27 静电场边界条件
2.7电磁场的边界条件解析
第2章
电磁场的基本规律
1
2.7 电磁场的边界条件
en
媒质1 媒质2
• 什么是电磁场的边界条件?
et
实际电磁场问题都是在一定的物理空
间内发生的，该空间中可能是由多种不同
媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分 界面两侧的电磁场物理量满足的关系。
中国矿业大学
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
将上式对时间 t 积分，得
1 2 7 8 H1 ( z, t ) ey [2 10 cos(15 10 t 5 z ) 107 cos(15 108 t 5 z)] A/m 0 3
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电磁场的基本规律
14
同样，由 E2 2 H 2 ，得 t 4 H 2 ( z, t ) ey 107 cos(15 108 t 5 z ) A/m 30 （3）z = 0 时
tg1 1 同理可证： tg 2 2
E1 sin 1 E2 sin 2 tg1 1 tg 2 2
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第2章
电磁场的基本规律
10
2. 理想导体表面上的边界条件 理想导体：电导率为无限大的导电媒质 特征：理想导体内没有电磁场 设媒质2为理想导体，则E2=D2=H2=B2=0 则理想导体表面上的边界条件为：
则得：
D1z -D2 z z 0 =0
D1z
z 0
D2 z
D1z
z 0
0 (3 z )
z 0
3 0 z 0
3 0 3 E1z z 0 z 0 z 0 1 5 0 5 3 最后得到： E1 ( x, y,0) ex 2 y e y 5 x ez 5 D1 ( x, y,0) ex10 0 y e y 25 0 x ez 3 0
静电场的边界条件
∴ n (D1 D2 ) s 或 D1n- D2n = s Normal
完纯介质分界面上，s= 0，则
n D1 n D2
或
D1n= D2n
二．不同介质分界面上切线方向的边界条件
n E1t E1
1 l
1
h
2 E2 2
c
E2t
Tangential
E
c
dl
E1
l
E2
l
0
l = s n l
在界面上，矢量场基本方程的微分形式不再适用
但积分形式仍然成立 SD dS q cE dl 0
边界条件: 两种介质分界面上，矢量场所满足的关系。
一．不同介质分界面上法线方向的边界条件
SD dS q
D S
பைடு நூலகம்
dS
D1
nS
D2
nS
sS
s 自由电荷面密度
D1n n D1
1 S
1
2
h
D2
2
D2n
n E,D
当分界面为导体与电介质的交界面时，由
于导体内电场和电位移矢量均为零，所以
D2 = E2 = 0
分界面上的衔接条件变为：
n D s
Dn s
Φ n
s
nE 0
Et 0
Φ c
结论：
（1）导体表面是一等位面；电力线与导体表面垂直，电场强度
只能垂直与导体表面；
（2）导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷面密度 s。
E1 ( s n ) l = E2 ( s n ) l
s (n E1) = s (n E2)
回路 c 任意，所围s 也任意
n l s
∴ n E1 = n E2
[理学]静电场边界条件证明
![[理学]静电场边界条件证明](https://img.taocdn.com/s3/m/def2f6fa112de2bd960590c69ec3d5bbfd0ada8f.png)
采用基本方程的积分形式。
、分解为与分界面垂直和平行的两个分量：
2.请考虑一下，下面的证明应该采用哪个定律或方程：
电场的环流方程高斯通量定律
在分界面上取一小的矩形闭合路径，两个边
与分界面平行并分居于分界面
的两侧，高h为无限小量（如下图所示）。
对于此矩形回路，电场强度变量在此回路上的环量为零，可写作
是取矩形回路的边构成的矢量，其方向与介质1中绕行回路的方向一
