材料力学 梁位移.

FS SZ* IZb
max
纯剪切应力状态
内力分量
扭矩T
应力分布规律
切应力与距圆心 距离成正比分布
T
IP
应力状态
纯剪切应力状态
轴向拉压
强度条件
max
变形公式
FN
EA 轴向线应变 截面位移
轴向线位移
对称弯曲
强度条件
max max
变形公式 1 M
EIZ
挠曲线曲率 截面位移
对横力弯曲：弯曲应变能+剪切应变能
FS(x) d
M(x)
dx
取 dx 微段，dM(x)为一阶无穷
小量，则 dx 段上的应变能为
M(x)+d M(x)
dVε
M 2x
dx 2EI
全梁的弯曲应变能为： Vε
l
0 dVε
l M 2x
dx 0 2EI
M x 需分段列出时，V分段求，然后求和。
对细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比可忽略。
① 建立合适的坐标系； ② 求弯矩方程M(x) ； ③ 建立近似微分方程：
EIw M x
④ 积分求 EIw 和 EIw;
⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数；
⑥ 求指定截面的挠度和转角
§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
叠加法计算位移的条件：
✓1.梁在荷载作用下产生的变形是微小的； ✓2.材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈
（逆时针）
例5-7 由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截 面的挠度和转角以及D截面的挠度。
F=qa
A
EI D
B
C
a
a
a
解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁和悬臂 梁的叠加。
A
F=qa EI
qa qa2/2
D
B
B
C
(a)
(b)
（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。
A (c)
(d)
wC 2 0
A2
B2
q
2l 23
24 EI
ql3 384 EI
wC
wC1
wC2
5ql 4 768 EI
0
5ql 4 768 EI
（向下）
A
A1 A2
ql3 48 EI
ql3
384 EI
3ql 3
128 EI
（顺时针）
B
B1 B2
ql3 48 EI
ql3 384 EI
7ql3 384 EI
dw(x) q(x)dx x3 q(x)x3 dx
3EI
3EI
d (x) q(x)dx x2 q(x)x2 dx
2EI
2EI
其在B处产生的挠度和转角分别为：
dwB
dw( x)
d (x) (l
x)
q(x)x2 (3l 6EI
x)
dx
d B
d (x)
q(x)x2 2EI
dx
wB
l
0 dwB
11.2mm [w]
l 400
11.25mm
选择22a工字钢。
2、提高刚度措施
除外加载荷外，梁的位移w、 还与梁的
弯曲刚度EI成反比，与跨长l的n次方成正比， 因此，提高刚度的措施有：
1）升高EI。 各种钢材E 相差不大，主要提高I，在截面面积
A不变时，尽可能使面积分布远离中性轴。
如工字形、箱形等截面。
Fl 3 wA 3EI
轴向拉压
对称弯曲
扭转
内力分量 轴力FN
应力分布规律 正应力均匀分布
FN
A
应力状态
单轴应力状态
内力分量
弯矩M,剪力FS
应力分布规律 正应力与中性轴距离成正比
My FS SZ*
IZ
IZb
切应力沿截面高度呈抛物线
应力状态
max
M WZ
m a x
单轴应力状态
max
F=qa +
qa2/2
图c中D截面的挠度和B截面的转角为：
wD1
qa2a3
48 EI
B1
qa2a2
16 EI
图d中D截面的挠度和B截面的转角为：
2qa4
wD 2
16 EI
B2
qa3 3EI
A
F=qa EI
qa qa2/2
D
B
B
C
(a)
(b)
qa4 qa4 qa4
wD
wD1
wD2
6EI
8EI
例5-10 求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁内储存的应 变能，利用功能原理求A端的挠度wA。
wA
Ax
F
l
解：梁的弯矩方程为：
M x Fx
B
梁内的应变能为：
Vε
l M 2 x dx
0 2EI
l F 2 x2 dx 0 2EI
F 2l3 6EI
外载F所作的功为：WBaidu Nhomakorabea
1 2
FwA
由功能定理得： W Vε
T 2L 2GI P
作业：5-11，5-15(a)
练习题1 用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁B
截面的挠度和转角。
q0
q(x)
A
B
x
dx
x
l
y
(a)
A
q(x)dx
x l
Bx dwB
解：在任意截面x处取微段dx，则作用在微段上的微
集中荷载为：
q(x)dx q0x dx l
由附录IV可知该微力作用下x 处梁的位移为：
l2
l2
q
B
c
5ql 4 384EI z
Fl 3 48EI z
A
C
EI z
l2
l2
A qA FA
F
B
qA
ql 3 24EI z
FA
Fl 2 16EI z
A
C
EI z
l2
l2
A
ql 3 24EI z
Fl 2
16EI z
B
例5-6 利用叠加原理求图a所示弯曲刚度为EI的简支
