函数与导数复习教案
高中生数学函数与导数教案
高中生数学函数与导数教案主题：函数与导数目标：学生能够理解函数的概念并能够计算函数的导数。
教学内容：1.函数的概念及表示方法- 定义：函数是一种对应关系，每个自变量对应一个因变量- 表示：y=f(x) 或 y = g(x)2. 导数的概念- 定义：导数表示函数在某一点的变化率- 计算方法：极限或导数公式3. 导数的性质- 导数的加法性- 导数的乘法性- 导数的链式法则4. 导数的应用- 切线斜率- 极值与拐点- 函数图象的特征教学活动：1. 导入：通过实际例子引入函数的概念，如y=2x+12. 概念讲解：讲解函数的定义及导数的概念，引导学生理解相关性质3. 计算练习：让学生进行函数导数的计算练习，包括简单的函数及复合函数的导数计算4. 应用实例：通过实际问题引入导数的应用，如求某点切线斜率、寻找函数的极值等5. 总结：总结函数与导数的重要概念及应用，并提醒学生学习时的重点评价方式：1. 课堂表现：学生对函数与导数的概念理解及计算能力2. 作业表现：检查学生对函数与导数的应用能力及解题技巧3. 测验成绩：考察学生对函数与导数的综合理解与运用能力扩展活动：1. 拓展应用：让学生自行查找函数与导数在实际生活中的应用，并进行展示和交流2. 研究探讨：组织学生进行导数性质的深入探讨，如高阶导数、导数与微分等相关概念的研究参考资源：1. 《高中数学教科书》2. 《高中数学辅导资料》3. 在线数学学习平台，如Khan Academy、百度文库等备注：教师可根据学生的实际情况对教案进行调整，确保教学内容能够符合学生的学习需求。
导数的复习教案
导数综合复习导学案（一）泸县九中数学组 彭勇学习目标：1.理解并掌握导数的概念及几何意义2.能够掌握并灵活运用求导公式求各种函数的导数3. 能够利用导数求函数的单调性及极值最值。
教学重点与难点1.能够掌握并灵活运用求导公式求各种函数的导数2.能够利用导数求函数的单调性及极值最值。
教学课时：2课时教学准备 编写导学案，制作课件 课前热身1. 函数f (x )=2x ，则 f '(－4)=________.2. 函数f (x )= x-1 ，则f '(－3)=________.3.函数f (x )=x x ln ，则f '(1)=________.4.函数f (x )= cosx ，则f '（6∏）=________.5．函数y ＝2x （2－x ) 的导数为__________ 6．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为____________7．已知f (x )＝a 3x ＋32x ＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于__________ 8．已知f (x )＝13－8x ＋x 2，且)(o x f '＝2.则o x ＝____9、如果质点A 按规律S=2t3运动，则在t=3秒时的瞬时速度为( ) (A) 6 (B) 18 (C) 54 (D) 81导数的应用一 导数的几何意义 切线问题1(1) 曲线y=x3+x+1在点(1,3)处的切线方程是 ；*(2) 已知函数y=x3-3x ，过点P(-2,6)作曲线的切线的方程 ．2．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－5*变式1* 抛物线y =x 2上的点P 到直线x －y －2=0的距离最短，则点P 的坐标为__，最短距离为_____..23.32的距离的最小值到直线上任意一点，求点是曲线点+=+=x y P x y P导数的应用二 单调性问题一、函数的单调性判定方法 在某个区间（a,b ）内，如果)(x f '>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果)(x f '<0 ，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减。
高三数学第二章函数+导数高考一轮复习教案2.9对数函数 教案
对数函数一、学习目标：1.掌握对数函数的概念、图象和性质；2.能利用对数函数的性质解题． 热点提示：1.对数函数在高考中重点考查的是它的图像、性质及其简单应用，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主2.以小题的形式考查对数函数的图像、性质，也可能与其他知识结合，以解答题出现，属中低档题本节重点：运用对数函数的图象、性质解题． 二、知识要点：1.对数函数的概念、图象和性质：①)10(log ≠>=a a x y a 且 的定义域为+R ，值域为R ；②b a log 的符号规律：同X 围时值为正，异X 围时值为负。
③)10(log ≠>=a a x y a 且的单调性：1>a 时，在()+∞,0单增，01a <<时，在()+∞,0单减。
④)10(log ≠>=a a x y a 且的图象特征：1>a 时，图象像一撇，过()1,0点，在x 轴上方a 越大越靠近x 轴； 01a <<时，图象像一捺，过()1,0点，在x 轴上方a 越小越靠近x 轴。
⑤“同正异负“法则：给定两个区间()0,1和()1,+∞，若a 与x 的X 围处于同一个区间，则对数值大于零；否则若a 与x 的X 围分处两个区间，则对数值小于零.2.指数函数x y a =与对数函数log a y x =图像关于y=x 对称；主要方法：1.解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2.解决对数不等式、对数方程时，要重视考虑对数的真数、底数的X 围；3.对数不等式的主要解决思想是对数函数的单调性。
三、课前检测：1（09理）为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 （ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2（09全国理）设323log ,log 3,log 2a b c π===，则( )A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>3.(08某某卷）函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是( )4.（08某某)已知1249a =(a>0) ，则23log a = 四．