一阶系统的时域分析解析
一阶系统时域分析
能达到稳态值的0.632, 经过3T或4T的时间系统输出响应分加别
达到稳态值的0.95或0.98。
线性系统的时域分析法>>一阶系统的时域分析
一阶系统响应的特点： （1） t=T时，输出达到稳态值的0.632
h(0) 1 e0 0 ——— t= 0时， 输出为0 h(T ) 1 e1 0.632 —— t=∞时，输出达到稳态值1 h(3T ) 1 e3 0.95 —— t=T时，输出达到稳态值的0.632 h(4T ) 1 e4 0.98 —— t=3T时，输出达到稳态值的0.95
典型系统的时域分析
1.一阶系统时域分析
由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其传递函数的 特征方程是 s的一次方程。
一阶系统的微分方程为：
T dc(t) c(t) r(t) dt
典型的一阶系统的结构图如图所示
K
-
s
其闭环传递函数为：
(s) C(s)
K S
1
1
R(s)
1
K S
S K
1
Ts 1
式中，T 1 ，称为时间常数。
K
线性系统的时域分析法>>一阶系统的时域分析
1.一阶系统的单位阶跃响应
r(t) 1(t), R(s) 1 s
11
C(s)
,
Ts 1 s
h(t) L1[ 1 1]
Ts 1 s
L1[1
1
t
] 1 e T
s s 1
T
这是一条指数曲线， t 0
处斜率最大，其值为1/T，若系统保
持此变化速度，在 t=T 时，输出将达到稳态值。而实际系统只
t
c(td ) 1 e T 0.5
3-2一阶系统的时域分析ppt2010
1 T= 3
3 Φ (s ) = 1 + s+2
1 T= 2
∴ t s = 3T = 1s
∴ t s = 3T = 1.5s
r(t)= 1(t) h(t)=1-e-t/T r(t)= t c(t)=t-T+Te-t/T
小结 (补 充)
1 、3个图各如何求 ？ 个图各如何求T？ 个图各如何求 3 、r(t)=vt时，ess=？ 时 ？
2 、调节时间 s=？ 调节时间t ？ 5 、k≠1时 时
4、求导关系 、
关于响应的导数等于导数的响应 关于响应的导数等于导数的响应(P76) 等于
s 2 + 4s + 2 Φ(s ) = (s + 1)(s + 2)
1 s就是求导, 就是积分 s
h( t ) = 1 − e −2 t + e − t
h( t )中的 1求导 = δ ( t ) h( t )中的 1求导 = 0
Φ (s ) =
4s + 2 (s + 1)(s + 2)
h(t ) = 1 + 2e − t − 3e −2t
封面
3-2目录
1.一阶系统的数学模型 2.一阶系统的单位阶跃响应 3.一阶系统的单位脉冲响应 4.一阶系统的单位斜坡响应 5.一阶系统的单位加速度响应
一阶系统时域分析
1 T
单位脉冲响应(P75)
,T
k 无零点的一阶系统 Φ(s) = Ts + 1
k(t)= 单 位 脉 冲 响 应
0.5 2
- t e
补充) 分子分母同阶的一阶系统(补充 补充
s+2 h(0) = 1, h(∞) = 0.67 Φ(s) = s + 5 h(0) = 1, h(∞) = 2.5 Φ (s ) = s+3 s+2 2 1 −3t h(t) = + e n=[1 5];d=[1 2];step(n,d) 3 3
自动控制原理--一阶系统的时域分析相关知识
三、 一阶系统的单位脉冲响应
输入信号 r(t) (t) R(s)＝1
c(t)
输出信号 C(s) (s)R(s) 1
1/T
Ts 1
斜率-1/T2
0.368/T 0.135/T
c(t) 1 et /T T
拉氏反变换，得 t k(t) L1[C(s)] L1[ (s)]
0 T 2T 3T 图3.10 一阶系统的单位脉冲响应
• 例3-1：
一阶系统如图所示，试求系统单位阶跃响应的调 节时间ts，如果要求ts=0.1秒，试问系统的反馈 系数应如何调整？
• 例3-2：
G(s) 10
已知某元部件的传递函数为：
0.2s 1
采用图示方法引入负反馈，将调节时间减至原来 的0.1倍，但总放大系数保持不变，试选择KH、 K0的值。
1 et /T (t 0) T
三、 一阶系统的单位脉冲响应特点
• 1）可以用时间常数去度量系统的输出量数字。 • 2）初始斜率为-1/T2 。 • 3) 无超调，稳态误差为零 。
h(t)
超调量
1.0 0.9
延迟时
0.5 间
0.1 0
峰值时间
上升时间 调节时间
误差带 0.02或0.05
稳态误差 (t→∞)
s
输出 C (s) (s) R(s)
1 1 Ts 1 s
1 1 取拉氏反变换，得 s Ts 1
h(t) 1 et /T (t 0)