梁的跨中挠度wC和两端截面的转角A，B。
FB
FB
F 2
qa
q
A
F
(a) F/2
wwB /2 DF
直线
wB F/ 2 wB
B
q
视为右支座有一定竖直位移
（位移量为wB）的简支梁：
B F/ 2
(b)
C
C
wD
wDF
1 2
wB
（向下）
2qa4 11qa4 13qa4 48EI 48EI 48EI
B
C
wB wBFB wBq
qa4 qa4 11qa4（向下） 3EI 8EI 24EI
F A
l
解: B (1)由强度条件选择工
字钢型号：
M max
1 4
Fl
max
M max Wz
[ ]
Wz
M max
[ ]
40 4.5106 4150
300103mm3
300cm3
应选22a工字钢，Wz=309cm3, Iz=3400cm4
(2)校核刚度
wmax
Fl 3 48EI
40103 45003 48 200103 3400104
x2
(l
x)
q0lx4dx 2EIl2
q0 x5dx 6EIl2
l
l
B 0 dB 0
q0 x4dx 2EIl2
q0l 3 10EI
wB
l 0
dfB
l 0
(
q0lx4 2EIl2
q0 x5 6EIl2
)dx
13q0l 4 180EI
上次课回顾：
1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角
2、挠曲线近似微分方程 EIw M x
3、挠曲线近似微分方程的积分
EIw'(x) (M (x))dx C
EIw(x) (M (x))dx dx Cx D
4、积分常数确定
位移边界条件， 连续条件，光滑条件。
5、积分法求解梁位移的思路：
2）减少梁的跨度或增加支承。
A
超静定梁:
A
C
B B
B
§5-5 弯曲应变能
图示纯弯曲梁，弹性范围内的变形有：
l Mel EI
或
Me
EI l
Me
Me
l
O
(a)
(b)
外力功：
W
1 2
M e
Me
Me
功能转换定律：
W Vε
则应变能为：
O
(b)
Vε
W
1 2
M e
M e2l 2EI
Vε
EI 2l
2
B右
BFB
Bq
qa3 2EI
qa3 6EI
2qa3（逆时针） 3EI
§5-4 梁的刚度校核•提高梁的刚度的措施
1 梁的刚度校核 保证梁的正常工作除要满足强度条件外，产生的
变形也不能太大，应满足刚度条件：
wm a x l
w l
max
其中，
w l
与
为许可值，可查设计手册。
例5-9 图示简支梁，F=40kN, l=4.5m, [σ]=150MPa, [w/l]=1/400, E=200GPa, 选择工字钢型号。
l q(x)x2 (3l x) dx 11q0l 4
0
6EI
120 EI
B
l
0 dB
l q(x)x2 dx q0l 3
0 2EI
8EI
练习题 2：已知悬臂梁的抗弯刚度EI，求θB和wB。
x
d B
q(x)dx x2 2EI
q0 x4dx 2EIl2
dwB
q(x)dx 3EI
x3
q(x)dx 2EI
qa4 8EI
1 12
qa3 EI
a
5qa4 24 EI
（向下）
C B Cq
C
qa3 6EI
qa3 12 EI
qa3 4EI
（顺时针）
例5-8 利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中
间铰梁铰接点B处的挠度和B点右截面的转角
以及D截面的挠度，其中：F=2qa。
q
F
A
D
B
a/2
EI
EI
C
a
a
解：可在铰接点处将梁分成两部分，并可求得 铰接点处的一对作用力与反作用力为：
q
A
C
B
l/2
x
l y
解：可将原荷载看成为图b所示关于跨中C截面的正
对称和反对称荷载的叠加。
q/2 C
A
l
q/2
B
A
B
+
C
l/2
q/2 l/2
1）对正对称荷载，跨中C截面的挠度和两端转角：
wC1
5q 2l 4
384 EI
5ql 4 768 EI
A1
B1
q 2l3
24 EI
ql3 48 EI
2）对反对称荷载，跨中C截面的挠度等于零，并可 分别将AC段和CB段看成为l/2简支梁：
24 EI
（向下）
B
B1 B2
qa2a2
16 EI
qa3 3EI
qa3
12 EI
（顺时针）
（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：
wCq
qa4 8EI
Cq
qa3 6EI
原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得：
F=qa
A
EI
D
B
a
a
C
B B× a
a
Cq wCq
wC wCq Ba
wC
线性关系； ✓3.梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。
简单载荷下梁的挠度和转角见附录IV，必须记住！
例5-5 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠
度ωc和梁端截面的转角θA,θB.
F
q
c qc Fc
A
C
EI z
B
qc
5ql 4 384EI z
Fc
Fl 3 48EI z
挠度与转角
扭转
强度条件
max
变形公式
T
GIP 单位长度扭转角
截面位移 扭转角
轴向拉压
对称弯曲
刚度条件
max
变形刚度条件
应变能
V
FN2 L 2EA
刚度条件
max
L
L
max
位移刚度条件
应变能
V
M 2 (x)dx L 2EIZ
扭转
刚度条件
m ax
变形刚度条件
应变能
V