一阶系统的时域分析解析

上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。
因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
小结：一阶系统对典型输入信号的响应
输入信号
(t)
微
1(t)
分
t
输出响应
1eTt T
(t 0)
t
1e T t 0
微
t
分
tTTeT t 0
1 t2
1t2T tT2(1eTt ) t0
2
2
系统对输入信号导数(积分)的响应，就等于系统对该 输入信号响应的导数(积分)。所以只取一种典型形式进 行研究就可以了。
第三章 时域分析法
第二节 一阶系统时域分析
第二节 一阶系统的时域分析
项目
内容
教学目的
掌握一阶系统在四种典型信号输入下的输出响 应特征。理解时域分析方法。初步了解MATLAB的
使用。
教学重点
一阶系统在四种典型信号输入下的输出响应 特征。掌握系统的时域分析方法。
教学难点
分析一阶系统的四种输出响应，最后总结。
t
c(t) 1e T
由解析式绘制曲线图：
c (t)
1
t
c(t) 1e T
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
0.632
0
T
2T 3T 4T 5T t
确定T的值、 系统是否是 一阶系统
由解析式和曲线图可以得出以下结论：
❖ 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；
❖ 初始斜率为1/T；
证明：
a0d dnntc(t)a1d dnn t 11c(t)an1d dct(t)anc(t) b0d dm m tr(t)b1d dm m t 11r(t)bm1d drt(t)bmr(t)
r(t)和c(t)满足方程，两边求导后知：r ( t ) 和 c ( t ) 也满足方程。
R(s)=1，因此输出量的拉氏变换与系统的传递
函数相同，即
C(s) 1 TS1
c(t)1eTt T
t 0
由图可见，一阶系统的脉冲响应为一单调下降的指数 曲线。系统的惯性时间常数越小，响应的快速性越好。
四、一阶系统的单位斜坡响应
将 R(s)
1 S2
代入传函表达式，得：
C (s)(s)R (s)111TT 2 T S 1S 2 S 2 S 1 TS
对上式求拉氏反变换，得：
1t
1t
c(t)tT(1eT)tTTT e
1t
因为 e(t)r(t)c(t)T(1eT)
所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为 esslt i m e(t)T
从图中可以看出：
①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输 出信号的变化率完全相同。
②稳态时C(t)滞后于R(t)一个常量T。 ③减小惯性时间常数T可以加快瞬态响应的速度，可 减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
及 其 处 理 使用MATLAB工具辅助教学。
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一、一阶系统的数学模型
RCdudot(t)uo(t)ui(t)
C(s) 1 R(s) Ts 1
将微分方程为
T
dc(t)+c(t)=r(t),传递函数为
dt
C(s) R(s)
1 Ts 1
的系统叫做一阶系统。
❖ 动态结构图 R：U i(s)U o(s)I(s)R
五、一阶系统的单位加速度响应
将 R(s)
1 S3
代入传函表达式，得：
C ( s )( s ) R ( s ) ( T 1 1 S )S 1 3 S A 3 S B 2 C S S D 1 S 1 3 S T 2 T S 2 S T 2 1
T
T
对上式求拉氏反变换，得：
c(t)1t2T tT2(1e T 1t) (t0) e (t) r( 2 t) c (t) T T t2 (1 e T 1 t)
两种输入作用下的输出信号比较
c (t)
1
0.632
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
0
T
2T 3T 4T 5T t
单位阶跃响应曲线
单位斜坡响应曲线
阶跃信号输入
斜坡信号输入
输入输出 初始状态时大，随t 初始状态为0，随t增 位置误差 减小，最后趋于0。 大，最后趋于T。
输出曲 初始状态最大且等 初始状态最小且为0， 线斜率 于1/T，随t趋于0。 随t趋于1。
Ui(s) 1/R I(s) 1/sC Uo(s) Uo(s)
C：U o (s)
I (s) Cs
Ui(s) 1/sRC Uo(s) -
二、一阶系统的单位阶跃响应
将 R ( s ) 1 代入传递函数中，可得：
S
C (s)(s)R (s)T S 1 1S 1S 1T S T 1S 1S 11
T
两边进行拉氏反变换，可得C(t)的时域表达式：
确定T 的值
c (t)
1
0.632
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
0
T
2T 3T 4T 5T t
❖动态性能指标
上升时间 tr 2.20T
t p和％不存在
4T，当2%时 调节时间 ts 3T，当5%时
❖稳态性能指标 ess=1-c(∞)=1-1=0
三、一阶系统的单位脉冲响应
当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于