波的叠加波的干涉驻波
4.波的干涉_驻波
三、驻波能量：
⒈动能：
当各质点同时到达平衡位置时： 介质无形变，势能为零，此时驻波能量为动能。 波腹处动能最大，驻波能量集中在波腹附近。
⒉势能：
当各质点同时到达最大位移时： 动能为零，此时驻波能量为势能。 波节处形变最大，势能最大，能量集中在波节附近。
⒊结论：
动能、势能不断在波腹附近和波节附近间相互转 换，能量交替传递，无定向传播。
2 x 波腹位置： cos(2 ) 1 相邻两波腹距离 10 20 0 x x k , k 0,1,2 2 2
相邻两波节距离 x
各点相位：
y 2 A cos(2
x
) cos(2 t )
各质点作振幅为 2 A cos(2
cos(2
相位跃变（半波损失）
波 疏 介 质
波 密 介 质 较 大
u
较 小
u
当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 被反射 到波疏介质时形成波节. 入射波与反射波在此处的相 位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变， 相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.
π
当波从波密介ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ垂直入射到波疏介质， 被反射 到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相 位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊
的干涉现象.
驻波的形成
特征：
1、波形不移动。 2、各质点以不同的振幅在各自的平衡位置附近振动。
3、分段振动：振幅最大的点为波腹，
振幅为零的点为波节。
二、驻波方程：
沿X 轴正、负向传播的两列平面简谐波的波动方程为： x 在任意点 x 处叠加， y1 A cos 2 ( t ) 合位移： x y y1 y2 y 2 A cos 2 ( t ) x 2 A cos(2 ) cos(2 t ) ( 设初相 10 20 0)
波的叠加-干涉-驻波
1.合成振幅公式
质点同步参加同方向同频率旳谐振动
合振动 :
两种特殊情况
两分振动相互加强。
A
若 A1=A2 , 则 A=0 。
两分振动相互减弱。
A
（1）相长与相消干涉
2.波程差体现式
波程差为零或为波长旳整数倍时，各质点旳振幅最大，干涉相长。
波程差为半波长旳奇数倍时，各质点旳振幅最小，干涉相消。
二、波旳叠加原理
当两列波同步在同一介质中传播时，在它们相遇旳区域内，每点旳振动是各列波单独在该点产生旳振动旳合成。
看动画
波旳叠加原理
三、波的干涉
波旳干涉是在特定条件下波叠加所产生旳现象。
它们发出旳波列在媒质中相遇叠加时，某些质点旳振动一直加强，某些质点旳振动一直减弱或完全相消。这种现象称为波旳干涉。
Байду номын сангаас
有半波损失
固定端反射总是出现波节
自由端反射总是出现波腹
无半波损失
有半波损失
无半波损失
有半波损失
半波损失
1.在驻波中，两个相邻波节间各质点旳振动 (A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同． (C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同．
（1）驻波旳相位特点
相位、能量特点
（2）驻波旳能量特点
驻波旳能量不作定向传播，其能量转移过程是动能与势能旳相互转移以及波腹与波节之间旳能量转移。
由波密媒质入射在波疏媒质界面上反射，在界面处，反射波旳振动相位总是与入射波旳振动相位相同，形成驻波时，总是出现波腹。
无“半波损失”。
4. 反、入射产生驻波与“半波损失”
答案B
答案 D
答案B
答案C
垂直入射的反射波和透射波 波的叠加 波的干涉与驻波
222221t yxy ∂∂=∂∂µ波速ρYu =Tu η=yt ϕ0＝透射波与入射波同相π=0或入射波在反射时有π的突变r ϕ0＝z z −+1212z z 12r ϕπ＝这种入射波在反射时发生反向的现象叫z z z z −=+2112较小的称为波疏介质较大的称为波密介质从波疏介质入射到波密介质时，反射波有半波损失y强度反射系数和强度透射系数在实际问题中非常重要。
例如：标准状态下空气的波阻: z=420kg/(m2.s)水的波阻: z=1.5x106 kg/(m2.s)钢的波阻（按纵波计算）: z=4.6x107kg/(m2.s)＝0.1％T空气－水T＝0.004％空气－钢＝12％T水－钢y在反射点的振动(,)cos()y t x A t 5ωπ=−oybaxcos[()]a 2t x x −−πωλ)2cos(πλπω+−=x t A§5.6 波的叠加波的干涉与驻波一、波的独立性原理和叠加原理1、波的独立传播特性：几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.2、波的叠加原理：在相遇区域内，任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.3. 叠加成立条件：波的强度较小,媒质形变与弹力呈线性关系。
频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.常量L,2,1,0π2=±=∆k k ϕL,2,1,0π)12(=+±=∆k k ϕ121A A A A <<−=∆ϕ其他21A A A +=振动加强，干涉相长12m ax I I I =++21A A A −=振动减弱，干涉相消12m in I I I =+波程差12r r −=δ21A A −振动减弱L,2,1,0)21=+k k λ2121A A A A A +<<−其他21A A +振动加强L,2,1,0=k k λ∆++cos 22122A A A应用程序A'节4、驻波的获得驻波常由一列行波在介质分界面上反射，从而入射波和反射波干涉叠加而形成一般情况下，入射波在两种介质分界处反射时是否发生半波损失，与波的种类、两种介质的性质以及入射角的大小有关。
波的叠加原理 波的干涉 驻波.ppt
Amin 0
波节
相邻波腹(节)间距 2 ；相邻波腹和波节间距 4
第18章 波动
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波
2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节
π 两侧振动相位相反，在波节处产生 的相位跃变 .
