r r r 24)()(Δ020212-=-+-=-=y y x x其中位移大小m 66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=y x r而径向增量m 47.2ΔΔ2020222202=+-+=-==y x y x r r r r题 1-6 图1 -7 质点的运动方程为23010t t x +-=22015t t y -=式中x ,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解 (1) 速度的分量式为t tx x 6010d d +-==v t ty y 4015d d -==v 当t ＝0 时, v 0x ＝-10 m·ｓ-1 , v 0y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为 120200s m 0.18-⋅=+=y x v v v设v 0与x 轴的夹角为α,则23tan 00-==x yαv v α＝123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==ta x x v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v 则加速度的大小为222s m 1.72-⋅=+=y x a a a 设a 与x 轴的夹角为β,则32tan -==x y a a β β＝-33°41′(或326°19′)1 -8 一升降机以加速度1.22 m·ｓ-2上升,当上升速度为2.44 m·ｓ-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m ．计算：(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离．分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 ＝y 1(t )和y 2 ＝y 2(t ),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度．升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程．解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为20121at t y +=v20221gt t h y -+=v当螺丝落至底面时,有y 1 ＝y 2 ,即20202121gt t h at t -+=+v vs 705.02=+=a g ht(2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为m 716.021202=+-=-=gt t y h d v解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a ′＝g＋a ,螺丝落至底面时,有2)(210t a g h +-=s 705.02=+=a g ht(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为2021at t h +='v则 m 716.0='-=h h d题 1-8 图1 -9 质点沿直线运动,加速度a ＝4 -t2 ,式中a 的单位为m·ｓ-2 ,t 的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =．如a ＝a (t )或v ＝v (t ),则可两边直接积分．如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．解 由分析知,应有⎰⎰=t t a 0d d 0v v v 得 03314v v +-=t t (1) 由 ⎰⎰=tx x t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1代入(1)、(2)得v 0＝-1 m·ｓ-1, x 0＝0.75 m于是可得质点运动方程为75.0121242+-=t t x 1 -10 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a ＝A -B v ,式中A 、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程．解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点．(1) 由题意知 v v B A ta -==d d (1) 用分离变量法把式(1)改写为t B A d d =-v v (2)将式(2)两边积分并考虑初始条件,有⎰⎰=-t t B A 0d d d 0v v v vv得石子速度 )e 1(Bt BA --=v 由此可知当,t →∞时,B A →v 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度．(2) 再由)e 1(d d Bt BA t y --==v 并考虑初始条件有 t BA y t Bt y d )e 1(d 00⎰⎰--= 得石子运动方程)1(e 2-+=-Bt B A t B A y 1 -11 一质点具有恒定加速度a ＝6i ＋4j ,式中a 的单位为m·ｓ-2 ．在t ＝0时,其速度为零,位置矢量r 0 ＝10 m i ．求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图．题 1-11 图分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量a x 和a y 分别积分,从而得到运动方程r 的两个分量式x (t )和y (t )．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即20021t a t x x x x ++=v 和20021t a t y y y y ++=v ,两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．解 由加速度定义式,根据初始条件t 0 ＝0时v 0 ＝0,积分可得⎰⎰⎰+==t t t t 000)d 46(d d j i a v v j i t t 46+=v 又由td d r =v 及初始条件t ＝0 时,r 0＝(10 m)i ,积分可得 ⎰⎰⎰+==tt r r t t t t 00)d 46(d d 0j i r v j i r 222)310(t t ++=由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x ＝10＋3t 2y ＝2t 2消去参数t ,可得运动的轨迹方程3y ＝2x -20 m这是一个直线方程．直线斜率32tan d d ===αx y k ,α＝33°41′．轨迹如图所示．1 -12 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r ＝2.0t i ＋(19.0 -2.0t 2 )j ,式中r 的单位为m,t 的单位为s ．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t 1＝1.0s 到t 2 ＝2.0s 时间内的平均速度；(3) t 1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．分析 根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x (t )和y ＝y (t ),从中消去参数t ,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即tΔΔr =v ,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt →0 时,平均速度的极限即瞬时速度t d d r =v ．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a ｔ 和a n ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即t t te a d d v =,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和a ｔ 得到．