随机过程的数字特征

定义随机过程的自相关函数：
RX (t1 , t2 ) E[ x(t1 ) X (t2 )]

x1 x2 PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
这就是随机过程 X(t)在两个不同时刻 t1 , t2 的状态 X (t1 ), X (t2 ) 之间的混合原点矩，自相关函数就反映 了 X(t)在两个不同时刻的状态之间的相关程度。若在定义式中取 t t1 t2 ，则有
x , 1≤x≤0 f ( x) 1 1 x , 0≤x≤1
求 E ( x), D( x) 。 解：∵ E ( x)


xf ( x)dx
D( X ) D ( X 2 ) [ E ( X )]2 E ( X ) x(1 x)dx x(1 x)
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1/ 2 f ( ) 0
解
1 2 其它
当取定 t T时,X (t ) a cos(t ) 是一个随机变量，且该随机变量 X(t)显然是随机变量 的函
数。由求随机变量函数的数学期望定理，
E ( y ) E[ g ( X )]
随机过程的数学期望 mX(t) 图 2.1 随机过程的数学期望 mX(t)
如果我们计论的随机过程是接收机输出端的一条 噪声电压，这个 E[ X (t )] 就是噪声电压在某一瞬时 t
的统计平均值（又称集平均值） 。
§2.2 随机过程的均匀方值与方差
对于某一固定的时刻，随机过程 X(t)就成为一个随机变量，由此可给出随机过程均方值定义。定义随 机过程 X(t)的均方值：
1 0 0 1
∴
E ( X 2 ) x(1 x)dx x(1 x)dx
1 0
0
1
1 6
∴ D ( x) E ( X ) [ E ( x) ]
2 2
1 6
注意：随机变量的数字特征计算结果是一个确定的数。
而随机过程的数字特征不是数，是一个关于时间的确定函数。
1
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RX (t1 , t2 ) RX (t , t ) E[ Xt ) X (t )] E[ X 2 (t )]
此时自相关函数即为均方值。 式中， PX ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) 为过程 X(t)的二维概率密度函数。 例 2.2 为
4
方差和自相关函数， 其中 的概率密度 求随机相位正弦波过程 X (t ) a cos(t ) 的均值、
有

g ( x) f ( x)dx
E[ X (t )] M X (t )
2 0
0


2 0


2
a cos(t )
1 d 0 2
显然 X (t ), X (t ) 是关于 t 的函数，且为非负函数。
2 2
定义随机过程的标准离差：
2 X (5) X (t ) D[ X (t )]
注：随机过程的标准差是表示了随机过程在 t 时刻偏离均值 E[ E (t )] 的程度大小，如图 2.2 所示。
图 2.2
§2.3 随机过程的自相关函数
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第二章 随机过程的数字特征
从上面的分析可知， 对于一个随机过程 X(t)， 要研究它的变化规律， 常常需要建立起它的 “函数关系” ， 也就是建立随机过程的多维分布。因为随机过程 X(t)的多维分布可以比较全面地描述随机过程的整个变化 规律的统计特性，但要建立过程的分布函数一般比较复杂，使用也不便，甚至不可能。怎么办呢？事实上， 在许多实际应用中，当随机过程的“函数关系”不好确定时，我们往往可以退而坟其次，像引入随机变量 的数字特征一样，引入随机过程的数字特征。用这些数字特征我们认为基本上能刻划随机过程变化的重要 统计规律，而且用随机过程的 X(t)的数字特征，又便于运算和实际测量。 显然，对于随机变量 X，它的的数字特征我们主要介绍了数学期望、方差、相关函数来描述随机过程 X(t)的主要统计特性。 例 2.1 设随机变量 X 具有概率密度
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§2.1 随机过程 X(t)的数学期望
对于某个给定时刻 t，随机过程成为一个随机变量，因此可按通常随机变量的数学期望方法来定义随 机过程的数学期望。
定义 X(t)的数学期望。
E[ X (t )] mX (t )

xPX ( x ; t )dx
式中， PX ( x; t ) 是 X(t)的一维概率密度函数。 E[ X (t )] 又可称为 X(t)的均值， 这个均值函数 E[ x(t )] 可以理解为在某一给定时刻 t 随 机过程的所有样本函数的平均值。如图 2.1 所示。显然 由图 2.1 可看出，随机过程 X(t)就在 E[ X (t )] 附近起伏 变化，图中细线表示样本函数，粗线表示均值函数。
2 X (t ) E[ X 2 (t )]

x 2 PX ( x; t )dx
式中， PX ( x; t )为X (t ) 的一维概率密度函数。 定义机过程的方差（又可称二阶中心矩） ：
2
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2 X (t ) D[ X (t )] E{[ X (t ) M X (t )]2 }
随机过程的数学期望、 方差描述了随机过程在各个孤立时刻的重要数字特征值， 但它们不能反映随机 过程的内在联系，这一点可以通过下图的两个随机过程 X(t)、Y(t)来说明。
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图 2.3 具有相同数学期望和方关的两个不同随机过程 对于这两个随机过程，从直观上讲，它们都具有大致相同的数学期望和方差，但两个过程的内部结构 却有着非常明显的差别，其中 X(t)随机时间变化缓慢，这个过程在两个不同的时刻的状态之间有着较强的 相关性，而过程 Y(t)的变化要急剧得多，其不同时刻的状态之间的相关性，显然很弱。怎样去研究和反映 一个随机过程在不同时刻的内在联系呢？为此我们引入自相关函数（简称相关函数）来描述随机过程在两 个不同时刻状态之间的内在联系。