（与行波不同，无相位的传播）.
y 2Acos 2π x cos 2π t
cos
2
2
2k , I 4I; (2k 1) , I 0
I
6 4 2 o 2 4 6
干涉现象的强度分布第18章 波动
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波
二、驻波的形成 振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在
同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊 的干涉现象.
s1
r1
*P
波的相干条件 1）频率相同；
s2
r2
2）振动方向平行； 3）相位相同或相位差恒定.
波源振动 点P 的两个分振动
y1 A1 cos(t 1)
y2 A2 cos(t 2 )
y1 p
A1
cos(t
1
2π
r1 )
y2 p
A2 cos(t 2
第18章
2）求线上除波节点之外的任意点的振动周期是多少？
解 驻波的波节点不动，其它各点以相同的周期
振动 由 2 π 40π 得 20Hz T 第0.1085章s 波动
§11-6 波的叠加原理 波的干涉 驻波
例 已知： y 0.040sin 5 π x cos40 π t
3）求在0 t 0.050s内的什么时刻，线上所有点横
普通物理学-力学-波的叠加、干涉、驻波
AP AB2 BP 2 (15)2 (20)2 25(m)
已知 v P 20m
= 100 Hz ,u = 10 m· s-1
u
10 则波长为 0.10(m) 100
A
15m
B
由题知,两波反相位,设 A 的相位较 B 超前, 则二者的初相差为
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 13
Δ ( x ) x - 14
由干涉静止条件,有
Δ ( x ) x - 14 (2k 1) , (k 0, 1, 2, ) xk - 14 (2k 1) xk 2k 15 , k 0, 1, 2, . 0 x L
求:AB 连线上因相干涉而静止的各点的位臵
u 4 （m）
解:取 A 点为坐标原点, A、B 连线为 X轴, 如图
B P X o L x (1)两相干波在B 点外侧任意P点处(即 x>L)的相位差为 A 波长为
=u/υ=4(m)
L=30m
L Δ B - A ( x - L) - x 2 16 4
则 AB 连线段上因干涉而静止的各点的位臵为
x 1, 3, 5, 7, 9,
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4
, 25, 27, 29 (m)
14
例 2: 如图,A、B 两点为某均匀介质中振福相等的相干波源,频率
为100 Hz,波速为10 m.s-1,已知点 A 为波峰时 B 为波谷,
求:A, B 发出的两列波传到 P 点时干涉的结果
GL.普物-力学-Ch.10-波动 4 26
(3)驻波中各点处质元的相位关系
16-7波的叠加原理 波的干涉 驻波
Am(x,t)具有沿x方向传播的简谐波的形式,它的角频
率和波数分别为m 2, km波速k 2, ug m km k 群速度
两个频率相近、等振幅的简谐波叠加的结果是一
个振幅缓慢变化的波,它的角频率为 ，波数为 ,波k
速为 up 。它k 的振幅的变化也像一个传播的波, 它的角频率为 2, 波数为 k,波2 速为 ug 。 k
上述讨论的合成波称为波包。
3. 驻波
驻波是两列振幅相同的相干波在同一条直线 上沿相反方向传播时叠加而成的。
驻 波 的 形 成
驻波
实验——弦线上的驻波：
驻波
实验——弦线上的驻波：
t 0
t T 4 t T 2
t 3T 4
OA B C D EF GH
波节O B D F H 波腹A C E G
振幅A和相位 0
A A12 A22 2A1A2 cos20 10 2 (r2 r1)
tg0
A1
sin
10
A1
cos
10
2r1 2r1
A2 A2
sin20 cos20
2r2
波腹位置 2Acos 2 x 1
2 x k
x k (k 0,1,2,....)
