高中数学《函数的图像》高考一轮复习

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2025届高中数学一轮复习课件《指数函数》PPT

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求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，当涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．
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对点练 4(1)(2024·山东莱芜模拟)已知函数 f(x)＝|－2x－x＋15|，，xx≤>22，，若函数 g(x)＝f(x)－
解析：∵y＝35x 是 R 上的减函数，∴35－13 >35－14 >350，即 a>b>1，又 c＝32－34 <320 ＝1，∴c<b<a.
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4．(2024·四川成都模拟)若函数 f(x)＝13－x2＋4ax 在区间(1,2)上单调递增，则 a 的取值范围为___－__∞__，__12_ _．
在(4，＋∞)上单调递增．令12x≤4，得 x≥－2，令12x>4，得 x<－2，代入外层函数的单调递减区间，得到自变量 x 的取值范围，这才是复合函数的单调递增区间．而函数 t＝12x 在 R 上单调递减，所以函数 y＝122x－8·12x＋17 的单调递增区间为[－2，＋∞)．
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所谓“底大图高”，反映指数函数的排列规律．
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1．判断下列结论是否正确． (1)函数 y＝a－x(a>0，且 a≠1)是 R 上的增函数．( ) (2)函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与 x 轴有且只有一个交点．( ) (3)若 am>an，则 m>n.( ) (4)函数 y＝ax 与 y＝a－x(a>0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．( √ )

高中数学一轮复习三角函数的图像与性质：第3节扇形的弧长及面积公式

第3节扇形的弧长及面积公式【基础知识】弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝12lr＝12|α|r2.【规律技巧】(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝12lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝nπr180，扇形面积S＝nπr2360，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．【典例讲解】【例1】已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝π3，R＝10，l＝π3×10＝10π3(cm)，S弓＝S扇－S△＝12×10π3×10－12×102×sinπ3＝503π－5032＝50π3－32(cm2)．【规律方法】涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝12|α|R2＝12lR.【变式探究】已知扇形的周长为 4 cm，当它的半径为______ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.【答案】12 1【针对训练】1、已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1或4 B．1C．4 D．8【答案】A2、已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？【答案】当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大3.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A.π3B.2π3C. 3D.2【答案】C【解析】设圆的半径为R，则其内接正三角形的边长为3R，即该圆弧的弧长为3R，于是其圆心角的弧度数为 3.故选C.4.一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．【答案】(7＋43)∶9【练习巩固】1．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB的面积是 1 cm2，它的周长是 4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.【解析】(1)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝10，1 2θ·r2＝4，解得r＝4，θ＝12或r＝1，θ＝8(舍去)．∴扇形的圆心角为1 2 .(2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则12lr＝1，l＋2r＝4，解得r＝1，l＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 rad.∴AH＝1·sin 1＝sin 1 (cm)，∴AB＝2sin 1 (cm)．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP→的坐标为________．【答案】(2－sin 2，1－cos 2) 3．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A ．4B ．2 C．8 D．1【答案】A 【解析】试题分析：记扇形的圆心角为,42,.2rS 扇，故选A ．考点：1、扇形面积公式．4．（2015秋?友谊县校级期末）一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形中心角为（）A ．B．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：由扇形面积公式得θr=2π，θｒ2=3π，先解出r 值，即可得到θ值．解：设这个扇形中心角的弧度数是θ，半径等于r ，则由题意得θr=2π，θｒ2=3π，解得 r=3，θ＝．故选：D ．考点：扇形面积公式．5．已知扇形的圆心角为060，所在圆的半径为10cm ，则扇形的面积是________2cm ．【答案】503【解析】试题分析：由扇形的面积公式，得该扇形的面积为350100321212RS；故填503．考点：扇形的面积公式．6．在半径为2的圆中，一扇形的弧所对的圆心角为60°，则该扇形的弧长等于．【答案】32【解析】试题分析：圆心角为60°即32233l r考点：弧长公式7．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，则扇形的面积为______．【答案】3【解析】试题分析：21203oQ ，扇形所对的弧长2323l，扇形面积为12332S ．考点：扇形面积．8．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是______．【答案】2【解析】试题分析：设扇形的半径R ，弧长，根据题意R l R 2，解得2Rl ，而圆心角2Rl 考点：圆心角公式9．（2015秋?溧阳市期末）已知扇形的半径为1cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为cm 2．【答案】1【解析】试题分析：直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．解：扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，所以扇形的面积为：=1．故答案为：1．考点：扇形面积公式．10．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为弧度．【答案】【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，则l=2r ，于是侧面展开图的扇形半径为l ，弧长为2πr ，∴圆心角α＝=π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台），圆锥的侧面展开图．【名师点睛】旋转体的侧面展开图问题：1．圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的高是圆柱的高（母线），矩形的底是圆柱的底面周长．2．圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图扇形的中心角是，则2r l．3．圆台的上、下底面半径分别为r,R ，母线长为l ，侧面展开图圆环的中心角为，则2R r l．11．如图，点P 从（1,0）出发，沿单位圆按顺时针方向运动3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为．【答案】13,22【解析】试题分析：由三角函数定义知：13cos(),sin(),3232xy ，因此Q 点的坐标为13,22考点：三角函数定义【名师点睛】定义法求三角函数值的两种情况（1）已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．。

2025届高中数学一轮复习课件：第三章第8讲函数与方程(共84张PPT)

