数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))资料
c语言计算机编程三种方法求解非线性方程
本科专业学年论文题目:非线性方程求解比较姓名:何娟专业:计算机科学技术系班级:08级本科(2)班指导老师:刘晓娜完成日期:2010年11 月21 日题 目:非线性方程求解比较摘 要本文给出了三种求解非线性方程的方法,分别是二分法,牛顿迭代法,割弦法。
二分法巧妙地利用插值得到的点以及有根区间中点这两点处的函数值,缩小隔根区间,以期望得到更快的收敛速度。
牛顿迭代法是非线性方程根的一种常见的数值方法,对于非线性方程的单重零点来说,牛顿迭代法一般具有局部二阶收敛性,但是当所求的根X*是F(X)的M 重根时,M 是大于等于2的整数,此时牛顿迭代法只有一阶收敛性。
弦截法是将牛顿迭代公式中用差商F(k x )-F(1-k x )/ (k x - 1-k x )代替导数'()k F x 。
本文给出了算法改进的具体步骤及算法流程图相关的数值结果也说明了方法的有效性。
关 键 词 : 二分法;牛顿迭代法;割弦法;非线性方程目录第一章绪论- 3 -第二章求解非线性方程的三种常见算法……………………………- 4-2.1 二分法………………………………………………………-4 -2.2 牛顿迭代法……………………………………………………- 5 -2.3 割弦法- 6 -第三章求解非线性方程的三种算法比较- 8 -3.1 二分法求解方法- 8 -3.2 牛顿迭代法求解- 10 -3.3 割弦法求解- 11 -参考文献- 14 -第一章绪论在科技飞速发展的今天,计算机已经成为我们生活中不可缺少的一部分了,在我们生活与生产中扮演越来越重要的角色,而科学计算已经成为科学计算的重要方法之一,其应用范围已渗透到所有科学领域,作为科学与工程计算的数学工具,计算方法已成为高等院校数学与应用数学,信息与计算科学,应用物理学等必修课。
在永恒变化发展的自然界与人类社会中,在研究其内部规律的各个科学领域中,更深刻、更精确地描述其内部规律的数学工具之一,就是非线性方程。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法
迭代法是一种通过迭代逼近的方式来求解方程的方法。
它的基本思想是通过不断逼近
方程的解,使得逼近值与真实解的差距越来越小,最终得到方程的解。
下面介绍三种新的迭代法:牛顿迭代法,弦截法和切线法。
一、牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种通过利用函数导数的信息来逼近方程解的方法。
它的迭代公式为:
x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
x_n表示第n次迭代得到的逼近解,f(x_n)表示在x_n处的函数值,f'(x_n)表示在x_n 处的导数值。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快,通常是二阶收敛,但其缺点是需要计算函数的导数,如果导数计算困难或者导数为零的情况下,该方法可能不适用。
二、弦截法
三、切线法
切线法的优点和牛顿迭代法类似,但其缺点是需要计算函数的导数,且对于初始逼近
解的选择比较敏感。
牛顿迭代法、弦截法和切线法都是三种常用的非线性方程迭代法。
它们各自有着优点
和缺点,适用的领域和条件也不尽相同。
在实际问题中,需要根据具体情况选择合适的方
法来求解非线性方程。
非线性方程求解
⾮线性⽅程求解基于MATLAB的⾮线性⽅程的五种解法探讨摘要:本⽂利⽤matlab软件对⾮线性⽅程解法中的⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法以及Steffensen法的数值分析⽅法的算法原理及实现⽅法进⾏了探讨。
对f x x x=+-()2ln2的零点问题,分别运⽤以上五种不同的⽅法进⾏数值实验,⽐较⼏种解法的优缺点并进⾏初步分析评价。
关键词:⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法、Steffensen法1、引⾔在很多实际问题中,经常需要求⾮线性⽅程f(x) =0的根。
⽅程f(x) =0的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知:若f(x)在闭区间[a,b ]上连续,且()()0f a f b<.则f(x) =0在开区间(a,b)内⾄少有⼀个实根。
这时称[a,b]为⽅程f(x) =0的根的存在区间。
本⽂主要对⾮线性⽅程的数值解法进⾏分析,并介绍了⾮线性⽅程数值解法的五种⽅法。
并设=+-.f x x x()2ln2f x在[1,2]上的图形,如图1:. 显然,函数在[1,2]之间有⼀个零点。
⾸先画出()2、计算机配置操作系统Windows 7 旗舰版内存2GB处理器AMD 4核 A6-3400M APU 1.4GHz图.13、⼆分法⼆分法的基本思想是将⽅程根的区间平分为两个⼩区间,把有根的⼩区间再平分为两个更⼩的区间,进⼀步考察根在哪个更⼩的区间内。
如此继续下去,直到求出满⾜精度要求的近似值。
设函数()f x 在区间[a,b ]上连续,且f(a)·f(b) <0,则[a,b ]是⽅程f(x) =0的根的存在区间,设其内有⼀实根,记为x*。
取区间[a,b ]的中点()2k a b x +=并计算1()f x ,则必有下列三种情况之⼀成⽴: (1) 1()f x =0,x1就是⽅程的根x*;(2)()f a .1()f x <0,⽅程的根x*位于区间[a, 1x ]之中,此时令111,a a b x ==; (3)1()f x .()f b <0,⽅程的根x*位于区间[1x ,b ]之中,此时令11a x =,1b b =。
数值分析求解非线性方程根的二分法简单迭代法和牛顿迭代法
实验报告一:实验题目一、 实验目的掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法,并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。
二、 实验内容1、编写二分法、并使用这两个程序计算02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解,要求误差小于 410- ,比较两种方法收敛速度。