取回路包围的矩形面积的法向单位矢量为，则有
，代入
得
或改写成
图1.6.2 边界条件的证明2
因回路是任取的，对于不同的取向上式总成立，表明有
，
即
或写成
所以，在不同的介质分界面上的电场强度变量的切向分量应该是连续的。
电
场强度的切向分量连续的边界条件用电位函数表示时，可得到
表明
分界面上的电位函数也是连续的。
采用基本方程的积分形式。
、分解为与分界面垂直和平行的两个分量：
2.请考虑一下，下面的证明应该采用哪个定律或方程：
电场的环流方程 高斯通量定律
首先在分界面上取一个小的柱形
闭合面，其上、下底面与分界面
平行并分居于分界面两侧，高h
为无 限小量（如图所示）。
对于
此闭合面，高斯通量定律写成
得
是分界面上的自由电荷密度。
当分界面上没有自由电荷时则有或
， 可得分界面上
的法向分量的边界
条件。
图1.6.1 边界条件的证明1。
静电场的边界条件
静电场的边界条件一、介绍静电场是电荷相互作用的结果，它在物理学中有着重要的应用。
在讨论静电场的问题时，我们需要考虑边界条件，即影响电荷分布和电场分布的物体或介质的边界条件。
本文将对静电场的边界条件进行全面、详细、完整的探讨。
二、电场的基本概念回顾在深入讨论静电场的边界条件之前，我们先回顾一下电场的基本概念。
电场是指空间中某一点周围的电力场，它由电荷所产生。
电场的强度用电场强度表示，通常用符号E表示，其单位为N/C（牛顿/库仑）。
电场的方向是从正电荷指向负电荷。
三、边界条件的意义静电场的边界条件对于解决各种实际问题非常重要。
在处理实际问题时，我们常常需要考虑到材料接触面上的边界条件，以确定电场分布和电荷分布。
四、电场的边界条件在讨论静电场的边界条件时，我们主要关注以下几个方面：4.1 自由边界条件自由边界条件指在物体表面没有约束电荷和电场的存在。
在这种情况下，电荷和电场可以自由传播。
4.2 导体表面的边界条件导体表面的边界条件是我们最常见的一种情况。
导体表面上，电场与导体表面垂直。
这是因为在导体表面上，导体内部的电荷会受到表面电荷的驱动，沿着导体表面朝水平方向运动，最终达到平衡状态。
4.3 介质表面的边界条件介质表面的边界条件与导体表面的边界条件相似，但不完全相同。
在介质表面上，电场仍然与表面垂直，但电场的强度在介质表面的两侧有所变化。
4.4 电势的边界条件电势是电场的一种特殊形式，它表示单位正电荷在电场中移动所具有的能量。
在讨论边界条件时，我们也需要考虑电势的变化情况。
五、总结静电场的边界条件是解决静电场问题的关键之一。
在实际问题中，我们需要根据具体情况来确定相应的边界条件。
不同的边界条件将会对电场和电荷分布产生影响，因此我们必须认真考虑边界条件的选择和分析。
通过对静电场的边界条件的全面、详细、完整的探讨，我们可以更好地理解和应用静电场的理论，解决实际问题。
关于静电场和恒定磁场的边界条件的几点讨论
关于静电场和恒定磁场的边界条件的几点讨论赵东广（安徽大学 文典学院 安徽 合肥 230039）摘要：本文对不同介质组成的静电场和恒定磁场场域的边界条件进行了整理和讨论，并用高斯定理等对两种介质分界面上的电磁场边值关系进行了简洁推导并以这种普遍关系为基础导出了理想导体表面上的边界条件，并对该边界条件做了详细说明。
关键词：静电场，恒定磁场，边界面。
引言：对于不同媒质所组成的电磁场场域在分界面上介质性质有突变，则电磁场在分界面两侧发生突变。
而我们把分界面电磁场突变关系称为电磁场的边值关系或边界条件。
1 静电场的边界条件1.1 法向边界条件或 ，如果界面上没有自由电荷，即，边界条2121()S S D n S D n S q S n D D ρρ⋅∆-⋅∆==∆⋅-=21n n S D D ρ-=0S ρ=2121()00n n n D D D D ⋅-=-=件变为 或 。
1.2 切向边界条件即静电场的切向分量连续，意味着电位连续，即 ，又因为所以法向分量的边界条件用电位表示为在 时，则即为静电场的折射定律。
导体内的静电场在静电平衡时为零，设导体外部的场为E ，D ，导体的法向量为n ，则导体表面的边界条件简化为 。