在求得t 1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式ρa n 2v =求ρ． 解 (1) 由参数方程x ＝2.0t , y ＝19.0-2.0t 2消去t 得质点的轨迹方程：y ＝19.0 -0.50x 2(2) 在t 1 ＝1.00ｓ 到t 2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度j i r r 0.60.2ΔΔ1212-=--==t t t r v (3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为j i j i j i t ty t x t y x 0.40.2d d d d )(-=+=+=v v v j j i a 22222s m 0.4d d d d )(-⋅-=+=ty t x t 则t 1 ＝1.00ｓ时的速度v (t )｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j切向和法向加速度分别为t t y x t t t tt e e e a 222s 1s m 58.3)(d d d d -=⋅=+==v v v n n t n a a e e a 222s m 79.1-⋅=-=(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为122s m 47.4-⋅=+=y x v v v 则m 17.112==na ρv 1 -13 飞机以100 m·ｓ-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m 时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3) 物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？题 1-13 图分析 物品空投后作平抛运动．忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动．到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的．因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解．此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度．为求特定时刻t 时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β．由图可知,在特定时刻t ,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量v x 、v y 求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得．解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x ＝vt , y ＝1/2 gt 2飞机水平飞行速度v ＝100 m·s -1 ,飞机离地面的高度y ＝100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离m 4522==gy x v (2) 视线和水平线的夹角为 o 5.12arctan==x y θ (3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为vv v gt αx yarctan arctan == 取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为2s m 88.1arctan sin sin -⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==v gt g αg a t 2s m 62.9arctan cos cos -⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==v gt g g a n α1 -14 为迎接香港回归，特技演员柯受良在1997年6月1日驾车飞越黄河壶口，如图所示，柯驾车从跑道东端启动，到达跑道终端时速度大小为1500=v h km 1-⋅，他随即以仰角ο5=α冲出，飞越跨度达57 m ，安全着陆在西岸木桥上，求：题 1-14 图（1） 柯飞车跨越黄河用了多长时间？（2） 若起飞点高出河面10 m ，柯驾车飞行的最高点距河面为几米？（3） 西岸木桥和起飞点的高度差为多少？分析 由题意知，飞车作斜上抛运动，对包含抛体在内的一般曲线运动来说，运用叠加原理是求解此类问题的普适方法，操作程序是：建立一个恰当的直角坐标系，将运动分解为两个相互正交的直线运动，由于在抛体运动中，质点的加速度恒为g ，故两个分运动均为匀变速直线运动或其中一个为匀速直线运动，直接列出相关运动规律方程即可求解，本题可建立图示坐标系，图中m m x y 和分别表示飞车的最大高度和飞跃跨度.解 在图示坐标系中，有t v x )cos (0α= （1） 2021sin (gt t v y -=）α （2） gt v v y -=αsin 0 （3）(1) 由式（1），令57m ==x x m ，得飞跃时间37.1cos 0m m ==αv x t s （2）由式（3），令0=y v ，得飞行到最大高度所需时间gv t αsin 0m =’将’m t 代入式（2），得飞行最大高度 67.02sin 220m ==gv y αm 则飞车在最高点时距河面距离为10m +=y h m 67.10= m（3）将37.1m =t s 代入式（2），得西岸木桥位置为y = - 4.22 m“-”号表示木桥在飞车起飞点的下方.讨论 本题也可以水面为坐标系原点，则飞车在 y 方向上的运动方程应为10=y m + 2021)sin (gt t v -α 1 -15 如图所示，从山坡底端将小球抛出，已知该山坡有恒定倾角ο30=α，球的抛射角ο60=β，设球被抛出时的速率v 0 ＝19.6 m·ｓ-1，忽略空气阻力，问球落在山坡上处离山坡底端的距离为多少？此过程经历多长时间？题 1-15 图分析 求解方法与上题类似，但本题可将运动按两种方式分解，如图（a ）和图（b ）所示.在图（a ）坐标系中，两个分运动均为匀减速直线运动，加速度大小分别为-g αcos 和-g αsin ，看似复杂，但求解本题确较方便，因为落地时有y =0,对应的时间t 和x 的值即为本题所求.在图（b ）坐标系中，分运动看似简单，但求解本题还需将落地点P 的坐标y 与x 的关系列出来.解 1 由分析知，在图（a ）坐标系中，有20)sin (21)]cos([t g t v x ααβ-+-= （1） 20)cos (21)]sin([t g t v y ααβ-+-= （2）落地时，有y =0，由式（2）解得飞行时间为31.230tan 20==οgv t s将 t 值代入式（1），得1.263220===gv x OP m解 2 由分析知，在图（b ）坐标系中，对小球t v x )cos (0β= （1） 2021)sin (gt t v y -=β（2） 对点Pαtan x y =' （3）由式（1）、（2）可得球的轨道方程为 οββ2202cos 2tan v gx x y -=（4） 落地时，应有y y '=，即οοο60cos 260tan 30tan 2202v gx x x -=解之得落地点P 的x 坐标为 gv x 332=（5）则 1.263230cos 20===g v xOP οm联解式（1）和式（5）可得飞行时间31.2=t s讨论 比较两种解法，你对如何灵活运用叠加原理有什么体会?1 -16 一质点沿半径为R 的圆周按规律2021bt t s -=v 运动,v 0 、b 都是常量．(1) 求t 时刻质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b ？(3) 当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈？