波的叠加和干涉驻波
4.波的干涉_驻波
三、驻波能量：
⒈动能：
当各质点同时到达平衡位置时： 介质无形变，势能为零，此时驻波能量为动能。 波腹处动能最大，驻波能量集中在波腹附近。
⒉势能：
当各质点同时到达最大位移时： 动能为零，此时驻波能量为势能。 波节处形变最大，势能最大，能量集中在波节附近。
⒊结论：
动能、势能不断在波腹附近和波节附近间相互转 换，能量交替传递，无定向传播。
2 x 波腹位置： cos(2 ) 1 相邻两波腹距离 10 20 0 x x k , k 0,1,2 2 2
相邻两波节距离 x
各点相位：
y 2 A cos(2
x
) cos(2 t )
各质点作振幅为 2 A cos(2
cos(2
相位跃变（半波损失）
波 疏 介 质
波 密 介 质 较 大
u
较 小
u
当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 被反射 到波疏介质时形成波节. 入射波与反射波在此处的相 位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变， 相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.
π
当波从波密介ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ垂直入射到波疏介质， 被反射 到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相 位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊
的干涉现象.
驻波的形成
特征：
1、波形不移动。 2、各质点以不同的振幅在各自的平衡位置附近振动。
3、分段振动：振幅最大的点为波腹，
振幅为零的点为波节。
二、驻波方程：
沿X 轴正、负向传播的两列平面简谐波的波动方程为： x 在任意点 x 处叠加， y1 A cos 2 ( t ) 合位移： x y y1 y2 y 2 A cos 2 ( t ) x 2 A cos(2 ) cos(2 t ) ( 设初相 10 20 0)
机械波的干涉和驻波现象
机械波的干涉和驻波现象机械波是一种传播能量的波动现象，其在传播过程中会出现干涉和驻波现象。
干涉是指两个或多个波在空间中相遇后，相互叠加形成新的波纹图案的现象。
驻波是指由于波在空间中来回反射导致波节和波峰固定不动的现象。
一、干涉现象干涉现象是指两个或多个波在空间中相互叠加形成新的波纹图案的现象。
干涉可以分为两种类型：同相干和异相干。
同相干是指波峰和波峰、波谷和波谷相遇时叠加，形成增强效应；异相干是指波峰和波谷相遇时叠加，形成消减效应。
干涉现象的产生需要满足两个条件：一是两个或多个波源的波长要相近，二是两个或多个波源之间的相位差要满足特定条件。
根据波源的数量和位置不同，干涉现象可以分为以下几种情况：1. 双缝干涉：当光波通过两个狭缝时，会形成一系列明暗相间的干涉条纹。
这是因为入射光经过两个缝洞后形成的两个次波在空间中相互干涉。
2. 单缝干涉：当光波通过一个狭缝时，由于狭缝的宽度很窄，波的传播方向发生偏折，形成一系列干涉条纹。
3. 平行板干涉：当光波通过两块平行而透明的玻璃板时，由于玻璃板的折射作用，光波发生了相位差，形成干涉条纹。
干涉现象的应用非常广泛。
例如在光学实验中，利用干涉现象可以测量波长、厚度等物理量；在工程中，干涉仪常被用于光学薄膜的检测和表面形貌的测量。
二、驻波现象驻波是指由于波在空间中来回反射导致波节和波峰固定不动的现象，这是波的反射和干涉相互作用的结果。
驻波现象发生需要满足以下两个条件：波源的频率必须恰好满足空间限制所形成的驻波条件，同时波在空间中的传播方向相反。
驻波现象可以在各种波动现象中观察到，如声波、水波和电磁波等。
在声学中，我们常常能够观察到管道中的驻波现象。
当在一根管子中引入声波后，它会来回在管道内反射，当波的频率满足特定条件时，波的幅度呈现出固定的分布规律，形成驻波。
这种现象被广泛应用于乐器制作中，使得乐器能够产生特定的音调。
除了声波，驻波现象在电磁波中也很常见。
例如，在一个封闭的金属盒中，微波在盒子内反射，形成驻波现象，这是微波炉的工作原理之一。
波的叠加-干涉-驻波
1.合成振幅公式
质点同步参加同方向同频率旳谐振动
合振动 :
两种特殊情况
两分振动相互加强。
A
若 A1=A2 , 则 A=0 。
两分振动相互减弱。
A
（1）相长与相消干涉
2.波程差体现式
波程差为零或为波长旳整数倍时，各质点旳振幅最大，干涉相长。
波程差为半波长旳奇数倍时，各质点旳振幅最小，干涉相消。
二、波旳叠加原理
