三角函数的几何意义.doc
【高中数学考点精讲】考点一 三角函数的定义域
考点19 三角函数的定义域、值域1、三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．注：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．（1）分式：分母不能为零；（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）（3）零次幂：中底数；（4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；（5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为若，则2、求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域(2)形如y＝a sinωx＋b cosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝A sin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)；对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；例如①（特别的可先用和差角公式展开化为y＝a sinωx＋b cosωx＋k的形式;②即逆用倍角公式化为y＝a sinωx＋b cosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合一次函数求最值。
总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数)(3)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制；对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。
=(4)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。
高中数学-三角函数知识点总结
三角函数知识点一、三角函数知识点 1.角的定义：（1）00~0360角的定义：从一点O 出发的两条射线OB OA ,所形成的图形叫做角，这点O 叫做角的顶点，射线OB OA ,叫做角的两边（2）任意角的定义：角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置OA 旋转到另一个位置OB 所形成的图形，端点O 叫做角的顶点，射线OA 叫做角的始边，射线OB 叫做角的终边2.规定：（1）正角：按逆时针方向旋转形成的角叫正角 （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫负角 （3）零角：一条射线不作任何旋转形成的角叫零角这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角，负角，零角 注：角的度量需注意：既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量3.终边相同的角：所有与α终边相同的角连同α在内组成的集合{}Z k k S ∈⋅+==,3600αββ 4.象限角和轴线角：将角放在直角坐标系中，让角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，则（1）象限角：角的终边落在第几象限，则称该角为第几象限角 （2）轴线角：角的终边落在坐标轴上，则称该角为轴线角 5.1º的角的定义：规定周角的3601为1度的角，记作：01，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制6.1弧度角的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad ，读作：1弧度，这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制7.弧度数（1）我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 （2）半径为R 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，则角α的弧度数为Rl=α，角α的正负由α终边的旋转方向决定注：弧度制与角度制区别：（1）弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，1弧度≠1度（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是周角的3601所对的圆心角的大小（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值 8.弧度制与角度制的换算（1）弧度制与角度制下的一些特殊角①角度制下零度的角：00，弧度制下零度的角：0rad ， 区别数值相同，单位不同 ②角度制下平角：0180，弧度制下平角：πrad ③角度制下周角：0360，弧度制下平角：2πrad （2）弧度制与角度制的换算①角度化成弧度：=0360 π2 ，0180 π2 ，01 01745.0 ②弧度化成角度：π2 0360 ，π 0180 ，rad 1 '01857 注：角度和弧度互化9.扇形的弧长公式和面积公式（1）角度制下扇形的弧长公式：180Rn l π=；扇形的面积公式：3602R n S π=（2）弧度制下扇形的弧长公式：R l α=；扇形的面积公式：Rl R S 21212==α10.角度制下和弧度制下轴线角和象限角的集合 （1）轴线角的集合①终边在x 轴的非负半轴上{}Z k k x x ∈⋅=,3600={}Z k k x x ∈=,2π②终边在x 轴的非正半轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,18036000={}Z k k x x ∈+=,2ππ ③终边在x 轴上{}Z k k x x ∈⋅=,1800={}Z k k x x ∈=,π④终边在y 轴的非负半轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,9036000={}Z k k x x ∈=,2π ⑤终边在y 轴的非正半轴上{}Z k k x x ∈-⋅=,9036000={}Z k k x x ∈+=,2ππ⑥终边在y 轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,9018000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,2ππ⑦终边在坐标轴上{}Z k k x x ∈⋅=,900=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k x x ,2π （2）象限角的集合①第一象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<⋅,90360360000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k x k x ,222πππ②第二象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,180360903600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,222ππππ③第三象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,2703601803600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,2322ππππ④第四象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,3603602703600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,22232ππππ ={}Z k k x k x ∈⋅<<-⋅,36090360000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-Z k k x k x ,222πππ11.