分部积分法

udv uv vdu
d v cos x d x d(sin x)， 解：令 u x ，
则v sin x, d u d x
x cos xdx xd (sin x)
x sin x sin xdx x sin x cos x C
k （2）在 f ( m ax b , n ax b )dx中， 令 ax b t，
其中 k 是 m，n 的最小公倍数．
作业解析：P131 3题
x 1 1 2 解： (10) dx d( x ) 2 2 1 x 1 x 2 1 1 1 2 2 d (1 x ) ln(1 x ) C 2 2 1 x 2
e
x
dx e 2tdt 2 tde
t
t
u
2(te t e t dt )
2(te e ) C
t t
2e ( x 1) C
x
在求一个不定积分的过程中，有时需要同时用到几种积分方法．
课堂练习
P134 习题3.4 1， 2（3）（6） （11）
1.填空题 （1） x sin xdx中， u= （2） ln xdx 中， u =
4 2
3.4
求不定积分
不定积分的分部积分法
2
x cos x dx
x cos x dx
1 1 2 2 2 解：原式 cos x d ( x ) sin x C 2 2
思考：求不定积分
1 2 cos xd ( x ) 凑微分得 2 能直接积分吗？ 或 xd (sin x )
2
1 1 2 x arctan x d (x ) 2 2 1 x 1 1 2 x arctan x d (1 x ) 2 2 1 x 1 2 x arctan x ln(1 x ) C 2
被积函数只有一个函数，有时也可用分部积分公式， 并直接把被积函数作为 u ，则 dv dx ．
此题若令 u cos x, dv 会更复杂，是做不出答案的．
xdx ， 则用分部积分公式后
可见：适当的选择 u 和 dv 是运用分部积分公式的关键．
选择 u 和 dv 的原则：
一是 vdu 要比 udv 容易计算，二是 v 要容易求出．


分部积分法的步骤是： “选 u 、凑 v 、代公式” ．
cos xdx e
sin x
d (sin x) e
sin x
C
sin x 1 (22) dx d ( cos x) 2 cos x 2 cos x
1 1 d (cos x) cos x C 2 cos x
作业解析：P131 4题
(2) x 1 xdx
2 2
(16)
x
2
9 x 1 1 2 2 d (9 x ) 9 x C 2 2 9 x
dx
1 2 d( x ) 2 2 9 x
1
ln x 1 2 (18) dx ln xd (ln x) (ln x) C x 2
(20) e
sin x
x arctan x x arctan x C
课后小结
1. 分部积分公式
udv uv vdu
2．选择 u 的口诀
反、对、幂、三、指，谁在前面谁设 u ．
作业：
P135 习题3.4 2（1）（4）（7）（10）
作业解析：P135
2题
x
解：(1)
xe
x
dx xd ( e )
u
e sin x [e cos x e d (cos x)]
x x x
e (sin x cos x) e sin xdx
x x
移项得2 e x sin xdx e x (sin x cos x)
x
C1
1 x 故 e sin xdx e (sin x cos x) C 2
3.4
不定积分的分部积分法
课前复习
一、凑微分的常见类型：
1 ) a 0） f (ax b)dx a f (ax b)d (ax b（ 1 2 2 2 f ( x ) xdx 2 f ( x )d ( x ) 1 f ( x ) x dx 2 f ( x )d ( x ) 1 1 1 1 f ( x ) x 2 dx f ( x )d ( x ) 1 n n 1 n n f ax b)d (ax b) f (ax b) x dx an （

arcsin x ， v =
1 2 x 2
．
1 3 2.解： (3) x ln x d x ln x d x 3 1 3 1 3 x ln x x d ln x 3 3 1 3 1 3 1 x ln x x d x 3 3 x
2
1 3 1 2 x ln x x d x 3 3 1 3 1 3 x ln x x C 3 9
x ( e ) ( e )dx
x x
xe
x
e d ( x)
x
xe e C
x
x
e ( x 1) C
x
1 (4) x sin 2 xdx xd (cos 2 x) 2 1 [ x cos 2 x cos 2 xdx ] 2 1 1 [ x cos 2 x cos 2 xd (2 x)] 2 2 1 1 [ x cos 2 x sin 2 x] C 2 2 1 1 sin 2 x x cos 2 x C 4 2
可见，对有些不定积分，反复运用分部积分公式后，会 再次出现原式，此时可把原式作为未知数解代数方程求出 来．在重复使用公式时， u 与 dv 的选择应前后保持一致． 当被积函数是指数函数与三角函数相乘时， 也可以选择 指数函数作为 u ．
例 6 求e
x
dx．
2
解：令 x t ，则 x t ,d x 2t d t ，