当两列波同步在同一介质中传播时，在它们相遇旳区域内，每点旳振动是各列波单独在该点产生旳振动旳合成。
看动画
波旳叠加原理
三、波的干涉
波旳干涉是在特定条件下波叠加所产生旳现象。
它们发出旳波列在媒质中相遇叠加时，某些质点旳振动一直加强，某些质点旳振动一直减弱或完全相消。这种现象称为波旳干涉。
Байду номын сангаас
有半波损失
固定端反射总是出现波节
自由端反射总是出现波腹
无半波损失
有半波损失
无半波损失
有半波损失
半波损失
1.在驻波中，两个相邻波节间各质点旳振动 (A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同． (C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同．
（1）驻波旳相位特点
相位、能量特点
（2）驻波旳能量特点
驻波旳能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与势能旳相互转移以及波腹与波节之间旳能量转移。
由波密媒质入射在波疏媒质界面上反射，在界面处，反射波旳振动相位总是与入射波旳振动相位相同，形成驻波时，总是出现波腹。
无“半波损失”。
4. 反、入射产生驻波与“半波损失”
答案B
答案 D
答案B
答案C
波的叠加原理 波的干涉 驻波.ppt
Amin 0
波节
相邻波腹(节)间距 2 ；相邻波腹和波节间距 4
第18章 波动
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波
2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节
π 两侧振动相位相反，在波节处产生 的相位跃变 .
（与行波不同，无相位的传播）.
y 2Acos 2π x cos 2π t
cos
2
2
2k , I 4I; (2k 1) , I 0
I
6 4 2 o 2 4 6
干涉现象的强度分布第18章 波动
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波
二、驻波的形成 振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊 的干涉现象.
s1
r1
*P
波的相干条件 1）频率相同；
s2
r2
2）振动方向平行； 3）相位相同或相位差恒定.
波源振动 点P 的两个分振动
y1 A1 cos(t 1)
y2 A2 cos(t 2 )
y1 p
A1
cos(t
1
2π
r1 )
y2 p
A2 cos(t 2
第18章
2）求线上除波节点之外的任意点的振动周期是多少？
解 驻波的波节点不动，其它各点以相同的周期
振动 由 2 π 40π 得 20Hz T 第0.1085章s 波动
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波
例 已知： y 0.040sin 5 π x cos40 π t
3）求在0 t 0.050s内的什么时刻，线上所有点横
普通物理学-力学-波的叠加、干涉、驻波
AP AB2 BP 2 (15)2 (20)2 25(m)
已知 v P 20m
= 100 Hz ,u = 10 m· s-1
u
10 则波长为 0.10(m) 100
A
15m
B
由题知,两波反相位,设 A 的相位较 B 超前, 则二者的初相差为
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 13
Δ ( x ) x - 14
由干涉静止条件,有
Δ ( x ) x - 14 (2k 1) , (k 0, 1, 2, ) xk - 14 (2k 1) xk 2k 15 , k 0, 1, 2, . 0 x L
求:AB 连线上因相干涉而静止的各点的位臵
u 4 （m）
解:取 A 点为坐标原点, A、B 连线为 X轴, 如图
B P X o L x (1)两相干波在B 点外侧任意P点处(即 x>L)的相位差为 A 波长为
=u/υ=4(m)
L=30m
L Δ B - A ( x - L) - x 2 16 4
则 AB 连线段上因干涉而静止的各点的位臵为
x 1, 3, 5, 7, 9,
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4
, 25, 27, 29 (m)
14
例 2: 如图,A、B 两点为某均匀介质中振福相等的相干波源,频率
为100 Hz,波速为10 m.s-1,已知点 A 为波峰时 B 为波谷,
求:A, B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 26