一阶系统单位阶跃响应是终值为1的单调上升过程。
c(t) c(t) 1 et /T dh(t) 1
1
dt t0 T
0.865
0.632
td 0.69T
一阶反馈系统
假设将一阶系统作为反馈控制系统的对象， 放大器增益可调，系统结构图如图所示。
32一阶系统的时域分析
k(0)=
1 T
h’(0)=1/T
K’(0)=
1
Th2(TT)=0.632h(∞)
h(2T)=0.865h(∞)
响应应
h(3T)=0.95h(∞)
问应
1 、3个图各如何求T？ h(42T、)=调0.节98时2h间(∞ts=)？
3 、r(t)=vt时，?ess=？
4、求导关系
小结: t d 1（t） d 2 t 1t
什么是二阶系统？凡以二阶微分方程作为运动方 程的控制系统，即为二阶系统。 研究二阶系统的意义:
1. 二阶系统的典型应用极为普遍 2. 不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系 统特性来表征。
本节主要内容： 一、继续讲二阶系统的时域分析中的几种工作状态。 二、二阶系统的性能改善，关键是改变了阻尼比和
ch(t()t=)1=-1e－e-t/T
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
t
0
T
2T 3T 4T 5T
稳态性能指标:
图 3-4指 数 响 应 曲 线
一阶惯性系统的单位阶跃响没有静态误差
ess
lim r (t )
t
h(t)
1
h()
11
0
讨论：动态指标与时间常数T有关，T越小，其响应过
dt
T dc(t) c(t) r(t)
(3-2)
dt
其中，T＝RC为时间常数；取拉氏变换
TsC(s) C(s) R(s)
TsC(s) C(s) R(s)
则一阶系统的传递函数为：
i(t) R
(s) C(s) 1 R(s) Ts 1
(3-3)
r(t)
C c(t)
一阶系统时域分析
1．已知一单位负反馈系统的单位阶跃响应曲线如下图所示，求系统的闭环传递函数。
解答：①max ()100100()X X %%e %X δ-∞=⨯=⨯∞由2.1820.090.6082eξ-==⇒=②0.8 4.946m n t ω==⇒= ③2222224.4648.9222 6.01424.46 6.01424.46n B n n W K s s s s s s ωωω=⋅=⨯=++++++2．已知系统如下图所示，求系统的单位阶跃响应，并判断系统的稳定性。
解答：()()()2101101061010.511B s s W s s s s s +==+++++3.16n ω==， 260.95n ξωξ=⇒()()1sin n t c X t ξωωθ-=，arctg θ=()31 3.2sin 0.98718.19t e t -=-+︒ （5分）系统根为1,2632P j -±==-±，在左半平面，所以系统稳定。
3．一阶系统的结构如下图所示。
试求该系统单位阶跃响应的调节时间t s ；如果要求t s (5%)≤ 0.1(秒)，试问系统的反馈系数应取何值？（1）首先由系统结构图写出闭环传递函数得 T =0.1（s ）因此得调节时间 t s =3T =0.3(s)，（取5%误差带）（2）求满足t s (5%) ≤0.1（s ）的反馈系数值。
假设反馈系数K t (K t >0)，那么同样可由结构图写出闭环传递函数由闭环传递函数可得 T = 0.01/K t100()10()100()0.1110.1c B r X s s W s X s s s ===++⨯1001/()1000.0111t B t tK s W s K s s K ==+⨯+根据题意要求 t s (5%) ≤ 0.1（s ）则 t s = 3T = 0.03/K t ≤ 0.1(s)所以 K t ≥ 0.34．已知某装置的电路如题图所示。
自动控制原理一阶系统时域分析
R(s)
1 s3
C
(s)
(
s)
R(s)
(1 Ts
) 1
1 s3
A s3
B s2
C s
D s 1
1 s3
T s2
T2 s
T2 s 1
T
T
c(t)
1
t
2
Tt
T
2 (1
1t
eT
)
2
(t 0)
e(t
)r(t)c(t)TtT2
(1
1
eT
t
)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不 能实现对加速度输入函数的跟踪。
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感谢您的观看！
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R(s) ＋ E(s) 1 C(s)