典型例题;热点考向一:对数的化简与求值例1：（1）化简：40lg 50lg 8lg 5lg 2lg --+（2）化简;4lg 35.02+例2：求下列函数的值域 ：()1()212log 32y x x =+-； ()2()22log 24x y x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（x ≥1）例3()1不等式1log (6)32x x++≤的解集为()2若不等式2log a x x -≤0在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内恒成立，则a 的取值X 围是（ ） .A 116≤1a <.B 1116a <<.C 0a <≤116.D 1016a <<热点考向二:比大小例4（1）已知函数()lg f x x =，若11a b c>>>，则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次为（2）设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则()3若21a b a >>>，则log bba，log b a ，log a b 从小到大依次为（4）已知1122log log 0m n <<，则( ).A 1n m <<.B 1m n <<.C 1m n <<.D 1n m <<热点考向三:对数函数的性质的应用例5：（1）设函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，求a 的值 （2)若函数)1,0( )2(log )(2≠>+=a a x x x f a 在区间)21,0(内恒有()0f x >，求()f x 的单调递增区间例6：设,a b R ∈且2a ≠，定义在区间(),b b -内的函数1()lg12axf x x+=+是奇函数. ()1求b 的取值X 围；()2讨论函数()f x 的单调性.五当堂检测1.函数y =212log (617)x x -+的值域是2.若定义在区间()1,0-内的函数2()log (1)a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值X 围是3.若函数log ()a y x b =+(0,1)a a >≠的图象过两点()1,0-和()0,1，则a =,b=4.312-=x y 的值域为；5.)lg(2x x y +-=的递增区间为，值域为6.2121log 4x -≤0，则x ∈7.函数()log a f x x =(2≤x ≤)π的最大值比最小值大1，则a ∈ 8.已知7.01.17.01.1,8.0log ,8.0log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是9.（06某某文）方程22log (1)2log (1)x x -=-+的解为10.已知函数2()log 2a xf x x+=-()01a << ()1试判断()f x 的奇偶性；()2解不等式()f x ≥log 3a x。
函数与导数复习课用教案
函数与导数诊断练习1、曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________．2、函数2ln y x x =-的单调增区间为 ，减区间为 ；3、已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．4、函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ，最小值是 ． 5、曲线C ：211ln 22y x x =++的斜率最小的切线与圆221x y +=的位置关系为 典型例题 例1：（1）若函数3(3)y a x x =-在区间(1,1)-上为减函数，则实数a 的取值范围是 ；（2）若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(14)，内为减函数，在区间()6,+∞上是增函数，是求实数a 的取值范围．（2）若函数324y x ax =-+在()0,2上单调递减，则实数a 的取值范围是 ；例2：已知函数)ln()(m x e x f x +-=.(Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)当2m ≤时,证明()0f x >.变式：已知函数1()ln x f x x ax-=+，0a R a ∈≠且． （1） 当2a =时，求函数()f x 在⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,e e 的最大值和最小值；（2） 若函数()()g x af x =，求函数()g x 的单调递减区间；课后练习：1、曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________2、设32()31f x ax x x =+-+是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为 ；3、已知0a >，函数3()f x x ax =-在区间[)1,+∞上为增函数，则a 的取值范围是 ；4、函数3()2f x x ax =-+在区间1(0,)3上是减函数，在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 ；5、函数3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0成立，求实数a 的值．6、()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，()()0f x xf x '+<，且(4)0f -=，则不 等式()0xf x >的解集为 ．7、若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.8、已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为9、设定义在（0，+∞）上的函数1()(0)f x ax b a ax =++> （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值。
高中数学导数复习课教案
高中数学导数复习课教案主题：导数复习目标：通过复习导数的基本概念和求导法则，帮助学生复习巩固导数的相关知识，提高他们的求导能力。
时间：1课时教学步骤：一、复习导数的基本概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点处的变化率，即函数的斜率。
2. 导数的符号表示：记为f'(x)，读作f prime of x。
3. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点处的切线斜率。