(3)驻波中各点处质元的相位关系
波的特性驻波实验的原理
波的特性驻波实验的原理
波的特性驻波实验是一种经典的实验，用于研究波动现象和波的性质。
它的原理基于波的干涉和叠加效应。
在波的特性驻波实验中，通常使用一个发射器和一个接收器。
发射器产生波动，可以是声波、光波或其他类型的波动。
这些波动传播到一个特定的区域，通常是一个有限的空间。
在这个区域内，波动会发生干涉和叠加。
当波动的振幅、频率和相位满足特定条件时，就会形成驻波。
驻波是一种特殊的波动模式，其中波峰和波谷保持相对固定的位置，不随时间变化。
驻波的形成是由于波动的反射和干涉效应。
当波动在区域的边界上发生反射时，它们与传入波动相互干涉。
如果传入波动和反射波动的幅度和相位差满足特定条件，就会形成驻波。
在波的特性驻波实验中，可以通过调整发射器和接收器之间的距离、改变波动的频率或改变边界条件来观察和研究驻波的性质。
通过测量波动的振幅和节点（波动幅度为零的位置），可以确定驻波的特征，如波长、频率和振幅。
波的特性驻波实验在物理学和工程学中具有广泛的应用。
它可以帮助我们理解波动现象的本质，以及在各种领域中利用波动的特性进行测量、通信和控制的原理。
波的叠加原理、干涉、驻波、多普勒
3.干涉加强、减弱条件 设有两个频率相同的波源
S 1和 S 2
y 10 A10 cos( t 1 )
y 20 A 20 cos( t 2 )
其振动表达式为： ， P
r1 S2
r2
两列波传播到 P 点引起的振动分别为： 2 S1
y 1 A1 cos( t 1
反射波 y 2 A cos( t
2
x)
x 0
x
2
其合成波称为驻波其表达式：
y y 1 y 2 A cos( t
16
2
x ) A cos( t
x)
利用三角函数关系 cos cos 2 cos cos 2 求出驻波的表达式： 2 2 y y 1 y 2 A cos( t x ) A cos( t x) 2 2 A cos x cos t 简谐振动 简谐振动的振幅
2 r
u2
定理证明: 由惠更斯原理，A、B为同一波面上的两点，A、 B点会发射子波， B i 经t后， B点发射的子波到达 u1 t 界面处D点， A点的到达C点， i A
sin i
sin r
BD
AD
AC AD
u1 t AD
u2t
r
D
u2t AD
r
1
C
sin i sin r
y B A cos[ t 0
22
X
B
2 ( 30 x )
]
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为 静止的点满足：
2 x
波的干涉 驻波解读
当波从波疏介质垂直入射到波密介 质， 被反射到波疏介质时形成波节. 入 射波与反射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变， 相当于出现了半个波长的波程差，称半 波损失.
当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质 时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射 波在分界处不产生相位跃变，没有半波损失。
P点的合振动为
y y1 y2 A cos(t )
其中
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
其中两个分振动的相位差为
(1 2 )
2π( r2 r1 )
1 2 的值是由波源决定的，且对空间各点 由于 此值都相同，故可令其为零，从而有
驻波相邻的波节和波腹之间的λ/4区域实际上构成一个独立的 振动体系，它与外界不交换能量，能量只在相邻波节和波腹之间 流动.
四、半波损失
在两种介质的分界处形成波节还是波腹是由介质的密度和 波速u 的乘积决定的。 对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度 与波速u的乘积u 较大的介质称为波密介质，较小的介质称为波疏介质。
*
波源振动
y10 A10 cos(t 1 )
y20 A20 cos(t 2 )
P
P点的两个分振动
y1 A1 cos(t 1 2 π )
r2 y2 A2 cos(t 2 2π )
r1
P点的合振动为
y y1 y2 A cos(t )
§4 波的叠加、干涉 和 驻波 一、波的叠加原理
1 波传播的独立性 实验表明，几列波同时通过同一介质时，它们各自保持 自己的频率、波长、振幅和振动方向等特点不变，彼此互 不影响，这称为波传播的独立性. 2 波的叠加原理 在几列波相遇的区域内，任一质元的位移等于各列波单独 传播时所引起的该质元的位移的矢量和，这称为波的叠加原理.