2
驻波
波节位置 2Acos 2 x 0
2 x (2k 1)
2
x (2k 1) (k 0,1,2,....)
4
相邻两个波腹(节)间的距离为 。2
t
x u
l 2u
波的叠加原理、干涉、驻波、多普勒
3.干涉加强、减弱条件 设有两个频率相同的波源
S 1和 S 2
y 10 A10 cos( t 1 )
y 20 A 20 cos( t 2 )
其振动表达式为： ， P
r1 S2
r2
两列波传播到 P 点引起的振动分别为： 2 S1
y 1 A1 cos( t 1
反射波 y 2 A cos( t
2
x)
x 0
x
2
其合成波称为驻波其表达式：
y y 1 y 2 A cos( t
16
2
x ) A cos( t
x)
利用三角函数关系 cos cos 2 cos cos 2 求出驻波的表达式： 2 2 y y 1 y 2 A cos( t x ) A cos( t x) 2 2 A cos x cos t 简谐振动 简谐振动的振幅
2 r
u2
定理证明: 由惠更斯原理，A、B为同一波面上的两点，A、 B点会发射子波， B i 经t后， B点发射的子波到达 u1 t 界面处D点， A点的到达C点， i A
sin i
sin r
BD
AD
AC AD
u1 t AD
u2t
r
D
u2t AD
r
1
C
sin i sin r
y B A cos[ t 0
22
X
B
2 ( 30 x )
]
因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为 静止的点满足：
2 x
波的干涉 驻波解读
当波从波疏介质垂直入射到波密介 质， 被反射到波疏介质时形成波节. 入 射波与反射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分界处产生 的相位跃变， 相当于出现了半个波长的波程差，称半 波损失.
当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质 时形成波腹. 入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射 波在分界处不产生相位跃变，没有半波损失。
P点的合振动为
y y1 y2 A cos(t )
其中
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos
其中两个分振动的相位差为
(1 2 )
2π( r2 r1 )
1 2 的值是由波源决定的，且对空间各点 由于 此值都相同，故可令其为零，从而有
驻波相邻的波节和波腹之间的λ/4区域实际上构成一个独立的 振动体系，它与外界不交换能量，能量只在相邻波节和波腹之间 流动.
四、半波损失
在两种介质的分界处形成波节还是波腹是由介质的密度和 波速u 的乘积决定的。 对于波沿分界面垂直入射的情形,把密度 与波速u的乘积u 较大的介质称为波密介质，较小的介质称为波疏介质。
*
波源振动
y10 A10 cos(t 1 )
y20 A20 cos(t 2 )
P
P点的两个分振动
y1 A1 cos(t 1 2 π )
r2 y2 A2 cos(t 2 2π )
r1
P点的合振动为
y y1 y2 A cos(t )
§4 波的叠加、干涉 和 驻波 一、波的叠加原理
1 波传播的独立性 实验表明，几列波同时通过同一介质时，它们各自保持 自己的频率、波长、振幅和振动方向等特点不变，彼此互 不影响，这称为波传播的独立性. 2 波的叠加原理 在几列波相遇的区域内，任一质元的位移等于各列波单独 传播时所引起的该质元的位移的矢量和，这称为波的叠加原理.
波的叠加干涉驻波
要点二
详细描述
光波的叠加干涉驻波通常发生在两束相干光相遇时。当两 束光的频率相同、相位差恒定时，它们会在空间中形成稳 定的驻波。与声波的叠加干涉驻波类似，光波的叠加干涉 驻波也会产生明暗相间的干涉条纹。这些条纹的位置和间 距取决于光波的波长和相遇点的位置。在光学实验中，光 波的叠加干涉驻波被广泛应用于测量光波的相位和振幅。
波的叠加干涉驻波
目
CONTENCT
录
• 波的叠加原理 • 干涉现象 • 驻波的形成与特点 • 波的叠加干涉驻波实例分析 • 总结与思考
01
波的叠加原理
波的独立传播
01
波在传播过程中不受其他波的影 响，各自独立传播。
02
波的独立传播特性使得多个波可 以在同一介质中同时传播，而不 互相干扰。
波的线性叠加
对未来研究的展望
深入探索机制
进一步深入探索波的叠加干涉驻波机制，研究不同类型波 的叠加和干涉规律，以及驻波的形成条件和特性。
扩展应用领域
将波的叠加干涉驻波理论应用于更广泛的领域，如生物医 学、环境监测和地球物理学等，发掘其在这些领域的应用 潜力。
创新研究方法
发展新的研究方法和手段，利用现代科技手段对波的叠加 干涉驻波进行更精确的观测和实验验证，提高研究的可靠 性和精确度。
02
干涉现象
干涉的形成
波源
两个或多个波源产生相同频率的波。
传播路径
波在传播过程中相遇。
叠加区域
波在叠加区域相互作用。
干涉的条件
02
01
03
频率相同
两个波源产生的波频率必须相同。
有恒定的相位差
两个波在相遇时必须有恒定的相位差。
稳定的振动系统
波的叠加和干涉驻波
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第十章 波动和声
相邻波腹的坐标
xi
i
2
xi 1
i
1
2
代入驻波方程中
y (2Acos 2π x)cos t
中得
yi (2Acos iπ)cos t
yi1 [2Acos(i 1)π]cos t
(2Acos iπ)cos( t π)
相邻两波腹的相位相反.
