弹塑性力学作业(含答案)

(3)
以及： l221 + l222 + l223 = 1
(4)
由（1）（2）得：l23=0
由（3）得： l21 = − a ； l22 = − b ；
l22
b l21
a
将以上结果代入（4）式分别得： l21 =
1
=
1+
l22 l21
2
1
=
1
+
−
b a
2
a； a2 + b2
l22 =
1=
2—19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，试计算出主应力σ1、σ2、 σ3 并求出σ2 的主方向。 解：由 2—11 题计算结果知该题的三个主应力分别为：
1 = a2 + b2 ；2 = 0 ；3 = − a2 + b2 ；
设σ2 与三个坐标轴 x、y、z 的方向余弦为：l21、l22、l23，于是将方向余弦和σ2 值代入下式 即可求出σ2 的主方向来。
+
2 3
+
2 3
−
2
3 1
+
2 1
=
1 6
(1
−
2
)2
+
(
2
−3
)2
+
( 3
−1
)2
=
J2
故左端=右端
( ) 证明（3）：
I2
=
−
1 2
ii kk − ik ik
( ) 右端= 1
2
ii kk − ik ik
( ) ( )( ) =
1 2
2 x
+
2 y
+
2 z
+2
2 xy
+
2 yz
+
2 zx
2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为：
σx=ax+by，σy=cx+dy - γy ， τxy=-dx-ay；
试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数 a、b、c、d。
x
O
解：首先列出 OA、OB 两边的应力边界条件：
OA 边：l1=-1 ；l2=0 ；Tx= γ1y ； Ty=0 则σx=-γ1y ； τ
+
2 y x2
=
2 xy xy
也即：2c+0=2c
知满足。
所以说，该应变状态是可能的。
解（2）：将己知各应变分量代入空间问题所应满足的变形协调方程得：
2 x y 2
+
2 y x2
=
2 xy xy
2 y + 2 z = 2 yz
z2 y2 yz
x
2 z x2
zx + y
+
2 x z 2
xy − z
−800 −300 1100
试确定外法线为 ni｛ 1 ， 1 ， 1 ｝（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总 333
应力 Pn 、正应力σn 及剪应力τn 。 解：首先求出该斜截面上全应力 Pn 在 x、y、z 三个方向的三个分量：n＇=nx=ny=nz
( ) Px= x + xy + xz
( ) c x2 + y2 cxy 0
(1): ij = cxy
cy2 0
0
0 0
6
axy2
(2):
ij
=
0
( )
1
ax2 + by2
2
0 ax2 y
( ) 1 az2 + by2
2
( ) 1
2
ax2 + by2
( ) 1
2
az2 + by2
0
( ) c x2 + y2 z cxyz 0
= −10 − 4 + −10 + 4 cos 60 + 2sin 60 = −7 − 3 1 + 2 3
2
2
2
2
= −6.768 −6.77 (MPa)
30
=
−
x
− 2
y
sin
2
+ xy
cos 2
=
−
−10 + 2
4
sin
60
+ 2 cos 60
= 3 2 + 2 1 = 3.598 3.60 (MPa)
n＇= 5 + 3 + (−8) 102
1 =0 3
( ) Py= yx + y + yz
n＇= 3 + 0 + (−3) 102
1 =0 3
2
( ) Pz= zx + yz + z
n＇= (−8) + (−3) +11 102
1 =0 3
所以知，该斜截面上的全应力 Pn 及正应力σn、剪应力τn 均为零，也即： Pn =σn = τn = 0
2
2
由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得 结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重 W 作用下（如图所示）。材料比重为γ弹性模量为 E，横
截面面积为 A。试求离固定端 z 处一点 C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl。 解：据题意选点如图所示坐标系 xoz，在距下端（原点）为 z 处的 c 点取一截面考虑下
− x +y +z
x + y + z
( ) ( ) =
1 2
2 x
+
2 y