2 恒定磁场的边界条件2121()0t tn E E E E ⨯-==21ϕϕ=nE D n E D n n n n ∂∂-==∂∂-==2222211111ϕεεϕεεSnnρϕεϕε=∂∂-∂∂22110S ρ=2121tan tan εεθθ=0=t E S n D ρ=2.1 法向边界条件 即 ，SB d s ⋅=⎰120B n S B n S -⋅∆+⋅∆=12n nB B =2.2 切向边界条件即 当分界面上没有自由电流时， ，当分界面两边为理想介质，分界面上无自由电流，则上式表面媒质两边的磁场方向与媒质本身特性有关。
下面我们讨论几种特殊情况l J l H l H S t t ∆=∆-∆21S t t J H H =-210S J = tt H H 21=12n H n H ⨯=⨯ 12n nB B =tt H H 21=1221112212tan tan μμθθ===nn nt n t H H H H H H1 若当媒质1为空气，媒质2为铁磁媒质。
《静电场的边值问题》课件
用离散的差分代替微分方程中的导数项，将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限元方法
将连续的求解区域离散化为有限个小的单元，用每个单元的中心函数近似代替该单元上的函数，从而将 微分方程转化为线性方程组进行求解。
2023
PART 03
静电场的边界条件
REPORTING
边界条件的定义
01
边界条件是指在求解静电场问题时，电场在边界处的
2023
PART 05
静电场的实际应用
REPORTING
电场在物理中的应用
静电感应
当一个带电体靠近导体时，导体因静电感应 而带电。
电容器的充放电
电容器在充电和放电过程中，电荷在电场的 作用下移动。
电子显微镜
利用电场对电子的加速和聚焦作用，实现高 分辨率的显微成像。
电场在化学中的应用
离子交换
利用电场对离子的作用力，实现离子的分离 和纯化。
VS
详细描述
有限元法是一种将连续的静电场划分为有 限个小的区域（即元），然后对每个元进 行求解的方法。这种方法能够处理复杂的 几何形状和边界条件，并且具有较高的计 算精度和稳定性。
边界元法
总结词
只对静电场的边界进行离散化，然后对边界上的离散点进行求解的方法。
详细描述
边界元法是一种只对静电场的边界进行离散化，然后对边界上的离散点进行求解的方法。这种方法能够大大减少 未知数的数量，并且适用于处理具有复杂边界条件的问题。但是，由于只对边界进行离散化，因此需要更高的计 算精度和更复杂的数学处理。
电化学反应
在电解池和原电池中，电场驱动离子在溶液 中的迁移，并参与化学反应。
电泳技术
在电场的作用下，带电粒子在介质中移动， 用于分离和纯化生物分子。
静电场的边界条件
E d E d U 1 1 2 2 0 2 U 0 E a 1 x d d 12 21
U 1 0 E a 2 x d d 12 21
S1 E ax 1 E 2
S1 S2 1 2
S S
1
电磁场理论基础第二章
0 2
2 C
例 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。
2
和q0 ,
且填充介质为均匀的。图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板
（ a）
（ b）
解：忽略边缘效应 图（a）
s
1 1 n
图（b）
S S q S 1 1 S 2 2 0
n 1 1 2 2 S
2 1 2 1 S n n
E E n 1 1 2 2 S
E E 1 1 n 2 2 n S
1、两种媒质为电介质，且 分界面上无自由面电荷。
2-32 在介电常数为 的无限大均匀介质中存在电场强度 E ， 0 今在其内开如下的空腔，求空腔中心处附近的 E 和 D： ①平行于的 E0 细长圆柱空腔； ②底面垂直于 E0的薄圆片形空腔。
电磁场理论基础第二章
解：① 由切向场分量的边界条件：通过界面时，
的切向分量连续。 E
n n
2 C
二、切向边界条件
n l1
1
1
E1
l2
E 1 1
E 2 2
E d l E l sin E l sin 0 1 1 1 2 1 2
.静电场的边界条件
或
D2 n D1n 0
第二章 静 电 场
图 2 - 10 切向边界条件
第二章 静 电 场
E dl E l E l 0 1 1 2 2