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对点练 1(1)(2024·山西临汾模拟)函数 f(x)＝log8x－31x的零点所在的区间是(
)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
(2)已知函数 f(x)＝logax＋x－b(a>0，且 a≠1)．当 2<a<3<b<4 时，函数 f(x)的零点 x0
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)(2)设函数 f(x)＝13x－ln x，则函数 y＝f(x)( ) A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点 B．在区间1e，1(1，e)内均无零点 C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点
Δ<0
__无__交__点____ ____无______
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常/用/结/论 1．有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．对于函数来说，零点有与 x 轴相切的零点． 2．f(a)f(b)<0 是 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
01 理清教材强基固本 02 重难题型全线突破 03 限时跟踪检测
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理清教材强基固本
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一函数零点 1．定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把满足___f(_x_)＝__0___的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D) 的零点．

专题五+5.3三角函数的图像与性质课件——2023届高三数学一轮复习

标):ωx+φ=π+2kπ.(以上k∈Z)
例1
(2022重庆十一中月考,5)函数f(x)=Asin(ωx+φ)
A
0,
ω
0,
0
φ
2
的部分图象如图所示,将其向右平移 3 个单位长度后得到图象对应的函
数解析式为 ( )
A.y= 2 sin 2x
B.y=
2
sin
2x
3
C.y=
2
sin
2x
3
D.y=
5 3
, 13 6
⫋
3 2
, 5 2
,易知函数y=sin
x在
3 2
,
5 2
上单调递增,则函数f(x)=sin
2
x
3
在区间
,
5 4
上单调递增,故
D正确.故选BD.
答案 BD
考法三三角函数的最值求三角函数最值常见的函数形式
1.y=asin x+bcos x= a2 b2 sin(x+φ),其中cos φ= a ,sin φ= b .
2
,
0
,(π,-1),
3 2
,
0
,(2π,1).
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图用五点法画y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)在一个周期内的简图时,一般先列表,后描点,连线,其中所列表如下:
ωx+φ
x
y=A· sin(ωx+φ)
0
π
2
-
π - + 2
左平移个单位长度,得到曲线C2
12

人教版高中数学高考一轮复习--函数的概念及其表示(课件)

202X
高中总复习优化设计
GAO ZHONG ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
第二章
2.1 函数的概念及其表示
课标要求
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关
系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用,了解构成函数的要
图象、求值及方程(不等式)问题,提升数学运算和数学抽象素养.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.函数的概念
内容
两个集合 A,B
函数
设 A,B 是两个非空数集
如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的
对应关系 f:A→B 任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它
[-1,2]
.
因为 y=f(x2-1)的定义域为[-√3, √3],
所以 x∈[-√3, √3],x2-1∈[-1,2],所以 y=f(x)的定义域为[-1,2].
能力形成点3
例4
求函数的解析:式
2
(1)已知 f + 1 =lg x,求 f(x);
(2)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求 f(x);
4.设 f(x)= 0, = 0,g(x)=
则 f(g(π))的值为( B )
0,为无理数,
1, < 0,
A.1
B.0
C.-1
D.π