x
ln x
，v= ，v=
cos x ；
1 3 x 2 （3） x ln xdx 中， u = ln x ， v = 3 ； 1 ln x （4） 2 dx 中， u = ln x ， v = x ；
x
（5） x e dx 中， u =

x
；

2 x
x
2
，v=
e
x
；
（6） x arcsin xdx 中， u =
2 2 t 11 t 2 2 dt t arctan t d t t arctan t 2 2 1 t 1 t 1 2 t arctan t 1 dt 2 1 t 2 t arctan t t arctan t C
幂
指
x
例 2 求 xe dx ．
dv x x 解： x e d x x d(e )
u
xe e dx
x
x
xe e c
x x
例 3 求 x e dx ．
2 x
u dv 解： 原式 x d (e ) x e e d (x ) x e x e 2 xd (e ) x e x e 2 x e 2 e d x
选择 u 的口诀：反、对、幂、三、指，谁在前面谁设 u ．
例如， x ln xdx 中，被积函数是幂函数 x 与对数函数

ln x 相乘，按口诀中的顺序，对数函数排在幂函数的前面，
因此设 ln x
u ，其余的 xdx dv ．
1 2 解： x ln x d x ln x d x 2
1 3 (12) x sin 3 x dx sin 3 x d ( x ) 3 1 1 3 3 3 sin 3x d (3x ) cos 3 x C 9 9
1dx 3x 1d ( x ) 2 1 1 1 2 2 2 2 2 3x 1d (3x 1) (3x 1) d (3x 1) 6 6 1 3 1 1 2 2 2 2 (3x 1) d (3x 1) (3x 1) 2 C 6 9
解：令 1 x t, 则x 1 t , dx 2tdt
2
x
1 xdx (1 t )t ( 2t ) d t
2
1 5 1 3 2 (t t ) d t 2( t t ) C 5 3 2 2 5 3 (1 x ) (1 x ) C 5 3

1 f (ln x) dx f (ln x)d (ln x) x
f (sin x) cos xdx f (sin x)d (sin x)
f (cos x) sin xdx f (cos x)d (cos x)
二、常用的根式代换
(1)在 f ( ax b )dx 中, 令 ax b t；
2 x
2 x
x
2
x
2 x
2 x
2
2 xe dx u dv x x x 2[ xe e dx ]
x
2
x
x
x
x e ( x 2) 2e C
x x
可见，在解题过程中，分部积分公式可以反复运用．
例4
求 arctan xdx ．

解：原式 x arctan x xd (arctan x )
x x arctan x 1 x
u
v
dx
例 5 求 e sin xdx
x 解： e sin xdx sin xd ( e )
x

x
u
e sin x e d (sin x)
x x
e x sin x e x cos xdx
e x sin x cos xd (e x )

dv

uv C

du
u d v uv v d u
udv uv vdu
上式称为不定积分的分部积分公式．当积分 udv 不易计算，而积分

vdu 较易计算时，就可以用这个
公式把两者进行转换．应用分部积分公式求积分的方 法，称为分部积分法．
例1
求 x cos xdx ．
d v 凑微分
v 1 2 1 2 x ln x x d ln x
2
u
u
代公式
uv v d u
2
计算微分
1 2 1 2 1 x ln x x d x 2 2 x 1 2 1 1 2 1 2 x ln x x d x x ln x x C 2 2 2 4
(7)
ln x dx x ln x xd (ln x)
x ln x dx
当被积函数是两种不同类型的函数相乘时， 用换元法已经不能奏效，为此，我们将从两个函 数乘积的微分公式，推导出另一种常用的积分方 法，即“分部积分法”。
设函数 u ( x), v( x) 都有连续的导数，则
(uv) uv uv uv (uv) uv
两边积分，得 uv d x (uv) d x u v d x
(6) arcsin xdx x arcsin x xd (arcsin x )
x arcsin x x arcsin x x 1 x 1
2
dx
1 2 d( x ) 2 2 1 x
1 1 2 x arcsin x d (1 x ) 2 1 x2
x arcsin x 1 x C
2
(11)
arctan
xdx
解：令 x t , 则x t 2 , dx 2tdt
2 arctan t d( t ) 原式 2t arctan t d t
t arctan t t d(arctan t )
2 2