－
Ts
R(s)
1
C(s)
Ts 1
(a)
微分方程： 闭环传递函数：
T dc(t) c(t) r(t) dt
(s) C(s) 1 R(s) Ts 1
(b) 标准形式
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二、一阶系统单位阶跃响应
r(t) 1(t), R(s) 1 s
1
C(s)
1 Kh 100 / s 1 s / 100Kh
• 要求ts=0.1s，即3T=0.1s, 即
,得 1 0.1 100Kh 3
K h 0.3
• 解题关键：化闭环传递函数为标准形式。
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二、一阶系统单位脉冲响应
r(t) (t) R(s) 1
C(s) (s)R(s) 1 1/T Ts 1 s 1/T
第15页/共27页
例题：加入给定值阶跃量为2.4，响应 曲线如图所示，求超调量。
一阶系统的时域响应实验报告
一阶系统的时域响应实验报告实验目的：通过实验观察一阶系统的时域响应情况，掌握一阶系统的传递函数及其参数对响应的影响。
实验器材：示波器、信号发生器、直流电源、一阶滤波器。
实验原理：一阶系统的传递函数为H(s)=K/(Ts+1)，其中K为系统的增益，T为系统的时间常数。
系统的单位阶跃响应为h(t)=K(1-e^(-t/T))。
实验步骤：1、按照实验电路连接图连接电路。
2、将示波器接在电路输出端，用信号发生器产生一个频率为1kHz的正弦波作为输入信号，调节直流电源，使得输入信号幅值为1V。
3、测量电路输出波形，记录幅值、峰值、频率等数据。
4、将输入信号改为单位阶跃信号，在示波器上观察并记录输出信号的响应过程，测量电路的时间常数T。
实验结果及分析：1、在实验中，我们按照传统的RC低通滤波器的电路连接方式，将滤波器动态系统搭建起来。
2、对于一个RC电路，可以证明其传递函数为H(s)=1/(RCs+1)。
因此在实验中，我们可以通过改变RC电路的$RC$值来改变系统的时间常数，并观察其对系统响应的影响。
3、实验中我们观察到，当输入信号为正弦波时，系统能够对信号进行较好的滤波，输出信号幅值与频率的比例关系为a1=f^-1。
4、当输入信号为单位阶跃信号时，我们能够观察到系统的单位阶跃响应。
在实验中，我们通过观察输出信号的时间常数，可以得到系统的时间常数T。
5、实验中，我们还观察到了系统的过渡过程。
在输入信号发生变化后，系统的输出信号不会立即改变，而是经过一段时间才能够达到稳态。
在实验中，我们通过调节系统的时间常数来观察过渡过程的变化，从而获得了对一阶系统的更深刻的认识。
实验结论：通过本实验，我们详细地了解了一阶系统的时间常数、单位阶跃响应等数学概念，同时还深入掌握了一阶系统的响应机理。
此外，我们还利用实验数据验证了一阶系统的传递函数的正确性，并进一步掌握了如何通过调节时间常数来改变系统响应的技巧。
3-2 一阶系统的时域分析
一阶系统结构如图所示， 例: 一阶系统结构如图所示，试求该系统的单位 阶跃响应及调节时间。若要求t 阶跃响应及调节时间。若要求 s<0.1s，试问系 ， 统的反馈系数K 应如何选取？ 统的反馈系数 t应如何选取？
R(s)
－
100
C(s)
s
Κt
解：系统闭环传递函 数为： 数为：
C ( s) 100 Φ(s) = = R( s) s + 100 K t = 1 Kt 1 100 K t 1 Kt = Ts + 1 s +1
瞬态分量 稳态分量
瞬态分量变化规律由传递函数的极点s=－1/T决定 瞬态分量变化规律由传递函数的极点s=－1/T决定 极点s=
c(t ) = 1 − e
t − T
t≥0
c(t ) = 1 − e
−
t T
t≥0
由于c(t)的终值为1,系统稳态误差为0。 由于c(t)的终值为1,系统稳态误差为0 c(t)的终值为1,系统稳态误差为 动态性能指标： 动态性能指标：
输入信号 输入信号 时域） 复频域） （时域） （复频域） 输出响应 传递函数
δ (t )
1 ⋅ (t )
1
1 s 1 2 s 1 s3
1 e T
−
t T
t≥0
t T
1− e
ห้องสมุดไป่ตู้
−
t≥0
− t T
t
1 2 t 2
t − T + Te
t≥0
− t T
1 Ts + 1
1 2 t − Tt + T 2 (1 − e 2
R(s)
－
100
C(s)
s
3-2一阶系统的时域分析解析
2
Tt
T
2
(1
t
eT
)
t0
2
2
系统对输入信号导数(积分)的响应，就等于系统对该 输入信号响应的导数(积分)。所以只取一种典型形式进 行研究就可以了。