两角的终边对称结论（1）α与β的终边关于x 轴对称Z k k ∈=+,2πβα （2）α与β的终边关于y 轴对称Z k k ∈+=+,2ππβα （3）α与β的终边关于原点轴对称Z k k ∈++=,2ππβα （4）α与β的终边共线Z k k ∈+=,πβα（5）α与β的终边关于直线x y =对称Z k k ∈+=+,22ππβα（6）α与β的终边关于直线x y -=对称Z k k ∈+=+,232ππβα （7）α与β的终边互相垂直Z k k ∈++=,2ππβα12．三角函数定义：（1）任意角的三角函数定义1：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边上任意一点P 的坐标为),(y x ，它到原点的距离022>+=y x r ，则 ①比值r y 叫做角α的正弦，记作αsin ，即=αsin r y ②比值r x 叫做角α的余弦，记作αcos ，即=αcos r x ③比值x y 叫做角α的正切，记作αtan ，即=αtan x y ④比值y x 叫做角α的余切，记作αcot ，即=αcot yx （2）任意角的三角函数定义2：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆的交点为P ),(y x ，则 ①=αsin y ②αcos x ③=αtan xy④=αcot y x三角函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，又由于角与实数是一一对应的，所以三角函数也可以看作是以实数为自变量的函数13.三角函数的定义域和值域三角函数定义域值域αsin =yR ]1,1[- αcos =y R]1,1[-αtan =y⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππR αcot =y{}Z k k x x ∈≠,πR14.三角函数值在各象限的符号αsin αcos αtan记法1：正弦上正，余弦右正，正切一三正 记法2：一全正，二正弦，三正切，四余弦 15.诱导公式：公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等角度制下 弧度制下=+⋅)360sin(0αk αsin =+)2sin(απk αsin =+⋅)360cos(0αk αcos =+)2cos(απk αcos =+⋅)360tan(0αk αtan =+)2tan(απk αtan =+⋅)360cot(0αk αcot =+)2cot(απk αcot公式二：角度制下 弧度制下=+)180sin(0ααsin - =+)sin(απαsin - =+)180cos(0ααcos - =+)cos(απαcos - =+)180tan(0ααtan =+)tan(απαtan =+)180cot(0ααcot =+)cot(απαcot公式三：角度制下 弧度制下=-)180sin(0ααsin =-)sin(απαsin =-)180cos(0ααcos - =-)cos(απαcos - =-)180tan(0ααtan - =-)tan(απαtan - =-)180cot(0ααcot - =-)cot(απαcot -公式四：角度制下 弧度制下=-)sin(ααsin - =-)sin(ααsin - =-)cos(ααcos =-)cos(ααcos =-)tan(ααtan - =-)tan(ααtan - =-)cot(ααcot - =-)cot(ααcot -公式五：角度制下 弧度制下=-)90sin(0ααcos =-)2sin(απαcos=-)90cos(0ααsin =-)2cos(απαsin-)90tan(0ααcot =-)2tan(απαcot=-)90cot(0ααtan =-)2cot(απαtan公式六：角度制下 弧度制下=+)90sin(0ααcos =+)2sin(απαcos=+)90cos(0ααsin - =+)2cos(απαsin -=+)90tan(0ααtan - =+)2tan(απαtan -=+)90cot(0ααcot - =+)2cot(απαcot -公式七：角度制下 弧度制下=+)270sin(0ααcos - =+)23sin(απαcos -=+)270cos(0ααsin =+)23cos(απαsin=+)270tan(0ααcot - =+)23tan(απαcot -=+)270cot(0ααtan - =+)23cot(απαtan -公式八：角度制下 弧度制下=-)270sin(0ααcos - =-)23sin(απαcos -=-)270cos(0ααsin - =-)23cos(απαsin -=-)270tan(0ααcot =-)23tan(απαcot=-)270cot(0ααtan - =-)23cot(απαtan -记忆口诀：奇变偶不变符号看象限 16.部分特殊角的三角函数：αcos21 22 23 1αtan/3-1-33- 017.三角函数线：（1）有向线段：当角α的终边不在坐标轴上时，我们把MP 、OM 、AT 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段规定：与坐标轴相同的方向为正方向（2）这几条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线注：（1）正弦线、余弦线、正切线分别解释了正弦函数x y sin =，余弦函数x y cos =、正切函数x y tan =的几何意义（2）正弦线、余弦线、正切线的方向与坐标轴正方向相同时，对应的三角函数值为正，与坐标轴正方向相反时，对应的三角函数值为负 18.同角三角函数的关系：（1）平方关系：1cos sin 22=+αα （2）商数关系：=αtan ααcos sin 、=αcot ααsin cos （3）倒数关系：1cot tan =αα 注意公式的变形：（1）1cos sin 22=+x x ⇒x x 22cos 1sin -=、x x 22sin 1cos -= （2）⇒=αααcos sin tan =αsin ααcos tan 、⇒=αααsin cos cot =αcos ααsin cot （3）ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -+的关系：①=+2)cos (sin ααααcos sin 21+ ②=-2)cos (sin ααααcos sin 21- ③=-++22)cos (sin )cos (sin αααα219.正弦函数x y sin =、余弦函数x y cos =、正切函数x y tan =的图像和性质 函数x y sin = x y cos = x y tan =图形定义域 RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ值域]1,1[-]1,1[-R最值当Z k k x ∈+=,22ππ时，有最大值当Z k k x ∈-=,22ππ时，有最大值当Z k k x ∈=,2π时，有最大值当Z k k x ∈+=,22ππ时，有最大值无最大值无最小值单调性在Zk k k ∈+-],22,22[ππππ上递增在Zk k k ∈++],232,22[ππππ上递减在Z k k k ∈-],2,2[πππ上递增在Z k k k ∈+],2,2[πππ上递减在Zk k k ∈+-),2,2(ππππ上递增奇偶性 奇函数偶函数奇函数周期性π2=Tπ2=Tπ=T 对称性关于Z k k x ∈+=,2ππ对称关于点Z k k ∈),0,(π中心对称关于Z k k x ∈=,π对称 关于点Zk k ∈+),0,2(ππ中心对称关于点Z k k ∈),0,2(π中心对称20.