2、在利率问题中,若贷款额为20万元,月还款额为2160元,还期为10年,则年利率为多少?请使用牛顿迭代法求解。
3、由中子迁移理论,燃料棒的临界长度为下面方程的根,用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。
4、用牛顿法求方程的根,精确至8位有效数字。
比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度,并用改进的牛顿迭代法计算重根。
第1题:02)(=-+=x e x x f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。
画图函数:function Test1()% f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0r = 0:0.01:1;y = r + exp(r) - 2plot(r, y);grid on 二分法程序:计算调用函数:[c,num]=bisect(0,1,1e-4)function [c,num]=bisect(a,b,delta)%Input –a,b 是取值区间范围% -delta 是允许误差%Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num 是迭代次数ya = a + exp(a) - 2;yb = b + exp(b) - 2;if ya * yb>0return;endfor k=1:100c=(a+b)/2;yc= c + exp(c) - 2;if abs(yc)<=deltaa=c;b=c;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif abs(b-a)<deltanum=k; %num为迭代次数break;endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc = c + exp(c) - 2;牛顿迭代法程序:计算调用函数:[c,num]=newton(@func1,0.5,1e-4) 调用函数:function [y] = func1(x)y = x + exp(x) - 2;end迭代算法:function[c,num]=newton(func,p0,delta)%Input -func是运算公式% -p0是零点值% -delta是允许误差%Output -c牛顿迭代法最后计算所得零点值% -num是迭代次数num=-1;for k=1:1000y0=func(p0);dy0=diff(func([p0 p0+1e-8]))/1e-8;p1=p0-y0/dy0;err=abs(p1-p0);p0=p1;if(err<delta)num=k;%num为迭代次数break;endendc=p0;第2题:由题意得到算式:计算调用函数:[c,num]=newton(@func2,0.02,1e-8)程序:先用画图法估计出大概零点位置在0.02附近。
数值计算方法第2章2-1节
(2)计算
f
(
a
2
b)
。
(3)若
f
(
a
2
b
)
0
,计算停止;若
f
(
a
2
b
)
f
(a)
0
,用
若
f
(
a
2
b)
f
(b)
0
,以
a
2
b
代替
a
。
a
2
b
代替
b
;
(4)反复执行第二步与第三步,直到区间长缩小到允许误差范围
之内,此时区间中点即可作为所求的近似解。
18
证明方程 x3 3x2 6x 1 0 在区间(0,1)内有唯一的实根,并
在[-1,-0.25],[0.5,1.25],[1.25,2]各区间内至少有一个实根。
10
2.1.3 区间二分法
定理 函数f(x)在[a,b]上单调连续,且f(a)f(b)<0, 则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。
二分法的基本思想 将有根的区间二分为两个小区间,然后判断根在那 个小区间,舍去无根的小区间,而把有根的小区间 再一分为二,再判断根属于哪个更小的区间,如此 反复 ,直到求出满足精度要求的近似根。
5
有根区间
介值定理 若函数 f (x) 在[a, b] 连续,且
f (a) f (b) 0 ,则方程 f ( x) 0 在(a,b) 内至
少有一个实根。将[a, b] 称为 f (x) 的有根区间。
6
2.1.2 逐步搜索法
假设f(x)在区间[a,b]内有一
个实根x*,若 b – a较小,则可 在(a,b)上任取一点x0作为初始 近似根。
牛顿迭代、割线法、二分法算法实验报告
三、牛顿法计算实验
3.1 牛顿法算法思想和简要描述 我们有一个函数 f,其零点由数值计算得出,设 r 是 f 的一个零点,x 是 r 的一个近似。若 f 的二阶导数存在并且连续,则有泰勒定理,得 0=f(r)=f(x+h)=f(x)+hf ’(x)+o(h^2) 其中 h=r-x。若 h 较小(即 x 在 r 附近) ,则有理由略去 o(h^2)项并且 在余下方程中求 h。即得到 h=-f(x)/f ’(x)。故 x-f(x)/f ’(x)是比 x 更好的一个 近似。牛顿法从 r 的一个估计 x0 开始,得到更加准确的近似值 xn。递推 式定义为: f(xn ) xn+1 = xn − ′ f (xn ) 3.2 MATLAB 运行牛顿法程序 牛顿法求解 f=x^3-9 的根 参数设置:x0 设置为函数 f 零点的近似。 n 设置为牛顿法 for 语句迭代次数。 alpha 设置为最后结果 f(x)的精度。 delta 设置为最后结果 x 的精度。 (若 alpha,delta 都符合设置的计算精度时,结束迭代并得 出计算结果,否则一直迭代到 n 次) 设置初始值:设置参数 x0 分别为为 3;迭代次数 n 为 50 次;alpha 和 delta 都设置为 0.001。 列出计算结果: >> newton(f,50,3,0.001,0.001) n x f(x) delta alpha 1.0000 2.3333 3.7037 0.6667 3.7037 2.0000 2.1066 0.3483 0.2268 0.3483 3.0000 2.0804 0.0043 0.0262 0.0043 Elapsed time is 0.166680 seconds.