证明：
a 0
dn dt n
c(t)
a 1
d n1 dt n1
c(t)
an1
d dt
c(t)
a c(t) n
b 0
dm dt m
r(t)
b 1
d m1 dt m1
0
T
2T 3T 4T 5T t
单位阶跃响应曲线
单位斜坡响应曲线
阶跃信号输入
斜坡信号输入
输入输出 初始状态时大，随t 初始状态为0，随t增 位置误差 减小，最后趋于0。 大，最后趋于T。
输出曲 初始状态最大且等 初始状态最小且为0， 线斜率 于1/T，随t趋于0。 随t趋于1。
五、一阶系统的单位加速度响应
确定T 的值
c (t)
1
0.632
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
0
T
2T 3T 4T 5T t
❖动态性能指标
上升时间 tr 2.20T
t p和％不存在
4T，当 2%时 调节时间 ts 3T，当 5%时
❖稳态性能指标 ess=1-c(∞)=1-1=0
三、一阶系统的单位脉冲响应
r(t)
bm1
d dt
r(t)
b r(t) m
r(t)和c(t)满足方程，两边求导后知：r(t)和 c(t) 也满足方程。
第三章 时域分析法
第二节 一阶系统时域分析
第二节 一阶系统的时域分析
一阶系统的时域分析
数T之间的关系。
时间t
0
T
2T 3T
…
输出量 0 0.632 0.865 0.950 … 1.0
斜率 1/T 0.368/T 0.135/T 0.050/T … 0.0
根据这一特点，可用实验的方法测定一阶系统的时间常 数，或测定系统是否属于一阶系统。
时间常数T是一阶系统的一个重要参数。 当t=3T时，响应输出可达稳态值的95％；
输出量和输入量之间的位置误差： t ess (t) 1(t) c(t) e T
稳态误差 ：
t
lim
t
ess
(t
)
lim
t
e
T
0
三 一阶系统的单位斜坡响应
当一阶系统的输入信号为单位斜坡信号r(t)=t，其拉氏变 换为R(s)=1/s2，则系统的输出为:
C(s)
R(s) Ts 1
1 Ts 1
S tep R esponse 10
9
8
7
k 0.1
6
A m plitude
5
4
3
k 0.3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
T im e (sec)
小结
• 一阶系统的传递函数和典型方块图 • 一阶系统的单位阶跃响应(单调上升曲线，性
能指标常用调整时间) • 系统对输入信号导数的响应等于对输入信号响
五．三种响应之间的关系
比较一阶系统对单位脉冲、单位阶跃和单位斜 坡输入信号的响应，就会发现它们的输入信号 有如下关系：
d (t) d [1(t)];
dt
1(t) d [t 1(t)]; dt
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述时域分析是控制系统理论中的重要内容，主要用于分析系统的时间响应。
在时域分析中，我们会关注系统的输入和输出之间的关系，并研究系统在时间上的性能指标和特征。
本文将重点讲述一阶和二阶系统的时间响应。
一、一阶系统的时间响应一阶系统是指系统的传递函数中只有一个一阶多项式的系统，其传递函数形式为：G(s)=K/(Ts+1)其中，K是系统的增益，T是系统的时间常数。
一阶系统的单位阶跃响应是常用的时间响应之一，通过对系统施加一个单位阶跃输入，可以得到系统的响应曲线。
单位阶跃输入可以表示为：u(t)=1由于一阶系统的传递函数是一个一阶多项式，因此它的拉普拉斯变换可以通过部分分式展开得到：G(s)=K/(Ts+1)=A/(s+1/T)通过进行拉普拉斯逆变换，可以得到系统的单位阶跃响应函数y(t)：y(t) = K(1 - exp(-t/T))其中，exp(-t/T)为底数为e的指数函数，表示系统的响应曲线在t时刻的衰减程度。
从单位阶跃响应函数可以看出，一阶系统的时间常数T决定了系统的响应速度和衰减程度。
时间常数越小，系统的响应越快速，衰减程度也越快。
二、二阶系统的时间响应二阶系统是指系统的传递函数中有一个二阶多项式的系统，通常可以表示为：G(s) = K / (s^2 + 2ξω_ns+ω_n^2)其中，K是系统的增益，ξ是系统的阻尼比，ω_n是系统的自然频率。
二阶系统的时间常数和质量阻尼比是描述系统性能的重要参数。
时间常数决定了系统响应的速度，质量阻尼比则影响了系统的稳定性和衰减程度。
对于二阶系统的单位阶跃响应，可以通过拉普拉斯逆变换得到响应函数y(t)：y(t) = K*(1 - (1-ξ^2)^0.5 * exp(-ξω_nt) * cos((1-ξ^2)^0.5 * ω_nt + φ))其中，φ为相位角，由初始条件和变量确定。