三角函数周期结论（1）函数B x A y ++=)sin(ϕω(其中0,≠ωA )的周期=T ωπ2函数B x A y ++=)cos(ϕω(其中0,≠ωA )的周期=T ωπ2函数)tan(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ （2）函数)sin(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ 函数)cos(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ 函数)tan(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ （3）函数B x A y ++=)sin(ϕω（其中0,,≠B A ω）的周期=T ωπ2函数B x A y ++=)cos(ϕω（其中0,,≠B A ω）的周期=T ωπ221.函数B x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 的图像的作法（1）图像变换法：函数B x A y ++=)sin(ϕω的图像可由正弦函数x y sin =经过一系列的变换得到：①先平移变换，再周期变换：x y sin =———————————→)sin(ϕ+=x y —————————→)sin(ϕω+=x y——————————→)sin(ϕω+=x A y ——————————→B x A y ++=)sin(ϕω ②先周期变换，再平移变换：x y sin =———————————→)sin(x y ω=——————————→)sin(ϕω+=x y——————————→)sin(ϕω+=x A y ——————————→B x A y ++=)sin(ϕω （2）五点作图法：函数B x A y ++=)sin(ϕω的图像画法：一个周期内起关键作用的五个点的横坐标可由=+ϕωx ππππ2,23,,2,0得到 22.函数变换结论： （1）平移变换01左右平移：①将函数)(x f y =的图象向左移a 个单位得函数)(a x f y +=的图象 ②将函数)(x f y ω=的图象向左移a 个单位得函数))((a x f y +=ω的图象02上下平移：将函数)(x f y =的图象向上移b 个单位得函数b x f y +=)(的图象（2）伸缩变换①函数)(x f y ω=的图象可由函数)(x f y =的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍得到 ②函数)(x Af y =的图象可由函数)(x f y =的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍得到 （3）翻折变换①函数)(x f y =的图象可将函数)(x f y =的图像y 轴右侧的图像保留，y 轴左侧的图像由y 轴右侧的图像沿y 轴翻折得到②函数)(x f y =的图象可将函数)(x f y =的图像在x 轴上方的图像保留，x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到 23.两个函数的对称性结论（1）函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称 （2）函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称 （3）函数)(x f y --=与)(x f y =的图象关于原点对称 （4）函数)(1x fy -=与)(x f y =的图象关于x y =对称（5）函数)2(x a f y -=与)(x f y =的图象关于a x =对称（6）函数)2(x a f y --=与)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称24.函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 的奇偶性结论 （1）函数)sin(ϕω+=x A y 为奇函数⇔Z k k ∈=,πϕ（2）函数)sin(ϕω+=x A y 为偶函数⇔Z k k ∈+=,2ππϕ（3）函数)cos(ϕω+=x A y 为奇函数⇔Z k k ∈+=,2ππϕ（4）函数)cos(ϕω+=x A y 为偶函数⇔Z k k ∈=,πϕ 二、三角变换25.两角和与差的正弦余弦正切公式：（1）=+)sin(βαβαβαsin cos cos sin +，记作)(βα+ S （2）=-)sin(βαβαβαsin cos cos sin -，记作)(βα- S （3）=+)cos(βαβαβαsin sin cos cos -，记作)(βα+C （4）=-)cos(βαβαβαsin sin cos cos +，记作)(βα-C （5）=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan tan -+，记作)(βα+T（6）=-)tan(βαβαβαtan tan 1tan tan +-，记作)(βα-T26.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）=α2sin ααcos sin 2（2）=α2cos αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-（3）=α2tan αα2tan 1tan 2- 注：二倍角公式的变形：（1）=+2)cos (sin ααααcos sin 21+；=-2)cos (sin ααααcos sin 21-（2）升幂缩角公式：=+αcos 12cos 22α；=-αcos 12sin 22α（3）降幂扩角公式：=α2sin 22cos 1α-；=α2cos 22cos 1α+ =α2sin 2α2cos 1-；=α2cos 2α2cos 1+27.半角公式：（1） =2sinα22cos 1α-±=2cosα22cos 1α+±=2tanααα2cos 12cos 1+-±（2）=2tanαααsin cos 1-=ααcos 1sin +28.辅助角公式： （1）=+θθcos sin b a )sin(22ϕ++x b a ，其中=ϕsin 22b a b +，=ϕcos 22b a a +（2）=+θθcos sin b a )cos(22ϕ-+x b a ，其中=ϕsin 22ba a +，=ϕcos 22ba b +29.万能公式=α2sin αα2tan 1tan 2+ =α2cos αα22tan 1tan 1+- =α2tan αα2tan 1tan 2- 30.积化和差公式=βαcos sin )]sin()[sin(21βαβα-++=βαsin cos )]sin()[sin(21βαβα--+ =βαcos cos )]cos()[cos(21βαβα-++ =βαsin sin )]cos()[cos(21βαβα--+-31.和差化积公式=+βαsin sin 2cos2sin2βαβα-+=-βαsin sin 2sin2cos2βαβα-+=+βαcos cos 2cos2cos2βαβα-+=-βαcos cos 2sin2sin2βαβα-+-。
锐角三角函数公式
• 利用正弦函数和余弦函数，计算电场强度和磁场强度 • 利用正切函数和余切函数，计算电场强度和磁场强度
04
锐角三角函数的计算器法与编程实现
计算器法求解锐角三角函数
利用科学计算器直接计算锐角三角函数的值
• 输入角的大小，直接计算正弦值、余弦值、正切值和余切值 • 利用计算器的其他功能，进行角度的转换和运算
角度和差公式
• 通过角度和差公式，将任意角与锐角联系起来 • 利用锐角三角函数的性质，推导出角度和差公式的三角函数表达式
03
锐角三角函数的应用
测量问题中的应用
测量高度
• 利用正切函数，计算物体的高度 • 利用余切函数，计算物体的高度
测量距离
• 利用正弦函数和余弦函数，计算物体的距离 • 利用正切函数和余切函数，计算物体的距离
解题技巧
• 利用三角函数的性质，简化计算过程 • 通过角度的转换，将复杂问题转化为简单问题
锐角三角函数的学习方法与建议
学习方法
• 理解锐角三角函数的定义与性质，掌握公式的推导过程 • 熟练掌握锐角三角函数的应用，解决实际问题
学习建议
• 多做练习，提高计算能力和解题技巧 • 注重归纳总结，形成完整的知识体系
余弦函数的取值范围与特殊值