2020届高考高中理科数学一轮专题复习第四章 4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用

§4.4函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及应用1.y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点3.函数y＝sin x的图像经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像的两种途径概念方法微思考1.怎样从y ＝sin ωx 的图像变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图像？提示向左平移φω个单位长度.2.函数y ＝sin(ωx ＋φ)图像的对称轴是什么？提示 x ＝k πω＋π2ω－φω(k ∈Z ).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像向右平移π2个单位长度得到的.( √ ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图像.( × )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ ) (4)函数y ＝sin x 的图像上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图像对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )题组二教材改编2.为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，可以将函数y ＝2sin 2x 的图像向平移个单位长度. 答案右 π63.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为 . 答案 2，14π，－π34.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为 .答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] 解析从题图中可以看出，从6～14时的是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]. 题组三易错自纠5.要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( ) A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度答案 A解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像向左平移π12个单位长度. 6.将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为 . 答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像向右平移14个周期，即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 7.y ＝cos(x ＋1)图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是 . 答案π2＋4解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.8.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为 .答案3解析由题干图像可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.题型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及变换例1 (2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图像(要列表).解 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，13π6，列表如下：描点、连线得图像：引申探究在本例条件下，若将函数f (x )的图像向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值.解由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2(x －m )＋π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2x －⎝⎛⎭⎫2m －π6是偶函数，所以2m －π6＝π2(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝k π2＋π3，k ∈Z ，又因为m >0，所以m 的最小值为π3.思维升华 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标.(2)由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.跟踪训练1 (1)若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图像向左平移π3个单位长度，所得到的图像与函数y ＝cos ωx 的图像重合，则ω的一个可能取值是( ) A.2 B.32 C.23 D.12答案 A解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图像重合，可得ω3π－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴2是ω的一个可能值.(2)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(0<ω<2)满足条件：f ⎝⎛⎭⎫－12＝0，为了得到函数y ＝f (x )的图像，可将函数g (x )＝cos ωx 的图像向右平移m (m >0)个单位长度，则m 的最小值为( ) A.1 B.12 C.π6 D.π2答案 A解析由题意得sin ⎝⎛⎭⎫－12ω＋π6＝0，即－12ω＋π6＝k π(k ∈Z )，则ω＝π3－2k π(k ∈Z )，结合0<ω<2，得ω＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－π3x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π3(x －1)，所以只需将函数g (x )＝cos π3x 的图像向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y ＝f (x )的图像，故选A. 题型二由图像确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则y ＝ .答案 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6解析由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为 .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈Z 解析根据题干所给图像，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图像经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值. 思维升华 y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.跟踪训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，将函数f (x )的图像向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，32对称，则m的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12答案 D解析依题意得⎩⎨⎧A ＋B ＝332，－A ＋B ＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝32，T 2＝πω＝2π3－π6＝π2，故ω＝2，则f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋32. 又f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＋32＝332，故π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z ). 因为|φ|<π2，故φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32. 将函数f (x )的图像向左平移m 个单位长度后得到g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2m ＋32的图像，又函数g (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，32对称，即h (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2m 的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，故3sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＋2m ＝0，即5π6＋2m ＝k π(k ∈Z )，故m ＝k π2－5π12(k ∈Z ).令k ＝2，则m ＝7π12.题型三三角函数图像、性质的综合应用命题点1 图像与性质的综合问题例3 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，若f (0)＝3，且AB →·BC →＝π28－8，B ，C 分别为最高点与最低点.(1)求函数f (x )的递增区间；(2)若将f (x )的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)由f (0)＝3，可得2sin φ＝3，即sin φ＝32. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π3.由题意可知，AB →＝⎝⎛⎭⎫14T ，2，BC →＝⎝⎛⎭⎫12T ，－4，则AB →·BC →＝T28－8＝π28－8，∴T ＝π.故ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z . (2)由题意将f (x )的图像向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32. ∴当2x ＋2π3＝2π3，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取得最大值3，当2x ＋2π3＝3π2，即x ＝5π12时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，g (x )取得最小值－2.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是 . 答案 (－2，－1)解析方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根. ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图像有两个不同交点，如图：由图像观察知，m2的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－12，故m 的取值范围是(－2，－1). 引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是 . 答案 [－2,1)解析由上例题知，m2的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1). 命题点3 三角函数模型例5 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低，为5千元，则7月份的出厂价格为元. 答案 6 000解析作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知A ＝12(9 000－5 000)＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3,9 000)看成函数图像的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N ＋).∴f (7)＝2 000×sin7π6＋7 000＝6 000(元). 故7月份的出厂价格为6 000元.思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.(2)方程根的个数可转化为两个函数图像的交点个数.跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为 . 答案 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6解析根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ. 又函数图像过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. (2)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为 . 答案 π解析 ∵f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，∴x ＝π6是f (x )图像的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±1， ∴π6×ω＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝6k ＋2，k ∈Z ， ∴T ＝π3k ＋1(k ∈Z ).又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点， ∴π6<T 4≤π2－π6， ∴2π3<T ≤4π3， ∴2π3<π3k ＋1≤4π3(k ∈Z )， ∴－112≤k <16，又∵k ∈Z ，∴k ＝0，∴T ＝π.三角函数图像与性质的综合问题例 (12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π). (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值. 规范解答解 (1)f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分] ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，[5分] 于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，[8分] ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，[10分] ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈[－1,2].[11分] 故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2· ⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质.1.为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像，可以将函数y ＝sin 2x 的图像( ) A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向左平移π12个单位长度答案 B解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π12个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像.2.(2018·洛阳统考)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.5π4答案 C解析 f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，将函数f (x )的图像向右平移φ个单位长度后所得图像对应的函数为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数，故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.3.(2019·合肥模拟)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是π，则其图像向右平移π3个单位长度后对应函数的递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z ) 答案 B解析由题意知ω＝2ππ＝2，将函数f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 的图像，由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得所求函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4 (k ∈Z ). 4.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则f (x )的递增区间为( )A.[－1＋4k π，1＋4k π](k ∈Z )B.[－3＋8k π，1＋8k π](k ∈Z )C.[－1＋4k ，1＋4k ](k ∈Z )D.[－3＋8k ，1＋8k ](k ∈Z ) 答案 D解析由题图知，T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的递增区间为[8k －3,8k ＋1](k ∈Z ).5.将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图像沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图像关于y 轴对称，则a 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案 B解析依题意得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，因为函数f (x －a )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －a －π6的图像关于y 轴对称，所以sin ⎝⎛⎭⎫－a －π6＝±1，a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，又a >0，所以a ＝k π＋π3，k ∈N .因此正数a 的最小值是π3，故选B.6.将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A.－32B.－12C.12D.32答案 A解析将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ的图像，该图像关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32. 7.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝ .答案3解析由题干图像知πω＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，所以ω＝2.因为2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 又函数图像过点(0,1)，代入上式得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝ 3. 8.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝ .答案32解析由题图可知，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12，1，即sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3 ＝sin 2π3＝32.9.(2018·洛阳模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤2π9，5π18解析画出函数的图像如图所示.由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18. 10.已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内是增加的，且函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 . 答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内是增加的，且函数图像关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2. 11.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图像的一个对称中心. (1)求ω的值，并求出函数f (x )的递增区间； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图像. 解 (1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图像的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π(k ∈Z )，ω＝－3k ＋12(k ∈Z )，因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 令2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ). (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：作出函数部分图像如图所示：12.(2017·山东)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值. 解 (1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.13.将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值为 . 答案5π6解析 g (x )＝sin [2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，所以sin θ＝32，sin(－2φ＋θ)＝32，又－π2<θ<π2，所以θ＝π3，sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 又0<φ<π，所以－5π3<π3－2φ<π3，所以π3－2φ＝－4π3.即φ＝5π6.14.(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为 .答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0). 由2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12， ∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z ). 令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6， ∴x 1＝0，x 2＝2π3ω. 由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2. 故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.15.已知函数y ＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)的图像关于直线x ＝13对称.该函数的部分图像如图所示，AC ＝BC ＝22，C ＝90°，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 .答案 34解析依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12sin(πx ＋φ). 又f (x )的图像关于直线x ＝13对称， ∴f ⎝⎛⎭⎫13＝12sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±12. ∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π， ∴φ＝π6，∴f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝34.16.已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2的图像在y 轴上的截距为1，且关于直线x ＝π12对称，若存在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使m 2－3m ≥f (x )成立，则实数m 的取值范围为 . 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2的图像在y 轴上的截距为1， ∴A sin φ－12＝1，即A sin φ＝32. ∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12的图像关于直线x ＝π12对称， ∴2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π2，∴φ＝π3， ∴A ·sin π3＝32， ∴A ＝3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－12. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32－12＝－2. 令m 2－3m ≥－2，解得m ≥2或m ≤1.。