l
因为Δl2=l°Δl，Δl1=-l°Δl, l°是单位矢量，上式变为
( E2 E1 ) l 0
注意到n⊥l°，故有
第二章 静 电 场 解：
E1 E2 Eer
21r 2 E1 2 2 r 2 E2 2 (1 2 ) r 2 E q q E 2 (1 2 ) r 2
在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有
1q D1 er 2 2 (1 2 ) r 2q D2 er 2 (1 2 ) r 2
第二章 静 电 场 在ρS=0时，
1 2 1 2 0 n n
设区域 1 和区域 2 内电力线与法向的夹角分别为θ1、θ2，
tan1 1 tan 2 2
导体的外法向为n，则导体表面的边界条件简化为
导体内的静电场在静电平衡时为零。设导体外部的场为E、D，
Et 0
n ( E2 E1 ) 0 E2t E1t
第二章 静 电 场 场强度的切向分量连续，意味着电位是连续的，即
1 2
由于
1 D1n 1E1n 1 n 2 D2 n 2 E2 n 2 n
法向分量的边界条件用电位表示为
1 2 1 2 S n n
Dn S
第二章 静 电 场 例 2-9 同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为 b，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的 介电常数为ε2，如图 2 - 11 所示。设内、外导体带电分别为q和-q， 求各部分的电位移矢量和电场强度。
静电场的边界条件公式
静电场的边界条件公式
物理学术语，指某种空间区域，其中具有一定性质的物体能对与之不相接触的类似物体施加一种力，如引力场、电场、磁场等。
电荷周围存在电场。
电荷和电荷之间有力的作用，这个作用就是依靠电场来传递的。
仅由相对于观察者静止的电荷产生的电场，称为静电场。
为了具体地度量电场，引入一个试验电荷。
试验电荷必须有三个性质：1.正电荷：统一电性。
2.点电荷：测量一点的电场。
3.电量足够小：不至于影响原电场。
把试验电荷放在电场中，它会受到一个力的作用，称为电场力。
实验证明，电场力的大小F与试验电荷的电量q成正比，定义电场强度(简称场强)Ē=F，它是矢量，方向和正电荷受到的电场力方向相同，单位为N/C或V/m.电场强度遵循矢量叠加规则。
试验电荷与电场强度在外加电场为Ē的地方放置一电量为Q的点电荷，则它受到外加电场的电场力F=Ē Q。
在三维空间中，对于一个确定的电场，每一点都对应一个电场强度矢量，可记为函数Ē(x，y,z，这是一个向量场，可以用多元微积分中的场论来研究它。
三、静电场及边界问题的解法
静电场中不同电介质的分界面上， 静电场中不同电介质的分界面上，电场轻度的切向分量和电位移的法向 向量连续
14:28:24
8 8
静电场中理想导体与电介质的分界面
ρs
E1t = 0 D1n = ρ s
矢量形式： 矢量形式：
n × E1 = 0 n D1 = ρ s
1、静电场基本方程的积分形式
B ∫ c E dl = ∫s t ds = 0
静电场的环量定律
∫
14:28:24
s
D ds = ∫ ρ dV
V
静电场的高斯定律
2 2
2、静电场基本方程的微分形式
× E = 0
D = ρ
14:28:24
3 3
D × H = J + t B × E = t
D = εE
理想导体表面电场强度的切向分量等于零， 理想导体表面电场强度的切向分量等于零，电位移的法向分量等于导体 表面的面电荷密度
14:28:24
9 9
14:28:24
6 6
n × H1 H2 = {
n × E1 E2 = 0
(
)
Jl 0
(
)
n D1 D2 = {0
n B1 B2 = 0
(
)
ρs
(
)
14:28:24
7 7
3.1.2 静电场的边界条件 ρs = 0
E1t E2t = 0
矢量形式： 矢量形式：
D1n D2 n = ρ s = 0
三静电场及边界问题的解法静电场的边界条件静电场边界条件静电场边值问题静电场朔静电场静电场测试仪用模拟法测绘静电场大学物理静电场静电场的电场线
27-28静电场边界条件(10学时).