4.0000 2.0625 2.1250 5.0000 2.0625 2.0938 6.0000 2.0781 2.0938 7.0000 2.0781 2.0859 8.0000 2.0781 2.0820 9.0000 2.0801 2.0820 10.0000 2.0801 2.0811 11.0000 2.0801 2.0806 12.0000 2.0801 2.0803 13.0000 2.0801 2.0802 14.0000 2.0801 2.0801 elapsed time is 0.316426 seconds.
数值分析3.1.二分法、迭代法及收敛性
上述令p→∞, 及limxk+p=x* (p→∞)即得(2.6)式. 证毕. 注:误差估计式(2.5)原则上确定迭代次数,但它由 于含有信息 L 而不便于实际应用. 而误差估计式(2.6) 是实用的,只要相邻两次计算结果的偏差足够小即 可保证近似值 xk 具有足够精度.
注: 对定理1和定理2中的条件2º 可以改为导数,即 在使用时如果(x)∈C[a, b]且对任意x∈[a, b]有
显然f(x)∈C[a, b],且满足f(a)=(a)-a>0, f(b)=(b)-b<0, 由连续函数性质可知存在 x*∈(a, b) 使 f(x*)=0,即 x*=(x*),x*即为(x)的不动点. 再证不动点的唯一性. 设x1*, x2*∈[a, b]都是(x) 的不动点,则由(2.4)得
可以如此反复迭代计算
xk+1=(xk) 到的序列{xk}有极限 (k=0,1,2,). (2.2)
(x)称为迭代函数. 如果对任何x0∈[a, b],由(2.2)得
lim xk x .
k
则称迭代方程(2.2)收敛. 且x*=(x*)为(x)的不动点, 故称(2.2)为不动点迭代法.
例1 用二分法求方程 f(x)=x3-x-1=0在(1, 1.5)的实根, 要求误差不超过0.005.
解 由题设条件,即:
|x*-xn|≤0.005 则要
1 2
n 1
(b a)
1 2
n 1
(1.5 1)
1 2
n 2
0.005
2 由此解得 n 1 5.6,取 n=6, 按二分法计算过程见 lg 2
L2 xk 1 xk 2 Lk x1 x0 .