• 取值范围：[-1, 1] • 特殊值：cos(0) = 1, cos(π/2) = 0, cos(π) = -1
余切函数的取值范围与特殊值
• 取值范围：实数集 • 特殊值：cot(0) = ∞, cot(π/2) = 0, cot(π) = -1
02
锐角三角函数的公式推导
正弦公式与余弦公式的推导
正弦公式的推导
• 利用单位圆的性质，将圆周角与弧度制联系起来 • 通过正弦函数的定义，将正弦值与单位圆上的点联系起 来
三角函数的余弦定理
三角函数的余弦定理三角函数的余弦定理，也称为角余弦定理，是用来计算三角形的边长或角度的重要公式。
它可以通过三角函数中的余弦函数来描述三角形的边与角之间的关系。
下面将详细介绍三角函数的余弦定理及其应用。
一、三角函数的余弦定理的表达式三角函数的余弦定理可以用下面的表达式表示：c² = a² + b² - 2ab·cosC其中，a、b、c分别表示三角形的任意两边和斜边的长度，C表示斜边所对应的角的度数。
二、应用举例1. 已知两边和夹角，计算第三边的长度假设我们已知一个三角形的两边a和b的长度，以及它们之间的夹角C的度数，我们可以利用余弦定理来计算第三边c的长度。
首先，根据余弦定理的表达式，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC然后，将已知的数值代入上述公式，即可计算出第三边c的长度。
例如，已知一个三角形的两边分别为a = 5cm，b = 7cm，夹角C = 60°，我们可以利用余弦定理来计算第三边c的长度。
c² = 5² + 7² - 2×5×7·cos60°= 25 + 49 - 70·0.5= 25 + 49 - 35= 39因此，第三边c的长度为√39 cm。
2. 已知三边长度，计算夹角的度数除了可以通过已知两边和夹角来计算第三边的长度外，我们还可以利用余弦定理来求解三角形夹角的度数。
假设我们已知一个三角形的三条边a、b、c的长度，我们可以利用余弦定理计算出夹角C的度数。
首先，根据余弦定理的表达式，我们可以得到：cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)然后，将已知的边长代入上述公式，并通过反余弦函数来计算出夹角C的度数。
例如，已知一个三角形的三边分别为a = 3cm，b = 4cm，c = 5cm，我们可以利用余弦定理来计算夹角C的度数。
三角函数讲义(适用于高三第一轮复习)
三角函数1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αα αααtan cos sin = 2．诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限）ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtan )tan(=+ ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=-ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(-=+ ααπcos )2sin(=-ααπsin )2cos(=- ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- 3．两角和与差的公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-4．倍角公式 αααcos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=αααααααα2tan 1tan 22tan -=5．降幂公式 22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= ααα2sin 21cos sin =6．幅角公式 x b x a ωωcos sin +)sin(22ϕω++=x b a ，其中ab=ϕtan8．补充公式 ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， 2cos2sinsin 1ααα±=±知识点睛一．三角函数的图象与性质图象]1,1[-]1,1[-最值 当且仅当22ππ+=k x 时取到最大值1；当且仅当22ππ-=k x 时取到最小值1-当且仅当πk x 2=时取到最大值1；当且仅当ππ-=k x 2时取到最小值1-周期 最小正周期为π2最小正周期为π2奇偶性 奇函数偶函数单调性在]22,22[ππππ+-k k 上单调增； 在]232,22[ππππ++k k 上单调减在]2,2[πππk k -上单调增； 在]2,2[πππ+k k 上单调减 对称轴2ππ+=k x ；对称中心)0,(πk对称轴πk x =；对称中心)0,2(ππ+k说明：表格中的k 都是属于Z ，在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量选择正的。
余弦定理的几何意义
余弦定理的几何意义余弦定理是三角函数中的重要公式，它描述了一个三角形的边长和夹角之间的关系。
在数学中，我们通常使用余弦定理来计算一个三角形的某个边长或夹角。
但是，除了数学上的应用外，余弦定理还有许多几何意义。
一、余弦定理的定义和公式在介绍余弦定理的几何意义之前，我们先来看一下它的定义和公式。
对于一个三角形ABC，其三条边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C。
则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab cosC其中cosC表示∠C的余弦值。
二、余弦定理的几何意义1. 用于测量距离和高度余弦定理可以用于测量两点之间的距离和物体高度等问题。
例如，在平面直角坐标系中，已知两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)这个公式可以通过余弦定理来推导得出。
将点A看作三角形ABC中∠C所对应的顶点，则AB就是三角形的斜边c，而AC和BC则是三角形的两条直角边a和b。
因此，可以通过余弦定理来计算AB的长度。
同样地，余弦定理也可以用于测量物体高度。
例如，在一个平面上已知一个物体的高度h和距离d，则可以通过以下公式计算出物体与观察者之间的夹角θ：cosθ = h/d这个公式也可以通过余弦定理来推导得出。
2. 用于求解三角形的不等式在三角形中，任意两边之和大于第三边。
这个不等式被称为三角形不等式。
利用余弦定理，我们可以将三角形不等式表示为：a +b > cb +c > ac + a > b这个不等式可以帮助我们判断一个给定的三边长度是否能够构成一个三角形。
3. 用于计算向量之间的夹角在向量运算中，我们经常需要计算两个向量之间的夹角。
利用余弦定理，我们可以将两个向量A和B之间的夹角表示为：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)其中，A·B表示向量A和向量B的数量积（点积），|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。
高三理数一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
-23-
(2)由题意,得 sin x≥√23,作直线 y=√23交单位圆于 A,B 两点,连 接 OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终
Байду номын сангаас
边的范围,故满足条件的角 x 的集合为
������
2������π
+
π 3
≤
������
≤ 2������π +
2π 3
,������∈Z
考点1
考点2
考点3
-18-
(3)方法一(角的集合表示):
∵2kπ+π<α<2kπ+32π(k∈Z),
∴kπ+π2
<
������ 2
<kπ+34π
(k∈Z).
当
k=2n(n∈Z)时,2nπ+π2
<
������ 2
<2nπ+34π
,
������ 2
是第二象限角;
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+3π < ������<2nπ+7π , ������是第四象限角.
