二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结)

二次函数铅垂高

如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直

线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 部线段的长度叫

△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2

1

=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .

(1)求抛物线和直线AB 的解析式；

(2)点P 是抛物线(在第一象限)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使S △PAB =89

S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

例1解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(2

1+-=x a y ·············· 1分

把A （3,0）代入解析式求得1-=a

所以324)1(2

2

1++-=+--=x x x y ·············· 3分

设直线AB 的解析式为：b kx y +=2

由322

1++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( ··········· 4分 把)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中 解得：3,1=-=b k

所以32+-=x y ······················· 6分 (2)因为C 点坐标为(１,4)

所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2

所以CD ＝4-2＝2 ······················· 8分

图12-2

x

C O

y

A

B

D 1 1

3232

1

=⨯⨯=

∆CAB S (平方单位) ················· 10分 (3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，

则x x x x x y y h 3)3()32(2

2

21+-=+--++-=-= ······· 12分 由S △PAB =8

9

S △CAB 得：

38

9)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242

=+-x x 解得，2

3

=x 将2

3=

x 代入322

1++-=x x y 中， 解得P 点坐标为)4

15

,23( ···················· 14分

总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。

例2（2010省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2

>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝3

1

． （1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图11，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG

1）方法一：由已知得：C （0，－3），A （－1，0）

将A 、B 、C 三点的坐标代入得⎪⎩⎪

⎨⎧-==++=+-3

0390

c c b a c b a 解得：⎪⎩⎪

⎨⎧-=-==321

c b a

所以这个二次函数的表达式为：

322

--=x x y 方法二：由已知得：C （0，－3），A （－1，0） 设该表达式为：)3)(1(-+=x x a y 将C 点的坐标代入得：1=a

所以这个二次函数的表达式为：

322--=x x y （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分） （2）方法一：存在，F 点的坐标为（2，－3） 理由：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y ∴E 点的坐标为（－3，0） 由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：AE ＝CF ＝2，AE ∥CF ∴以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F ，坐标为（2，－3） 方法二：易得D （1，－4），所以直线CD 的解析式为：3--=x y ∴E 点的坐标为（－3，0） ∵以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形

∴F 点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F ，坐标为（2，－3）

（3）如图，①当直线MN 在x

代入抛物线的表达式，解得

217

1+=

R

②当直线MN 在x 轴下方时，设圆的半径为r （r>0则N （r+1，－r ），

代入抛物线的表达式，解得

217

1+-=

r

∴圆的半径为2171+或217

1+-．

（4）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ， 易得G （2，－3），直线AG 为1--=x y ．

设P （x ，322

--x x ），则Q （x ，－x －1），PQ 22

++-=x x ．

3)2(21

2⨯++-=

+=∆∆∆x x S S S GPQ APQ APG

当

21

=

x 时，△APG 的面积最大

此时P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-415,2

1，827的最大值为

APG S ∆．

随堂练习1．（2010）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=AC 与直线x=4交于点E ．

（1）求以直线x=4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E ；

（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值．