分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝s (t ),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a ｔ,而加速度的法向分量为a n ＝v 2 /R ．这样,总加速度为a ＝a ｔe ｔ＋a n e n ．至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs ＝s t -s 0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得．解 (1) 质点作圆周运动的速率为bt t s -==0d d v v 其加速度的切向分量和法向分量分别为b t s a t -==22d d , Rbt R a n 202)(-==v v 故加速度的大小为R )(402222bt b a a a a t tn -+=+=v 其方向与切线之间的夹角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==Rb bt a a θt n 20)(arctan arctan v (2) 要使｜a ｜＝b ,由b bt b R R=-+4022)(1v 可得 bt 0v = (3) 从t ＝0 开始到t ＝v 0 /b 时,质点经过的路程为b s s s t 2200v =-= 因此质点运行的圈数为bRR s n π4π220v == 1 -17 一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比．在t ＝2.0ｓ 时测得轮缘一点的速度值为4.0 m·ｓ-1．求：(1) 该轮在t′＝0.5ｓ的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度；(2)该点在2.0ｓ内所转过的角度．分析 首先应该确定角速度的函数关系ω＝kt 2．依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k ,ω＝ω(t )确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移．解 因ωR ＝v ,由题意ω∝t 2 得比例系数322s rad 2-⋅===Rtt ωk v 所以 22)(t t ωω== 则t ′＝0.5ｓ 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为12s rad 5.02-⋅='=t ω2s rad 0.24d d -⋅='==t tωα 2s m 0.1-⋅==R αa t总加速度n t t n R ωR αe e a a a 2+=+= ()()2222s m 01.1-⋅=+=R ωR αa 在2.0ｓ内该点所转过的角度 rad 33.532d 2d 203202200====-⎰⎰t t t t ωθθ 1 -18 一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动,其角位置为342t θ+=,式中θ 的单位为rad,t 的单位为ｓ．(1) 求在t ＝2.0ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少？(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等？分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到．解 (1) 由于342t θ+=,则角速度212d d t tθω==．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为22s 2s m 30.2-=⋅==ωr a t n2s2s m 80.4d d -=⋅==t ωr a t t (2) 当22212/t n t a a a a +==时,有223n t a a =,即 ()()422212243t r rt = 得 3213=t 此时刻的角位置为 rad 15.3423=+=t θ(3) 要使t n a a =,则有()()422212243t r rt = t ＝0.55ｓ1 -19 一无风的下雨天,一列火车以v 1＝20.0 m·ｓ-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降．求雨滴下落的速度v 2 ．(设下降的雨滴作匀速运动)题 1-19 图分析 这是一个相对运动的问题．设雨滴为研究对象,地面为静止参考系Ｓ,火车为动参考系Ｓ′．v 1 为Ｓ′相对Ｓ 的速度,v 2 为雨滴相对Ｓ的速度,利用相对运动速度的关系即可解．解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v 1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v 2 ,旅客看到雨滴下落的速度v 2′为相对速度,它们之间的关系为1'22v v v += (如图所示),于是可得1o 12s m 36.575tan -⋅==v v 1 -20 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v 1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v 2′,若车后有一长方形物体,问车速v 1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿？分析 这也是一个相对运动的问题．可视雨点为研究对象,地面为静参考系Ｓ,汽车为动参考系Ｓ′．如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v 2′的方向)应满足h l αarctan ≥．再由相对速度的矢量关系122v v v -=',即可求出所需车速v 1．题 1-20 图解 由122v v v -='［图(b)］,有θθcos sin arctan 221v v v -=α 而要使hl αarctan ≥,则hl θθ≥-cos sin 221v v v ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥θh θl sin cos 21v v 第二章 牛顿定律2 -1 如图(a)所示,质量为m 的物体用平行于斜面的细线联结置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速运动,当物体刚脱离斜面时,它的加速度的大小为( )(A) g sin θ (B) g cos θ (C) g tan θ (D) g cot θ分析与解当物体离开斜面瞬间,斜面对物体的支持力消失为零,物体在绳子拉力FＴ(其方向仍可认为平行于斜面)和重力作用下产生平行水平面向左的加速度a,如图(b)所示,由其可解得合外力为mg cot θ,故选(D)．求解的关键是正确分析物体刚离开斜面瞬间的物体受力情况和状态特征．2 -2用水平力F N把一个物体压着靠在粗糙的竖直墙面上保持静止．当F N逐渐增大时,物体所受的静摩擦力F f的大小( )(A) 不为零,但保持不变(B) 随F N成正比地增大(C) 开始随F N增大,达到某一最大值后,就保持不变(D) 无法确定分析与解与滑动摩擦力不同的是,静摩擦力可在零与最大值μF N范围内取值．当F N增加时,静摩擦力可取的最大值成正比增加,但具体大小则取决于被作用物体的运动状态．由题意知,物体一直保持静止状态,故静摩擦力与重力大小相等,方向相反,并保持不变,故选(A)．2 -3一段路面水平的公路,转弯处轨道半径为R,汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ,要使汽车不至于发生侧向打滑,汽车在该处的行驶速率( )(A) 不得小于gRμμ(B) 必须等于gR(C) 不得大于gRμ (D) 还应由汽车的质量m决定分析与解由题意知,汽车应在水平面内作匀速率圆周运动,为保证汽车转弯时不侧向打滑,所需向心力只能由路面与轮胎间的静摩擦力提供,能够提供的最大向心力应为μF N．由此可算得汽车转弯的最大速率应为v＝μRg．因此只要汽车转弯时的实际速率不大于此值,均能保证不侧向打滑．应选(C)．