-12-
知识梳理 双基自测
12345
5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ
的终边一定落在第
象限.
关闭
由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半 轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边
.
思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知角
三角函数
根本停不下来——高一数学知识梳理（2）【三角函数的概念】1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式：1．一个区别：“小于90°的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：小于90°的角的范围：⎝⎛⎭⎫－∞，π2，锐角的范围：⎝⎛⎭⎫0，π2，第一象限角的范围：⎝⎛⎭⎫2k π，2k π＋π2(k ∈Z )．所以说小于90°的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立．2．三个防范：一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角；二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角α的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解. 【练一练】1、已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z ，判断两集合的关系．【答案】β＝－675°或β＝－315° ;M ⊂≠N .2、已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝ 【答案】±3 3、已知点P (sin 34π,cos 3)4π落在角θ的终边上,且[02θ∈,π),则θ的值为 【答案】74π 4、已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．【答案】12.5、已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ 【答案】r ＝10，θ＝2【同角三角函数的基本关系式与诱导公式】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．三角函数的诱导公式1.一点提醒:平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π2＋k π，k ∈Z ．2．两个防范:一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定． 【练一练】1．已知tan 2x =，则2sin 1x += 【答案】952．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.则tan α= 【答案】－43.3．已知sin θ·cos θ＝18，且π4＜θ＜π2，则cos θ－sin θ的值为________．【答案】－324．已知tan α＝－43，则1cos 2α－sin 2α= 【答案】－257.5.= 【答案】26．已知A ＝k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 【答案】{2，－2} 7．若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________.【答案】128．若sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝ 【答案】35【三角函数的性质】1．周期函数(1)周期函数的定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．一点提醒 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解． 2．三个防范 一是函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y 轴的直线，如y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π，而不是x ＝2k π(k ∈Z )．二是对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数 三是函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的最大值为1，最小值为－1，不存在一个值使sin x ＝32，【练一练】1、函数f (x )＝cos πx 2cos π(x －1)2的最小正周期为________．【答案】22、将函数y ＝sin(2x ＋φ) 02πϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ= 【答案】4π 3、已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象的一条对称轴方程是 【答案】x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )4、函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为_______ _．【答案】⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π85、函数()cos 22sin f x x x =+，3,)24x ππ∈（的值域为 【答案】(6、函数(sin 2)(cos 2)y x x =--的值域是 【答案】⎡⎣7、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈[0，π))的图像如图所示．(1) 求f (x )的解析式及单调增区间(2) 求函数g (x )＝f (x )＋3f (x ＋2)在x ∈[－1,3]上的最大值和最小值．【答案】（1）f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2) 最大值6；最小值－3 3.【y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质】1．“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为： (1)定点：如下表所示.周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象． 2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．【注意】1．图象变换两种途径的区别由y ＝sin x 的图象，利用图象变换作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)(x ∈R )的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是|φ|ω个单位．2．两个防范 一是平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；二是解决三角函数性质时，要化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，但最大值、最小值与A 的符号有关，如(4)；而y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半个周期 【练一练】 1、函数3sin()226x y π=+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ． 【答案】32；14π；26x π+；6π。
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数1.引言1.1 概述概述部分是整篇文章的开篇，用于介绍文章的主题和背景。
在编写概述时，可以包括以下内容：三角函数是数学中的重要概念之一，它在几何、物理、工程等领域中广泛应用。
作为初等函数的一部分，三角函数在数学中有着重要的地位和作用。
本文旨在探讨三角函数作为属于初等函数中的超越函数的特性和性质。
三角函数的定义和性质是我们深入了解它们的基础，而它们的图像和周期性则能直观地展示它们的变化规律和特点。
三角函数和初等函数之间的关系是我们在研究三角函数时需要了解的重要内容。
同时，三角函数的超越性质也是我们关注的重点，这一特性表明三角函数在某些情况下无法用有限次四则运算和根号运算表示，具有一定的复杂性和特殊性。
通过对三角函数的研究，我们可以更好地理解数学中复杂函数的性质，提高问题处理的能力。
同时，对于数学教学和应用领域中的相关问题，深入理解三角函数的超越性质也有着重要的指导意义。
在接下来的正文部分，我们将详细介绍三角函数的定义和性质，并通过图像和周期性的展示来加深理解。
最后，我们将总结三角函数与初等函数的关系，并详细分析三角函数的超越性质。