二、求导法则的复习1. 常数函数的导数：f'(x) = 02. 幂函数的导数：f'(x) = nx^(n-1) （n为常数）3. 指数函数的导数：f'(x) = a^x * ln(a)4. 对数函数的导数：f'(x) = 1 / (x * ln(a))5. 三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)，cos'(x) = -sin(x)，tan'(x) = sec^2(x)三、求导实例练习1. 求函数f(x) = x^2 + 2x的导数2. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数3. 求函数h(x) = ln(x)的导数四、求导技巧和综合练习1. 复合函数的求导法则2. 链式法则的应用3. 综合练习：求函数i(x) = (x^2 + 1) * e^x的导数五、作业布置1. 完成课堂练习题目2. 预习下节课内容，复习导数的基本概念和求导法则教学反思：本节课通过复习导数的基本概念和求导法则，帮助学生加深对导数的理解，提高他们的求导能力。
同时，通过实例练习和综合练习，巩固学生的求导技巧和应用能力。
在后续的教学中，需要加强对导数在实际问题中的应用，引导学生将导数与现实生活相结合，提升他们的数学建模能力。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用教案章节：一、函数的极值概念与判定1. 学习目标：理解函数极值的概念，掌握函数极值的判定方法。
2. 教学内容：介绍函数极值的定义，分析函数极值的判定条件，举例说明函数极值的判定方法。
3. 教学过程：(1) 引入函数极值的概念，解释函数在某一点取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数极值的判定条件，如导数为零或不存在，以及函数在该点附近的单调性变化。
(3) 举例说明函数极值的判定方法，如通过导数的正负变化来判断函数的增减性。
二、函数的最值问题1. 学习目标：理解函数最值的概念，掌握函数最值的求解方法。
2. 教学内容：介绍函数最值的概念，分析函数最值的求解方法，举例说明函数最值的求解过程。
3. 教学过程：(1) 引入函数最值的概念，解释函数在整个定义域内取得最大值或最小值的意义。
(2) 讲解函数最值的求解方法，如通过导数的研究来确定函数的极值点，进而求得最值。
(3) 举例说明函数最值的求解过程，如给定一个函数，求其在定义域内的最大值和最小值。
三、导数的综合运用1. 学习目标：掌握导数的综合运用方法，能够运用导数解决实际问题。
2. 教学内容：介绍导数的综合运用方法，分析导数在实际问题中的应用，举例说明导数的综合运用过程。
3. 教学过程：(1) 讲解导数的综合运用方法，如通过导数研究函数的单调性、极值、最值等。
(2) 分析导数在实际问题中的应用，如优化问题、速度与加速度的关系等。
(3) 举例说明导数的综合运用过程，如给定一个实际问题，运用导数来解决问题。
四、实例分析与练习1. 学习目标：通过实例分析与练习，巩固函数极值与最值的求解方法，提高导数的综合运用能力。
2. 教学内容：分析实例问题，运用函数极值与最值的求解方法，进行导数的综合运用练习。
3. 教学过程：(1) 分析实例问题，引导学生运用函数极值与最值的求解方法来解决问题。
(2) 进行导数的综合运用练习，让学生通过实际问题来运用导数，巩固所学知识。
高三数学第二章函数+导数高考一轮复习教案2.14 函数的实际应用 教案
函数的实际应用一、学习目标：理解函数模型及其应用热点提示：1.能够应用函数的性质解决有关数学问题，能够应用函数知识解决一些简单的实际问题；2.培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力．3.多一解答题出现，属中高档题，偶尔在小题中出现本节重点：建立恰当的函数关系． 二、知识要点：1.函数定义域、图象、单调性质等知识；2.函数的值域、最值；解不等式等知识。
3.常见函数模型：一次函数，二次函数，分段函数，指数函数 主要方法：解数学应用题的一般步骤为：()1审题；()2建模；()3求解；()4作答． 三、课前检测：1.（09某某卷理)（本小题满分12分）两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。
A BC x2.（09某某）本小题满分16分按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为mm a+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为nn a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1) 求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35AB m m =时，求证：h 甲=h 乙； (2) 设35AB m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3) 记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
高三数学第二章函数+导数高考一轮复习教案2.1函数及其表示
2.1函数及其表示一、学习目标:考纲点击：理解函数的有关概念热点提示：1.函数是高考数学的核心内容，在历年高考中，函数知识覆盖面广、综合性强，在难中易各类考题中都会出现。
而在江苏高考中，函数题的难度一般偏大，同其他省比有其独特性。
2、本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图像，分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力也经常考查。
本节复习重点:函数的定义域和表达式二、知识要点：1.函数的概念定义:设A,B 是___________,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中的______，在集合B 中都有______元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数记作____________. 其中,x 叫做______,x 的取值范围A 叫做函数的_______;与x 的值相对应的y 的值叫做______,函数值的集合{ f(x) |x ∈A}叫做函数的_______.2.函数的三要素:①_________;②__________________;③_________ 。
注：两个函数当且仅当_______和________，都相同时，才称作相同的函数.3．常用的函数表示法（1）解析法：；（2）列表法：；（3）图象法：。