波的叠加干涉驻波
要点二
详细描述
光波的叠加干涉驻波通常发生在两束相干光相遇时。当两 束光的频率相同、相位差恒定时，它们会在空间中形成稳 定的驻波。与声波的叠加干涉驻波类似，光波的叠加干涉 驻波也会产生明暗相间的干涉条纹。这些条纹的位置和间 距取决于光波的波长和相遇点的位置。在光学实验中，光 波的叠加干涉驻波被广泛应用于测量光波的相位和振幅。
波的叠加干涉驻波
目
CONTENCT
录
• 波的叠加原理 • 干涉现象 • 驻波的形成与特点 • 波的叠加干涉驻波实例分析 • 总结与思考
01
波的叠加原理
波的独立传播
01
波在传播过程中不受其他波的影 响，各自独立传播。
02
波的独立传播特性使得多个波可 以在同一介质中同时传播，而不 互相干扰。
波的线性叠加
对未来研究的展望
深入探索机制
进一步深入探索波的叠加干涉驻波机制，研究不同类型波 的叠加和干涉规律，以及驻波的形成条件和特性。
扩展应用领域
将波的叠加干涉驻波理论应用于更广泛的领域，如生物医 学、环境监测和地球物理学等，发掘其在这些领域的应用 潜力。
创新研究方法
发展新的研究方法和手段，利用现代科技手段对波的叠加 干涉驻波进行更精确的观测和实验验证，提高研究的可靠 性和精确度。
02
干涉现象
干涉的形成
波源
两个或多个波源产生相同频率的波。
传播路径
波在传播过程中相遇。
叠加区域
波在叠加区域相互作用。
干涉的条件
02
01
03
频率相同
两个波源产生的波频率必须相同。
有恒定的相位差
两个波在相遇时必须有恒定的相位差。
稳定的振动系统
7.7波的叠加、驻波
鼓皮上的二维驻波(图为几种简正模式)
二维共振克拉尼图案
小提琴的简正模式
例7.4
l
例7.5 一频率为248.5Hz的音叉放在盛水的细管口， 连续调节水面高度，当空气柱的高度相继为
L1 = 0.34 m 和 L2 = 1.03 m 时发生共鸣。 求：声波在空气中的声速 u
解： 发生共鸣时形成驻波，
但各质元间仍有能量的交换。 能量由两端向中间传，
势能→动能。
瞬时位移为0， 势能为0， 动能最大。
能量由中间向两端传， 动能→势能。
3. A 1 A 2 的情形：
设 A2 ( A1 A) A1 ， 则有
y
x
2A1 cos
2
cos
t
A cos (
t
x
2 )
同一段振动方向相同；相邻段振动方向相反：
x =λ /4 , 波节 x =λ / 2 (-) (+) 2x
x=0
A 2Acos x 2
波腹 (-) (+)
波腹 在波节两侧变号
x = 3λ /4 , 波节
③ 能量：合能流密度为
w u w (u) 0
，
平均说来没有能量的传播，
L1
管口为波腹，水面为波节。
L2
空气柱长满足条件：
L (2n 1) ，n 0, 1, 2
4
L1 (2n 1) 4 0.34m
L2
2(n 1) 1
4
1.03m
L2 L1 2 0.69m
故 2(L2 L1) 1.38m
y2 A2 cos( t k2x 2 ) ~y2 A2 exp i( ω t k2x φ2 )
波的叠加 干涉 驻波
谐振动因子
驻波中各质点均 以同一频率 作简 谐振动。
波波 腹节
波波 腹节
l
2
-l
4
ll 42
波腹处振幅最大 波节处振幅最小
3.驻波相位、能量特点
（1）驻波的相位特点
同一时刻，
相邻两波节之间的各质 点的振动相位相同；
波节两侧的各质点的 振动相位相反
驻波不是振动相位的传播过程，驻 波的波形不发生定向传播。
波程差为半波长的奇 数倍时，各质点的振幅 最小，干涉相消。
如图所示，两列波长为l 的相干波在P点相遇，波
在S1点振动的初相是j1 ，S1到P点的距离是r1；波
在S2点的初相是j2 ，S2到P点的距离是r2，以k代
表零或正、负整数，则P点是干涉极大的条件为：
（A）
r r kl
2
1
（B）
2kπ
相长与相消干涉
A
A12 A22 2 A1 A2 cos ( j 2
j1
r2 2p
r1
)
l
当
j2
j1
r2 r1 2p l
k = 0,1,2,
时
合振幅最大 相长干涉
当
j2
j1
r2 r1 2p l
（ k = 0,1,2, ) 时
合振幅最小 相消干涉
两相干波源S1和S2相距 l 4（l 为波长），S1的 相位比S2的相位超前 p 2，在S1，S2的连线
2
1
S1
r1
P
（C） 2π(r r )/ l 2kπ
2
1
21
（D） 2π(r r )/ l 2kπ
2
1
12
S2
r2
波的叠加,干涉,驻波
17
x (2k 1)
y y 1 y 2 2 s t
振幅 2 A cos x
2
o、b、d、f ...