通过本文的阐述，相信读者能够对三角函数有更加全面和深入的认识。
1.2文章结构1.2 文章结构本文按照以下结构进行探讨三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数：第一部分，引言。
本部分包括概述、文章结构和目的。
首先，我们将简要概述本文要讨论的主题——三角函数在数学中的地位。
随后，给出文章的整体结构安排，以便读者能够清晰地理解全文内容。
最后，明确这篇文章的目的，也就是要阐述三角函数为何被归类为初等函数中的超越函数。
第二部分，正文。
本部分将分为两个小节，分别探讨三角函数的定义和性质，以及三角函数的图像和周期性。
首先，我们会详细介绍三角函数的定义，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
同时，会介绍它们的基本性质，比如定义域、值域、奇偶性和周期等。
三角函数的引入与运算
三角函数的引入与运算三角函数是数学中的一种重要概念，它与三角形的形状和角度之间有着密切的关系。
通过引入三角函数，我们可以更好地描述和解决与三角形相关的各种问题。
本文将介绍三角函数的引入过程以及其常见的运算方法。
一、三角函数的引入1.1 弧度制与角度制在引入三角函数之前，我们需要先了解角度的一种度量方式——角度制和弧度制。
角度制是我们生活中常用的度量方式，将一个圆周等分为360个单位，称为360度。
而弧度制是一种更为精确和方便的度量方式，它以圆的半径长度为单位，将圆周等分为2π个单位，其中π约等于3.14159。
1.2 正弦、余弦和正切函数的引入引入三角函数的第一步是定义正弦、余弦和正切函数。
以单位圆上的一个点P(x, y)为例，其中x和y分别表示点P到圆心的水平和垂直距离。
根据三角形的性质，将这个点与圆心和x轴上的点A(1, 0)连接，可以得到一个直角三角形。
定义正弦函数sinθ为点P到x轴的垂直距离y与线段AP的长度1的比值，即sinθ=y/1=y；定义余弦函数cosθ为点P到x轴的水平距离x与线段AP的长度1的比值，即cosθ=x/1=x；定义正切函数tanθ为点P到x轴的垂直距离y与水平距离x的比值，即tanθ=y/x。
这样，我们就引入了三角函数的概念，并将其几何意义与三角形的角度联系了起来。
二、三角函数的运算在引入三角函数之后，我们需要学习如何进行三角函数的运算。
下面将介绍三角函数的加减乘除以及反函数的运算方法。
2.1 三角函数的加减运算给定两个角α和β，我们可以通过三角函数的加减运算得到它们的和、差的函数值。
正弦函数的加减运算：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ；余弦函数的加减运算：cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ；正切函数的加减运算：tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)。
三角函数余弦函数的性质与图像
2023-11-04
目 录
• 三角函数概述 • 余弦函数概述 • 余弦函数的对称性与最值 • 余弦函数的导数与积分 • 余弦函数的实际应用 • 余弦函数与其他数学知识的联系
01
三角函数概述
定义与性质
01
定义
三角函数是正弦、余弦和正切函数的统称，它们是定义在单位圆上的
应用
导数在几何学、振动分析和曲线拟合等领域有广泛应用。例如， 在振动分析中，余弦函数的导数可以描述振动的加速度。
积分
定义
余弦函数的积分定义为 `F(x) = -cos(x)`。
性质
余弦函数的积分在区间 `(0, 2π)` 上是周期函数，周期为 `2π`。此外，余弦函数的积分在区间 `(0, π)` 上是单调递减的，而 在区间 `(π, 2π)` 上是单调递增的。
与线性代数的联系
向量表示
余弦函数可以用于表示向量空间中的向量 。
矩阵变换
余弦函数可以用于进行矩阵的旋转和缩放 等变换。
正交性
余弦函数与其他三角函数的组合具有正交 性，即它们的内积为零。
与复变函数的联系
解析性质
余弦函数在复平面上是解析函数，即其导 数存在且连续。
复数表示
余弦函数可以表示为复平面上的复数形式 。
应用
积分在解决初值问题、求解面积和体积以及信号处理等领域有广泛应用。例如，在信号处理中，余弦函数的积分可以描述 信号的幅度。
微分方程
定义
性质
应用
微分方程是包含未知函数及其 导数的等式。在三角函数中， 微分方程通常用于描述振荡、 波动等自然现象。
余弦函数是一类特殊的三角函 数，它们满足一些微分方程。 例如，余弦函数及其导数满足 以下微分方程：`(d^2/dx^2 sin^2(x))y = 0`。
双曲函数和三角函数
三角函数的定义直角坐标系中定义直角三角形定义a, b, h 为角A的对边、邻边和斜边在笛卡尔平面上f(x) = sin(x) 和f(x) = cos(x) 函数的图像。
单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。
它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，单位圆的等式是：x2+y2=1对于大于 2π或小于−2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：级数定义只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。
（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。
我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立：这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。
它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。
这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。
在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。
在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。
从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。
它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。
与指数函数和复数的联系可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。
在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。
单位圆内三角函数的三个定义
单位圆内三角函数的三个定义三角函数是高中数学中的重要内容，学生们都要熟练掌握。
而单位圆内三角函数是三角函数的一种扩展形式，可以更好地帮助学生理解三角函数的定义和性质。
本文将详细介绍单位圆内三角函数的三个定义，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
一、正弦函数定义正弦函数是指将角度表示成弧度制时，在单位圆上从原点开始到与终点P垂直的线段PN的长度。
即sinθ = PN，其中θ表示角度。
在单位圆上，点P的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。
正弦函数反映了角度变化时在y轴上对应点所对应的值的变化，因此，正弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1,1]。
二、余弦函数定义余弦函数是指将角度表示成弧度制时，在单位圆上从原点开始到点P 的横坐标。
即cosθ= PX，其中θ表示角度。
在单位圆上，点P的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。
余弦函数反映了角度变化时在x轴上对应点所对应的值的变化，因此，余弦函数的定义域为实数集合R，值域为[-1,1]。
三、正切函数定义正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，其形式神似，但是正切函数则是另外一种定义方式。
正切函数定义为正切θ = sinθ / cosθ，其中θ表示角度。
在单位圆上，正切θ等于直线y=sinθ与直线x=cosθ交点的斜率。
因此，正切函数的定义域为实数集合R，值域为R。
不同于正弦和余弦函数的是，正切函数有一些性质不同寻常的特点。
当θ的值为90度或270度时，余弦函数为0，而由于正切函数为sinθ / cosθ，因此此时定义不成立，值变成无限大或无限小。
因此，我们需要在使用正切函数的时候格外小心。
综上所述，单位圆内三角函数的三个定义分别是：正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们可以帮助我们更深入地理解三角函数的定义和性质，特别是对于正弦函数和余弦函数这两个最基本的三角函数，我们在学习中应该注重其几何意义，结合具体题目来巩固掌握。
同时，在使用正切函数时也要注意其一些特殊的性质，避免因为定义不成立而导致错误的结果。
第2讲 三角函数的图象及性质
结合正弦函数、余弦函数的图象,同时注意考虑所有可能情况,避免漏解.