4．分段函数5．复合函数若y =f (u)，u=g(x ),x ∈ (a ，b )，u∈ (m,n)，那么y =f [g(x )]称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是g(x )的值域。
三、课前检测：1. (09山东理)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为________2.（09福建文）下列函数中，与函数y= 有相同定义域的是（ ） A .()ln f x x = B.1()f x x =C. ()||f x x =D.()x f x e = 3. （09江西理）函数y =的定义域为________4. （09北京文）已知函数3,1,(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩若()2f x =，则x = .5. .（09安徽理）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 .四．经典例题：热点考向一：求函数定义域例1:（1）求函数02)4(1||21)(-+-+-=x x x x f 的定义域。
函数与导数 教案
函数与导数教案教案标题：函数与导数教案目标：1. 通过本节课的学习，学生能够了解函数和导数的基本概念。
2. 让学生能够理解函数和导数之间的关系，并能够应用导数求解相关问题。
3. 培养学生的数学思维和分析问题的能力。
教学重点：1. 函数的基本概念和性质。
2. 导数的定义及其计算方法。
3. 导数在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备：教师课件、教学笔记、教学演示材料。
2. 学生准备：学生课本、学习笔记和课前预习资料。
教学过程：步骤一：引入新知1. 教师通过引入函数概念，与学生共同讨论函数的定义和性质。
2. 教师给出几个具体的函数示例，要求学生观察其特点并总结函数的图像。
3. 教师引入导数的概念，解释导数表示函数的变化率。
步骤二：函数与导数的关系1. 教师介绍导数与函数的关系，解释导数与函数的斜率之间的联系。
2. 教师通过具体的实例让学生理解和计算导数。
3. 教师引导学生发现导数与函数图像的特点并进行总结。
步骤三：导数的计算方法1. 教师详细讲解导数的计算方法，包括基本函数的导数和复合函数的导数。
2. 教师通过示例演示如何应用定义计算导数，并鼓励学生亲自尝试计算导数。
3. 教师展示使用求导法则计算导数的方法，并给予学生练习。
步骤四：导数的应用1. 教师介绍导数在实际问题中的应用，如切线问题和最值问题。
2. 教师给出具体问题，并引导学生利用导数公式进行求解。
3. 教师鼓励学生在实际问题中灵活运用导数的概念解决相关问题。
步骤五：总结与拓展1. 教师总结本节课的主要内容，强调函数与导数之间的关系。
2. 教师布置相关练习题，巩固学生的学习成果。
3. 教师提供其他拓展资源，让学生进一步拓宽对函数与导数的理解。
教学评估：1. 在课堂中观察学生的参与度和理解程度。
2. 对学生的课堂笔记进行评估，检查他们对于函数与导数的理解和计算能力。
3. 给学生布置课后练习，并对其作业进行评估。
教学延伸：教师可以邀请学生自行收集更多关于函数与导数的实际应用问题，并在下节课进行讨论和分享。
数学教案导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用
数学教案-导数复习函数的极值与最值,导数的综合运用一、教学目标：1. 理解函数的极值与最值的概念，掌握求解函数极值与最值的方法。
2. 熟练运用导数性质，解决实际问题中的最值问题。
3. 提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和数学素养。
二、教学内容：1. 函数的极值与最值概念。
2. 求解函数极值与最值的方法。
3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的极值与最值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：导数在实际问题中的综合运用。
四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数极值与最值的问题。
2. 利用多媒体课件，展示函数图像，直观地引导学生理解极值与最值的概念。
3. 结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。
五、教学过程：1. 导入新课：复习函数的极值与最值概念，引导学生回顾求解方法。
2. 知识讲解：讲解求解函数极值与最值的方法，结合实例进行分析。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
4. 案例分析：结合实际问题，运用导数求解最值问题，培养学生的应用能力。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
教案将继续编写后续章节，敬请期待。
六、教学评估：1. 课堂练习环节，通过学生解答练习题的情况，评估学生对函数极值与最值概念的理解以及求解方法的掌握程度。
2. 案例分析环节，通过学生分析实际问题、运用导数求解最值问题的过程，评估学生的应用能力和逻辑思维。
3. 课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度和自主学习能力。
七、教学反思：1. 根据教学评估的结果，反思教学过程中是否存在不足，如有需要，调整教学方法，以提高教学效果。
2. 针对学生的掌握情况，针对性地进行辅导，解决学生在学习过程中遇到的问题。
3. 结合学生的反馈，优化教学内容，使之更符合学生的学习需求。
八、课后作业：1. 复习本节课所学的函数极值与最值的概念及求解方法。
高考数学复习知识点讲解教案第17讲 导数与函数的极值、最值
例5（1） 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额函数是（ 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元； 是常数），若种植2万斤莲藕，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕( )
BCD
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为， ，由函数既有极大值也有极小值，得方程在 上有两个不等实根.令，则在 上有两个不等实根，故所以,,，故选 .