振动最强 A 2 A1 , 称波腹 波腹位置： cos
2
2
x 1
x k
xk
2
(k 0,1,2,....)
波的叠加原理 波的干涉 驻波
1. 波的叠加
波传播的独立性:如果在同一介质中，同时有几列 波传播, 那么每一列波都将保持自己原有的特性(频 率、波长、振动方向等)独立地传播，不因其他波的 存在而改变。
S1
S2
1
波的叠加原理: 有几列波同时在媒质中传播时，在 各波相遇或叠加区域，任一点的位移为各波单独在该 点产生的位移的合成，即为各波在该点引起的振动的 叠加。 对于某一给定点，波的叠加即为振动的叠加 叠加原理表明，可将任何复杂的波分解为一系列 简谐波的组合。
u
n 1
u 1 基频（音调） n 1 2L 谐频 泛音（音色）
所有可能的振动模式：简正模式
对应频率为简正频率，为系统固有频率（多个）
22
驻波的特征 (1) 波线上各点振幅不等，不是后一质点重复前一 质点的振动。 振幅最强 A 2 A1位置： 波腹 振动相消 A=0 位置： 波节
两相邻波腹（或波节） 相距 2
15
定量分析： 沿x轴的正、负方向传播的波 （设在原点处二者初相位均为零）
t x y1 A cos 2 T
合成波
t x y2 A cos 2 T
t x t x y y1 y2 Acos 2 ( ) cos 2 ( ) T T 2 2 (2 A cos x) cos t T
第四节波的叠加与干涉一、波的叠加原理
1一、波的叠加原理几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.第四节波的叠加与干涉2、波的干涉频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.231s 2s P*1r 2r 波源振动)cos(111ϕω+=t A y )cos(222ϕω+=t A y )π2cos(1111λϕωr t A y p -+=)π2cos(2222λϕωr t A y p -+=点P 的两个分振动1）频率相同；2）振动方向相同；3）相位相同或相位差恒定.波的相干条件4)cos(21ϕω+=+=t A y y y p p p )π2cos()π2cos()π2sin()π2sin(tan 122111222111λϕλϕλϕλϕϕr A r A r A r A -+--+-=ϕ∆++=cos 2212221A A A A A 1s 2s P*1r 2r 点P 的两个分振动λϕϕϕ1212π2r r ---=∆常量)π2cos(1111λϕωr t A y p -+=)π2cos(2222λϕωr t A y p-+=5讨论1 )合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的.,2,1,0π2=±=∆k k ϕ ,2,1,0π)12(=+±=∆k k ϕ2121A A A A A +<<-=∆ϕ其他21A A A +=振动始终加强21A A A -=振动始终减弱2 )ϕ∆++=cos 2212221A A A A A λϕϕϕ1212π2r r ---=∆6波程差12r r -=δ若则21ϕϕ=λδϕπ2-=∆21A A A -=振动始终减弱21A A A +=振动始终加强,2,1,02/)12(=+±=k k λδ2121A A A A A +<<-其他=δ,2,1,0=±=k k λδ3 )讨论ϕ∆++=cos 2212221A A A A A λϕϕϕ1212π2r r ---=∆2121max 2I I I I I ++=2121min 2I I I I I -+=7例右图是干涉型消声器结构的原理图。
16_07_波的叠加原理 波的干涉 驻波
相邻两波腹的距离： xk 1 xk 振动的相位关系
2
相邻两节点之间的各点为一段，同一段上各质点振动 的相一致，相邻两段上各点振动的相相反。如图 XCH004_038 所示。 驻波的能量：形成驻波时，没有振动状态和能量的定向传播
1 A2 2u 2 1 2 2 —— 负向波的能流密度： I 2 ( u ) A u 2
2