于是对任意正整数 p 有
熟悉用二分法,迭代法,牛顿法和弦截法求解非线性方程。(常用版)
熟悉用二分法,迭代法,牛顿法和弦截法求解非线性方程。
(常用版)(可以直接使用,可编辑完整版资料,欢迎下载)实验报告学院(系)名称:计算机与通信工程姓名赵云鹏学号20211931 专业计算机科学与技术班级09-1 实验项目实验一方程求根课程名称数值计算方法课程代码实验时间2011年5月26日实验地点#7-215批改意见:实验目的:熟悉用二分法,迭代法,牛顿法和弦截法求解成绩非线性方程。
实验环境:硬件环境:IBM-PC或兼容机软件环境:Windows操作系统编程语言:C语言实验内容:1、用二分法求方程x2-x-1=0的正根,要求准确到小数点后第一位2用迭代法和牛顿法求解方程x=e-x在x=0.5附近的一个根,要求精确到小数点后三位3用双点弦截法求方程x3+3x2-x-9=0在区间[1,2]内的一个实根,精确到五位有效数字。
教师签字:实验步骤:二分法:迭代法:牛顿法:双点弦截法:用二分法求方程x2-x-1=0的正根,要求准确到小数点后第一位#include <stdio.h>#include <math.h>#define ADJUST1 0.01#define ADJUST2 0.001#define EX 0.000001#define INF 999999999.99double func1(double x)//二分法求的方程{return (x*x-x-1);}double func2_1(double x)//迭代法的方程{return exp(-x);}double res1(double a,double b,double (*fun1)(double x))//二分法{double fa=fun1(a);double fb=fun1(b);double fmid=fun1((a+b)/2);while(fabs(b-a)>=ADJUST1){if(fabs(fmid-0a)<EX)return fmid;else if(fmid*fa<0){b=(a+b)/2;fa=fun1(a);fb=fun1(b);fmid=fun1((a+b)/2);}else if(fmid*fb<0){a=(a+b)/2;fa=fun1(a);fb=fun1(b);fmid=fun1((a+b)/2);}}return (a+b)/2;}int main(){printf("%.2f\n",res1(0,100,func1));printf("%.2f\n",func2_1(-1));return 0;}用迭代法和牛顿法求解方程x=e-x在x=0.5附近的一个根,要求精确到小数点后三位#include <stdio.h>#include <math.h>#define ADJUST1 0.01#define ADJUST2 0.001#define EX 0.000001#define INF 999999999.99double func2_1(double x)//迭代法的方程{return exp(-x);}double res2(double x0,double e,int n,double (*fun)(double x))//迭代法,迭代失败标志,输出Fail!,并返回INF{int k=1;double x1;x1=fun(x0);while(k!=n){if(fabs(x1-x0)<e)return x1;x0=x1;x1=fun(x0);k++;}if(k==n)printf("Fail!\n");return INF;}int main(){printf("%.3f\n",res2(0.5,0.001,100,func2_1));//q2.1printf("%.3f\n",func2_1(0.567));//for testreturn 0;}用双点弦截法求方程x3+3x2-x-9=0在区间[1,2]内的一个实根,精确到五位有效数字#include <stdio.h>#include <math.h>#define ADJUST1 0.01#define ADJUST2 0.001#define EX 0.000001#define INF 999999999.99double dfunc2_2(double x)//牛顿法方程导数{return (0-exp(-x)-1);}double func2_2(double x)//牛顿法方程{return exp(-x)-x;}double res3(double x0,double e,int n,double (*fun)(double x),double (*dfun)(double x)) //牛顿迭代法,奇异标志为返回INF,失败标志为返回INF,并输出Fail!{int k=1;double x1;if(fabs(dfun(x0)-0)<EX)return INF;x1=x0-fun(x0)/dfun(x0);while(k!=n){if(fabs(x1-x0)<e)return x1;x0=x1;x1=x0-fun(x0)/dfun(x0);}if(k==n)printf("Fail!\n");return INF;}int main(){printf("%.3f\n",res3(0.5,0.001,100,func2_2,dfunc2_2));return 0;}微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解李绍刚 段复建 徐安农(桂林电子科技大学,计算科学与数学系,广西桂林,541004)摘要:本文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式,并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明,并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用,大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。
非线性方程求解算法比较
非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中,非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。
因此,研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。
本文将比较几种常见的非线性方程求解算法,包括牛顿迭代法、割线法和二分法。
通过对比它们的优缺点和适用范围,可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。
它基于泰勒级数展开,使用函数的导数信息来逼近方程的根。
具体步骤如下:1. 选择初始近似值$x_0$。
2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。
3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$,计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3,直到达到预设的收敛条件。
牛顿迭代法的收敛速度很快,通常二次收敛。
然而,它对于初始值的选择非常敏感,可能会陷入局部极值点,导致找到错误的根。
因此,在使用牛顿迭代法时,需要根据具体问题选择合适的初始近似值。
二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。
它是对牛顿迭代法的改进,使用两个近似解来逼近方程的根。
具体步骤如下:1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。
2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。
3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$,计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3,直到达到预设的收敛条件。
与牛顿迭代法相比,割线法不需要计算导数,因此更加灵活。
然而,割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢,通常是超线性收敛。
与牛顿迭代法一样,割线法也对初始近似值的选择敏感。
三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。
它利用函数在根附近的特性,通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。
具体步骤如下:1. 选择初始区间$[a,b]$,其中$f(a)$和$f(b)$异号。
非线性方程的数值求法牛顿迭代法和弦截法PPT课件
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Newton下山法
原理:若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小,则在 xk 和 xk+1 之 间找一个更好的点 xk1,使得 f ( xk1) f ( xk ) 。
xk
xk+1
xk1 (1 )xk , [0, 1]
xk 1
[xk
)g( xn
)
n1
n
mng(xn ) mg( xn ) n g(
xn
)
n2 g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
n1
2 n
g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
若 xn 收敛,即
n 0 (n ),
没有具体的描述,而且若x0 的值没有取好,有可 能得不到收敛的结果。
以下定理,给出了 f x 满足一定的条件时,要使得牛顿
迭代法收敛,x0 应满足什么条件。
又 f ( ) 0
( ) 0 1,
牛顿迭代法局部收敛于
又 ( ) 0
即有:牛顿迭代法具有二阶(平方)收敛速度。
注. 定理要求 x0 充分接近 (局部收敛),充分的程度
没有具体的描述,而且若x0 的值没有取好,有可 能得不到收敛的结果。
以下定理,给出了 f x 满足一定的条件时,要使得牛顿
迭代法收敛,x0 应满足什么条件。
定理 设 f x 在区间 a,b 上的二阶导数存在,且满足: ① f (a) f (b) 0; (保证 a, b中至少存在一个根)
若 xn 收敛,即 n 0 (n )
lim n1 lim[1
数值分析 迭代法 二分法和迭代法原理
lim | xk x* | 0
k
即 lim xk x *.
