不等式的基本性质

课题：不等式的基本性质()

教学目标：

1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。

1.掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。

2.提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。

教学难点：不等式的性质的运用

教学过程：

第1课时：

问题情境：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。甲先从四个容器中取两个容器盛水，

乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？ 分析：依题意可知：A 、B 、C 、D 四个容器的容积分别为a 3、a 2b 、ab 2、b 3，甲有6种取

法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。

研究比较大小的依据：

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。

在右图中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b ，

点A 在点B 右边，那么a ＞b 。

而a －b 表示a 减去b 所得的差，由于a ＞b ，则差是一个正数，即a －b ＞0。

命题：“若a ＞b ，则a －b ＞0”成立；逆命题“若a －b ＞0，则a ＞b ”也正确。 类似地：若a ＜b ，则a －b ＜0；若a ＝b ，则a －b ＝0。逆命题也都正确。

结论：(1)“a ＞b ”⇔“a －b ＞0”

(2)“a ＝b ”⇔“a －b ＝0”

(3)“a ＜b ”⇔“a －b ＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。 正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；

(4) 负数乘负数是正数。

研究不等式的性质：

性质1：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c (不等式的传递性)

证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0

∵b ＞c ∴b －c ＞0

∴(a －b)＋(b －c)＝a －c ＞0 (正负数运算性质)

则a ＞c

反思：证明要求步步有据。

性质2：若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c (不等式的加法性质)

证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0

∵(a ＋c)－(b ＋c)＝a －b ＞0 ∴a ＋c ＞b ＋c

反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会。

思考：逆命题“若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞b ”成立吗？——两边加“－c ”即可证明。

[例1] 求证：若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d (同向不等式相加性质)

证明1：∵a ＞b ∴a ＋c ＞b ＋c (性质2)

∵c ＞d ∴b ＋c ＞b ＋d

(性质2) 则a ＋c ＞b ＋d

(性质1)

证明2：∵a ＞b ∴a －b ＞0

∵c ＞d ∴c －d ＞0

x

∴(a－b)＋(c－d)＞0 即(a＋c)－(b＋d)＞0 (作差比较法)

则a＋c＞b＋d

反思：你更喜欢哪种方法？为什么？(精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎。)

练习：求证：若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d (异向不等式相减性质) ——作业

证明1：∵c＜d ∴c－d＜0

得d－c＞0 即－c＞－d (正数得相反数为负数)

亦可由c＜d两边同加－(c＋d)，直接推出－c＞－d (性质2)

∵a＞b ∴a＋(－c)＞b＋(－d) (同向不等式相加性质)

则a－c＞b－d (加减法运算法则)

证明2：∵a＞b ∴a－b＞0

∵c＜d ∴d－c＞0

∴(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0 (作差比较法)

则a－c＞b－d

性质3：若a＞b，c＞0，则ac＞bc

若a＞b，c＜0，则ac＜bc (不等式的乘法性质)

证明：ac－bc＝(a－b)c (作差比较法)

∵a＞b ∴a－b＞0

(1)当c＞0时，(a－b)c＞0，得ac＞bc (正负数运算性质)

(2)当c＜0时，(a－b)c＜0，得ac＜bc (正负数运算性质)

反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立。但不等式的情况完全不同！——强调！思考：(1)“若a＞b，则ac2＞bc2”成立吗？——不成立！反例：c＝0时不成立。

(2)“若ac2＞bc2，则a＞b”成立吗？——成立！隐含c2＞0。

练习：(1)《教材》P.30-练习2.1(1)-1 (学生口答，教师点评)

(2)《教材》P.30-练习2.1(1)-2、3 (学生板书，教师点评)

2、求证：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd (同向不等式相乘性质)

证明：∵a＞b，c＞0 ∴ac＞bc (性质3)

∵c＞d，b＞0 ∴bc＞bd (性质3)

则ac＞bd (性质1)

特例：当a＝c且b＝d时，有“若a＞b＞0，则a2＞b2”

推而广之：若a＞b＞0，则a n＞b n (n∈N*) (不等式的乘方性质)

推而广之：若a＞b＞0(n∈N*，n＞1) (不等式的开方性质) ——可用反证法进行证明。

3、求证：若a＞b＞0，则0＜1

a

＜

1

b

(不等式的倒数性质)——作业

证明：∵a＞b＞0 ∴1

a

＞0，

1

b

＞0，a－b＞0

∴1

b

－

1

a

＝

a b

ab

－

＞0 (正负数运算性质) 则0＜

1

a

＜

1

b

[例2]比较(a＋1)2与a2－a＋1的值的大小。

解：(a＋1)2－(a2－a＋1)＝3a

(1)当a＜0时，(a＋1)2＜a2－a＋1

(2)当a＝0时，(a＋1)2＝a2－a＋1

(3)当a＞0时，(a＋1)2＞a2－a＋1

反思：(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！——强调！

(2)分类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！——强调！

[例3]解关于x的不等式m(x＋2)＞x＋m。

解：(m－1) x＞－m

(1)当m＝1时，x∈R

(2)当m＜1时，x＜－

m

m1－

；

(3)当m＞1时，x＞－

m m1－

反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m－1值的不确定性

(2) 如何进行讨论？——不等式性质

课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31)

(2) 数学方法：作差比较法

(3) 数学思想：分类讨论

第1课时作业：《练习册》P.13-习题2.1-A、B组(做在练习册上)