x y1 A cos[2 ( t ) 1 ] y A cos[2 ( t x ) ] 2 2
合成波 y y1 y2 A cos[2 ( t
x
x ) 1 ] A cos[2 ( t ) 2 ]
t x ) ，在 x 0 处发生反射，反射点为节点。求： T
t x ) ] T
t x t x ) A cos[2 ( ) ] T T x t y 2 A sin 2 sin 2 T x 3) 波腹位置： 2 (2k 1) —— x (2k 1) 2 4 y A cos 2 ( x (2n 1)
4
—— 驻波只在－X 空间形成
波节位置： 2
x
k ， x k
2
—— x n
2
REVISED TIME: 09-10-7
-4-
CREATED BY XCH
普通物理学_程守洙_第十六章 机械波和电磁波_20090921
4 行波的叠加和群速度 不同频率的简谐波叠加后，合成波不再是简谐波 —— 复波 图 XCH004_149 为两列频率分别为 1 and
REVISED TIME: 09-10-7
波的叠加原理波的干涉驻波
§12-8 波的叠加研究几列波同时在介质中传播时，在空间相遇时的情况.一、波传播的独立性传播方向相反的两个脉冲的叠加由演示看出两列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等不变），不受其它波的影响，就像其它波不存在一样。
生活实例：➢红绿光束空间交叉相遇(红是红、绿是绿，…)➢听乐队演奏(仍可辨出不同乐器的音色、旋律)➢空中无线电波很多(仍能分别接收各个电台)二、波的叠加原理在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成。
三、波的干涉1.干涉现象当两列(或几列)满足一定条件(相干条件)的波在某区域同时传播时，则此区域中某些点的振动始终加强，某些点的振动始终减弱，在空间形成一幅稳定的强度分布图样。
干涉现象水波的干涉2.相干条件满足下列条件的波源称相干波源。
相干波源发的波相干波。
在现实中要产生明显的干涉现象，上述条件只能算必要条件，如果两波源的振幅相差悬殊，将导致干涉现象的可见度降低。
1)频率相同2)有恒定的相位差3)振动方向相同相干条件:1s 2s P *1r 2r 波源振动方程)cos(1011ϕω+=t A y )cos(2022ϕω+=t A y 四、干涉波的强度分布S 1、S 2发的波在p 点引起两个振动)π2cos(11011λϕωr t A y p -+=)π2cos(22022λϕωr t A y p -+=λπϕϕϕ∆121020r -r 2--=相位差可见，两个波源在p 点引起的分振动：频率相同；振动方向相同；相位差恒定(不随t 变)。
p 点合振动是两个同方向、同频率简谐振动的合成。
p 点合振动叫两波波程差12r r -)cos(021ϕω+=+=t A y y y p p p) 2cos() 2cos()2sin() 2sin(tan 22021101220211010λπϕλπϕλπϕλπϕϕr A r A r A r A -+--+-=由同方向同频率简谐振动的合成可以得两相干波叠加后的强度12122cos I I I I I ϕ=+∆+211∝A I 222∝A I由于在相干波的相遇点有确定的相位差∆ϕ，所以每一点都有确定的强度，干涉区域形成了稳定的强度分布。
驻波形成的条件和特点
驻波形成的条件和特点驻波是指在某一介质中传播的波与反射波之间形成的干涉现象。
驻波的形成需要满足一定的条件，同时具有特定的特点。
本文将从波的叠加原理、驻波的形成条件和特点以及中心扩展下的描述进行阐述。
驻波形成的条件：1. 波的叠加原理：驻波是由于两个同频率、相干、反向传播的波相互干涉而形成的。
当两个波的幅度相等且相差180度时，它们在叠加区域内就会形成驻波。
2. 波的传播介质：驻波只能在有界介质中形成，例如绳上的横波、管道中的声波、电缆中的电磁波等。
介质的两端必须有反射点，以便产生反射波与传播波进行干涉。
3. 波的频率和波长：驻波的形成与波的频率和波长有关。
当波长和介质的特定尺寸相匹配时，才能形成驻波。