k
(b) | xk1 x*| L | xk x*|
| xk 1 xk | | ( xk 1 x*) ( xk x*) | xk x * xk 1 x * (1 L) xk x * 1 xk x * xk 1 xk 1 L 又 | xk1 xk | ( xk ) ( xk1 ) | '( ) | | xk xk1 | L | xk xk1 |
等价变换
x = (x) 称为迭代函数
(x) 的不动点x*
不动点迭代
具体做法:
从一个给定的初值 x0 出发,计算 x1 = (x0), x2 = (x1), … x 若 k k 0 收敛,即存在 x* 使得 lim x k x *,则由 的连续
k
xk 1 lim xk 可得 x* = (x*),即 x* 是 的不 性和 lim k k
根的估计
引理3.1(连续函数的介值定理) 设f(x)在 [a,b]上连续,且f(a) f(b)<0,则存在x*(a,b) 使f(x*)=0。 例3.1 证明x33x1 = 0 有且仅有3个实根,并 确定根的大致位置使误差不超过 =0.5。 解:
单调性分析和解的位置 选步长h=2, 扫描节点函数值 异号区间内有根
ek 1 xk 1 x* ( xk ) ( x*) '( )ek e 取极限得 lim k 1 '( x*) 0 线性收敛. k e k
数值分析——二分法及迭代法
数值分析——二分法及迭代法数值分析是研究用数值方法解决数学问题的一门学科。
在数值分析中,二分法和迭代法是两种常用的数值求解方法。
本文将对二分法和迭代法进行详细介绍,并比较它们的特点和适用范围。
一、二分法二分法是一种通过将问题分解为两个子问题,并选择其中一个子问题进行求解的方法。
它适用于解决连续函数的求根问题。
二分法的基本思想是利用中值定理,通过不断缩小区间来逼近根的位置。
具体步骤如下:1.选取一个初始的区间[a,b],确保f(a)和f(b)的符号相反。
2.计算区间的中点c=(a+b)/23.判断f(c)的符号,并更新区间。
若f(c)与f(a)符号相反,则更新区间为[a,c];否则更新区间为[c,b]。
4.重复步骤2和步骤3,直到满足停止准则(例如满足一定精度要求,或达到最大迭代次数)。
5.最后得到的近似根为区间的中点c。
二分法的优点是收敛速度快,且能够保证收敛到根的位置。
然而,二分法的缺点是每次迭代只能减少一半的区间长度,所以其收敛速度相对较慢。
此外,二分法需要事先确定区间,并且要求f(a)和f(b)的符号相反,这对于一些问题来说可能并不容易实现。
因此,二分法主要适用于单峰函数求根问题。
二、迭代法迭代法是一种通过迭代逐步逼近解的方法。
它适用于一般的数值求解问题。
迭代法的基本思想是通过不断迭代的过程,将原始问题转化为一个具有相同解的等价问题,并通过逐步逼近来求解。
具体步骤如下:1.选取一个初始的近似解x_0。
2.根据迭代公式x_{k+1}=g(x_k),计算下一个近似解x_{k+1},其中g(x)是一个适当的函数。
3.判断迭代是否达到停止准则(例如满足一定精度要求,或达到最大迭代次数)。
若满足停止准则,则停止迭代;否则返回步骤2继续迭代。
4.最终得到的近似解为迭代过程中的最后一个近似解x_k。
迭代法的优点是适用范围广,可以求解一般的数值问题。
此外,迭代法的迭代公式可以根据具体问题的特点进行选择,使得迭代过程更加高效。
数值分析——二分法及迭代法
, 从而可得一系列有根区间:
a, b a1 , b1 a2 , b2 an , bn
其中每一个区间长度都是前一个区间长度的一半,因此,
an bn b a an , bn 的长度为bn an n ,且 x an , bn , xn , 2 2 bn an b a x x xn x 0, lim n xn x n1 , lim n n 2 2
x6 1.3242 x , 并且 x x6 0.005
三.二分法算法框图
y
什么时候停止?
f ( x)
a
o
x0 x
a1 a2
2
x*
x1
b2
b b1
x
lim x x n n
xk 1 xk ε
开始
输入数据a , b,
二 分 法 的 算 法 框 图
以上方法称为二分法.它计算简单且收敛.
