1.2.2充要条件教案

1.2 充分条件与必要条件

1.2.1 充分条件与必要条件

1.2.2 充要条件

新知探求素养养成

知识点一推出符号“⇒”的含义

梳理一般地,如果“若p,则q”为真,即如果p成立,那么q一定成立,记作:

“”;

如果“若p,则q”为假,即如果p成立,那么q不一定成立,记作:“”.

知识点二充分条件与必要条件

梳理(1)一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作,

并且说p是q的条件,q是p的条件.

(2)“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作,这时,我们就说p不是q的条件,q不是p的条件.

知识点三充要条件

梳理一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p,就记作,此时,我们说p是q的充分必要条件,简称充要条件,显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概况地说,如果p⇔q,那么p与q互为 .

名师点津:借助“子集概念”理解充分条件与必要条件.设A,B为两个集合,集合A⊆B是指x∈A⇒x∈B.这就是说,“x∈A”是“x∈B”的充分条件,“x∈B”是“x∈A”的必要条件.对于真命题“若p则q”,即p⇒q,若把p看做集合A,把q看做集合B,“p⇒q”相当于“A⊆B”.

课堂探究素养提升

题型一充分、必要、充要条件的判断

【例1】(1)(2016·天津卷)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( )

(A)充要条件

(B)充分而不必要条件

(C)必要而不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:(1)若x>|y|,则-x

由x>y是-x

即x>y是x>|y|的必要不充分条件.故选C.

(2)(2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(3)使不等式x2-3x<0成立的充分而不必要条件是( )

(A)03

解析:(2)由a⊂α,b⊂β,因此当直线a,b相交时,平面α,β一定相交,但平面α,β相交时,直线a,b可以异面.故“直线a和b相交”是“平面α和β相交”的充分不必要条件.故选A.

(3)解不等式x2-3x<0得0

方法技巧充分、必要、充要条件的判断方法

若p⇒q,q p,则p是q的充分不必要条件;

若p q,q⇒p,则p是q的必要不充分条件;

若p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件;

若p q,q p,则p是q的既不充分也不必要条件

即时训练1:(1)(2017·哈师大附中高二期末)集合M={x|0

{x|0

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

(2)(2017·银川一中高二期末)已知条件p:|x-1|<2,条件q:x2-5x-6<0,则p是q的( )

(A)充分必要条件

(B)充分不必要条件

(C)必要不充分条件

(D)既不充分又不必要条件

(3)设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是( )

(A)x>1 (B)x<1 (C)x>3 (D)x<3

题型二已知充分、必要条件求参数的值或范围

【例2】(2017·崇礼县期中)已知p:x2≤5x-4,q:x2-(a+2)x+2a≤0.

(1)求p中对应x的范围;

规范解答:(1)因为x2≤5x-4,所以x2-5x+4≤0,

即(x-1)(x-4)≤0,所以1≤x≤4,

即p中对应x的范围为[1,4].

(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.

规范解答:(2)设p对应的集合为A={x|1≤x≤4}.

由x2-(a+2)x+2a≤0,得(x-2)(x-a)≤0,

当a=2时,解得x=2,对应的解集为B={2},

当a>2时,解得2≤x≤a,对应的解集为B={x|2≤x≤a},

当a<2时,解得a≤x≤2,对应的解集为B={x|a≤x≤2},

若p是q的必要不充分条件,则B A,

当a=2时,满足条件.

当a>2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|2≤x≤a},

要使B A,则满足2

当a<2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤2},

要使B A,则满足1≤a<2,

综上:1≤a≤4.

误区警示由条件关系求参数的取值(范围)的步骤:

(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系;

(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解

即时训练2:(2018·襄阳高二检测)已知p:x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,q:2x2-3x-2≥0,若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.

解:令M={x|2x2-3x-2≥0}={x|(2x+1)(x-2)≥0}

⇒{x|x≤-1

或x≥2},

2

N={x|x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0}

={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0}⇒{x|x≤a-2或x≥a},

已知q⇒p且p q,得M N.