(3)若函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点,求b-a的最大值.
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解析
(1)由图象可得A=2,
T 4
=
3
-
12
=
2
4ω
,则ω=2,所以f(x)=2sin
2x
3
.
(2)令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得-5 +kπ≤x≤ +k高π考,k导∈航Z,
即g(x)在
4
,
3
4
上的值域为
3 2
,
3
.
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题型二 由三角函数的局部图象求解析式并研究其性质
例2
(2018江苏扬州中学阶段测试)已知函数f(x)=Asin
ω高x考导3航(A>0,ω>0)的
部分图象如图所示.
(1)求A和ω的值;
(2)求函数y=f(x)在[0,π]的单调增区间;
=cos 2x-
3
sin
2x+2=2cos
2x
3
+2,当2x+
3
=2kπ+π(k∈Z),即x=kπ+
3
(k∈Z)
时,f(x)取得最小值0.
此时,自变量x的取值集合为
x
|
x
k
π 3
,
k
Z.
(2)因为f(x)=2cos
2x
3
+2,
令π+2kπ≤2x+ ≤2π+2kπ(k∈Z),
兀的三角函数值
兀的三角函数值三角函数是数学中常用的函数，它们描述了在直角三角形中与直角边相关的角度的变化情况。
其中，最常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在本文中，我们将讨论兀的三角函数值，即在某些特殊情况下，三角函数的值可以表示为 $\pi$ 的倍数加上兀。
我们将分析兀的三角函数值的性质，并给出它们的几何意义。
通过对兀的三角函数值的讨论，我们能够更好地理解三角函数的性质，并运用它们来解决实际问题。
1. 什么是兀的三角函数值兀的三角函数值是指在某些特殊情况下，三角函数的值可以表示为 $\pi$ 的倍数加上兀。
兀是什么呢？兀是一个无限小的数，符号为 $\omega$。
它的定义是：如果存在一个数$x$，使得 $x = \pi + \omega$，那么 $x$ 称为兀。
也就是说，兀是 $\pi$ 的一个无限小的补数。
那么，兀的三角函数值就是将三角函数的值加上 $\omega$ 后的结果。
例如，当角度为$\pi/6$ 时，正弦函数的值为 $\frac{1}{2}$，那么兀的正弦函数值就是 $\frac{1}{2}+ \omega$。
兀的三角函数值在数学中并不常见，但是在一些特殊情况下，它们可能会出现。
例如，在解决某些微积分问题时，可能会使用兀的三角函数值来解决。
因此，了解兀的三角函数值的性质和几何意义是很有必要的。
2. 兀的三角函数值的性质兀的三角函数值的性质指的是，在某些特殊情况下，三角函数的值可以表示为 $\pi$ 的倍数加上兀后的性质。
首先，对于任意的角度 $x$，兀的三角函数值都是有界的。
因为兀是一个无限小的数，所以兀的三角函数值也是无限小的。
因此，兀的三角函数值都是有界的。
其次，对于任意的角度 $x$，兀的三角函数值都是周期性的。
具体来说，对于正弦函数和余弦函数，它们的周期为 $2\pi$；对于正切函数，它的周期为 $\pi$。
因此，兀的三角函数值也具有周期性。
此外，兀的三角函数值还具有对称性。
高中数学三角函数值
高中数学三角函数值三角函数是数学中的一种特殊函数，它也是高数中最重要的学习内容之一。
通过三角函数，可以描述出更加复杂的函数，又因为它具有特殊的形式，所以可以极大地拓展数学解决问题的能力。
下面，让我们来详细讨论以下常用的三角函数：1.正弦函数（sine）:正弦函数是在三角函数中最常见的，它描述一个倾斜在X轴正方向的三角形和Y轴的关系，可用y = sin x表示，sin x的值是介于-1 和1. 在高中随着学习的深入，我们将会学习正弦的展开式，通过它，我们可以计算sin x的值，而且有时还可以用于解决其它三角函数问题。
2.余弦函数（cosine）:余弦函数表示一条对X轴垂直的三角形和和Y轴的的关系，可用y = cos x表示，cos x的值也介于-1 和 1 之间。
在学习中，我们可以用余弦定理计算cos x的值，或者学习余弦展开式计算cos x的值。
3.正切函数(tangent):正切函数就是用来表示直角三角形中Y轴和斜边的关系，可用y = tan x表示，其值也在 -∞ 和+∞ 之间。
在高等数学中，我们会学习正切的展开式，使用它来解决复杂三角函数问题。
4.反正弦函数(arcsine):反正弦函数是以sin x为基础，可用y = arcsin x来表示，反正弦函数可以求出x为何值时，sin x 才能等于y 的值。
5.反余弦函数(arccosine):反余弦函数是以cos x为基础，可用 y = arccos x来表示，反余弦函数可以求出x为何值时，cos x 才能等于y 的值。
6.反正切函数(arctangent):反正切函数是以tan x 为基础，可用 y = arctan x 来表示，反正切函数可以求出x为何值时，tan x 才能等于y 的值。
以上就是常用的几种三角函数。
它们的几何意义比较明显，在不同的数学问题中，都可以灵活运用它们，大大增加我们数学解决问题的能力。
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三角函数的几何意义
——三角函数线导学
一、教材分析
正弦线、余眩线、正切线分别是正眩、余弦、正切函数的一种几何表示.这三种线段都是与单位圆有关的有向线段.一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段就被看作带有方向，于是把它叫做有向线段.表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母.当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向（从起点向终点）与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数.学生将来学习解析儿何时，上述“数轴”可推广为与任何方向（即不限于水平和垂直方向）的有向线段平行的任一“有向直线”.