2 -4一物体沿固定圆弧形光滑轨道由静止下滑,在下滑过程中,则( )(A) 它的加速度方向永远指向圆心,其速率保持不变(B) 它受到的轨道的作用力的大小不断增加(C) 它受到的合外力大小变化,方向永远指向圆心(D) 它受到的合外力大小不变,其速率不断增加分析与解 由图可知,物体在下滑过程中受到大小和方向不变的重力以及时刻指向圆轨道中心的轨道支持力F N 作用,其合外力方向并非指向圆心,其大小和方向均与物体所在位置有关．重力的切向分量(m g cos θ) 使物体的速率将会不断增加(由机械能守恒亦可判断),则物体作圆周运动的向心力(又称法向力)将不断增大,由轨道法向方向上的动力学方程Rm θmg F N 2sin v =-可判断,随θ 角的不断增大过程,轨道支持力F N 也将不断增大,由此可见应选(B)．*2 -5 图(a)示系统置于以a ＝1/4 g 的加速度上升的升降机内,A 、B 两物体质量相同均为m ,A 所在的桌面是水平的,绳子和定滑轮质量均不计,若忽略滑轮轴上和桌面上的摩擦,并不计空气阻力,则绳中张力为( )(A) 5/8 mg (B) 1/2 mg (C) mg (D) 2mg分析与解 本题可考虑对A 、B 两物体加上惯性力后,以电梯这个非惯性参考系进行求解．此时A 、B 两物体受力情况如图(b)所示,图中a ′为A 、B 两物体相对电梯的加速度,m a 为惯性力．对A 、B 两物体应用牛顿第二定律,可解得F Ｔ ＝5/8 mg ．故选(A)．讨论对于习题2 -5 这种类型的物理问题,往往从非惯性参考系(本题为电梯)观察到的运动图像较为明确,但由于牛顿定律只适用于惯性参考系,故从非惯性参考系求解力学问题时,必须对物体加上一个虚拟的惯性力．如以地面为惯性参考系求解,则两物体的加速度a A和a B均应对地而言,本题中a A和a B的大小与方向均不相同．其中a A应斜向上．对a A、a B、a和a′之间还要用到相对运动规律,求解过程较繁琐．有兴趣的读者不妨自己尝试一下．2 -6图示一斜面,倾角为α,底边AB 长为l＝2.1 m,质量为m的物体从题2 -6 图斜面顶端由静止开始向下滑动,斜面的摩擦因数为μ＝0.14．试问,当α为何值时,物体在斜面上下滑的时间最短？其数值为多少？分析动力学问题一般分为两类：(1) 已知物体受力求其运动情况；(2) 已知物体的运动情况来分析其所受的力．当然,在一个具体题目中,这两类问题并无截然的界限,且都是以加速度作为中介,把动力学方程和运动学规律联系起来．本题关键在列出动力学和运动学方程后,解出倾角与时间的函数关系α＝f(t),然后运用对t 求极值的方法即可得出数值来．解取沿斜面为坐标轴Ox,原点O位于斜面顶点,则由牛顿第二定律有ma-cossin (1)αmg=αmgμ又物体在斜面上作匀变速直线运动,故有()22cos sin 2121cos t αμαg at αl -== 则 ()αμααg l t cos sin cos 2-= (2) 为使下滑的时间最短,可令0d d =αt ,由式(2)有 ()()0sin cos cos cos sin sin =-+--αμαααμαα则可得 μα12tan -=,o 49=α此时 ()s 99.0cos sin cos 2min =-=αμααg l t 2 -7 工地上有一吊车,将甲、乙两块混凝土预制板吊起送至高空．甲块质量为m 1 ＝2.00 ×102 kg,乙块质量为m 2 ＝1.00 ×102 kg ．设吊车、框架和钢丝绳的质量不计．试求下述两种情况下,钢丝绳所受的张力以及乙块对甲块的作用力：(1) 两物块以10.0 m·ｓ-2 的加速度上升；(2) 两物块以1.0 m·ｓ-2 的加速度上升．从本题的结果,你能体会到起吊重物时必须缓慢加速的道理吗？题 2-7 图分析 预制板、吊车框架、钢丝等可视为一组物体．处理动力学问题通常采用“隔离体”的方法,分析物体所受的各种作用力,在所选定的惯性系中列出它们各自的动力学方程．根据连接体中物体的多少可列出相应数目的方程式．结合各物体之间的相互作用和联系,可解决物体的运动或相互作用力．解 按题意,可分别取吊车(含甲、乙)和乙作为隔离体,画示力图,并取竖直向上为Oy 轴正方向(如图所示)．当框架以加速度a 上升时,有F Ｔ-( m 1 ＋m 2 )g ＝(m 1 ＋m 2 )a (1)F N2 - m 2 g ＝m 2 a (2)解上述方程,得F Ｔ ＝(m 1 ＋m 2 )(g ＋a) (3)F N2 ＝m 2 (g ＋a) (4)(1) 当整个装置以加速度a ＝10 m·ｓ-2 上升时,由式(3)可得绳所受张力的值为F Ｔ ＝5.94 ×103 N乙对甲的作用力为F ′N2 ＝-F N2 ＝-m 2 (g ＋a) ＝-1.98 ×103 N(2) 当整个装置以加速度a ＝1 m·ｓ-2 上升时,得绳张力的值为F Ｔ ＝3.24 ×103 N此时,乙对甲的作用力则为F ′N2＝-1.08 ×103 N由上述计算可见,在起吊相同重量的物体时,由于起吊加速度不同,绳中所受张力也不同,加速度大,绳中张力也大．因此,起吊重物时必须缓慢加速,以确保起吊过程的安全．2 -8 如图(a)所示,已知两物体A 、B 的质量均为m ＝3.0kg 物体A 以加速度a ＝1.0 m·ｓ-2 运动,求物体B 与桌面间的摩擦力．(滑轮与连接绳的质量不计)分析 该题为连接体问题,同样可用隔离体法求解．分析时应注意到绳中张力大小处处相等是有条件的,即必须在绳的质量和伸长可忽略、滑轮与绳之间的摩擦不计的前提下成立．同时也要注意到张力方向是不同的．解 分别对物体和滑轮作受力分析［图(b)］．由牛顿定律分别对物体A 、B 及滑轮列动力学方程,有m A g -F Ｔ ＝m A a (1)F ′Ｔ1 -F ｆ ＝m B a ′ (2)F ′Ｔ -2F Ｔ1 ＝0 (3)考虑到m A ＝m B ＝m , F Ｔ ＝F′Ｔ , F Ｔ1 ＝F ′Ｔ1 ,a ′＝2a ,可联立解得物体与桌面的摩擦力 ()N 2.724f =+-=a m m mg F题 2-8 图讨论 动力学问题的一般解题步骤可分为：(1) 分析题意,确定研究对象,分析受力,选定坐标；(2) 根据物理的定理和定律列出原始方程组；(3) 解方程组,得出文字结果；(4) 核对量纲,再代入数据,计算出结果来．2 -9 质量为m ′的长平板A 以速度v ′在光滑平面上作直线运动,现将质量为m 的木块B 轻轻平稳地放在长平板上,板与木块之间的动摩擦因数为μ,求木块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度？ 分析 当木块B 平稳地轻轻放至运动着的平板A 上时,木块的初速度可视为零,由于它与平板之间速度的差异而存在滑动摩擦力,该力将改变它们的运动状态．根据牛顿定律可得到它们各自相对地面的加速度．换以平板为参考系来分析,此时,木块以初速度-v ′(与平板运动速率大小相等、方向相反)作匀减速运动,其加速度为相对加速度,按运动学公式即可解得．该题也可应用第三章所讲述的系统的动能定理来解．将平板与木块作为系统,该系统的动能由平板原有的动能变为木块和平板一起运动的动能,而它们的共同速度可根据动量定理求得．又因为系统内只有摩擦力作功,根据系统的动能定理,摩擦力的功应等于系统动能的增量．木块相对平板移动的距离即可求出．解1 以地面为参考系,在摩擦力f F ＝μmg 的作用下,根据牛顿定律分别对木块、平板列出动力学方程f F ＝μmg ＝ma 1f F ＝-f F ＝m ′a 2a 1 和a 2 分别是木块和木板相对地面参考系的加速度．若以木板为参考系,木块相对平板的加速度a ＝a 1 ＋a 2 ,木块相对平板以初速度-v ′作匀减速运动直至最终停止．由运动学规律有- v ′2 ＝2as由上述各式可得木块相对于平板所移动的距离为解2 以木块和平板为系统,它们之间一对摩擦力作的总功为mgs l F l s F W μ=-+=f f ）（ 式中l 为平板相对地面移动的距离．。
程守洙《普通物理学》(第6版)(上册)(课后习题详解 力和运动)