内 例2:求方程 f ( x ) x x 1 0 在区间 1,1.5
3
的实根,要求误差不超过0.005. 解: 首先按公式估计所要的二分次数
ln(1.5 1) ln 0.01 n 5.644 ln 2
可见只需要二分6次便能达到所要求的精度。 计算结果见书13页的表2-2.
非线性方程包括高次方程和超越方程。
方程 f ( x) 0 的解
x
通常叫做方程的根,
又称为函数 f ( x ) 的零点。 方程求根大致可以包括下列三个问题:
1.根的存在性; 2.根的隔离; 3.根的精确化.
如何根的精确化 ?
已知根的近似值后, 设法将它逐步精确, 直到满足精
方程求根的数值方法
定理(压缩映像原理)
设迭代函数 x=φ (x) 在闭区间[a,b]上满足:
(1) 对任意x∈[a,b],φ(x) ∈[a,b];
(2) 满足Lipschitz条件 x1, x2 [a,b]
(x1) (x2 ) L x1 x2 0 L 1
则 x=φ (x) 在闭区间[a,b]上 存在唯一解x*,使 得对任意x∈[a,b],由xk+1= φ(xk) 产生的序列 {xk}收敛于x*。
再用逐步搜索法或二分法找到误差较小的 近似根;
最后用牛顿法或弦截法给出高精度的近似 根。
作业:求下面方程的数值解。
x3 x 9 0
xsin(x) 0.5
x tan(x), x (0, 18)
精品课件!
精品课件!
谢 谢!
f (x1)
再由x0 , x2计算x3......
xn1 xn
xn x0 f (xn ) f (x0 )
f (xn )
称之为定端点弦截法.
(n 1,2,...)
定端点弦截法又称单点割线法。
若由x1, x2计算x3 ,以此类推
xn1
xn
xn xn1 f (xn ) f (xn1 )
则过P0 (x0 , f (x0 ))及P1(x1, f (x1))得弦的方程
y
f (x1)
f
(
x1 ) x1
f (x0 x0
)
(
x
x1
)
令y=0,解得弦与x轴的交点是坐标x2。
f (x1)
f
(
x1 ) x1
f( x0
x0
)
数值分析3.2.迭代加速、牛顿法及弦截法讲解
xk 1
1 C xk . 2 xk
பைடு நூலகம்
我们现在证明,这种迭代公式对于任意初值x0>0 都是收敛的.
事实上,对(4.5)式进行配方整理,易知
2 1 xk 1 C xk C . 2 xk
以上两式相除得
xk 1 C x C k . xk 1 C x C k
x0 x x1 x x2 x x1 x
将它与(3.1)式联立,消去未知的L,有
由此推知
2 2 x x x ( x x ) 0 2 1 1 0 x x0 . x2 2 x1 x0 x2 2 x1 x0
在计算了 x1 及 x2 之后,可用上式右端作为 x* 的新近 似,记作 ̄x1,一般情形是由xk计算 xk+1, xk+2,记
(4.2)
此式称为牛顿(Newton)迭代公式.
牛顿法的几何意义:设xk是根x*的某个近似值, 过曲线y=f(x)上横坐标为xk的点Pk引切线,并将该切 线与x轴交点的横坐标xk+1作为x*的新的近似值. 注意 到切线方程为
y f ( xk ) f ( xk )( x xk ).
y
这样求得的值xk+1必满足 (4.1), 从而就是牛顿公式 (4.2)的计算结果.