对于一条绳子上的横波，当绳长为波长的整数倍时，才能形成驻波。
驻波的特点：1. 幅度变化：驻波的幅度在波节处为零，在波腹处达到最大值。
波节是相邻两个振动的干涉点，振动方向相反，形成波的干涉抵消；波腹是相邻两个振动的叠加点，振动方向相同，形成波的叠加增强。
2. 能量分布：驻波的能量分布不均匀，在波节处能量为零，在波腹处能量最大。
因为波节处的振动方向相反，能量相互抵消；而波腹处的振动方向相同，能量叠加增强。
3. 相位变化：驻波的相位差在波节处为180度，在波腹处为0度。
相位差是指相邻两个振动的相位差，相位差为180度时，振动相互抵消；相位差为0度时，振动相互叠加增强。
4. 驻波节点和腹点：驻波中的波节和波腹是驻波的重要特点。
波节是振动的最小值点，即振动幅度为零点；波腹是振动的最大值点，即振动幅度为最大点。
驻波的节点和腹点呈现出一定的规律性分布。
中心扩展下的描述：中心扩展是指在驻波形成的介质中，通过改变波源或改变介质的尺寸，使驻波的节点和腹点发生移动或分布发生变化。
在中心扩展下，驻波的条件和特点会有所变化。
在中心扩展下，改变波源的频率可以改变驻波的波长，进而改变节点和腹点的位置。
当波源频率增大时，波长减小，节点和腹点的间距变小，驻波的节点和腹点向波源方向移动；当波源频率减小时，波长增大，节点和腹点的间距变大，驻波的节点和腹点远离波源。
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第十章 波动和声
相邻波腹的坐标
xi
i
2
xi 1
i
1
2
代入驻波方程中
y (2Acos 2π x)cos t
中得
yi (2Acos iπ)cos t
yi1 [2Acos(i 1)π]cos t
(2Acos iπ)cos( t π)
相邻两波腹的相位相反.
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3. 强度计算
设有两个频率相同的波源S1和S2
其振动表达式为
y10 A10 cos(t 1 ) S2
r2
p
y20 A20 cos(t 2 )
传播到 P 点引起的振动为：
S1
r1
y1 A1 cos(t kr1 1 )
y2 A2 cos(t kr2 2 )
在P点的振动为
y y1 y2 Acos(t )
振幅因子 谐振因子
k 2π
y (2Acos 2π x)cos t
(1)驻波是各点振幅不同的简谐振动的集体
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第十章 波动和声
波腹—— 振幅取最大值.
2Acos 2π x 2A
x i
2
i 0,1,2,
波节—— 振幅为零. 波节处的质元静止不动.
2 Acos 2π x 0
第十章 波动和声 (2) 相位特点
两相邻波节之间的各质元振动相位相同，每 一波节两侧各质元的振动相位相反. 在驻波中却没有能量的定向传递.
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第十章 波动和声
3. 定量计算
设
y1 y2
A cos A cos
t t
kx kx
则 y y1 y2 (2Acos kx)cos t
下面先来讨论两个频率相近，振幅相同的简谐波 的同向叠加.
y1 Acos[( Δ )t (k Δk)x] y2 Acos[( Δ )t (k Δk)x]
y y1 y2
2AcosΔt Δkx cost kx
振幅被调制的波包的速度，即群速
v群
Δ
Δk
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第十章 波动和声 (a)
π)
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第十章 波动和声
若波从波疏向波密介质入射，反射波在b
点的振动为：
yb反
Acos(
t
kl
π 2
π)
y反
A
cos
[
t
kl
π 2
k
l
x
]
y反
Acos[
t
kx
2kl
π 2
]
正号： 表示沿x负方向传播的波.