2025届高中数学一轮复习课件《对数函数》PPT

(2)因为 a，b，c 均为正数，将 a，b，c 分别看成是函数图象的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出 y＝2x，y＝12x，y＝log2x，y＝log12 x 的图象如图．
由图可知 a<b<c.故选 A．
高考一轮总复习•数学
比较对数值大小的方法
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高考一轮总复习•数学
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01 理清教材强基固本 02 重难题型全线突破 03 限时跟踪检测
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理清教材强基固本
高考一轮总复习•数学
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1．对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
图象
定义域值域定点单调性在(0，＋∞)上单调递增函数值当 x＞1 时，y＞0；正负当 0＜x＜1 时，y＜0
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对点练 1(1)(多选)已知函数 f(x)＝loga(x－b)(a>0，且 a≠1)的图象如图所示，则以下说法正确的是( )
A．－1<b<0
B．a＋b>0
C．0<a<1
D．loga|b|<0
(2)已知 f(x)＝lg x，作出函数 y＝－f(x)，y＝f(－x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|，y
3
2x－1的定义域为12，1.
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4．(2024·吉林长春月考)函数 f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递增区间为__(_3_，__＋__∞_)__．
解析：设 g(x)＝x2－2x－3，可得函数 g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又由函数 y＝lg(x2－2x－3)满足 x2－2x－3>0，解得 x<－1 或 x>3，根据复合函数的单调性，可得函数 f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)．

高三数学一轮复习 1.2 函数、基本初等函数的图象与性质学案

专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲函数、基本初等函数的图象与性质【最新考纲透析】1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

（3）了解简单的分段函数，并能简单应用。

（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。

（5）会运用函数图象理解和研究函数的性质。

2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景。

（2）理解有理指数幂的含义，了解褛指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。

（4）知道指数函数是一类重要的函数模型。

3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。

（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（4）了解指数函数xy a=与对数函数log ay x=互为反函数（0,1a a>≠且）。

4．幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数12321,,,,y x y x y x y y xx=====的图象了解它们的变化情况。

【核心要点突破】要点考向一：基本初等函数问题考情聚焦：1．一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数，在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。

2．常与函数的性质、方程、不等式综合命题，多以选择、填空题的形式出现，属容易题。

考向链接：1．一元二次、二次函数及指数\对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键，同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用。

2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。

例1：（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ4）函数y=1+ln（x-1）(x>1)的反函数是（A）y=1xe+-1(x>0) (B) ）y=1x e-+1(x>0)(C) y=1x e+-1(x ∈R) (D）y=1x e-+1 (x ∈R)【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。

高中数学高考高三理科一轮复习资料第3章 3.5三角函数的图象和性质

高中数学
3．5 三角函数的图象和性质
考纲点击 1.能画出 y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx 的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区 π π 间－2，2内的单调性.
2．对函数周期性概念的理解 (1)周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个 x 值都满足 f(x＋T)＝f(x)，其中 T 是不为零的常数．如果只有个别的 x 值满足 f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个 x 值不满足 f(x＋T)＝f(x)，都不能说 T 是函数 f(x)的周期．
∴f(x)为偶函数，排除 A、C，又 T＝π，故选 B. 答案：B
2．函数
π A．{x|x≠ ，x∈R} 4 π B．{x|x≠－，x∈R} 4 π C．{x|x≠kπ＋，k∈Z，x∈R} 4 3π D．{x|x≠kπ＋ 4 ，k∈Z，x∈R} π π 3 解析：∵x－4≠kπ＋2，∴x≠kπ＋4π，k∈Z. 答案：D
(2)从周期函数的定义，对于条件等式 “f(x＋T)＝f(x)”可以理解为自变量增加一个常数 T 后，函数值不变；从图象的角度看就是，每相隔距离 T 图象重复出现．因此对于 f(ωx＋φ＋ T)＝f(ωx＋φ)(ω＞0)，常数 T 不能说是函数 f(ωx＋φ)的周期．因 T T 为 f(ωx＋φ)＝f ω x＋ω ＋φ ，即自变量由 x 增加到 x＋ω，也就 T 是ω才是函数的周期.
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
续表函数定义域
y＝sinx x∈R