3.【微点2、微点3】若是函数的极值点，则 的极小值为_____.
[解析] 由，得 ，因为是函数 的极值点，所以，即 ，解得.可得，令 ，得或，当时，，函数单调递增，当 时，，函数单调递减，当时，，函数 单调递增，所以当时，函数取得极小值 .
[解析] ，令，得或 .当时，；当时，；当 时，.故在处取得极小值 .
2.［教材改编］ 函数在区间 上的最大值是_______.
[解析] ，令，得.当时， ；当时，.故函数在上单调递减，在 上单调递增，所以在区间上的最大值是, .
3.［教材改编］ 将一段长为 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，另一段弯成圆.为了使正方形与圆的面积之和最小，则弯成圆的铁丝的长是_ _____ .
[解析] 设弯成圆的铁丝的长为,则弯成正方形的铁丝的长为 ,记正方形与圆的面积之和为，则 ，.令，得 ，当时，， 单调递减，当时，，单调递增，故当时 取得最小值，即当弯成圆的铁丝的长为 时，正方形与圆的面积之和最小.
题组二 常错题
◆ 索引：混淆极值与极值点的概念;忽视连续函数在区间 上不一定存在最值;混淆恒成立与能成立问题.4.函数的极值点为 ________；函数 的极值点__________（填“存在”或“不存在”）.
高中数学复习教案：导数与函数的单调性
第十一节导数与函数的单调性[考纲传真]了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导,则(1)若f′(x)＞0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f′(x)＜0,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)若f′(x)＝0,则f(x)在这个区间内是常数函数．[常用结论]1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a,b),都有f′(x)≥0(f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么在区间(a,b)上一定有f′(x)>0. ()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0,则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()(4)若函数f(x)在区间(a,b)上满足f′(x)≤0,则函数f(x)在区间(a,b)上是减函数．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为()A．(0,4)B．(0,2)C．(4,＋∞) D．(－∞,0)A[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4),由f′(x)<0,得0<x<4,∴递减区间为(0,4)．]3．(教材改编)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象,则下列判断中正确的是()A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(1,3)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(3,4)上是增函数A [当x ∈(－3,0)时,f ′(x )＜0,则f (x )在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．] 4．(教材改编)函数f (x )＝cos x －x 在(0,π)上的单调性是( ) A ．先增后减B ．先减后增C ．增函数D ．减函数D [f ′(x )＝－sin x －1,又x ∈(0,π),所以f ′(x )＜0,因此f (x )在(0,π)上是减函数,故选D.] 5．已知f (x )＝x 3－ax 在[1,＋∞)上是增函数,则a 的取值范围是________． (－∞,3] [f ′(x )＝3x 2－a ,由题意知f ′(x )≥0,即a ≤3x 2对x ∈[1,＋∞)恒成立． 又当x ∈[1,＋∞)时,3x 2≥3,所以a ≤3.]不含参数的函数的单调性1．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(1,＋∞)D ．(0,＋∞)B [函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0,＋∞), y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x ,令y ′＜0,得0＜x ＜1,所以单调递减区间为(0,1),故选B.] 2．已知函数f (x )＝x ln x ,则f (x )( ) A ．在(0,＋∞)上递增 B ．在(0,＋∞)上递减 C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减D [因为函数f (x )＝x ln x ,定义域为(0,＋∞),所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0), 当f ′(x )＞0时,解得x ＞1e ,即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞;当f ′(x )＜0时,解得0＜x ＜1e ,即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ,故选D.]3．已知定义在区间(－π,π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ,则f (x )的单调递增区间是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x , 令f ′(x )＝x cos x ＞0,则其在区间(－π,π)上的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2, 即f (x )的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.] [规律方法] 求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域; (2)求f ′(x );(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0,得单调递增区间; (4)在定义域内解不等式f ′(x )＜0,得单调递减区间.易错警示：(1)求函数的单调区间时,一定要先确定函数的定义域,否则极易出错(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如函数f (x )＝x 3,f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时,f ′(x )＝0),但f (x )＝x 3在R 上是增函数.