当 f(x0)≠0 时,方程 f(x)=0 可用线性方程(切线) 近似 代替,即 f(x0)+f(x0)(x-x0)=0. 解此线性方程得 (4.1)
f ( x0 ) x x0 f ( x0 )
得迭代公式
f ( xk ) xk 1 xk f ( xk )
二分法,不动点迭代法和牛顿迭代法
二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法是数值计算中常用的三种求根方法。
它们在不同的数学领域及实际问题中有着广泛的应用。
本文将对这三种方法进行介绍和比较。
一、二分法1. 原理二分法是一种基于区间不断缩小的求根方法。
其原理是通过在函数值的两个不同点处得到异号的情况下缩小区间来逼近实根。
具体过程为:首先确定一个区间[a,b],使得f(a)和f(b)异号,然后将区间一分为二,取中点c=(a+b)/2,若f(c)为零或在一定误差范围内,则c即为所求的根;否则,根据f(a)和f(c)的符号确定新的区间[a,c]或[c,b],重复上述步骤,直到满足要求。
2. 特点二分法的优点是简单易实现,对于连续且单调函数一定能收敛。
但其缺点是收敛速度较慢,尤其在根附近时迭代次数较多。
二、不动点迭代法1. 原理不动点迭代法是求解方程f(x)=0的一种迭代方法,通过将方程变换为x=g(x),其中g(x)为连续函数,然后通过不断地迭代计算得到方程的根。
具体过程为:给定一个初始近似值x0,通过不断迭代计算xn+1=g(xn)来逼近实根。
2. 特点不动点迭代法的优点是迭代过程简单,不需要对函数进行求导。
但其缺点是收敛性有一定要求,不是所有的g(x)函数都能得到收敛结果。
三、牛顿迭代法1. 原理牛顿迭代法是一种通过不断线性化函数来逼近方程根的方法。
其原理是通过对函数f(x)进行泰勒展开,并取展开式的线性部分来进行迭代计算。
具体过程为:给定一个初始近似值x0,通过不断迭代计算xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)来逼近实根。
2. 特点牛顿迭代法的优点是收敛速度较快,在根附近有二次收敛性。
但其缺点是需要对函数进行求导,且初始值的选取对迭代结果有一定影响。
二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法都是求解方程根的有效方法,各有其优缺点和适用范围。
在实际应用中,根据问题的特性和计算要求来选择适当的方法,以达到准确和高效的求解目的。
4. 比较与应用通过对二分法、不动点迭代法和牛顿迭代法的介绍,我们可以对它们进行比较与应用。
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法))
本科生实验报告实验课程______________ 数值计算方法 _______________________ 学院名称_____________ 信息科学与技术学院_________________ 专业名称______________ 计算机科学与技术 ___________________ 学生 _________________________________________学生学号_______________________________________________指导教师___________________________________________实验地点_______________________________________________实验成绩__________________________________________________二0 一六年五月二◦一六年五月实验一非线性方程求根1.1问题描述实验目的:掌握非线性方程求根的基本步骤及方法,。
实验容:试分别用二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法),求x5-3x3+x-仁0在区间[-8,8]上的全部实根,误差限为10-6。
要求:讨论求解的全过程,对所用算法的局部收敛性,优缺点等作分析及比较,第2章算法思想2.1 二分法思想:在函数的单调有根区间,将有根区间不断的二分,寻找方程的解。
步骤:1.取中点 mid=(x0+x1)/22若f(mid)=0,则mid为方程的根,否则比较与两端的符号,若与f(x0) 异号,则根在[x0,mid]之间,否则在[mid,x1]之间。
3并重复上述步骤,直达达到精度要求,则mid为方程的近似解。
开始读入a,b,eyes输出mid结束2.2简单迭代法思想:迭代法是一种逐次逼近的方法,它是固定公式反复校正跟的近似值, 使之逐步精确,最后得到精度要求的结果。
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-1.525
6
-1.50391
11
-1.505
2
-1.4875
7
-1.50508
12
-1.50504
3
-1.50625
8
-1.50449
13
-1.50506
4
-1.49688
9
-1.50479
14
-1.50507
表1-1
区间[-1.2,-0.9]
k
xk
k
xk
k
xk
0
-1.05
5
-0.998437
10
12
-1.50489
18
-1.50505
表2-1
初值-1
k
x
1
-1
2
-1
表2-2
初值1.6结果x=1.69028
k
xk
k
xk
k
xk
1
1.6
8
1.68862
15
1.69023
2
1.65669
9
1.68927
16
1.69025
3
1.66987
10
1.68967
17
1.69027
4
1.6779
11
1.68991
2.计算x2=x1-f(x1)(x1-x0)/f(x1)-f(x0);
3.判断f(x2)是否满足精度要求,若没有则按照上述步骤继续迭代,否则输出x2.x2即为方程的近似解。
第