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第28页
对点练 2(1)(2024·广东茂名模拟)下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是( )
A．f(x)＝cos2x＋sin xcos x B．f(x)＝21s－incxocso2sxx C．f(x)＝cosx＋π3＋cosx－π3 D．f(x)＝sinx＋π6cosx＋π6 (2)若 f(x)＝sin ωx(ω>0)在[0,1]上至少存在 50 个最小值点，则 ω 的取值范围是 ____1_92_9_π_，__＋__∞__ ______．
32π，0 ，(2π，1)．
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第6页
二正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
x∈R
x∈R
{x∣x∈R 且 x≠π2 ＋kπ，k∈Z}
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第7页
函数
y＝sin x
值域
[－1,1]
y＝cos x [－1,1]
第22页
对点练 1 函数 y＝lg sin 2x＋ 9－x2的定义域为__－__3_，__－__π2_∪___0_，__π2__．
解析：由s9i－n 2xx2≥>00，，
得kπ<x<kπ＋π2，k∈Z，－3≤x≤3，
∴－3≤x<－2π或 0<x<π2.∴函数 y＝lg sin 2x＋
9－x2的定
义域为－3，－π2∪0，π2.
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第12页
1．判断下列结论是否正确． (1)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (2)已知 y＝ksin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( ) (3)y＝sin|x|是偶函数．( √ ) (4)若非零实数 T 是函数 f(x)的周期，则 kT(k 是非零整数)也是函数 f(x)的周期．( √ )

高中数学一轮复习课件幂函数的图像和性质

总结归纳
及时总结归纳学习过程中的重点和难点，形成自己的学习笔记和心得体会，便于回顾和复习。
保持良好作息和心态，积极备战高考
合理安排时间
保证充足的睡眠和合理的饮食，保持良好的身体状态和精神状态
。
调整心态
保持积极乐观的心态，相信自己能够通过努力取得好成绩。遇到困难时，及时调整情绪，寻求帮
助和支持。
高中数学一轮复习课件幂函数的图像和性质
汇报人：XXX 2024-01-22
目录
• 幂函数基本概念与性质 • 幂函数图像特征与绘制方法 • 幂函数在解决实际问题中应用 • 幂函数与其他类型函数关系研究 • 高考真题回顾与解题技巧总结 • 复习策略与备考建议
幂函数基本概念与
01
性质
幂函数定义及表达式
加强练习和反思总结是提高解题能力的关键。通过大量的练习可以加深对知识点的理解和记忆；通过反思总结可以发现自己的不足之处并加以改进。
复习策略与备考建
06
议
制定个性化复习计划，明确目标
分析自身情况
根据自己的数学基础、学习能力和时间安排，制定适合自己的复
习计划。
明确复习目标
确定自己在幂函数的图像和性质方面的学习目标，例如掌握基本概念、理解图像特征、熟练运用性质等。
03
幂函数与一次、二次函数的比较
虽然幂函数、一次函数和二次函数在形式上有所不同，但它们之间有着
密切的联系。在解决某些问题时，可以通过转化思想将它们相互转化，
从而简化问题的求解过程。
幂函数与指数、对数函数关系探讨
幂函数与指数函数
指数函数的底数a可以看作是幂函数的指数n，而指数函数的指数x则可以看作是幂函数的自变量。因此，指数函数和幂函数在形式上具有一定的相似性。

[精]高三第一轮复习全套课件4三角函数：三角函数的图像和性质

２）依题意，周期 T≤
1 150
，即
*
2 6

≤
， >0）（ω
150
∴ ω ≥300π ＞942，又ω ∈N ，故最小正整数ω ＝943．
点评:本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径．
例 5 （1）y=cosx+cos（x+ （2）y=2sin（3x－
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4π 3
+ ），
4π 3
+ ）=cos（x+
4π 3
4π 3
+ ），
4π 3
4π 3
+ ） +sinxsin （
+ ） =cosxcos （
3 1
得 y= sinx 的图象；
3
1
（3）再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来的 3 倍（横坐标不
3
1
变），即可得到 y=sinx 的图象
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分析：求函数的定义域：（1）要使 0≤cosx≤1，（2）要使 sin（cosx）＞0，这里的 cosx 以它的值充当角
π 4
π 3
）的最大值是_______；
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高考数学一轮总复习第3章第4节三角函数的图像与性

ω
ω
拓展延伸
1. 三角函数的周期（1）若T是函数y＝f（x）的周期，则必须是对于定义域内的每一个x值
都具有f（x＋T）＝f（x）（T≠0）. （2）周期和最小正周期的区别：周期函数不一定有最小正周期（如y＝
c（c为常数），任何非零实数都是它的周期，显然无最小正周期），而三角函数的周期一般指最小正周期.
选 B.
3. 已知函数 f（x）＝sinx－π2（x∈R），下面结论错误的是（
）
A. 函数 f（x）的最小正周期为 2π
B. 函数 f（x）在区间0，π2上是增函数
C. 函数 f（x）的图像关于直线 x＝0 对称 D. 函数 f（x）是奇函数
解析： ∵y＝sinx－π2＝－cos x，∴T＝2π，在0，π2上是增函数，图像关于 y 轴对称，为偶函数.选 D
解析：（1）错误.正弦函数y＝sin x在 2kπ－π2，2kπ＋π2（k∈Z）内单调递增，并不是在第一、四象限内递增.
（2）错误.如常数函数是周期函数但无最小正周期.
（3）正确.由cos（－x）＝cos x可知余弦函数在定义域内是偶函数. π
（4）错误.由y＝sin x的图像可知，当x＝2kπ＋ 2 ，k∈Z时 y＝sin x取得最大值.
最新考纲
基础梳理
第
自主测评
Байду номын сангаас
四
节
典例研析
特色栏目
备课优选
基础梳理
1. “五点法”作图原理
在确定正弦函数y＝sinx在[0，2π]上的图像的形状时，起关键作用的五个点是（0，0）、 π2，1 、（π， 0 ）、32π，－1 、（2π，0）. 在确定
余弦函数 y＝cosx在[0，2π]上的图像的形状时，起关键作用的五个点是