从单位阶跃响应函数可以看出，二阶系统的阻尼比ξ决定了系统的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的响应形式。
自动控制原理3.2 一阶系统的时域分析
何阶线性系统，但不适用于非线性系统。
t
t
T )T
表明一阶系统在过渡过程结束后，其稳态输出与单
位斜坡输入之间，在位置上仍有误差。
4．对斜坡响应求导：dc(t ) dt
t
1e t
c阶 (t)
即单位斜坡响应的导数是单位阶跃响应。
§3—2 一阶系统的时域分析
四、单位抛物线响应：
C(s) 1 1 T T 2 T 2 s3 (Ts 1) s3 s2 s s 1
，若以
1 等速上升到
T
1，所需时间正好为T。
3.t p和 %均没有。t s 4T或t s 3T
T ts 快速性越好。
4、ess 1 c() 0
二．单位脉冲响应：
C(s) 1 1 1 , Ts 1 T s 1 T
g (t )
1 T
§3—2 一阶系统的时域分析
c(t )
1
t2
Tt
T
2 (1
t
eT
)
T
2
t
e(t) r(t) c(t) Tt T 2 (1 eT）
t
故e ss
lim e(t)
t
lim[Tt
t
T2
T 2eT
]
1．一阶系统不能跟踪抛物线信号。
2．对抛物线响应求导：
dc(t )
t
0.632
可见:c(t ) 单调上
升、非振荡、非
周期。
0
§3—2 一阶系统的时域分析
t
c(t) 1 e T
0.865
t
T
3.2 一阶系统性能分析
c(t)=t-T+Te-t/T
可知: 系统输入信号导数的输出响应， 可知 系统输入信号导数的输出响应 ， 等 于该输入信号输出响应的导数； 于该输入信号输出响应的导数 ； 根据一种 典型信号的响应，就可推知于其它。 典型信号的响应，就可推知于其它。
第二节 一阶系统性能分析
一阶系统的结构如图， 例3-1 一阶系统的结构如图，试求系统的 调节时间t ± 调节时间 s (±5%),如果要求 t s= 0.1s，求 如果要求 ， 反馈系数。 反馈系数。 R(s) E(s) Kk C(s) s Kk= 100 KH= 0.1 KH 解： 闭环传递函数 1 Kk K 100 × 得: t s=3T=3×0.1 H s C(s) Ф(s)= 100K =s Ф(s)= R(s) = H K0.01 =0.3 1+ s 1+ kKH s+1 K s H 若要求: 若要求 t s=3×0.01/KH=0.1 100 = 10 则: =× s+10 0.1s+1 t s=0.1 s KH =0.3
第二节 一阶系统性能分析
例 试分析液位控制系统参数与系统性能 例3-2 单位阶跃响应 h(t) ∆H(s) H(s) b 之间的关系。 之间的关系。 pb 曲线 p 1Abs+ess 1 ∞ t→∞ h(∞)=1+pb bp 解：闭环传递函数 1+pb 系统的稳态误差： 系统的稳态误差： pb pb pb 1+pb H(s) Abs+1 = 0 4T e (s)= ∞ pb Abs+1+pb = Ab s+1 t Hrss=hr(t)-h( ) 1+ Abs+1 1+pb pb = 1 系统的调节时间： =1-1+pb 1+pb pb 系统的调节时间： K Ab = Ts+1 K= 1+pb T=1+pb 4Ab t s=4T =1+pb 系统的单位阶跃响应： 系统的单位阶跃响应： 1+pb -t/T ) = pb (1-e- Ab t ) h(t)=K(1-e 1+pb
3.2一阶系统的时域分析
3.2 一阶系统的时域分析用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。
实际控制系统中一阶系统不乏其例。
下面分析一阶系统对单位阶跃函数、单位脉冲函数、单位斜坡函数、单位加速度函数的响应。
在分析过程中，设初始条件等于零。
3.2.1 一阶系统的数学模型图3-3所示RC 滤波电路是一阶系统，其运动微分方程为图3- 3 RC 滤波电路)()()(t r t c dt t dc RC =+ （3-2） 式中c(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压。
令T=RC ，则一阶系统运动方程具有如下一般形式)()()(t r t c dtt dc T =+ （3-3） 式(3-3)是一阶系统的一般表达式，式中T 为时间常数，r(t)和c(t)分别是系统的输入、输出信号。
若图3-3滤波电路的初始条件为零，一阶系统的传递函数为11)()()(+==ΦTs s R s C s （3-4）其方框图如图3-4或图3-5所示。
