2015高考数学二轮复习热点题型-数列、不等式

数列、不等式

1．已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧

S 1 (n ＝1)

S n －S n －1 (n ≥2).

由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．

[问题1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.

答案 ⎩

⎪⎨⎪

⎧

2， n ＝12n －1， n ≥2

2．等差数列的有关概念及性质

(1)等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． (2)等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . (3)等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)

2

d . (4)等差数列的性质

①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 是关于n 的二次函数且常数项为

0.

②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．

③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．

[问题2] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 答案 A

3．等比数列的有关概念及性质

(1)等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a n

a n －1(n ≥2)．如

一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝5

6.

(2)等比数列的通项：a n ＝a 1q n －1

或a n ＝a m q n

－m

.

(3)等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q

1－q .

易错警示：由于等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解．

(4)等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A >B . (5)等比数列的性质

当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p .

[问题3] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________. 答案 (1)512 (2)10 4．数列求和的方法

(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法；

如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1

n －1n ＋k .

(6)并项法．

数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．

[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1

2(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的

值为________． 答案 92

5．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．

[问题5] 不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫

23，1

6．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．

[问题6] 已知a ，b ，c ，d 为正实数，且c >d ，则“a >b ”是“ac >bd ”的________条件．

答案 充分不必要

7．基本不等式：a ＋b

2≥ab (a ，b >0)

(1)推广：

a 2＋

b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2

1a ＋1

b

(a ，b >0)． (2)用法：已知x ，y 都是正数，则

①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值1

4

s 2.

易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件． [问题7] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4

b 的最小值是________．

答案 9

8．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．

[问题8] 设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩

⎪⎨⎪⎧

x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．

答案

2

2

易错点1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误

例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________． 错解 －1

找准失分点 当q ＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q ≠1. 正解 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立． ②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9 得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q

∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－1

易错点2 忽视分类讨论或讨论不当致误

例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S k ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |. 错解 由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，