2025届高中数学一轮复习课件《函数的图象》PPT

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理清教材强基固本
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一利用描点法作函数的图象
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二利用图象变换法作函数的图象
1．平移变换
y＝f(x)―a―a<>0―0，，―左右―移―移|―aa个|个―单―单位―位→y＝f(x－a)；
y＝f(x)―b―b<>0―0，，―下上―移―移|―bb个|个―单―单位―位→y＝
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题型
有关函数图象识别的多维研讨
维度 1 知式识图问题
典例 2(2024·天津模拟)函数 f(x)＝xl2n＋|x|2的图象大致为(
)
此类题目，主要通过解析式反映出的特殊信息，去伪存真，而非真的作图象．如：本
例为①偶函数；②特殊信息，f(2)＞0. 仅从此两点即可判断各选项．
函数的零点、最值等信息也很重要.
第29页
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第30页
对点练 3(2024·天津静海一中调研)已知函数 f(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝14＋＋12lcno|xs |x B．f(x)＝x2ceo|xs| x C．f(x)＝c2o＋s xs·ilnn|xx| D．f(x)＝x22＋＋clno|sx|x
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5．函数 y＝f(x)与 y＝f(2a－x)的图象关于直线 x＝a 对称． 6．函数 y＝f(x)与 y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称． 7．函数 y＝f(x)与 y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．可以理解为用“2a－x”和“2b－y”替换 y＝f(x)中的 x，y，得 2b－y＝f(2a－x)，从而得 y＝2b－f(2a－x)．

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2．若一次函数 y＝ax＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y＝ax2＋bx(a≠0) 的图象只可能是( )
解析：因为一次函数 y＝ax＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以 a＜0，b＜0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程 x＝－2ba＜0.只有选项 C 符合，故选 C．
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二次函数的图象与对称性 (1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析．“三点”中有一个点是顶点，另外两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向． (2)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴、开口方向进行分类讨论．
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第13页
4．已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数 f(x)的最小值为 f(－ 1)＝0，则 f(x)＝___x_2_＋__2_x_＋__1___.
解析：设函数 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)，又 f(x)＝ax2＋bx＋1，所以 a＝1，故 f(x)＝x2＋2x＋1.
依据对称轴和区间的三种情形，讨论三次最小值 .21a＜1， ymin＝f1
或
1≤21a≤2， ymin＝f21a
或
21a＞2， ymin＝f2.
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第31页
解：(1)配方，得 y＝(x＋2)2－6. 因为 x∈[－6，－3]，所以当 x＝－3 时，ymin＝－5；当 x＝－6 时，ymax＝10. 故函数的值域是[－5,10]． (2)①当 0＜21a＜1，即 a＞12时，f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时 g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当 1≤21a≤2，即14≤a≤12时，f(x)在区间1，21a上单调递减，在区间21a，2上单调递增，此时 g(a)＝f21a＝2a－41a－1.

「精品」高考数学一轮复习专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(讲)