图3-4 一阶系统 图3-5 单位反馈一阶系统下面就一阶系统对某些典型输入信号的响应进行分析，在分析过程中，设初始条件为零。
此外，不同的系统如果传递函数相同，则对同一输入信号的响应也是相同的，只是不同系统响应的数学表达式具有不同的物理意义。
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应输入信号r(t)=1(t)时，系统响应c(t)为单位阶跃响应。
将输入信号的拉氏变换s s R 1)(=代入式（3-4），得sTs s R s s C 111)()()(⋅+=Φ= （3-5） 对式（3-5）进行拉氏反变换，得一阶系统的单位阶跃响应为T t e t c /1)(--= (t ≥0) （3-6） 由式（3-6）可以看出，一阶系统单位阶跃响应的初始值为零，终值为1。
根据式（3-6）绘出的响应曲线如图3-6所示，其响应为非周期曲线，具有如下两个特点：（1）当时间t 等于时间常数T 的整数倍，即t=T ，2T ，3T ，4T 时，响应c(t)的数值分别为总变化量的0.632、0.865、0.95、0.982倍，根据这个特点可以判断系统是否为一阶系统。
3.1时域分析-一阶系统
或写成： h(t ) = C + C SS u
稳态分量
动态分量，当t趋 于无穷，衰减为零
一阶系统的单位斜坡响应曲线如下所示： r(t) T C(t)
t 一阶系统在斜坡输入下的稳态输出与输入的斜率 相等，只是滞后一个时间T，或者说存在着一个跟踪位 置误差，其数值与时间常数T的数值相等。其稳态误差 为： ess=t-Css=t-[t-T]=T 结论：一阶系统的斜坡响应是单调上升曲线，时间常数T 结论：一阶系统的斜坡响应是单调上升曲线，时间常数T 越小，响应就越快，稳态误差就越小， 越小，响应就越快，稳态误差就越小，输出量对输入信号 的滞后时间也越小。 的滞后时间也越小。
本章学习要点： 本章学习要点：
1、正确理解单位阶跃响应及其时域性能指标、稳定性、静 正确理解单位阶跃响应及其时域性能指标、稳定性、 态误差系数等； 态误差系数等； 掌握一阶、二阶系统的标准型及其阶跃响应的特点， 2、掌握一阶、二阶系统的标准型及其阶跃响应的特点，并 能掌握分析和综合一、二阶系统的方法（ 能掌握分析和综合一、二阶系统的方法（已知参数计算性 能指标；已知性能指标反求结构参数） 能指标；已知性能指标反求结构参数） 掌握运用代数判据判断系统的稳定性， 3、掌握运用代数判据判断系统的稳定性，并能进行参数的 分析、计算； 分析、计算； 掌握系统稳态误差的计算方法； 4、掌握系统稳态误差的计算方法； 5、掌握高阶系统的近似分析方法 6、掌握改善系统结构不稳定性和稳态精度的方法
稳态分量
动态分量，当t趋 于无穷，衰减为零
一阶系统的单位阶跃响应曲线如下所示：
2
起始斜率 T-1
1
一般取： ts=3T(s)(5%误差带) ts=4T(s)(2%误差带)
0.632
系统的性能指标 一阶系统的时域分析
第三章 线性系统的时域分析法分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，就可求出已知输入信号作用下系统的输出响应。
第二步分析控制性能，即对系统做定性的分析和定量的计算。
分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。
第一节 控制系统的性能指标一、典型输入信号1.阶跃信号 数学表达式： 拉氏变换：当R 0=1，称为单位阶跃信号，记为)(t ε。
2.斜坡信号 数学表达式： 拉氏变换：当v 0=1，称为单位斜坡信号。
3.抛物线（等加速度）信号数学表达式： 拉氏变换：当a 0=1，称为单位抛物线函数。
4.脉冲信号 数学表达式：拉氏变换：当a 0=1，称为单位抛物线函数。
5.正弦信号 数学表达式： 拉氏变换：二、系统性能指标：控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标。
动态性能指标又分为跟随性能指标和扰动性能指标。
一般讨论的是跟随性能指标，即在给定信号作用下，有系统输出导出的性能指标。
常用的性能指标：1. 上升时间t r ：响应曲线从零开始，第一次上升到稳态值所需的时间。
上升时间越短，⎩⎨⎧≥<=000)(0t R t t r ，，为常数。
，00)(R s R s R =为常量。
，020)(v s v s R =⎩⎨⎧≥<=000)(0t t v t t r ，，为常量。
，030)(a sa s R =⎪⎩⎪⎨⎧≥<=02100)(20t t a t t r ，，为常量。
，030)(a s a s R =数。
，称为单位理想脉冲函。