1.2 课后习题详解一、复习思考题§1-1 质点运动的描述1-1-1 回答下列问题：（1）一物体具有加速度而其速度为零，是否可能？（2）一物体具有恒定的速率但仍有变化的速度，是否可能？（3）一物体具有恒定的速度但仍有变化的速率，是否可能？（4）一物体具有沿Ox轴正方向的加速度而又有沿Ox轴负方向的速度，是否可能？（5）一物体的加速度大小恒定而其速度的方向改变，是否可能？答：速度是表示物体运动的方向和快慢的物理量，为矢量，是位矢r的时间变化率；速率是表示速度的大小，为标量，是路程s对时间的的变化率；加速度是表示速度变化的快慢和方向的物理量，为矢量，是速度v的时间变化率．（1）可能．如：①竖直上抛物体运动到最高点的时刻，具有加速度（等于重力加速度），物体的速度为零；②弹簧振子在水平面上振动时，在位移达到最大值时，加速度不为零，而速度为零．（2）可能．速度是矢量，有大小和方向；速率是速度的大小．如，物体作匀速率圆周运动时，速度的大小（即速率）不变，但其方向不断变化着，因而其速度一直变化．（3）不可能．因为速度是矢量，有大小（即速率）和方向，当速率变化时，速度必将改变，不可能恒定．（4）可能．如：物体匀减速直线运动时的加速度方向和速度方向相反．（5）可能．如：①物体作抛体运动时，其加速度为重力加速度，大小和方向恒定保持不变，而其速度（大小和方向）却时刻变化着；②物体作匀速率圆周运动，其向心加速度的大小保持不变，但其速度的方向时刻沿圆周的切线方向，即速度的方向在改变着．1-1-2 回答下列问题：（1）位移和路程有何区别？在什么情况下两者的量值相等？在什么情况下并不相等？（2）平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下两者的量值相等？瞬时速度和平均速度的关系和区别是怎样的？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是怎样的？答：（1）①位移和路程的区别a ．位移是矢量，是以质点在△t 时间内从起点到终点的有向线段来表示；b ．路程是标量，是在△t 时间内质点实际路径的长度．在图1-1中，是位移，是路程．图1-1-1②两者量值相等和不相等时的情况a ．两者相等的情况：在直线运动中，如运动方向不变，则质点的位移的大小与路程相等．曲线运动中，在△t 趋近于0的极限情况下，位移与轨迹重合，位移的大小才等于路程.b．两者不相等的情况：一般的曲线运动中，位移的大小|△r|与路程并不相等，只有在△t很短的情况下，质点的位移和运动轨迹近似地看作重合．（2）①平均速度和平均速率a．平均速度定义为，它是矢量．b．平均速率定义为，它是标量．②两者量值相等时的情况在一般情况下，在相同的时间内|△r|≠△s，所以平均速度和平均速率并不相等．只有在运动方向不变的直线运动中，平均速度在量值上才和平均速率相等．③瞬时速度和平均速度的关系与区别a．二者的关系瞬时速度是时间△t趋于零时平均速度的极限，即．b．二者的区别第一，瞬时速度和平均速度都是矢量．一般情况下，二者大小和方向都不相同．平均速度的方向是△t时间内位移△r的方向，而瞬时速度的方向是△t→0时沿运动轨迹的切线方向．第二，只有在匀速直线运动中，瞬时速度和平均速度的大小和方向才相等．④瞬时速率和平均速率的关系和区别a．二者的关系瞬时速率是指瞬时速度的大小，平均速率的大小等于单位时间内所经过的路程．它们都是标量．b．二者的区别一般情况下，它们不相等，只有在匀速直线运动中，瞬时速率才等于平均速率．1-1-3 回答下列问题：（1）有人说：“运动物体的加速度越大，物体的速度也越大”，你认为对不对？（2）有人说：“物体在直线上运动前进时，如果物体向前的加速度减小，物体前进的速度也就减小”，你认为对不对？（3）有人说：“物体加速度的值很大，而物体速度的值可以不变，是不可能的”，你认为如何？答：（1）这种说法是错误的．运动物体的加速度很大，只说明物体运动速度在变，且变化地很大，并不是运动的速度很大．如，弹簧振子在位移最大处，其加速度的值最大，而速度却等于零．（2）这种说法是错误的．物体作直线运动时，若向前运动的加速度减小，表明向前运动的速度的变化率在减小，但速度还是因有加速度继续增大，只是增大得平缓些．即使加速度减到零，物体仍向前作匀速直线运动，而不会减小．（3）这种说法是错误的．物体速度的大小不变，但速度的方向可改变．如，物体作匀速率圆周运动时，其向心加速度，如v的值很大，那么可得到很大的加速度，但是速度大小却保持不变．1-1-4 设质点的运动学方程x＝x（t），y＝y＝（t），，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出然后根据及而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即及你认为哪一种正确？两者差别何在？答：（1）在计算速度和加速度的大小时，前一种方法有错误，后面一个方法是正确的．（2）二者的差别：①前面一个计算方法错误在于忽视了位移、速度和加速度的矢量性，求出的只是速度v和加速度a的径向分量．②质点的速度按定义是，而不是．|d r|是位矢增量d r的大小，而dr是位矢r2和r1大小的差值，即r2－r1的极值，按速度定义应为速度的大小为同样，加速度的大小应为用平面极坐标表示时，设位置矢量r的大小为极径r，方向用极角θ表示．质点运动的速度v和加速度a也都可表示为沿径向的和垂直于径向的两个分量的叠加，即和其中所以，前者求出的只是速度v和加速度a的径向分量．§1-2 圆周运动和一般曲线运动1-2-1 试回答下列问题：（1）匀加速运动是否一定是直线运动？为什么？（2）在圆周运动中，加速度方向是否一定指向圆心？为什么？答：（1）不一定．如抛体运动，它的加速度为重力加速度g，大小和方向都不变，然而速度v的方向总是沿着轨迹的切线方向，时刻变化，不是直线运动．（2）不一定．如在变速率圆周运动中，质点既有向心（法向）加速度，又有切向加速度，合加速度就不指向圆心．1-2-2 对于物体的曲线运动有下面两种说法：（1）物体作曲线运动时，必有加速度，加速度的法向分量一定不等于零．（2）物体作曲线运动时速度方向一定在运动轨迹的切线方向，法向分速度恒等于零，因此其法向加速度也一定等于零．试判断上述两种说法是否正确，并讨论物体作曲线运动时速度、加速度的大小、方向及其关系．答：（1）第一种说法是正确的，第二种说法是错误的．①对于说法（1），因为物体作曲线运动时，它的速度方向一直在变化，因而一定存在法向加速度．②对于说法（2），法向加速度反映物体运动速度的方向变化．（2）物体作曲线运动时速度、加速度的大小、方向及其关系。
(完整版)大学物理课后习题答案详解
r r r r r r rr、⎰ dt⎰0 dx = ⎰ v e⎰v v1122v v d tv v d tvg 2 g h d tdt [v 2 + ( g t ) 2 ] 12 (v 2 + 2 g h ) 12第一章质点运动学1、(习题 1.1)：一质点在 xOy 平面内运动，运动函数为 x = 2 t, y = 4 t 2 - 8 。
（1）求质点 的轨道方程；（2）求 t = 1 s 和 t = 2 s 时质点的位置、速度和加速度。
解：（1）由 x=2t 得，y=4t 2-8可得： r y=x 2-8r 即轨道曲线（2）质点的位置 ： r = 2ti + (4t 2 - 8) jr r rr r 由 v = d r / d t 则速度： v = 2i + 8tjr r rr 由 a = d v / d t 则加速度： a = 8 jrr r r r r r r 则当 t=1s 时，有 r = 2i - 4 j , v = 2i + 8 j , a = 8 j r当 t=2s 时，有r = 4i + 8 j , v = 2i +16 j , a = 8 j 2 （习题 1.2）： 质点沿 x 在轴正向运动，加速度 a = -kv ， k 为常数．设从原点出发时速度为 v ，求运动方程 x = x(t ) .解：dv = -kvdt v1 v 0 vd v = ⎰ t - k dt 0v = v e - k tdx x= v e -k t0 t0 -k t d t x = v0 (1 - e -k t )k3、一质点沿 x 轴运动，其加速度为 a = 4 t (SI)，已知 t = 0 时，质点位于 x 0=10 m 处，初速 度 v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式．解：a = d v /d t = 4 td v = 4 t d tv 0d v = ⎰t 4t d t v = 2 t 2v = d x /d t = 2 t 2⎰x d x = ⎰t 2t 2 d t x = 2 t 3 /3+10 (SI)x4、一质量为 m 的小球在高度 h 处以初速度 v 水平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程； d r d v d v （3）落地前瞬时小球的 ，，.d td td t解：（1）x = v t式（1）v v v y = h - gt 2 式（2）r (t ) = v t i + (h - gt 2 ) j0 （2）联立式（1）、式（2）得y = h -vd r（3） = v i - gt j而落地所用时间t =0 gx 22v 22hgvd r所以 = v i - 2gh jvd vdv g 2t= - g j v = v 2 + v 2 = v 2 + (-gt) 2= =x y 0 0vv v d rv d v 2） v = [(2t )2+ 4] 2 = 2(t 2+ 1)2t t 2 + 1, V a = a - a = m + M m + Mvg gvv v 5、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r = t 2i + 2tj ，式中 r 的单位为 m ， 的单位为 s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