§2.8 导体系统的电容
电磁场与电磁波
1
§2.7 静电场的边界条件
问题的提出
一般情况下求电位或场强 两个“方程”：
无源——Laplace’s Equation 有源——Poission’s Equation
边值问题：在给定边界条件下求解偏微分方程。
边界条件就是不同介质(或导体)分界面两侧的场量之间 的关系。
边界条件的作用：
确定方程的解中的待定因素； 使方程通解成为适用于具体问题的特解。
电磁场与电磁波
2
边界的分类
边界的分类：
第1类: 已知整个边界上的电位
Dirichlet Problems 狄理赫利问题
第2类: 已知整个边界上电位的法导
Neumann Problems 纽曼问题
第3类: 已知部分边界电位+另一部分边界电位法 导
电磁场与电磁波
8
介质分界面上电位的连续性
a1n
b
E1
a E2
a2 n
1 2
b a lim E dl lim Em h 0
ba b h0
a
b a
电磁场与电磁波
9
电介质的边界条件-小结
1. 法向：
D1n D2n s
2. 切向：
a 3 2 (r ) 3 0 r
0ra ar
电场强度（球坐标梯度公式）：
E1 (r ) 1
1 r er er r 3 0
0ra
2 a 2 E2 (r ) 2 er e 2 r r 3 0 r
ar
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程 积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度 E E的分布。 电磁场与电磁波 12
2.7 静电场边界条件
s
界面上没有自由电荷时——
D1n D2n
1
1
n
2
2
n
导体表面 D2n 0
D1n s
电磁场与电磁波
6
2. 电介质的边界条件-切向
a1n
E1
做一条“闭合回路” —— h 0
1
a1n
Δl1
E1
2
a2n
E2
利用势能定理 E dl 0
a2n
E2
Δl2
1 2
c
Neumann Problems 纽曼问题
第3类: 已知部分边界电位+另一部分边界电位法导
Hybrid Problems 混合问题
电磁场与电磁波
2
回忆：静电场中的导体
“法拉第圆筒(Faraday’s Cylinder)”试验
1. 导体本身：等势体
2. 导体表面： Et 0
En
s 0
3. 导体内部：电场为零
D1n D2n
1 E1n 2 E2n
E1t E2t
1
1
E1
E11
sin1 E2 E1 cos1
sin 2 2 E2
cos
2
E2 2
2
tg1 1
tg2 2
电磁场与电磁波
11
例 2. 求电位时常会用到边界条件
已知：导体球，半径a，球体电位U(基准?) 求：球外的电位？ 分析：
新问题：静电场中的电介质表面呢？
电介质表面是否等势面？
电磁场与电磁波
3
1. 电介质的边界条件-法向
1
D1
做一个很扁很扁的
“扁盒子” ——
2
D2
auss定理
最新27-28静电场边界条件10学时汇总
22r12dd(rr2dd2r)0
(ar)
积分之，得通解
1(r)6r02 C1 1r C2
边界条件
1ra
2 ra
2(r)Cr3 C4
1 r
r0 0
0r1 ra0r2 ra
2 r 0 参考点电位
电磁场与电磁波
10
解得 C1 0 C4 0
电位：
a2
a3
C31(r)2 06,0C(32a2 3r02)
E•dl 0
c
E 1 Δ l 1 E 2 Δ l 2 E 1 t Δ l E 2 t Δ l 0
E1t E2t
电磁场与电磁波
7
介质分界面上电位的连续性
a1n
E1
b
1
a 2
a2n
E2
a ba lb i m abE d l lh i m 0E m h 0
b a
电磁场与电磁波
8
电介质的边界条件-小结
0ra
2(r)3 a03 r
ar
电场强度（球坐标梯度公式）：
E 1 ( r ) 1 r 1 e r 3 r 0 e r
0 r a
E 2 (r ) 2 r 2e r 3 a 0 r 2 2e r a r
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程
Ear
U lnba
1 r
单位长度上内导体Q ?