含参数的函数的单调性【例1】 讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． [解] f (x )的定义域为(0,＋∞), f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时,f ′(x )＞0,故f (x )在(0,＋∞)上单调递增;②当a ≤0时,f ′(x )＜0,故f (x )在(0,＋∞)上单调递减; ③当0＜a ＜1时,令f ′(x )＝0,解得x ＝1－a 2a ,则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时,f ′(x )＜0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞时,f ′(x )＞0,故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减,在⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增．[规律方法] 解决含参数的函数单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.(1)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R ),求函数f (x )的单调区间．[解] f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上,Δ＝4－4a ＝4(1－a )． ①当1－a ≤0,即a ≥1时,f ′(x )≥0恒成立, f (x )在R 上单调递增．②当1－a ＞0,即a ＜1时,令f ′(x )＝0,解得x 1＝－1－1－a ,x 2＝－1＋1－a ,令f ′(x )＞0,解得x ＜－1－1－a 或x ＞－1＋1－a ;令f ′(x )＜0,解得－1－1－a ＜x ＜－1＋1－a ,所以f (x )的单调递增区间为(－∞,－1－1－a )和(－1＋1－a ,＋∞); f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ,－1＋1－a )． 综上所述：当a ≥1时,f (x )在R 上单调递增;当a ＜1时,f (x )的单调递增区间为(－∞,－1－1－a )和(－1＋1－a ,＋∞), f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ,－1＋1－a )．(2)已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a ＞0)．求f (x )的单调区间． [解] 由题意得f ′(x )＝e x [ax 2＋(2a －2)x ](a ＞0), 令f ′(x )＝0,解得x 1＝0,x 2＝2－2a a .①当0＜a ＜1时,f (x )的单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞,单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ;②当a ＝1时,f (x )在(－∞,＋∞)内单调递增;③当a ＞1时,f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0,＋∞),单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0. 函数单调性的应用►考法1 【例2】 (2019·莆田模拟)设函数f ′(x )是定义在(0,2π)上的函数f (x )的导函数,f (x )＝f (2π－x ),当0＜x ＜π时,若f (x )sin x －f ′(x )cos x ＜0,a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,b ＝0,c ＝－32f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6,则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜bA [由f (x )＝f (2π－x ),得函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称,令g (x )＝f (x )cos x ,则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )·sin x ＞0,所以当0＜x ＜π时,g (x )在(0,π)内递增,所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6,即a ＜b ＜c ,故选A.]►考法2 根据函数的单调性求参数【例3】 (1)(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ,其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0,则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－x 3＋2x －e x ＋1e x ＝－f (x ), 所以f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x 是奇函数． 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0,所以f (2a 2)≤－f (a －1),即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0, 所以f (x )在R 上单调递增, 所以2a 2≤1－a ,即2a 2＋a －1≤0, 所以－1≤a ≤12.](2)已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．①若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间,求a 的取值范围;②若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．[解] ①h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2,由于h (x )在(0,＋∞)上存在单调递减区间,所以当x ∈(0,＋∞)时,1x －ax －2＜0有解, 即a ＞1x 2－2x 有解．设G (x )＝1x 2－2x ,所以只要a ＞G (x )min 即可． 而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1,所以G (x )min ＝－1,所以a ＞－1,即a 的取值范围为(－1,＋∞)． ②由h (x )在[1,4]上单调递减得,当x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立, 即a ≥1x 2－2x 恒成立．