大学物理第2章质点动力学章节总结及练习题
第2章 质点和质点系动力学（复习指南）一、基本要求掌握牛顿三定律及其适用条件，牛顿第二定律的微分形式和惯性系的概念；掌握万有引力（含重力）、弹性力、摩擦力的相关公式，能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题.掌握功的概念和直线运动情况下变力做功的计算方法；掌握势能的概念，会计算重力、弹性力势能；理解保守力做功的特点.二、基本内容1．力、常见力力是物体间的相互作用.力是物体改变运动状态的原因. 常见力有万有引力、重力、弹性力、摩擦力. （1）万有引力、重力万有引力指存在于任何两个物质（质点）之间的吸引力.其数学表达式为r e rm m G F221 2211kg m N 1067.6 G引力的特点为：方向已知，大小与质点间的距离的平方成反比.重力为地球表面附近物体受地球的引力（忽略地球自转的影响）.重力的特点为：大小已知，方向竖直向下指向地心.g m P 222EE kg m N 80.9 R Gmg（2）弹性力发生形变的物体，由于要恢复形变而对与它接触的物体产生的力叫弹力.弹力的表现形式有很多种，常见的有正压力、绳中张力、绳对物体的拉力、弹簧的弹力等.弹性力的特点为：方向已知，大小与运动状态有关.弹簧弹力：kx F ，x 为弹簧伸长量，弹力方向指向弹簧原长位置. （3）摩擦力两物体沿相互接触面方向有相对滑动或相对运动趋势时作用于接触面上阻碍物体相对运动的力为摩擦力，摩擦力分滑动摩擦力和静摩擦力.滑动摩擦力在相对滑动的速度不是太大或太小时，其大小与滑动速度无关，而和正压力N成正比，N f，f 的方向与相对滑动方向相反.静摩擦力为变力，其值介于0和最大静摩擦力之间，即max 000f f最大静摩擦力指两个有接触面的物体，沿接触面方向即将产生相对滑动时，通过接触面作用于两物体的摩擦力.在此以前两物体间的相互作用静摩擦力大小可以变化.对物体受力分析的顺序为：重力、弹力、摩擦力.在常见力分析中要特别注意静摩擦力. 2．惯性参考系（惯性系）惯性参考系就是用牛顿第一定律定义的参考系.牛顿定律只有在惯性参考系中才成立.惯性参考系有一个重要性质：相对于惯性参考系作匀速直线运动的任何其它参考系也一定是惯性参考系. 3．基本规律 ﹙1﹚牛顿第一定律第一定律明确了力是改变物体运动状态的原因，并反映出物体有保持原来运动状态不变的特性——惯性，第一定律定义了惯性系.﹙2﹚牛顿第二定律第二定律定量描述了外力作用与所产生的效果的关系，即力的作用与物体状态变化的定量关系.对第二定律应用需注意：①适用于惯性系.②适用于质点.③合外力与物体产生的加速度之间为一瞬时关系，合外力沿加速度方向.④第二定律为一矢量式，应用时常在坐标系中分解.在直角坐标系中有：z iz y iy x x ma F ma F ma F i ，，﹙3﹚牛顿第三定律牛顿第三定律指出力是物体间的相互作用.物体间有相互作用便存在相互作用力.应用第三定律需注意：①作用力，反作用力分别作用在相互作用的物体上，不是平衡力.②作用力、反作用力一定属于同种性质的力，同时产生，同时消失.③不论相互作用的两物体是运动还是静止，第三定律总成立. 4．功功是力的空间累积量：r F Wd d .功等于力和力的作用点位移的点积.功是标量，是一个代数量.当力的作用点没有位移或力与其作用点的位移相互垂直时，此力不做功.保守力做功只取决于相互作用质点的始末相对位置，而与各质点的运动路径无关.非保守力做功与路径有关. 5．势能物体间存在保守力相互作用才能引入相关势能.如地球对地面附近物体间存在重力作用，重力为保守力，引入重力势能.因为势能与物体间相对位置相关，所以，一方面势能属于存在保守力相互作用的系统，另一方面物体的位置描述是相对的，所以势能具有相对性.只有选定势能零点后，系统才有确定的势能值.例如一质量为m 的质点处于地面上h 高度，在没明确势能零点前不能确定m 和地球系统的势能大小，而且重力势能可正、可负、可以为零.但任意两个状态之间系统的势能差是确定的，与势能零点选取无关.势能是状态函数.在讨论涉及势能的功能问题时，必须：①选系统.②选势能零点[弹力势能（原长位置）、万有引力（无穷远）势能零点是确定的].③确定并描述初末状态的能量状态.弹簧弹性势能2k 21kx E ，k 为弹簧倔强系数，x 为相对原长位置（势能零点）的位移.三、例题详解2-1、质量为m 的子弹以速度0v 竖直射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为K ，忽略子弹的重力，求：子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式．解：取竖直向下为y 轴正向．子弹进入沙土后受力为v K ，由牛顿定律t mK d d v v ∴vvd d t m K ， v v v v 0d d 0t t m K ∴m Kt /0e v v2-2、物体沿x 轴作直线运动，所受合外力2610x F （SI ）．试求该物体运动到m 4 x 处时外力做作的功解：J 168210d )610(d 3424x x x x x F W2-3、一人从10m 深的井中提水．起始时桶中装有10kg 的水，桶的质量为1kg ，由于水桶漏水，每升高1m 要漏去的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所做的功．解：选竖直向上为坐标y 轴的正方向，井中水面处为原点． 由题意知，人匀速提水，所以人所用的拉力F 等于水桶的重量 即：y gy mg ky P P F 96.18.1072.00 （SI ）人的拉力所做的功为：J 980d )96.18.107(d d 10y y y F W W H2-4、一个弹簧下端挂质量为0.1kg 的砝码时长度为0.07m ，挂0.2kg 的砝码时长度为．现在把此弹簧平放在光滑桌面上，并要沿水平方向从长度m 10.01 l 缓慢拉长到m 14.02 l ，外力需做功多少解：设弹簧的原长为0l ，弹簧的劲度系数为k ，根据胡克定律： )(0.071.00l k g ，)(0.092.00l k g 解得：m 05.00 l ，N/m 49 k拉力所做的功等于弹性势能的增量：J 14.0)(21)(21201202p1p2l l k l l k E E W 四、习题精选2-1、一质点在力)25(5t m F （SI ）的作用下，0 t 时从静止开始作直线运动，式中m 为质点的质量，t 为时间，则当s 5 t 时，质点的速率为（提示：变加速度运动，牛II 定律分离变量积分tmF d d v ） （A ）50m·s -1． （B ）25m·s -1． （C ）0． （D ）-50m·s -1．［ ］2-2、已知水星的半径是地球半径的倍，质量为地球的倍．设在地球上的重力加速度为g ，则水星表面上的重力加速度为：（提示：2EER GM g） ［ ］ （A ）g 1.0 （B ）g 25.0 （C ）g 5.2 （D ）g 42-3、质量分别为1m 和2m 的两滑块A 和B 通过一轻弹簧水平连接后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为 ，系统在水平拉力F 作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度A a 和B a 分别为（提示：注意加速度的瞬时性）［ ］（A ）0B A a a （B ）0A a ，0B a （C ）0A a ，0B a （D ）0A a ，0B a2-4、如图所示，质量为m 的物体用细绳水平拉住，静止在倾角为 的固定的光滑斜面上，则斜面给物体的支持力为（提示：画受力分析图）［ ］（A ） cos mg . （B ） sin mg . （C ）cos mg . （D ）sin mg. 2-5、一物体挂在一弹簧下面，平衡位置在O 点，现用手向下拉物体，第一次把物体由O 点拉到M 点，第二次由O 点拉到N 点，再由N 点送回M 点．