第05节函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用【考纲解读】三角函数【知识清单】1.求三角函数解析式（1）()sin y A x ωϕ=+的有关概念（2）用五点法画sin y A x =+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：（3）由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫-⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．（4）利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+. 2.三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像. 伸缩变换:把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y fx ωω=<<的图像;把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y fx ωω=>的图像;把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图像; 把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图像.2.由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 3 .函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用（1）x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈. （2）对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．（3）若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.（4）()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=. 【重点难点突破】考点1求三角函数解析式【1-1】【2018届河北省石家庄二中三模】将周期为的函数的图象向右平移个单位后，所得的函数解析式为（） A. B.C. D.【答案】A【1-2】【2018云南省师范大学附属中学适应性月考卷一】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（） A. sin2y x = B. cos2y x = C. 2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π单位得到222633y sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，即将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象所对应的函数解析式是2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选C. 【领悟技法】1.根据()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1) A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2) h 的确定：根据图象的最高点和最低点，即h ＝最高点＋最低点2；(3) ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由2T πω= (0ω>)来确定ω；(4) 求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时,,A h ω已知)或代入图像与直线y h =的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，由函数()sin y A x k ωϕ=++最开始与x 轴的交点的横坐标为ϕω-(即令0x ωϕ+=，x ϕω=-)确定ϕ.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可. 2.注意：（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（3）函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的41个周期. 【触类旁通】【变式一】【2018安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟摸底】已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，若将函数()f x 的图象向左平移2π个单位，则所得图象对应的函数可以为（）A. 32sin 24y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭ B. 32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C. 52sin 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ D. 52sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A【解析】由图易知： 2A =， 3T 2π88ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴2ω=，即()()2cos 2f x x ϕ=+，由五点法作图知： 3cos 218πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，得： 32π8πϕ⨯+=，∴4πϕ= 即()2cos 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移2π个单位，得：y 2cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即53y 2cos 22cos 2424x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=32sin 24x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭故选A.【变式二】【2018安徽省六安市寿县第一中学上学期第一次月考】函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位后的解析式为（）A. B.C.D.【答案】B 【解析】根据函数的部分图象知，，解得，根据五点法画正弦函数图象，知时，，解得，将的图象向左平移个单位后，得到，故选B.考点2 三角函数图象的变换【2-1】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三上期中】为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos2y x =的图象（）A. 向右平移6π个单位B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位【答案】A【2-2】【2018黑龙江省大庆实验中学上学期期初考】已知函数()cos (0)6f x x ωπωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（）A. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移3π个单位而得 B. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移3π个单位而得C. 可由函数()cos2g x x =的图象向左平移6π个单位而得D. 可由函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位而得【答案】D【解析】由已知得， 22πωπ==则()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象可由函数()cos2g x x =的图象向右平移6π个单位而得，故选D. 【领悟技法】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．注3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数. 【触类旁通】【变式一】【2018届福建省两大名校一模】将函数的图象向左平移（）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据辅助角公式，我们可将函数化为余弦函数型函数的形式，进而得到平移后函数的解析式，结合所得图象对应的函数为偶函数及余弦型函数的性质，即可求出答案. 详解：，将其图象向左平移（）个单位长度，所得图象对应的解析式为，由于为偶函数，则，则，由于，故当时，.故选：C.【变式二】【2018届浙江省嘉兴市第一中学9月测试】由函数的图象，变换得到函数的图象，这个变换可以是（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移【答案】B 【解析】由函数的图象，变换得到函数的图象向右平移.故选：B考点3函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用【3-1】【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A 选项.【3-2】【2017浙江杭州二模】设函数()()()2cos cos f x x x x R =∈.（1）求函数()y f x =的周期和单调递增区间；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值. 【答案】（1）(),36k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；（2）3.试题解析：（1）因为()()2cos cos f x x x x == 2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 2226k x πππ-≤+≤ 22k ππ+， 36k x k ππππ∴-≤≤+，∴函数()y f x =的单调递增区间为： ,36k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k Z ∈；（2）0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦， 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()2sin 216f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭的最大值是3.【3-3】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y （米）是随着一天的时间()024,t t ≤≤单位小时呈周期性变化，某天各时刻t 的水深数据的近似值如下表：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从 ①()sin y A t ωφ=+， ②()cos b y A t ωφ=++，③sin y A t b ω=-+(A 0,0,0)ωπφ>>-<<中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全. 【答案】(1) 选②()cos b y A t ωφ=++做为函数模型， 0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练. 才能确保集训队员的安全.【解析】试题分析：（1）先画出散点图，可知选②做为函数模型，同时可求出各参数，max min max min 2,,22b A T πω+-===, φ代最值点可求.（2）由（Ⅰ）知： πy 0.9sin t 1.56⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,5t 18≤≤令y 1.05≥，可解得5t 711t 18≤≤≤≤或 .试题解析：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：-依题意，选②()cos b y A t ωφ=++做为函数模型，2.40.6 2.40.60.9 1.522A b -+∴==== 2126T ππωω==∴=0.9cos 1.56y t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭0.9 1.532.462.40.93 1.5612102y cos t cos cos sin πϕπϕπϕϕπϕπϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫∴=⨯⨯++ ⎪⎝⎭⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭∴=--<<∴=-又函数的图象过点（，）又 0.9cos 1.50.9sin 1.5626y t t πππ⎛⎫⎛⎫∴=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+⎪⎝⎭令 1.05y ≥，即0.9sin 1.5 1.056t π⎛⎫+≥⎪⎝⎭1sin 62t π⎛⎫∴≥- ⎪⎝⎭()722666k t k k Z πππππ∴-≤≤+∈ 121127k t k ∴-≤≤+又518t ≤≤571118t t ≤≤≤≤或∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全. 【领悟技法】1. 求形如()sin y A x ωϕ=+或()cos y A x ωϕ=+ (其中A ≠0，0ω>)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“x ωϕ+ (0ω>)”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与sin y x = (x R ∈)，cos y x = (x R ∈)的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2. 如何确定函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>当0ω<时函数的单调性对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调递增区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x ωϕ--放在正弦函数的递增区间之内.3.求函数sin()y A x ωϕ=+ (或cos()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=+)的单调区间的步骤： (1)将ω化为正．(2)将x ωϕ+看成一个整体，由三角函数的单调性求解．4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“k Z ∈”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．【触类旁通】【变式一】【2018年天津卷文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可. 详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C ，D 错误；本题选择A 选项.【变式二】【2018福建省闽侯第六中学第一次月考】将函数sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（） A. ,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B. ,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. ,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 2,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【易错试题常警惕】易错典例：将函数()()sin 2,22f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图像,若()f x ,()g x 的图像都经过点0,2P ⎛ ⎝⎭,则ϕ的值可以是( )A.53π B. 56π C.2π D.6π 易错分析：函数()()sin 2f x x θ=+的图像向右平移ϕ个单位长度误写成()()sin 2g x x ϕθ=++. 正确解析：依题意()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ=-+=+-⎡⎤⎣⎦,因为()f x ,()g x 的图像都经过点0,2P ⎛ ⎝⎭,所以()sin sin 2θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,又因为22ππθ-<<,所以3πθ=,2233k ππϕπ-=+或22233k ππϕπ-=+,即k ϕπ=-或6k πϕπ=--,k Z ∈,在6k πϕπ=--,k Z ∈中,取1k =-,即得56ϕπ=,故选B. 温馨提醒：(1)三角函数图像变换是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则．(2)对于三角函数图像平移变换问题,其移变换规则是“左加右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量x ,如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向,另外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把x ωϕ+变换成x ϕωω⎛⎫+⎪⎝⎭,最后确定平移的单位,并根据ϕω的符号确定平移的方向. 【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.【典例】【2018届北京市城六区一模】函数()()3sin f x x ωϕ=+（0,2πωϕ＞＜）的部分图象如图所示，其中0x 是函数()f x 的一个零点． (I)写出ωϕ，及0x 的值；(Ⅱ)求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）0112,,.612x ππωϕ===；（Ⅱ）最小值为3-；最大值为32. 【解析】试题分析：（Ⅰ）结合函数的最小正周期可得2ω=，由0x =时的函数值可得6πϕ=，函数的解析式为：()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则01112x π=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的性质可得函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为3-；最大值为32.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ()3sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当2=,62x ππ+-即=3x π-时， ()f x 的最小值为3-.当2=,66x ππ+即=0x 时， ()f x 的最大值为32.。