所以a ≥G (x )ma x ,而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1,因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )ma x ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716,即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.[规律方法] 根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ,b )上单调,则区间(a ,b )是相应单调区间的子集. (2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ,b )都有f ′(x )≥0且在(a ,b )内的任一非空子区间上,f ′(x )不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.(1)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＞0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数),则下列不等式成立的是( )A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4B.2f⎝⎛⎭⎪⎫π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫π4C．f(0)＞2f ⎝⎛⎭⎪⎫π3D．f(0)＞2f⎝⎛⎭⎪⎫π4(2)已知a≥0,函数f(x)＝(x2－2ax)e x,若f(x)在[－1,1]上是减函数,则a的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎪⎫0，34 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12(1)A(2)C[(1)令g(x)＝f(x)cos x,则g′(x)＝f′(x)cos x＋f(x)sin xcos2x＞0,即g(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数,则有g⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜g⎝⎛⎭⎪⎫－π4,即f⎝⎛⎭⎪⎫－π3cos⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫－π4cos⎝⎛⎭⎪⎫－π4,即2f⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜2f⎝⎛⎭⎪⎫－π4.即2f⎝⎛⎭⎪⎫－π3＜f⎝⎛⎭⎪⎫－π4,故选A.(2)f′(x)＝(2x－2a)e x＋(x2－2ax)e x＝[x2＋(2－2a)x－2a]e x,由题意知当x∈[－1,1]时,f′(x)≤0恒成立,即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a,则有⎩⎨⎧g(－1)≤0，g(1)≤0，即⎩⎨⎧(－1)2＋(2－2a)·(－1)－2a≤0，12＋2－2a－2a≤0，解得a≥34,故选C.]1．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x－13sin 2x＋a sin x在(－∞,＋∞)单调递增,则a的取值范围是()A．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 C [取a ＝－1,则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ,f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ,但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0,不具备在(－∞,＋∞)单调递增的条件,故排除A,B,D.故选C.]2．(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x －ln x －1. 设x ＝2是f (x )的极值点,求a ,并求f (x )的单调区间． [解] f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝a e x －1x . 由题设知,f ′(2)＝0,所以a ＝12e 2.从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1,f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时,f ′(x )<0; 当x >2时,f ′(x )>0.所以f (x )在(0,2)上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增．3．(2017·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x .讨论f (x )的单调性． [解] 函数f (x )的定义域为(－∞,＋∞), f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )． ①若a ＝0,则f (x )＝e 2x 在(－∞,＋∞)上单调递增． ②若a ＞0,则由f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ∈(－∞,ln a )时,f ′(x )＜0; 当x ∈(ln a ,＋∞)时,f ′(x )＞0. 故f (x )在(－∞,ln a )上单调递减, 在(ln a ,＋∞)上单调递增．③若a <0,则由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时,f ′(x )＜0;当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时,f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．综上所述,若a ＝0时,f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增．若a ＞0时,f (x )在(－∞,ln a )上单调递减,在(ln a ,＋∞)上单调递增．若a ＜0时,f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．。
导数复习课教案
导数复习课教学目标1、 知识与技能：（1）利用导数的几何意义；（2）会用导数求函数的单调区间或者判断函数的单调性；会用导数求函数给定区间上的极值和最值（3）解决函数零点个数问题及恒成立问题。
2、 过程与方法：（1）能够利用函数性质作图像，反过来利用函数的图像研究函数的性质如零点个 数情况，能合理利用数形结合解题。
（2）学会利用化归转化的数学思想把陌生的问题转化到熟悉的问题来解决。
3、情感、态度与价值观：这是一堂专题复习课，教学难度有所增加，培养学生提出问题、思考问题的习惯，以及克服困难的信心。