则在这两个过程中（A ）弹性力做的功相等，重力做的功不相等． （B ）弹性力做的功相等，重力做的功也相等． （C ）弹性力做的功不相等，重力做的功相等． （D ）弹性力做的功不相等，重力做的功也不相等．（提示：弹力和重力都是保守力，做功只与始末位置有关，与路径无关）[ ］2-6、沿水平方向的外力F 将物体A 压在竖直墙上，由于物体与墙之间有摩擦力，此时物体保持静止，并设其所受静摩擦力为0f ，若外力增至F 2，则此时物体所受静摩擦力为_________．（提示：静摩擦力是变力，大小从受力平衡角度分析）2-7、如果一个箱子与货车底板之间的静摩擦系数为0 ，当这货车爬一与水平方向成 角的平缓山坡时，要不使箱子在车底板上滑动，车的最大加速度max a ＝______________________．（提示：以箱子为对象受力分析，最大加速度时摩擦力方向应沿斜面向上） 2-8、如图，在光滑水平桌面上，有两个物体A 和B 紧靠在一起．它们的质量分别为kg 2 A m ，kg 1 B m ．今用一水平力N 3 F 推物体B ，则B 推A 的力等于_____．如用同样大小的水平力从右边推A ，则A 推B 的力等于__________．（提示：先整体，后部分，分析受力和加速度）2-9、质量kg 1 m 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为x F 23 （SI ），那么，物体在开始运动的3m 内，合力所做的功W ＝_______．（提示：变力做功，用元功定义，再积分）2-10、设作用在质量为1kg 的物体上的力36 t F （SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，求：在0到的时间间隔内，这个力对物体做功的大小__________．（提示：力是时间函数，参考教学例题，t F x F W d d d v ，v d d m t F ）。
理论力学(金尚年-马永利编著)课后习题答案详解
高等教育出版社，金尚年，马永利编著理论力学课后习题答案第一章1.2写出约束在铅直平面内的光滑摆线上运动的质点的微分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关.解：设s为质点沿摆线运动时的路程，取=0时，s=0XYF Nmg sinφmgmg cosφφS== 4 a (1)设为质点所在摆线位置处切线方向与x 轴的夹角，取逆时针为正，即切线斜率=受力分析得：则，此即为质点的运动微分方程。
该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关，为.1.3证明：设一质量为m 的小球做任一角度0θ的单摆运动运动微分方程为θθθF r r m =+)2( θθsin mg mr = ①给①式两边同时乘以d θ θθθθd g d r sin = 对上式两边关于θ积分得 c g r +=θθcos 212 ② 利用初始条件0θθ=时0=θ 故0cos θg c -= ③ 由②③可解得 0cos cos 2-θθθ-•=lg 上式可化为dt d lg=⨯-•θθθ0cos cos 2-两边同时积分可得θθθθθθθθd g l d g l t ⎰⎰---=--=020222002sin 12sin 10012cos cos 12进一步化简可得θθθθd g l t ⎰-=0002222sin sin 121 由于上面算的过程只占整个周期的1/4故⎰-==0222sin 2sin 124T θθθθd g l t由ϕθθsin 2sin /2sin 0=两边分别对θϕ微分可得ϕϕθθθd d cos 2sin 2cos 0=ϕθθ202sin 2sin 12cos-=故ϕϕθϕθθd d 202sin 2sin 1cos 2sin2-= 由于00θθ≤≤故对应的20πϕ≤≤故ϕϕθϕθϕθθθθπθd g l d g l T ⎰⎰-=-=202022cos 2sinsin 2sin 1/cos 2sin42sin2sin 2故⎰-=2022sin 14πϕϕK d g l T 其中2sin022θ=K 通过进一步计算可得glπ2T =])2642)12(531()4231()21(1[224222 +⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯++n K n n K K1.5zp点yx解：如图，在半径是R的时候，由万有引力公式，对表面的一点的万有引力为, ①M为地球的质量；可知，地球表面的重力加速度 g , x为取地心到无限远的广义坐标，，②联立①，②可得：,M为地球的质量；③当半径增加 ,R2=R+ ,此时总质量不变，仍为M,此时表面的重力加速度可求：④e өe tөy由④得：⑤则，半径变化后的g 的变化为⑥对⑥式进行通分、整理后得：⑦对⑦式整理，略去二阶量，同时远小于R ，得⑧则当半径改变 时，表面的重力加速度的变化为：。
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(2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI),如果初始时刻质点的速度V 0为5m -s '1,则当t 为3s 时，质点的速度 v= ________________________ 。
[答案：23 ms -1]⑶ 轮船在水上以相对于水的速度 V 航行，水流速度为v 2, 一人相对于甲板以速度 V 3行走。
如人相对于岸静止，则V 、V 2和V 3的关系是。
[答案：V 1 V 2 V 30]习题1A /选择题(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径r(x, y)的端点处，其速度大小为dr(A) — dtdr (B) —— dtd |r |(C)dt1[答案：D]:,dx 、2,dy 、2(D)W dt )V(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度 v 2m/s ，瞬时加速度a 2m/ s 2，则 一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (C)等于 2m/s [答案：D] (B)等于-2m/s (D)不能确定。
(3) 一质点沿半径为 速度大小和平均速率大小分别为 2 R 2 R (A) - t tR 的圆周作匀速率运动，每 t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均 (C) 0,0 c 2 R (B) 0,-p 2 R c (D) —,0 [答案：B]/填空题 (1) 一质点，以 m 1 的匀速率作半径为 5m 的圆周运动，则该质点在 5s 内，位移的大小是 _____________________ [答案：10 m ; ;经过的路程是 5 n m]一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：（1） 物体的大小和形状； （2） 物体的内部结构； （3） 所研究问题的性质。
解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研 究问题的性质决定。
F 面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动（1）x=4t-3; （ 2）x=-4t 3+3t 2+6; （ 3）x=-2t 2+8t+4; （ 4）x=2t 2-4/t 。
给出这个匀变速直线运动在t=3 s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。
（x 单位为m , t 单位为s ）解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。
加速度又是位移对时间 的两阶导数。
于是可得（3）为匀变速直线运动。
其速度和加速度表达式分别为v adt 〜t=3 s 时的速度和加速度分别为v=20 m/s ， a=4m/s 2。