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3. 强度计算
设有两个频率相同的波源S1和S2
其振动表达式为
y10 A10 cos(t 1 ) S2
r2
p
y20 A20 cos(t 2 )
传播到 P 点引起的振动为：
S1
r1
y1 A1 cos(t kr1 1 )
y2 A2 cos(t kr2 2 )
在P点的振动为
y y1 y2 Acos(t )
振幅因子 谐振因子
k 2π
y (2Acos 2π x)cos t
(1)驻波是各点振幅不同的简谐振动的集体
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第十章 波动和声
波腹—— 振幅取最大值.
2Acos 2π x 2A
x i
2
i 0,1,2,
波节—— 振幅为零. 波节处的质元静止不动.
2 Acos 2π x 0
第十章 波动和声 (2) 相位特点
两相邻波节之间的各质元振动相位相同，每 一波节两侧各质元的振动相位相反. 在驻波中却没有能量的定向传递.
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第十章 波动和声
3. 定量计算
设
y1 y2
A cos A cos
t t
kx kx
第5节 波的相干叠加、驻波(1)
第 5 节波的相干叠加、驻波一、波的相干叠加实验表明，汉空间同时存在两列或两列以上的波时，每列波在传播中将不受其他波 的干扰而保持其原有特性（频率、波长、振幅、振动方向、传播方向）不变，而空间任一点 的振动位移则等于各列波单独在该点引起振动的位移的矢量和。
这一表述称为波的叠加原理 或惠更斯—菲涅耳原理。
1、相干条件介质中同时传播着的两列波相遇时，在它们重叠区域 的某些点振动始终加强，某 些点振动始终减弱，形成稳定的叠加图样，这种现象称为波的干涉。
能产生干涉现象的必要条件称为波的相干条件。
满足波的相干条件的波称为相干 波，产生相干波的波源称为相干波源。
要在空间中维持稳定的干涉现象，各点的振幅应该保持恒定，由此可知，波的相 干条件是：（1）两列波具有相同的频率； （2）两列波的相位差恒定； （3）两列波的振动方向相同（共线）。
2、波的相干叠加 3、干涉加强和减弱的条件设两波源的震动方程分别为：假定振动的方向都是垂直于纸面，由两波源发出的两列波在空间 P 点引起的振动 分别为：其中， 为波数， 动为：分别为 P 到的距离，根据波的叠加原理，P 点的合振这是两个同方向、同频率的振动的合成。
当两振动的相位差为：时，P 点振动的振幅为，振动加强，称为干涉相长点。
当相位差为：时，P 点振动的振幅为 振幅介于二者之间。
，振幅减弱，称为干涉相消点。
相位差为其他值时，1二、一种特殊的干涉现象—驻波 1、驻波的形成 2、驻波的特点 当介质中有反向行进的两个同频率、振动方向相同的波存在时，这两个波叠加后也会产生干涉现象。
为简单起见，设弹性弦上传播着具有相同振幅、相反传播方向的两列波， 它们的运动方程分别为：第一列波为右行波，第二列波为左行波。
弦上的合振动为：由表达式可知，y 与 t、x 的关系分别出现在两个因子中，当 x 不同时，合成波的振幅不同，由因子决定，只要这一项不变符号，不同 x 处的振动相位都是，这些点的相位公与 t 有关，不再随 x 变化，即：不再呈现出相位在空间的传播。
第四节波的叠加与干涉一、波的叠加原理
1一、波的叠加原理几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.第四节波的叠加与干涉2、波的干涉频率相同、振动方向相同、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.231s 2s P*1r 2r 波源振动)cos(111ϕω+=t A y )cos(222ϕω+=t A y )π2cos(1111λϕωr t A y p -+=)π2cos(2222λϕωr t A y p -+=点P 的两个分振动1）频率相同；2）振动方向相同；3）相位相同或相位差恒定.