与单位圆有关的某些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值，称它们为三角函数线（分别叫做正眩线、余弦线、正切线……）.三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.为此可以这样规定: 凡含原点的线段，均以原点为起点；不含原点的线段，均以此线段与坐标轴的公共点为起点.教科书中只介绍了正弦线、余弦线、正切线，其他三角函数线不宜向学生介绍.只作课外阅读。
在学习这一部分内容时，一定要紧密结合教科书屮的图 4 —12,并强调：正弦线、正切线的方向与y轴一致，向上为正，向下为负，它们的数值分别等于角Q的正弦值、正切值; 余弦线的方向与x轴一致，向右为正，向左为负，它的数值等于角a的余弦值.这里的关键是讲清以下三个式子的全部含义:
y y sin CL = —= — =y = MP,
x x cos Q = — = — = x = OM, tan a =y = ^ = ^ = AT. x OM OA
此外，作正切线时，必须使AT (这里起点A —定是单位圆与x 轴的非负半轴的交点)在 点八处与单位圆相切，终点T 是切线与角a 的终边的交点.
二、要点解读
(1)三角函数线
虽然在初中你已经在使用了正弦、余弦、正切等三角函数的名称，但是你未必了解这些 名称的来历，也许还有点纳闷，为什么用这些与圆密切相关的函数名称？其实这些函数名称, 是从儿何上来的，因为各三角函数值，都有它的儿何意义.
对已经给定的角a (暂时先考虑为第一象限角)，在它的终边上取点P(x,y)f 使O 片1,以 OP 为半径厂作一个圆(习惯上，称半径等于单位长度1的圆为单位圆，见图4-22),交兀轴
I y
的正半轴于点 f A 过点A 作单位圆的切线，与OP 的延长线
交于点T.据三角函数的定义 MP=y= sin a,
BP= OM=x= cosa ；
乂因为RiAOAT^RlAOMP 相似，所以 虫=竺=厶
盹， OA OM x
即 tana=AT. 上面讨论表明，角a 三角函数值，是这个角在一个以顶点为圆心的单位圆上所截取的一 些线段的长：
sincr=MP, cosa=(BP=)OM, tan a= AT.
下面我们來看一看，这些线段表示什么.MP 是过P 、与角。
始边垂直的弦(sine),垂 直又称正交，因此MP 是正交弦，简单一点，就命名线段MP 为正弦线；是与角。
的始 边垂直(正交)的切^(tangent).因此命名它为正切线；至BP=O M 则是对a 的余角作同样 解释的结果，因此线段名称应为“余角正交弦"，也简化一下，就称为余弦^(cosine).因为 三角函数值正好是这些命名线段的长度，顺理成章地就成为相应函数的名称了，同时简化的 英文名称也就被采用为函数符号.以后我们把正弦线MR 正切线余弦线通称三 角函数线.因为OM=EP,在习惯上，是把线段OM 称作
\ M ] x
图 4-22
余弦线的，这虽然在几何上有点说
MP、OM、AT.在这里需要注意一点，角角a的切线，总是在单位圆周与角的始边的交点4处引出的，因此此时的正切线是在角曲边的反向延长线上.当角到了第二、三、四象限，三角函数值可以是负的，例如图4-23中的cosavO,而线段长度
总是非负的，例如cosa=OM,如何来解决这个矛
盾呢？在这里我们引进一种带有方向的有向线段, 图4-
23并规定如果线段取正方向，则它表示的数量
不通，但既然习惯如此，你以后也只能认可了.
（2）有向线段
当a为第二、第三或第四象限角时，角a也能在单位圆上割取三条线段，如图4-22所示, 第二象限角a也割取了线段
就是它的长度，如果取负方向，则它表示的数量是一个绝对值为长度的负数.解决“三角函数值可以正负、三角函数线长度只能是正''这对矛盾的出路，正在于这种有向线段.我们只要认为所谓正弦线、余眩线等三角函数线都是有向线段就行了.
具体地说，我们规定所有三角函数线都是有向线段；正弦线从M到P,正切线从4到T, （见图4-22,图4-23）,正向向上；余弦线从O到M,正向向右.
按这样的规定，再来看图4-23.在那里角a是第二象限角，sina>0, cosavO, tanavO, 正弦线MP 向上是正的，正切线AT向下是负的，余弦线OM向左是负的.三角函数值的符号与三角函数线的数量，就完全统一了.
注意，上面讨论中，我们都默认了所论的角不是界限角.如果角a是界限角情况会怎样，你不妨对其作一番考察.
最后，要说一下你今后经常有用的事实.从图4-22和图4-23可见，任何一个角弘其终边与单位圆的交点P的坐标，总是Rcosa, sina）・
阅读材料（余切、正割和余割的几何意义）
在三角函数定义时，除了正弦、余眩和正切外，还有余切、正割和余割函数，它们的几何意义如何？其实由角a及其余角的始终边，在单位圆上割取的线段，共有六条，除了正文中已经提到的AR正弦线）,ER余弦线）,4人正切线）外，还有余角的切线刃八、切线在OP
延长线上割取的线段O7\ 0八（见图4-24）, 它们也是
有向线段，依次称为余切线、正割线和余割线.余切
cota>正切sec a、余割csca的的几何意义，正好是余
切线、正割线和余割线. 你可以自己论证一下，在适
当规定了这些有向线段的正向后，cota、seca、csca的
函数值与余切线、正割线和余割线的值是一致的.
图4-
24。