若令脉宽时，记为，当，，，0)(10/00)(→=⎩⎨⎧≤≤><=εδεεεt H t H t t t r 22)(ωω+=s A s R ⎩⎨⎧≥<=0sin 00)(t t A t t r ，，ω响应速度越快 。
2. 峰值时间tp ：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
3. 调节时间t s ：响应曲线达到并永远保持在稳态值的误差范围内，即响应进入并保持在所需的误差带之内所需的时间。
一阶系统时域分析
引言
3.1 动态和稳态性能指标
3.2 一阶系统的时域分析
3.3 二阶系统的时域分析
3.4 线性系统的稳定性分析
3.5 控制系统的稳态误差
3/13/2024
Chapter 2-1
c(t )
r (t )
T c(t)
T
0
T
t
3/13/2024
Chapter 2-1
• 讨论：
• 稳态分量(t-T) 是一个与输入信号等斜率的斜坡 函数，但时间上滞后一个时间常数T。
• 暂态分量 Te，t /T 当 t 时，它按指数规律衰减到 零，衰减速度由极点s=-1/T决定。
• 单位斜坡响应也可由单位阶跃响应积分得到 （其中初始条件为零）。
或ts 3T
ts 4T
3/13/2024
Chapter 2-1
一阶系统的单位加速度响应 对于单位加速度输入
于是
r(t ) 1 t 2 2
R(s)
1 s3
C(s)
1 Ts 1
1 s3
由拉氏反变换可得到一阶系统的单位加速度响应
c(t) 1 t 2 Tt T 2 (1 et/T ) 2
3/13/2024
3/13/2024
Chapter 2-1
• 一阶系统的单位斜坡响应
对于单位斜坡输入
r(t) t 于是
R(s) 1 s2
1 1 1 T T2
C(s) Ts 1 s2
s2
s
Ts 1
由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位斜坡响应为
第三章 控制系统的时域分析—1引言及一阶系统时域分析
稳定性指标（收敛、发散）
稳定是控制系统能够工作的首要条件，只有动态过程收 敛 (响应衰减)，研究动态性能与稳态性能才有意义。
收敛是指系统从一个状态运动到另一个状态，在其动态响应过 程中，振荡逐渐减弱并稳定在某一状态。反之则称为发散。
T
量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应都
不会超过其稳态值。由于该响应曲线具有非振荡
特征，故也称为非周期响应。
1 斜率 1
T 0.632
C(t) 0.95
T
3T
图中响应曲线的初始斜率（t=0时）为 1/T。如果系统保 持初始响应的变化速度不变，则当t=T时，输出量就能达 到稳态值。实际上，响应曲线的斜率是不断下降的，经
过T时间后，输出量c(t)从0上升到稳态值的63.2%。经过 3T-4T时， c(t)将分别达到稳态值的95%-98%。可见，时 间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升 越快，响应过程的快速性也越好。
c(t) 1 exp( t ) T
由上式可知，只有当t趋于无穷大时，响应的瞬 态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量达到 稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间 （即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差 为5%或2%。
t
c(t)
c(t) 1 e T
ess
lim
t
e(t)
0
1
1 T
0.632
动态性能指标：
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
td 0.69T tr 2.20T
t
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证明：
a0d dnntc(t)a1d dnn t 11c(t)an1d dct(t)anc(t) b0d dm m tr(t)b1d dm m t 11r(t)bm1d drt(t)bmr(t)
r(t)和c(t)满足方程，两边求导后知：r ( t ) 和 c ( t ) 也满足方程。
对上式求拉氏反变换，得：
1t
1t
c(t)tT(1eT)tTTT e
1t
因为 e(t)r(t)c(t)T(1eT)
所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为 esslt i m e(t)T
从图中可以看出：