+
2 z
+2
2 xy
+
2 yz
+
2 zx
−
2 x
−
2 y
−
2 z
−2
x y
+ y z
+ z x
( ) = −
x y + y z
+
z
x
−
2 xy
−
2 yz
−
2 zx
= I2
2—28：设一物体的各点发生如下的位移。
30
= x +y 2
+
x
− 2
y
cos
2
− xy
sin
2
T
4
n
2
τ δ 30° y
30°
30°
10
O
x
10
x
τ xy
= −10 − 4 + −10 + 4 cos 60 + 2sin 60 = −7 − 3 1 + 2 3
2
2
2
2
= −6.768 −6.77 (MPa)
30
=
x
− 2
y
sin
2
=
z2 2E
；
显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：
l =
l
d (l)
=
l2 2E
=
All 2EA
=
W l ；（W=γAl） 2EA
z o
c
Nz
dz
lБайду номын сангаас
z
x o
题1—6图
500 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij = +300
−800
应力单位为 kg／cm2 。
300 0
−300
则显然：1 = 17.083103 Pa 2 = 4.917103 Pa
σ1 与 x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）
3 = 0
3
tg2 = −2 xy = −2 (−6) = +12 = +6
x − y 12 −10 2
sin 2 = + cos 2 +
显然 2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg（+6）=+80.5376° 则：θ=+40.2688 40°16＇ 或（-139°44＇）
( ) l21 x − 2 + l22 yx + l23 xz = l23 xz = 0
( ) l21 yx + l22 y − 2 + l23 yz = l23 zy = 0
( ) l21 zx + l22 zy + l23 z − 2 = l21 yx + l22 zy = 0
(1) (2)
半段杆的平衡得：
c 截面的内力：Nz=γ·A·z ；
c 截面上的应力： z
=
Nz A
=
Az A
=
z；
所以离下端为 z 处的任意一点 c 的线应变εz 为：
1
z
= z E
=z E
；
则距下端（原点）为 z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：
lz
=
z
d
( l )
=
z
z
dz
=
z
z E
dz
=
E
z
zd y
试求该点的最大主应力及其主方向。 解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx=12×103 且该点的主应力可由下式求得：
σy=10×103
τxy=6×103，
1.2
=
x
+ y 2
x
− y 2
2
+
2 xy
=
12 +10 2
12
−10 2
2
+
62
103
( ) = 11 37 103 = (11 6.0828)103 = 17.083103 ( Pa) 4.91724 103
2a ， 2 ）；
2 a2 + b2
2 a2 + b2
2
2—20.证明下列等式：
（1）：J2=I2+
1 3
I12
；
( ) （3）：
I2
=
−
1 2
ii kk − ik ik
；
4
证明（1）：等式的右端为：
I2
+
1 3
I12
=
− (1 2
+ 2 3
+ 31 )
+
1 3
(1
+2
+ 3
)2
( ) = 1 3
=
c3
；
xy
=
u y
+
v x
=
b1
+
a2
；
yz
=
v z
+
w y
=
c2
+ b3 ；
zx
=
u y
+
w x
=
a3
+
c1 ；
2—29：设己知下列位移，试求指定点的应变状态。
( ) （1）：
u
= v
3x2
= (4
+ 20 10−2
yx ) 10−2
在（0，2）点处；
5
( ) u = 6x2 +15 10−2
=
v z
+
w y
=
8y + (−2x)10−2
=
(24 − 2)10−2
=
22 10−2
zx
=
w x
+
u z
=
( −2 y
+ 0)10−2
=
−6 10−2
；
用张量形式表示则为：
12 0 −3
ij
=
0
32
11
10−2
−3 11 24
2—32：试说明下列应变状态是否可能（式中 a、b、c 均为常数）
u
v
= =
