工程力学课件第10章

y M(x) Fs(x)
q(x) Fs(x)+d Fs(x) A dx M(x)+d M(x)
弯矩与荷载集度的关系是：
dM 2(x) dx2
q(x)
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二、剪力、弯矩与外力间的关系
无外力段 外 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变 无变化
Q 图
Q
Q
Q
Q
Q Q1
1
第十章 弯曲内力
§10–1 引言 §10–2 梁的计算简图 §10–3 剪力与弯矩 §10–4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 §10–5 剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系
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§10–1 引言
一、弯曲的概念： 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴
线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
Y qL Fs1 0
Fs1 qL
x1Fs1
M1 图（b）
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
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2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Fs2 q(x2 a) 0
Fs2 q(x2 a L)
y
mB(Fi) 0 ,
qL
qLx2
M2
1 2
q(x2
a)2
0
M2
1 2
q(x2
a)2
qLx2
2q 1
1a
2b
x
图（a）
B M2
x2
Fs2
图（c）
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§10–4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。 Fs Fs (x) —— 剪力方程 M M (x) —— 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图： 剪力图——— Fs Fs (x) 的图线表示 弯矩图——— M M (x) 的图线表示
qa
q
A
解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。
a
a
特殊点:
端点、分区点（外力变化点）和
驻点等。
22
qa
3
3. 平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一 平面内。
对称弯曲（如下图）—— 平面弯曲的特例。
P1
q
P2
M
纵向对称面
4
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。
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二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
Fs(+)
Fs(+)
Fs(–)
Fs(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
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二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。
qL 1
2q
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体
1a
2b
如图（b）示。
y x
qL A
图（a）
Q
特
征
x
x
x
C
x
Q2
x
C x
Q>0 Q<0 增函数 降函数 Q1–
M
斜直线
曲线
自左Q2向=P右折角 自左向右突变
图
xຫໍສະໝຸດ Baidu
x
x
x
x 与 M2 x
特
m
征M
M
M
M
M
反 M M1
增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 M1 M221 m
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。
[例3] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
m
XA A
Y 0,
Fs
YA
P(l l
a)
mC 0 , M YA x
YA
x
m
∴ 弯曲构件内力
剪力 弯矩
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作
A YA
Fs
C Fs
MC
用面垂直于截面的内力偶矩。
P B
RB
M P
RB
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2. 剪力：Fs 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。
3.内力的正负规定: ①剪力Fs: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。
L Q(x) x Fs(x)
M(x)
x
– qL
qL2 2
Fs (x) qx
M
(
x
)
1 2
qx2
②根据方程画内力图
M(x)
x
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L RA
q0L2 Fs(x)
6
3 3
L
M(x)
3q0L2 27
q0 解：①求支反力
RB
RA
q0L 6
;
RB
q0L 3
②内力方程
x
q0L2
Fs
(x)
q0 6L
(L2
3x2 )
分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。 1. 构件本身的简化
通常取梁的轴线来代替梁。
2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：
集中力、集中力偶和分布载荷。
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§10–2 梁的计算简图
一、支座形式与支反力
①固定铰支座 2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止 推滚珠轴承等。
A
Fs(x) dx M(x)+d M(x)
q(x)dx dFs (x)
dFs x qx
dx
剪力图上某点处的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小。
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mA(Fi ) 0 ,
Fs
(
x)dx
1 2
q(
x)(dx)2
M
(
x)
[M
(
x)
dM
(
x)]
0
dM (x) dx
Fs
(x)
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
3
M (x)
q0x 6L
(
L2
x2
)
x
③根据方程画内力图
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§10–5 剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系
一、 剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系
q(x)
对dx 段进行平衡分析，有：
Y 0
Fs (x) q(x)dx Fs (x) dFs (x) 0
x
dx
y
q(x)
Fs(x)+d Fs(x)
M(x)
②活动铰支座
1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚
珠轴承等。
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③固定端 3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座， 木桩下端的支座等。 二、梁的类型
①简支梁
XA YA
MA M — 集中力偶
②悬臂梁
q(x)— 分布力
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③外伸梁
q — 均布力
P — 集中力
静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
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§10–3 剪力与弯矩
一、弯曲内力：
a
[举例]已知：如图，P，a，l。 A
求：距A端x处截面上内力。 l
解：①求外力
X 0, XA 0
mA 0 ,
RB
Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A YA
P B
P B
RB
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②求内力——截面法
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[例2] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
MO
L
P 解：①求支反力
YO Fs(x) –PL M(x)
M(x) Fs(x) x
P x
x
YO P ; MO PL
②写出内力方程
Fs (x) YO P
M( x ) YOx MO P( x L )
③根据方程画内力图
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q 解：①写出内力方程