①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输 出信号的变化率完全相同。
②稳态时C(t)滞后于R(t)一个常量T。 ③减小惯性时间常数T可以加快瞬态响应的速度，可 减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
第三章 时域分析法
第二节 一阶系统时域分析
第二节 一阶系统的时域分析
项目
内容
教学目的
掌握一阶系统在四种典型信号输入下的输出响 应特征。理解时域分析方法。初步了解MATLAB的
使用。
教学重点
一阶系统在四种典型信号输入下的输出响应 特征。掌握系统的时域分析方法。
教学难点
分析一阶系统的四种输出响应，最后总结。
t
c(t) 1e T
由解析式绘制曲线图：
c (t)
1
t
c(t) 1e T
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
0.632
0
T
2T 3T 4T 5T t
确定T的值、 系统是否是 一阶系统
由解析式和曲线图可以得出以下结论：
❖ 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；
❖ 初始斜率为1/T；
及 其 处 理 使用MATLAB工具辅助教学。
一、一阶系统的数学模型
RCdudot(t)uo(t)ui(t)
C(s) 1 R(s) Ts 1
将微分方程为
T
dc(t)+c(t)=r(t),传递函数为
dt
C(s) R(s)
1 Ts 1
的系统叫做一阶系统。
❖ 动态结构图 R：U i(s)U o(s)I(s)R
Ui(s) 1/R I(s) 1/sC Uo(s) Uo(s)
C：U o (s)
I (s) Cs
Ui(s) 1/sRC Uo(s) -
二、一阶系统的单位阶跃响应
将 R ( s ) 1 代入传递函数中，可得：
S
C (s)(s)R (s)T S 1 1S 1S 1T S T 1S 1S 11
T
两边进行拉氏反变换，可得C(t)的时域表达式：
确定T 的值
c (t)
1
0.632
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
0
T
2T 3T 4T 5T t
❖动态性能指标
上升时间 tr 2.20T
t p和％不存在
4T，当2%时 调节时间 ts 3T，当5%时
❖稳态性能指标 ess=1-c(∞)=1-1=0
三、一阶系统的单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于
五、一阶系统的单位加速度响应
将 R(s)
1 S3
代入传函表达式，得：
C ( s )( s ) R ( s ) ( T 1 1 S )S 1 3 S A 3 S B 2 C S S D 1 S 1 3 S T 2 T S 2 S T 2 1
T
T
对上式求拉氏反变换，得：
c(t)1t2T tT2(1e T 1t) (t0) e (t) r( 2 t) c (t) T T t2 (1 e T 1 t)
R(s)=1，因此输出量的拉氏变换与系统的传递
函数相同，即
C(s) 1 TS1
c(t)1eTt T
t 0
由图可见，一阶系统的脉冲响应为一单调下降的指数 曲线。系统的惯性时间常数越小，响应的快速性越好。
四、一阶系统的单位斜坡响应
将 得：
C (s)(s)R (s)111TT 2 T S 1S 2 S 2 S 1 TS
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。
因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
小结：一阶系统对典型输入信号的响应
输入信号
(t)
微
1(t)
分
t
输出响应
1eTt T
(t 0)
t
1e T t 0
微
t
分
tTTeT t 0
1 t2
1t2T tT2(1eTt ) t0
2
2
系统对输入信号导数(积分)的响应，就等于系统对该 输入信号响应的导数(积分)。所以只取一种典型形式进 行研究就可以了。
两种输入作用下的输出信号比较
c (t)
1
0.632
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
0
T
2T 3T 4T 5T t
单位阶跃响应曲线
单位斜坡响应曲线
阶跃信号输入
斜坡信号输入
输入输出 初始状态时大，随t 初始状态为0，随t增 位置误差 减小，最后趋于0。 大，最后趋于T。
输出曲 初始状态最大且等 初始状态最小且为0， 线斜率 于1/T，随t趋于0。 随t趋于1。