波的相干条件4)cos(21ϕω+=+=t A y y y p p p )π2cos()π2cos()π2sin()π2sin(tan 122111222111λϕλϕλϕλϕϕr A r A r A r A -+--+-=ϕ∆++=cos 2212221A A A A A 1s 2s P*1r 2r 点P 的两个分振动λϕϕϕ1212π2r r ---=∆常量)π2cos(1111λϕωr t A y p -+=)π2cos(2222λϕωr t A y p-+=5讨论1 )合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的.,2,1,0π2=±=∆k k ϕ ,2,1,0π)12(=+±=∆k k ϕ2121A A A A A +<<-=∆ϕ其他21A A A +=振动始终加强21A A A -=振动始终减弱2 )ϕ∆++=cos 2212221A A A A A λϕϕϕ1212π2r r ---=∆6波程差12r r -=δ若则21ϕϕ=λδϕπ2-=∆21A A A -=振动始终减弱21A A A +=振动始终加强,2,1,02/)12(=+±=k k λδ2121A A A A A +<<-其他=δ,2,1,0=±=k k λδ3 )讨论ϕ∆++=cos 2212221A A A A A λϕϕϕ1212π2r r ---=∆2121max 2I I I I I ++=2121min 2I I I I I -+=7例右图是干涉型消声器结构的原理图。
16_07_波的叠加原理 波的干涉 驻波
相邻两波腹的距离： xk 1 xk 振动的相位关系
2
相邻两节点之间的各点为一段，同一段上各质点振动 的相一致，相邻两段上各点振动的相相反。如图 XCH004_038 所示。 驻波的能量：形成驻波时，没有振动状态和能量的定向传播
1 A2 2u 2 1 2 2 —— 负向波的能流密度： I 2 ( u ) A u 2
2
x y1 A cos[2 ( t ) 1 ] y A cos[2 ( t x ) ] 2 2
合成波 y y1 y2 A cos[2 ( t
x
x ) 1 ] A cos[2 ( t ) 2 ]
t x ) ，在 x 0 处发生反射，反射点为节点。求： T
t x ) ] T
t x t x ) A cos[2 ( ) ] T T x t y 2 A sin 2 sin 2 T x 3) 波腹位置： 2 (2k 1) —— x (2k 1) 2 4 y A cos 2 ( x (2n 1)
4
—— 驻波只在－X 空间形成
波节位置： 2
x
k ， x k
2
—— x n
2
REVISED TIME: 09-10-7
-4-
CREATED BY XCH
普通物理学_程守洙_第十六章 机械波和电磁波_20090921
4 行波的叠加和群速度 不同频率的简谐波叠加后，合成波不再是简谐波 —— 复波 图 XCH004_149 为两列频率分别为 1 and
REVISED TIME: 09-10-7
波的叠加原理波的干涉驻波
§12-8 波的叠加研究几列波同时在介质中传播时，在空间相遇时的情况.一、波传播的独立性传播方向相反的两个脉冲的叠加由演示看出两列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等不变），不受其它波的影响，就像其它波不存在一样。
生活实例：➢红绿光束空间交叉相遇(红是红、绿是绿，…)➢听乐队演奏(仍可辨出不同乐器的音色、旋律)➢空中无线电波很多(仍能分别接收各个电台)二、波的叠加原理在几列波相遇而互相交叠的区域中，某点的振动是各列波单独传播时在该点引起的振动的合成。
三、波的干涉1.干涉现象当两列(或几列)满足一定条件(相干条件)的波在某区域同时传播时，则此区域中某些点的振动始终加强，某些点的振动始终减弱，在空间形成一幅稳定的强度分布图样。
干涉现象水波的干涉2.相干条件满足下列条件的波源称相干波源。
相干波源发的波相干波。
在现实中要产生明显的干涉现象，上述条件只能算必要条件，如果两波源的振幅相差悬殊，将导致干涉现象的可见度降低。
1)频率相同2)有恒定的相位差3)振动方向相同相干条件:1s 2s P *1r 2r 波源振动方程)cos(1011ϕω+=t A y )cos(2022ϕω+=t A y 四、干涉波的强度分布S 1、S 2发的波在p 点引起两个振动)π2cos(11011λϕωr t A y p -+=)π2cos(22022λϕωr t A y p -+=λπϕϕϕ∆121020r -r 2--=相位差可见，两个波源在p 点引起的分振动：频率相同；振动方向相同；相位差恒定(不随t 变)。
p 点合振动是两个同方向、同频率简谐振动的合成。
p 点合振动叫两波波程差12r r -)cos(021ϕω+=+=t A y y y p p p) 2cos() 2cos()2sin() 2sin(tan 22021101220211010λπϕλπϕλπϕλπϕϕr A r A r A r A -+--+-=由同方向同频率简谐振动的合成可以得两相干波叠加后的强度12122cos I I I I I ϕ=+∆+211∝A I 222∝A I由于在相干波的相遇点有确定的相位差∆ϕ，所以每一点都有确定的强度，干涉区域形成了稳定的强度分布。
波的叠加原理.
沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加
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沿相反方向传播的两个脉冲波的叠加
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波程差 干涉减弱 结束
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三、驻波 驻波 ： 一对振幅相同的相干波，在同 一条直线上，沿相反方向传播时，叠加而成 的波。 两波的波动方程分别为： t x y 1 = A cos 2 π( T l) x t y 2 = A cos 2 π(T+l ) x t y = y 1 + y 2 = 2 Acos 2 π l cos 2 πT x 振幅 A´ = 2 Acos 2 πl
结束
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振幅：
波腹位置：
x ´ cos A = 2A 2 πl x = 2k l 4
l x = ( 2k+1) 4
x 2k π 2 π l= 2 波节位置： x ( 2k+1)π 2 π l= 2 相邻两波节（或波腹）的距离:
l
x k+1 x k = 2
结束
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驻 波
波腹 波节
结束
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驻 波
波腹 波节
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驻 波
波腹 波节
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驻 波
波腹 波节
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驻 波
波腹 波节
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驻 波
第3章波的叠加原理波的干涉1(原理 驻波)
1）干涉最强点（干涉相长）
Δ 2π k
A A1 A2
k 0,1,2 2 2 I A A1 A2
I max 4I1
如果 A1 A2
Δ π 2k 1
2）干涉最弱点（干涉相消）
k 0,1,
如果 A1 A2 I min 0
12
A A1 A2
干涉是能量的重新分布
水波盘演示
干涉现象
13
讨论 1）关于相位差恒定
Δ 2 1 2π
r2 r1
在确定的场点P (r2 r1 ) 确定
干涉结果取决于波源的初相差 2 1
所以所谓相位差恒定就是波源初相差恒定
实际波：波源振一次发出一列波
4
波的独立传播原理： 有几列波同时在媒质 中传播时 它们的传 播特性（波长、频率 、波速、波形）不会 因其它波的存在而发 生影响
趣称：和平共处
5
细雨绵绵 独立传播
6
2. 叠加原理 在各波的相遇区 线性叠加 各点的振动是
各列波单独在此激起的振动的合成
P 1 2
满足线性波动方程 相应的介质叫线性介质
19
一.产生驻波的条件 沿相反方向传播的两列振幅相等的相干波 相干叠加产生驻波
u
0
x
1 A0cos t kx 2 A0 cos t kx
相差
k
2π
2kx
x m 2
4
Δ 2π m m 0,1
Δ π 2m 1
A 2A0 波腹
三.反射波与入射波形成驻波
入射波
o
或
1u1
b
驻波形成的条件和特点
驻波形成的条件和特点驻波是指在某一介质中传播的波与反射波之间形成的干涉现象。
驻波的形成需要满足一定的条件，同时具有特定的特点。
本文将从波的叠加原理、驻波的形成条件和特点以及中心扩展下的描述进行阐述。
驻波形成的条件：1. 波的叠加原理：驻波是由于两个同频率、相干、反向传播的波相互干涉而形成的。
当两个波的幅度相等且相差180度时，它们在叠加区域内就会形成驻波。
2. 波的传播介质：驻波只能在有界介质中形成，例如绳上的横波、管道中的声波、电缆中的电磁波等。
介质的两端必须有反射点，以便产生反射波与传播波进行干涉。
3. 波的频率和波长：驻波的形成与波的频率和波长有关。
当波长和介质的特定尺寸相匹配时，才能形成驻波。