a0 b0
+ +
a1x b1x
+ +
a2 y b2 y
+ a3z + b3z
w = c0 + c1x + c2 y + c3z
式中 a0、a1………c1、c2 均为常数，试证各点的应变分量为常数。 证明：将己知位移分量函数式分别代入几何方程得：
x
=
u x
=
a1
；
y
=
v y
=
b2
；
z
=
w z
( ) （2）： w = 3z2 − 2xy 10−2
v = (8zy)10−2
解（1）：
u x
=
x
=
6x 10−2
在（1，3，4）点处
v y
=y
=
4x 10−2
xy
=
u y
+
v x
=
0+
4 y 10−2
在（0，2）点处，该点的应变分量为: x = y = 0 ； xy = 810−2 ；
0 4 0 写成张量形式则为： ij = 4 0 0 10−2 ；
+ xy
cos
2
=
−10 + 2
4
sin
60
− 2 cos 60
δ y
题1-3图
= −3 3 − 2 1 = −3.598 −3.60 (MPa)
2
2
代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2
30
= x +y 2
+
(
x
− 2
y
)
cos
2
+
xy
sin
2
12
+ 22
+
2 3
+
21 2
+
2 2 3
+
2 31
− (1 2 + 2 3 + 31 )
( ) = 2 6
2 1
+
2 2
+
2 3
+
4 6
(1
2
+
2
3
+
3 1
)
−
6 6
(1
2
+
2
3
+
3 1
)
=
2 6
2 1
+
2 2
+
2 3
− 1 2
− 2 3
− 31
=
1 6
12
−
21
2
+
2 2
+
2 2
−
2
2 3
xy=0
代入：σx=ax+by； τxy=-dx-ay 并 注 意 此 时 ： x=0
β
得 ： b=-γ1；a=0；
n
OB 边：l1=cosβ；l2=-sinβ，Tx=Ty=0
β
则：yxx
cos cos
+ xy + y
sin sin
= =
0 0
………………………………（a）
γ
γ1y
将己知条件：σx= -γ1y ；τxy=-dx ； σy=cx+dy -γ y 代 B
(3): ij = cxyz
cy2 z 0
0
0 0
解（1）：由应变张量εij 知：εxz=εyz=εzx=εzy=εz=0 而εx、εy、εxy 及εyx 又都是 x、y 坐标的函数，所以这是一个平面应变问题。
将εx、εy、εxy 代入二维情况下，应变分量所应满足的变形协调条件知：
2 x y 2
A
入（a）式得：
−dx
−1y cos + dx sin = 0
cos − (cx + dy − y)sin
=
0
y
(b) (c)
化简（b）式得：d =γ1ctg2β； 化简（c）式得：c =γctgβ-2γ1 ctg3β
12 6 0
2—17.己知一点处的应力张量为
6
10
0 103 Pa
0 0 0
1+
l21 l22
2
1
=
1
+
−
a b
2
b a2 + b2
；
l21
=
−
a b
l22
l22
=
−
b a
a =−
a2 + b2
b a2 + b2
同理 l21
=−
a a2 + b2
于是主应力σ2 的一组方向余弦为：（ a ， a2 + b2
b ，0）； a2 + b2
σ3 的一组方向余弦为（
2b ，
第二章 应力理论和应变理论
2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为 MPa）并说明使用材料力学求
斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。
解：在右图示单元体上建立 xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2
（以上应力符号均按材力的规定） 代入材力有关公式得：
0 0 0
解（2）：将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式，然后将己知点坐标（1， 3，4）代入应变分量函数式。求出设点的应变状态。
x
=
u x
= 12x10−2
= 1210−2
；
y
=
v y
=
8z10−2
=
32 10−2
z
=
w z
=
6z10−2
=
24 10−2
；
xy
=
u y
+
v x
=
0
yz
= 2 zx zx
yz x
=
2
2 x yz
………………………………（1）
y
xy z
+
yz x
−
zx y
=
2
2 y zx
z
yz x
+
zx y
−
xy z
=
2
2 z
xy
7
2ax + 2ay = 0