QS?
1 a
b
Q D 1 [a] D 2 [a (2) ] ? U
2
CQ 0(2)
0
U
lna b()
电磁场与电磁波
19
一般同轴线的电容
a
b
U
第5讲 静电场(3)
束缚电荷
♦ 定义：介质极化后在其表面出现的束缚面电荷密度和其内
部产生的束缚体电荷密度分别为：
S p P n p P
♦ 束缚电荷的电位表达式
1 4 0
S
dV dS 4 0 V r r r r
麦克斯韦方程组是微分方程组其解是不确定的边界条件起定解的作用麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件17介质分界面的边界条件介质分界面的边界条件为了求出边界上的场量关系令h0则线积分必须令l足够短以致于在l内可以认为场量是均匀的则上18介质分界面的边界条件介质分界面的边界条件e2t分别表示介质此式表明在两种介质形成的边界上两侧的电场强度的切向分量相等或者说电场强度的切向分量连续
14
静电场的边界条件
♦ What？
实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间 中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的 分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上 电磁场的基本属性 物理意义：由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变， 场在界面两侧也发生突变。麦克斯韦方程组的微分形式在分 界面两侧失去意义，必须采用边界条件 数学意义：麦克斯韦方程组是微分方程组，其解是不确定 的，边界条件起定解的作用 en
布
♦ 导体中的电位梯度为零，这就意味着导体中电位不随空间变化 ♦ 处于静电平衡状态的导体是一个等位体，导体表面是等位面
20
介质与导体的边界条件
♦ 导体内部电场为0，即
E1t E2t D2 n D1n s
E1t 0, D1n 0
场强度必须垂直于导体的表面
静电场的边界条件
静电场的边界条件一、引言静电场是指在空间中存在电荷分布，产生的电场。
在物理学中，研究静电场的性质和规律是非常重要的。
其中，边界条件是静电场研究中一个非常重要的概念。
二、什么是边界条件边界条件指的是不同介质之间或者同一介质中不同区域之间，在静电场分析中需要满足的一些条件。
这些条件可以用来解决在不同介质或者区域之间产生的电势差和电场强度等问题。
三、静电场的基本方程静电场基本方程包括高斯定律、库仑定律和泊松方程等。
其中，高斯定律描述了空间内任意闭合曲面上通过的总电通量与该曲面所包围的总电荷量之间的关系；库仑定律描述了点电荷产生的静电力与其它点电荷之间距离平方成反比；泊松方程则描述了空间内任意点处的电势与该点周围各个位置处的势能密度之和之差与该点周围各个位置处所包含的总电荷量成正比。
四、边界条件的分类在静电场分析中，边界条件可以分为两类：第一类是介质之间的边界条件，第二类是同一介质中不同区域之间的边界条件。
下面将对这两种边界条件进行详细讲解。
1.介质之间的边界条件当静电场存在于两种不同介质之间时，需要满足以下两个基本条件：（1）法向电场强度连续在两种不同介质之间的交界面上，法向方向上的电场强度必须连续。
也就是说，交界面上空气一侧和另一侧的电场强度大小必须相等。
（2）切向电场强度不连续在两种不同介质之间的交界面上，切向方向上的电场强度不连续。
也就是说，在交界面上空气一侧和另一侧的电场强度方向可能会发生变化。
2.同一介质中不同区域之间的边界条件当静电场存在于同一介质中不同区域之间时，需要满足以下三个基本条件：（1）法向电势连续在两个不同区域之间的交界面上，法向方向上的电势必须连续。
也就是说，在交界面上两个区域的电势大小必须相等。
（2）切向电场强度连续在两个不同区域之间的交界面上，切向方向上的电场强度必须连续。
也就是说，在交界面上两个区域的电场强度大小和方向必须相等。
（3）切向电势不连续在两个不同区域之间的交界面上，切向方向上的电势不连续。
静电场的边界条件
静电场的求解： 边值问题－边界条件
泊松方程 拉普拉斯方程
2
第一章 静电场(一)
§1-1 电场与电场强度
§1-2
§1-3 电场的图示
§1-4 真空中的高斯通量定理
§1-5 电介质中的高斯通量定理
§1-6 §1-7
电场强度 的环路定理与电位函数
电位梯度
E