高中数学(理)一轮复习课件：第4章第27讲三角函数的图象与性质(一)

三角函数的单调性
【例3】
1 求函数y＝3sin(2x＋ 2 求函数y＝tan(2x－

4
)的单调递减区间；

3
)的单调递增区间．
【解析】 1由函数y＝sin x的单调递减区间 3 为[ ＋2k ，＋2k ](k Z )， 2 2 3 得＋2k 2 x＋＋2k ](k Z )， 2 4 2 5 则k ＋ x k＋ (k Z )． 8 8 故所求函数的单调递减区间为 5 [k ＋ , k ＋ ](k Z)． 8 8

2 【解析】 1由于T＝ 2 ＝3， 3 因此，函数的周期为3.
2 2 2 2 2 2 y ＝ (cos x ＋ sin x ) － 2sin x cos x
1 2 3 1 ＝1－ sin 2x＝ cos4x， 2 4 4 2 故最小正周期为T＝＝ . 4 2
3 y＝ |
2
4
) 1 cos(2x
2
) sin2x，

4
) 1为奇函数．
2.函数y 3sin(2x

3
)的周期是

，y
3 2 1 | cos( x ) | 的周期是 2 ，y tan( x ) 3 4 2 6
的周期是
2
.
3.函数y 2cosx 1的定义域为 [2k ， 2k ] 3 3 (k Z) .
因为y＝ 2 sin( x＋ )的周期为2， 4

三角函数周期的变换仅与自变量 x 的系数有关．
1 一般地，函数y＝Asin( x＋ )或y
＝Acos( x ＋ )( A 0， 0，x R )的周 2 期T＝ ,函数y ＝Atan( x ＋ )( A 0，

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高考数学一轮复习
第10讲：函数的图像
学习目标:
1.会运用函数图像理解和研究函数的性质.
2.熟记基本初等函数的图像，掌握函数作图的基本方法及函数图像的基本变换，
能结合图像研究函数的性质
学习方法：观察归纳；类比，转化
教学重点：
会运用函数图像理解和研究函数的性质.
教学难点：
应用函数图像求参数范围
课前准备:
1.教师准备：三角板、多媒体课件
2.学生自备：笔、三角板
考情分析：
函数的图像作为函数性质的研究工具，频频在高考题中
出现．主要考点及考查方向如下表：
教学过程
知识聚焦：（自主学习以下知识点）
1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象
2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等
3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．
4．平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；
（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到．
① y=f(x)y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(x -h);
③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)-h.
5．对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；
（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到； 6．翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；
（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．
7．伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；
()y f x a =+()y f x =x (0)a >(0)a <||a ()y f x a =+()y f x =x (0)a >(0)a <||a h 左移→h 右移→h 上移→h 下移→()y f x =-()y f x =y ()y f x =-()y f x =x ()y f x =--()y f x =|()|y f x =()y f x =x x x x ()y f x =x (||)y f x =()y f x =y y y ()y f x =y ()y af x =(0)a >()y f x =(1)a >01a <<a
（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横
坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到． ①y=f(x)y=f();
②
y=f(x)
y=ωf(x). 链接教材：（学生自主回答）
例题教学：
考点一函数图象的辨识
【例1】函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．
规律方法函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
【练习1】 (1)函数y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )．
(2)函数y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )．
考点二函数图象的变换
【例2】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x (x ≤1)，log 13x (x ＞1)，则y ＝f (1－x )的图象是( )． ()y f ax =(0)a >()y f x =(1)a >01a <<1
a ω⨯→x ωx
ω
⨯→y
规律方法作图象平移时，要注意不要弄错平移的方向，必要时，取特殊点进行验证；平移变换只改变图象的位置，不改变图象的形状．
【练习2】设函数f(x)的定义域为R ，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关系为（）
A ．直线y=0对称
B ．直线x=0对称
C ．直线y=1对称
D ．直线x=1对称考点三函数图象的应用
【例3】已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )．
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．1个
练习3：设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，f （2-x ）=f （x+2）且当x ∈[-2,0]时，f(x)=x )2
1(-1，若关于x 的方程f(x)-log a (x+2)=0（a>1）在区间(-2,6]内恰有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是
【例4】已知不等式x 2－log a x ＜0，当x ∈⎝⎛⎭
⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．练习4：设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________ . 规律方法 (1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．
(2)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质.
课堂小结
1．掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
2．识图的要点：重点根据图象看函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、特殊点(与x 、y 轴的交点，最高、最低点等)．
3．识图的方法
(1)定性分析法：对函数进行定性分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决；
(3)排除法：利用本身的性能或特殊点进行排除验证．
4．研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想；
5．方程解的问题常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来解决．。