对于一条绳子上的横波，当绳长为波长的整数倍时，才能形成驻波。
驻波的特点：1. 幅度变化：驻波的幅度在波节处为零，在波腹处达到最大值。
波节是相邻两个振动的干涉点，振动方向相反，形成波的干涉抵消；波腹是相邻两个振动的叠加点，振动方向相同，形成波的叠加增强。
2. 能量分布：驻波的能量分布不均匀，在波节处能量为零，在波腹处能量最大。
因为波节处的振动方向相反，能量相互抵消；而波腹处的振动方向相同，能量叠加增强。
3. 相位变化：驻波的相位差在波节处为180度，在波腹处为0度。
相位差是指相邻两个振动的相位差，相位差为180度时，振动相互抵消；相位差为0度时，振动相互叠加增强。
4. 驻波节点和腹点：驻波中的波节和波腹是驻波的重要特点。
波节是振动的最小值点，即振动幅度为零点；波腹是振动的最大值点，即振动幅度为最大点。
驻波的节点和腹点呈现出一定的规律性分布。
中心扩展下的描述：中心扩展是指在驻波形成的介质中，通过改变波源或改变介质的尺寸，使驻波的节点和腹点发生移动或分布发生变化。
在中心扩展下，驻波的条件和特点会有所变化。
在中心扩展下，改变波源的频率可以改变驻波的波长，进而改变节点和腹点的位置。
当波源频率增大时，波长减小，节点和腹点的间距变小，驻波的节点和腹点向波源方向移动；当波源频率减小时，波长增大，节点和腹点的间距变大，驻波的节点和腹点远离波源。
波的叠加、驻波
2 A12 + A2 + 2 A1 A2 cos[ϕ 2 − ϕ 1 −
2π
λ
( r2 − r1 )]
ϕ = arctg
λ λ 2π r1 2π r2 A1 cos( ϕ 1 − ) + A2 cos( ϕ 2 − ) λ λ
A1 sin( ϕ 1 −
2π r1
) + A2 sin( ϕ 2 − 2π
× × ×
√
2. 教材 教材P.509 已知： 已知：
15.3 u p S1
P.88 (13-16)
λ ⁄4
S2
u p′
λ ， I 1 = I 2 = I 0 , ϕ 10 − ϕ 20 = π S1、 S 2为相干波源，相距 4
求:
2
S 1、 S 2 连线上， S 1外侧， S 2 外侧合成波强度
u入
O
3λ 4
P
解：1) t=0时 原点处 O
疏 密
u入
3λ 4
P
x
ψ 0 = 0,
v 0 > 0,
原点初相 ϕ 0 = −
取决于两波传至相遇点的波程差： ∆ϕ 取决于两波传至相遇点的波程差：δ = r2 − r1
对空间确定点
r1 o1 r2 o2
δ有确定值，I 有确定值
对空间不同点
p
δ 彼此不同， I 彼此不等
能量在空间稳定的非均匀分布 — 干涉现象
相同的点，振动强度相同， δ = r2 − r1 相同的点，振动强度相同， 其集合为双曲面 其集合为双曲面 合振动最强（干涉相长） 合振动最强（干涉相长） 的位置? 的位置 合振动最弱（干涉相消） 合振动最弱（干涉相消）
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峰时，点B 恰为波谷.设波
速为10ms，1 试写出由A、
B发出的两列波传到点P 时
干涉的结果.
解
P
15 m 干涉情况决定于两波传播到p
点时的相差
A 20 m B
两波传播到p点时的相差为：
BA2πBP AP
因A为波峰时，B为波谷，所以有两波源的相 差为（设 A 的相位较 B 超前）：
ABπ
BP 152202 25
x(4,34)c, o2π sx0
动画演示
y (2Acos 2π x) cost (2Acos 2π x) cos(t π)
结论二 一波节两侧各点振动相位相反
边界条件 驻波一般由入射、反射波叠加而成， 反射发生在两介质交界面上，在交界面处 出现波节还是波腹，取决于介质的性质.
介质分类
波疏介质,波密介质
44
(k 0,1,2， )
b 当 cos 2π x 1 时 A 2A 为波腹
x 2k
4
( 的偶数倍)
4
(k 0,1,2， )
结论 有些点始终不振动,有些点始终振幅最大
波腹:
x
2k
4
(k 0,1,2， )
相邻波腹（节）间距 2
相邻波腹和波节间距 4
y
波腹
( 的偶数倍)
4
波节
同一点 ， = 常量，A=常量，与时间无关
不同点 ， 变化，A变化，决定于点（x,y,z)
形成稳定的振幅分布 ----波的干涉现象
讨论
A A12 A22 2A1A2 cos
位相差 决定了合振幅的大小.
干涉的位相差条件
当 2kπ时k 0,1,2,3...