§1-8 静电场的边界条件
§1-9
§1-10 微分形式的电场强度环路定理
度，相当于全部电荷量q集中在直线中点处的点电荷所产生的电 场强度。
18
§1-3 电场的图示
电场的图示
一、电力线
1 电力线是空间有向曲线，线上每点的切线方向， 代表该点处的电场强度方向
2 电力线在空间是不能彼此相交的。电力线只能起 自正电荷而止于负电荷，它不能中断于无电荷处，也 不能自行闭合
3 通过垂直于力线的微小面元单位面积上的力线数 等于该面元上的电场强度的数值
4 0R2
R0
R0 为从点电荷q指向场中任意被研究点的单位矢量
注意：(1)这一表达式只适用于点电荷的情况。
(2)在数学中的“点”没有大小而仅有几何 位置。在实际问题中，只要判定带电体的几何尺寸远 小于带电体至被研究点的距离时，不管带电体的形状 如何。库仑定律都适用。
7
电场与电场强度
例：真空中XOY平面上有三个点电荷，已知他们所带的 电量和位置，试确定坐标原点处的电场强度。
25
真空中的高斯通量定理
例1-2 真空中同心球面内均匀分布着体积电荷，电荷体密度
为ρ ，同心球面内外半径分别为R1和R2。试求球层内外的电场
解 电荷分布为球对称
R<R1
E1 0
静电场及其边值问题的解
代入上式，得
表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
z
o
d
由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度 等位线 电场线 电偶极子的场图
解 选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为r，则 若选择点o为电位参考点，即 ，则 在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即 ，则有 在圆柱面坐标系中，取 与x轴方向一致，即 ，而 ，故 例3.1.2 求均匀电场的电位分布。
图2 线电荷与导体圆柱的镜像
特点：在导体圆柱面上有感应电荷， 圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共 同产生。
分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与 轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。
线电荷对接地导体圆柱面的镜像
由于上式对任意的都成立，因此，将上式对求导，可以得到 由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即 所以有 设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为 ，则由 和 共同产生的电位函数
1. 电位函数的定义
电位定义
2.电位的表达式
*
对于连续的体分布电荷，由 面电荷的电位： 故得 点电荷的电位： 线电荷的电位：
3. 电位差
两端点乘 ，则有
将
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
关于电位差的说明
P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处； 电位差也称为电压，可用U 表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。
镜像法的理论基础——解的惟一性定理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。
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新问题：静电场中的电介质表面呢？
电介质表面是否等势面？
电磁场与电磁波
3
1. 电介质的边界条件-法向
1
D1
做一个很扁很扁的
“扁盒子” ——
2
D2
1 ΔS1
a1n
D1
利用Gauss定理
D dS s S
ΔS
2
2
D2
a2n
S D1 ΔS1 D2 ΔS2 D1nΔS D2nΔS S ΔS
r r
a, a,
a r
U
U
验证：显然在球表面，内外侧的电位是相等的.
即：1 2
电磁场与电磁波
14
解法－2
利用“电位”定义——电场力做的功
(r)
E dl
场点r
r
Er
dr
设：导体球带电荷为Q E ar Er ?