测试结果
函数图像
函数Y=x5-3x3+x-1
二分法
[-1.6,-1.3]
k
xk
k
xk
k
xk
0
-1.45
5
-1.50156
10
-1.50493
k
xk
f(xk)
1
-1.01393
0.0415678
2
-1.0002
0.000607777
3
-0.999999
-3.11969e-006
4
-1
2.11001e-010
表4-2
区间[1.5,1.8]结果x=1.69028
k
xk
f(xk)
1
1.64403
-0.676455
2
1.68071
-0.151106
14
1.69029
1
1.725
8
1.69043
15
1.69029
2
1.6875
9
1.69014
16
1.69029
3
1.70625
10
1.69028
17
1.69028
4
1.69687
11
1.69036
18
1.69028
5
1.69219
12
1.69032
6
1.68984
13
1.6903
表1-3
简单
初值-1.5
4.输出x1,即为方程的近似解。
2.3 Newton迭代法
思想:设r是 的根,选取 作为r的初始近似值,过点 做曲线 的切线L,L的方程为 ,求出L与x轴交点的横坐标 ,称x1为r的一次近似值。过点 做曲线
的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标 ,称 为r的二次近似值。重复以上过程,得r的近似值序列,其中, 称为r的
k
xk
f(xk)
1
-1.5
0.03125
5
-1.50667
0.0784566
2
-1.66149
0.376502
6
-1.505
-0.010079
3
-1.47175
-1.56322
7
-1.50507
0.000440988
4
-1.492
0.186801
8
-1.50507
2.30387e-006
表4-1
区间[-1.2,-0.9]结果x=-1
表3-1
初值-1结果x=-1.50507
k
x
1
-1
2
-1
表3-2
初值1.6结果x=1.69028
k
xk
k
xk
1
1.6
5
1.69024
2
1.68602
6
1.69027
3
1.68893
7
1.69028
4
1.68985
8
1.69028
表3-3
双点
区间[-1.6,-1.3]结果x=-1.50507
k
xk
f(xk)
3并重复上述步骤,直达达到精度要求,则mid为方程的近似解。
2.2 简单迭代法
思想:迭代法是一种逐次逼近的方法,它是固定公式反复校正跟的近似值,使之逐步精确,最后得到精度要求的结果。
步骤:1.构造迭代公式f(x),迭代公式必须是收敛的。
2.计算x1,x1=f(x0).
3.判断|x1-x0|是否满足精度要求,如不满足则重复上述步骤。
18
1.69027
5
1.68278
12
1.69006
19
1.69028
6
1.68573
13
1.69015
20
1.69028
7
1.68753
14
1.6902
表2-3
牛顿
初值-1.5结果x=-1.50507
k
xk
k
xk
1
-1.5
4
-ห้องสมุดไป่ตู้.50504
2
-1.50471
5
-1.50506
3
-1.50497
6
-1.50507
k
xk
k
xk
k
xk
1
-1.5
7
-1.50435
13
-1.50493
2
-1.50217
8
-1.50453
14
-1.50497
3
-1.50287
9
-1.50466
15
1.50499
4
-1.50341
10
-1.50476
16
-1.50501
5
-1.50381
11
-1.50483
17
-1.50504
6
-1.50412
要求:讨论求解的全过程,对所用算法的局部收敛性,优缺点等作分析及比较,
第
2.1二分法
思想:在函数的单调有根区间内,将有根区间不断的二分,寻找方程的解。
步骤:1.取中点mid=(x0+x1)/2
2.若f(mid)=0,则mid为方程的根,否则比较与两端的符号,若与f(x0)
异号,则根在[x0,mid]之间,否则在[mid,x1]之间。
本科生实验报告
实验课程数值计算方法
学院名称信息科学与技术学院
专业名称计算机科学与技术
学生姓名
学生学号
指导教师
实验地点
实验成绩
二〇一六年五月二〇一六年五月
实验一
1.1
实验目的:掌握非线性方程求根的基本步骤及方法,。
实验内容:试分别用二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法),求x5-3x3+x-1= 0在区间[-8,8]上的全部实根,误差限为10-6。
次近似值
步骤:1.计算原函数的导数f’(x);构造牛顿迭代公式
2.计算 ,若f’(x0)=0,退出计算,否则继续向下迭代。
3.若|x1-x0|满足精度要求,x1即为方程的近似解。
2.4弦截法
思想:为加速收敛,改用两个端点都在变动的弦,用差商替代牛顿迭代公式的导数f’(x)。
步骤:1.构造双点弦法的公式
3
1.69126
0.0157988
4
1.69027
-0.000313515
5
1.69028
-6.3006e-007
表4-3
从测试结果可以看出二分法和简单迭代法的收敛速度远大于牛顿迭代和弦截法的收敛速度。二分法和简单迭代法的公式易于构造和计算,牛顿迭代法虽然收敛高,但要求导数,计算的复杂度高!双点弦法随稍慢于牛顿跌代法,可以用差商代替牛顿迭代法中的导数,降低了计算的复杂度!
-1.00005
1
-0.975
6
-1.00078
11
-0.999976
2
-1.0125
7
-0.999609
12
-1.00001
3
-0.99375
8
-1.0002
13
-0.999994
4
-1.00312
9
-0.999902
14
-1
表1-2
区间[1.5,1.8]
k
xk
k
xk
k
xk
0
1.65
7
1.69102