合振幅最大
Amax A1 A2 干涉加强
涉所合成波称为驻波
动画演示
2 条件 两列振幅相同的相干波异向传播 前进波 反射波
3 驻波的形成
动画演示
y 2A
a
t 0
b o
c
u xu
y
tT 4
u xu
y 2A
tT 2
u xu
y
波节：a、b 波幅：o、c
二 驻波方程
正向 y1Aco2sπ(tx) 负向 y2Aco2sπ(tx)
yy1y2
A co 2 π ( st x) A co 2 π ( st x)
动画演示
(1)相干条件 频率相同，振动方向相同，位相差恒定
(2)相干波 满足干涉条件的波称相干波.
(3)相干波源 产生相干波的波的波源称相干波源. 动画演示
(4)干涉现象的定量讨论
波源振动 y 1 A 1cot s1 )( 激发相干波
y 2 A 2cot s2 ) (
两波引起点P 的两个分振动
A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2c os s 1
212πr2r1
s2
r1 *P r2
I A A A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2c os 2
II1I22I1I2co s
212πr2r1
021常 数 时
s1 r1 *P
s2
r2
决定 r2r1 于 考察点，x设 y ,z,其
P
15 m
u100.10 100
A 20 m B
两波传播到p点时的相差为：
B A 2 π B A P P π 2 π 2 0 .1 1 5 5 2π 01
21010 π
所以干涉减弱，点P合振幅： AA1A2 0
三 驻波的产生
1 现象
驻波是特殊的干涉现象
当两列振幅相同、传播方向相反的相干波发生干
12.3.1 波的叠加原理
波传播的独立性：两列波在某区域相遇后 再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰.
波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动 为二波单独在该点引起的振动的合成.
动画演示
二 波的干涉
频率相同、振动 方向平行、相位相同 或相位差恒定的两列 波相遇时，使某些地 方振动始终加强，而 使另一些地方振动始 终减弱的现象，称为 波的干涉现象.
波长 ： 反射波在B点有半个波长损失 条件 ： A：垂直入射
B：从波密媒质(Z较大）反射回波蔬媒质
波阻抗： Z = u 折射：无半波损失
A
B
波蔬媒质
波密媒质Z较大
P 没有半
波损失
m
波密介质 波疏介质
2Aco2π s xco2π st
讨论
驻波方程 y2Aco2π sxco2π stA' cost
(1)振幅 2Acos2π x 随 x 而异,与时间无关
cos 2 π x
1 0
2πxkπ k0,1,2,
2πx(k1 2)π k0,1,2,
a 当 cos 2π x 0 时 A 0 为波节
x (2k 1) ( 的奇数倍)
当 2k 1π
合振幅最小
Amin A1 A2 干涉减弱
位相差
(2
2πr2
)
(1
2πr1
)
如果2 1即相干波源S1、S2同位相
则
2π
r1
r2
2π
r1 r2 称为波程差（波走过的路程之差）
2π
r1
r2
2π
2kπ (2k 1)π
加强 减弱
将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉 的波程差条件，则有
3
5 x
4
4
4
4
振幅包络图
2
(2) 相位分布
y (2Acos 2π x) cos t Acos t
x(4,4)c, o2sπx0 动画演示
y (2Acos 2π x) cost
结论一 相邻两波节间各点振动相位相同
y
波腹
波节
3
5 x
4
4
442Fra biblioteky4
4
3
4
5
4
x
x(
,
),
44
y (2Acos 2π x) cost
波疏介质
波密介质
动画演示
波
波
疏
密
介
介
质
质
u
u
较
较
小
大
三 相位跃变（半波损失）
当波从波疏介质垂直入射到波密介质, 被反射到波疏介质时形成波节. 入射波与反 射波在此处的相位时时相反, 即反射波在分
界处产生 π的相位跃变，相当于出现了半个
波长的波程差，称半波损失.
（2） 半波损失
B点为波节： 位相 ： 前进波波在B点有位相 的突变
干涉的波程差条件
当 r1 r2 k 时（半波长偶数倍）
合振幅最大
Amax A1 A2
当
r1
r2
(2k
1)
2
时（半波长奇数倍）
合振幅最小
Amin A1 A2
例 如图所示，A、B 两点
P
为同一介质中两相干波源. 15 m 其振幅皆为5 cm，频率皆 为100 Hz，但当点 A 为波 A 20 m B
y1PA1cost(12π r1) y2PA2cots(22πr2)
s1 s2
r1 *P r2
此两个分振动为简谐振动
点P 合振动：
y P y 1 P y 2 P A co t s)(
tanA A11csoins11( (22ππrr11)) A A22scions22((22ππrr21))