球外(r>a)：
a1n
E1
做一条“闭合回路” —— h 0
1
a1n
Δl1
E1
2
a2n
E2
利用势能定理 E dl 0
a2n
E2
Δl2
1 2
c
E1 Δl1 E2 Δl2 E1t Δl E2t Δl 0
边界条件的作用：
确定方程的解中的待定因素； 使方程通解成为适用于具体问题的特解。
电磁场与电磁波
1
什么是边界条件？
边界条件就是不同介质(或导体)分界面两侧的 场量之间的关系。 边界的分类：
第1类: 已知整个边界上的电位
Dirichlet Problems 狄理赫利问题
第2类: 已知整个边界上电位的法导
电磁场与电磁波
8
电介质的边界条件-小结
1. 法向：
D1n D2n fc
2
2
n
1
1
n
fc
2. 切向：
E1 E2
1 2
电磁场与电磁波
9
讨论两个问题
边界条件的矢量表达
an
( D1
D2 )
S
an (E1 E2 ) 0
D1n D2n s ---界面上自由电荷面密度
电磁场与电磁波
‘n’ means normal. 4
1 ΔS1
a1n
D1
D1n D2n s
E
ΔS
2
2
D2
a2n
D
an
(E )
an
(
) an
E
1
4 0
r2
QaR
z
R
y
电磁场与电磁波
x
15
E
1
40 r 2
QaR
(r)
E dl
场点r
r Er dr ?
(r) |ra U Q ?
Q U
4 0 a
Q U 40a
(r) aU / r
E1t E2t
电磁场与电磁波
‘t’ means tangential.
7
a1n
Δl1
E1
1 “闭合回路” h 0
a2n
Δ
E2
Δl2
2
1 2
aΔh E dl 0
a
1 2
或者说：电位是场强的积分计算所得， 而积分式的值是连续的，不会突变； 故电位分布是连续的，即使在界面上亦如此。
Neumann Problems 纽曼问题
第3类: 已知部分边界电位+另一部分边界电位法导
Hybrid Problems 混合问题
电磁场与电磁波
2
回忆：静电场中的导体
“法拉第圆筒(Faraday’s Cylinder)”试验
1. 导体本身：等势体
2. 导体表面： Et 0
En
s 0
3. 导体内部：电场为零
n
2
2
n
1
1
n
s
电磁场与电磁波
5
讨论
D1n D2n s
2
2
n
1
1
n
s
界面上没有自由电荷时——
D1n D2n
1
1
n
2
2
n
导体表面 D2n 0
D1n s
电磁场与电磁波
6
2. 电介质的边界条件-切向
§2.7 静电场的边界条件
问题的提出
一般情况下求电位或场强 两个“方程”：
无源——Laplace’s Equation 有源——Poisson’s Equation
边值问题：在给定边界条件下求解偏微分方程。
Poisson’s Equation+边界条件 Laplace’s Equation +边界条件
tg1 1
tg2 2
电磁场与电磁波
11
例 2. 求电位时常会用到边界条件
已知：导体球，半径a，球体电位U(基准?) 求：球外的电位？ 分析：
对称性？——球对称！ 有几种方法可以求“电位”？
直接求解——积分或代数叠加 场强求电位 拉氏方程
电磁场与电磁波
12
解法－1
因为？？？ 2 0
思考并验证：Q‐表面电荷密度 电位‐表面电荷密度
Dn
n
电磁场与电磁波
16
又因为？？？ (r)
球座标系下展开： 2 1 d r 2 d 0
r 2 dr dr
直接积分得：
C1 r
C2
电磁场与电磁波
13
C1 r
C2
确定两个待定常数——边界条件
r 时 0，所以C2 0 r a时 U，所以C1 aU
边界条件中谁减谁的问题
电磁场与电磁波
10
E1n 2 E2n
E1t E2t
1
1
E1
E11
sin1 E2 E1 cos1
sin 2 2 E2
cos
2
E2 2
2