波程差
r2 r1 n, n 0,1,2,3,
r2
r1
(2n 1)
2
,
n 0,1,2,3,
相长干涉 相消干涉
干涉是能量的重新分布
实现干涉的艰难任务是实现初相差恒定
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第十章 波动和声
§10.5.3 驻波
驻波 ——沿相反方向传播的两列等幅相干波的叠加.
1. 形成
y 2A
x
v群
相速度
v
k
波在无色散的介质中传播
(b) x
Δ Δ
k Δk k Δk
Δ
k Δk
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§10.5.2 波的干涉
第十章 波动和声
波的 干涉 之模 拟演 示图
1. 波的干涉 两束叠加的波在交迭区域某些点处振幅始终
最大，另一些位置振幅始终最小，而其它位置， 振动的强弱介乎二者之间，保持不变.称这种稳定 的叠加图样为干涉现象.
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第十章 波动和声
y y1 y2 Acos(t ) A2 A12 A22 2 A1 A2 cos Δ 其中：Δ (1 2 ) k(r2 r1)
合振动的强度为：
I I1 I2 2 I1I2 cosΔ
对空间不同的位置，都有恒定的，因而, 合强度在空间形成稳定的分布(干涉特点).
第十章 波动和声
[例题]已知入射波的表达式 写反射波的表达式
y入
A cos (
t
kx
π) 2
以b为参考点写反射波
O
b点的振动
SI
1v1
l
2v2
bx
yb入
A cos (
t
kl
π) 2
若全反射 Ar A
1u1 > 2u2
yb反
A cos (
t
kl
π) 2
1u1 < 2u2
yb反
A cos (
t
kl
π 2
第十章 波动和声
§10.5 波的叠加和干涉·驻波 §10.5.1 波的叠加·群速
1.波的叠加原理 波的叠加原理——当几列波在介质中的某点相遇时， 该质元的振动位移等于各列波单独传播时在该处引起 的位移的矢量和.
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第十章 波动和声
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第十章 波动和声 2.群速 群速度——合成波任一给定振幅传播的速度. 在有色散的介质中, 群速度 相速度
u
t0
ux
y t T
4
xuu
t T 2
y 2A
xuu
t 3Ty4x来自u上页 下页 返回 结束
第十章 波动和声 2. 驻波特点 (1)振幅特点
各质点的振幅各不相同.位移恒为零——波节, 振幅始终最大——波腹.
/2
/2
波节
波腹
在波节—波腹之间各点作稳定的振动，其A有
0 A 2A
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第十章 波动和声
4. 干涉加强、减弱条件
干涉相长(强度最强点)
Δ (1 2 ) k(r2 r1)
2nπ
n 0,1,2,3,
A Amax A1 A2
I Imax I1 I2 2 I1I2
如果 A1 A2
Imax 4I1
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第十章 波动和声
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第十章 波动和声
2. 相干条件——得到干涉所要求的条件.
①两波源具有相同的频率; S2
②具有恒定的相位差;
r2
p
③振动方向相同.
S1
满足相干条件的波 叫相干波,
r1
波源叫相干波源,
叠加叫相干叠加.
两波源的波振幅相近或相等时干涉现象明显.
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第十章 波动和声
x (2i 1) i 0,1,2,
4
相邻两波腹间或两波节间的距离均为半个波长.
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第十章 波动和声
(2)相位
相邻波节的坐标
xi
(2i
1)
4
xi1 (2i 3) 4
代入振幅因子 2Acos 2π x
中得
2π
xi
iπ
π 2
2π
xi 1
iπ
3π 2
相邻波节间各体元余弦同号，即具有相同的相位.
干涉相消（强度最弱点）
Δ (1 2 ) k(r2 r1 )
(2n 1)π
n 0,1,2,3,
A Amin | A1 A2 | I Imin I1 I2 2 I1I2
如果 A1 A2, Imin 0
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第十章 波动和声
当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：