因加速度为正所以是加速的。
在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零（1）匀速直线运动；（2）匀速曲线运动；（3）变速直线运动；（4）变速曲线运动。
解：（1）质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；（2） 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； （3） 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零； （4） 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。
说明.dr 是速度的模，即drds (2)/ 一dtdtdtdr竺只是速度在径向上的分量dtdr 巴就是速度在径向上的分量,dtdt 业4 r 丨与有无不同dr dtdr dt有无不同dv dtd有无不同其不同在哪里试举例dt解：（1） r 是位移的模,r 是位矢的模的增量，即 r A , ran ；•••有 r r ?（式中?叫做单位矢） dt dt式中dv, dv 是加速度a 在切向上的分量dt dt•••有v v （表示轨道切线方向单位矢），所以dv dv d v - dtdtdt式中dv 就是加速度的切向分量.dtd? d ?（不与不的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论）x = x （t ）, y = y （t ）,在计算质点的速度和加速度时，有人先求出解：后一种方法正确•因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r xi yj ,dr dx. vi dtdt.2.2d r d x a2 dt 2dt 2故它们的模即为2dy dt而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作dr与竺不同如题图所示dt dt⑶dv 表示加速度的模，即 a d t设质点的运动方程为 x 2 y 2 ,然后根据dr dtd 2r dt 2而求得结果; 又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果，即2 2 2 222dx dyad 2x d 2y v=. — dtadtdt 2dt 2你认为两种方法哪一种d 2x 2d 2y dt 2正确为什么两者差别何在⑷ v⑵将t1,t 2代入上式即有⑶••drdt3i (t 3) j mV o(3t 5)ir 1】t 2 3t 4)j m8i 0.5j m v 11i v4j m vr i v v v 5i 4j,「412i v 43i 7j3iv v 3i 4.5j mv v17i 16 j总 3i 5jms 143i7jdr d 2r v a 2 dtdt 22其二，可能是将dr 与 马 误作速度与加速度的模。
在题中已说明dt dt 2马也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一dt。
或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r 在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r 及速度v 的方向随时间的变化率对速度、加速度的贡献。
一质点在xOy 平面上运动，运动方程为1 x =3t +5, y=—t 2+3t -4.2式中t 以s 计，x , y 以m 计.（1）以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式； （2）求出t =1s时刻和t = 2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；（3）计算t = 0 s 时刻到t = 4s 时刻内 的平均速度；（4）求出质点速度矢量表示式， 计算t = 4 s 时质点的速度；（5）计算t = 0s 到t = 4s 内质点的平均加速度；（6）求出质点加速度矢量的表示式， 计算t = 4s 时质点的加速度（请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中 的矢量式）.dr不是速度的模，而只dt是速度在径向上的分量，同样,2d dt位为m.质点在x = 0处，速度为10m s 1,试求质点在任何坐标处的速度值. 解：•/dv dv dx dva— v -dt dx dt dx分离变量：vdv adx (226x )dx两边积分得1 23v 2x 2x c2由题知，x 0时，v 0 10,A c 50v 2 x 3 x 25 m s2已知一质点作直线运动，其加速度为a = 4+31 m s ，开始运动时，x = 5 m , v =0,求该质点在t = 10s 时的速度和位置.解：•••a dv dt 4 3t分离变量，得dv (4 3t)dt积分，得v4t -t2G由题知，t 0，v ° 0 ，…C1故v 4t沖2又因为vdx dt 4t 3t 22分离变量，dx (4t -t 2)dt 2积分得x2t 2It 23C 2由题知 t 0, x 05 , A c 25⑹这说明该点只有v v vv V 4 V o 4j t 44dvadt y 方向的加速度，且为恒量。
ms 21j m“质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为a = 2+6 x 2, a 的单位为ms 2, x 的单故x 2t 2It 3 52所以t 10s 时10 3 ,亠2 一亠 1v 〔04 — 10 190 m s2x 102 10 2 1 103 5 705 m2A / 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为=2+3t 3 ,式中 以弧度计，t 以秒计，求：⑴t = 2 s 时，质点的切向和法向加速度； (2)当加速度的方向和半径成 45°角时，其角位移是多少d 2d 解：9t ,18tdtdt(1)t 2s 时，a R 1 18 236 m2sa n R 21 (9 22)2 1296 m s 2(2)当加速度方向与半径成 45 0角时，有tan 45a n2 3t3 2 3 -2.67rad 9"质点沿半径为R的圆周按s =v o t 2bt 2的规律运动，式中s 为质点离圆周上某点的弧长，v o , b 都是常量，求：(l)t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在数值上等于 b .ds dt亦即则解得 于是角位移为(9t 2)218tt 3bt•••当t 也时，a bb飞轮半径为0.4 m ，自静止启动，其角加速度为 卩=rad • s 2，求t = 2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.则 v R 0.4 0.4 0.16 m sa .a ； a 2、(0.064)2 (0.08)2 一船以速率v i = 30 km • h -1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率 v 2 = 40 km • h -1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少在艇上看船的速度又为多少解：（1）大船看小艇，则有v 21v 2 v 1，依题意作速度矢量图如题图（a ）dvabdtv 2 (v o bt)2 a n R R则加速度与半径的夹角为（2）由题意应有即(V 。
bt)4R 2arctan 旦 鉴a n (V o bt)(v o bt)4 R 2b 2b 2(v o bt)4 R 2(v o bt)4解：当t 2s 时,t O.2 2 O.4 rad sa nR 20.4 (0.4)2 0.064 m 0.4 0.20.08 m0.102 m-2 2 a an1题图由图可知 方向北偏西 ⑵小艇看大船，则有v 12 方向南偏东36.87°.v 21 V v ； 50 km harcta n V1arcta n - 36.87v；v i v ；，依题意作出速度矢量图如题图（b ），同上法，得v^50 km h1。