教学重点、难点重点是应用导数求单调性，极值，最值难点是函数零点个数及恒成立问题教学过程一、复习公式（一）复习基本初等函数的导数公式1.______2.()_______3.(sin )_________4.(cos )_________5.()_________(0)6.()________7.(log )________(01)8.(ln )________a x x a C x x x a a e x a a x '''===''==>''==>≠'=且（二）导数的运算法则（和差积商的导数） 1.[()()]'____________________2.[()()]'_____________________()3.________________________()f x g x f x g x f x g x ±=⋅='⎡⎤=⎢⎥⎣⎦二、导数的常见题型题型一：导数公式的运用 题型二：导数几何意义的运用 题型三：导数的切线问题题型四：利用导数求单调区间或判断单调性，求极值，求最值题型五：函数的零点个数问题（或是方程根的个数，或是函数图象与x 轴交点个数）题型六：给出函数单调性的恒成立问题以及其它恒成立问题题型七：杂题集锦三、具体例题讲解题型一：导数公式的运用【例1】求下列函数的导数123244(1)(2)log log ln (3)(4)1y x y x x x y y x ==-==+题型二：导数几何意义的运用【例2湖南文】曲线sin 1(,0)sin cos 24x y M x x π=-+在点处的切线的斜 率为（ ）11....2222A B C D -- 题型三：导数的切线问题[例3] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.(1)求过点（2，4）且与曲线C 相切的直线方程；(2)求过点（1，43）且与曲线C 相切的直线方程；跟踪练习：【2012高考新课标文13】 曲线(3ln 1)(1,1)y x x =+在点处的切线方程 为_________3y 21(1,0).1.1.22.22x x A y x B y x C y x D y x =-+=-=-+=-=-+【2011全国Ⅰ文在点处的切线方程为( )】曲线题型四：利用导数求单调区间或判断单调性，求极值，求最值 (,)()0()0(,)()(,)()(,)2.a b f x f x a b f x a b f x a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩'>⇒'<⇒⇒⇒1.函数在区间内,函数在区间内,在内单调思考递增在内单调递减 尝试应用()()()()f x f x y f x y f x 4例、设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是【】( )''==跟踪练习：()()y f x y f x '==1.如果函数的图象如图所示，那么导函数的图象可能是（ ）.3.()531(0),().f x x ax a f x =--≠已【】知函数求函数的单调区间例跟踪练习：21l 20n 2(1,1](0,1][1,)(0,)128x x B C D y A =--+∞+∞的单调递减区间为(【】函高考辽宁文 )数题型四：利用导数求函数极值[例6] 求函数y ＝3x 3－x ＋1的极值．跟踪练习：()()()()220129()ln ,11..22.2.2A x f x B x f x C x f x D x f x x f x x=====+【】设函数为的极大值点 为的极小值点为的极大值点高考陕西文 为则( )的极小值点。
高中数学教案函数与导数
高中数学教案函数与导数一、教学目标：1. 了解函数的基本概念，理解函数的定义和表示方法；2. 掌握函数之间的运算，能够进行复合函数的计算；3. 熟练掌握导数的定义和求导法则，能够计算函数的导数。
二、教学重点与难点：1. 函数的定义和表示方法；2. 复合函数的运算；3. 导数的定义和求导法则。
三、教学准备：1. 教学用具：黑板、彩色粉笔、教材、课件；2. 教学素材：函数与导数的相关练习题；3. 教学环境：安静整洁的教室。
四、教学过程：1. 导入：通过实例引入函数的概念，让学生了解什么是函数及其与关系的区别；2. 讲解：依次讲解函数的定义、表示方法、函数的运算、复合函数的计算等内容，并通过例题让学生掌握相关概念；3. 练习：对学生进行函数相关的练习，巩固知识点；4. 引入导数：介绍导数的概念和求导法则，并让学生掌握导数的定义和计算方法；5. 练习：对学生进行导数的相关练习，提高他们的求导能力；6. 总结：总结本节课的重点内容，引导学生掌握函数与导数的关系；7. 作业布置：布置相关作业，巩固学生对函数与导数的理解。
五、板书设计：1. 函数的定义：设A、B是非空集合，f是从A到B的一个对应关系，则称f为从A到B 的一个函数。
2. 函数的表示方法：y=f(x)，y是自变量x的函数。
3. 导数的定义：f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h (h→0)。
4. 导数的性质：（1）导数的和与差；（2）导数的积；（3）导数的商。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握函数与导数的基本概念和计算方法，提高他们的数学运算能力和思维能力。
在教学过程中，要注重引导学生进行课堂互动和积极思考，提高他们的学习兴趣和参与度。
同时，要注重引导学生进行练习和巩固，帮助他们理解和掌握所学知识。
导数综合复习教案
导数综合复习教案教案标题：导数综合复习教案教案目标：1. 复习导数的定义和基本概念。
2. 强化学生对导数的计算和应用能力。
3. 培养学生解决导数相关问题的思维能力。
教学重点：1. 导数的定义和基本概念。
2. 导数的计算方法。
3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的应用问题解决思路的培养。
2. 复杂函数的导数计算。
教学准备：1. 教师准备：教案、课件、导数相关的练习题。
2. 学生准备：课本、笔记、计算器。
教学过程：Step 1: 导入导数的定义和基本概念（10分钟）1. 回顾导数的定义：导数是函数在某一点上的瞬时变化率。
2. 引导学生回顾导数的符号表示和几何意义。
Step 2: 导数的计算方法（30分钟）1. 复习导数的基本公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 指导学生通过求导法则计算简单函数的导数。
3. 强调链式法则和乘积法则在复杂函数导数计算中的应用。
Step 3: 导数在实际问题中的应用（30分钟）1. 引导学生思考导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。
2. 通过实际问题的例子，让学生应用导数解决相关问题。
3. 引导学生思考导数在最值、曲线形状等方面的应用。
Step 4: 综合练习和讨论（20分钟）1. 分发练习题，让学生独立或小组完成。
2. 引导学生讨论解题思路和方法，解答疑惑。
3. 针对学生易错的问题进行重点讲解和澄清。
Step 5: 总结和作业布置（10分钟）1. 总结导数的定义、基本概念和计算方法。
2. 强调导数在实际问题中的应用。
3. 布置作业，要求学生进一步巩固和应用导数的知识。
教学反思：本节课通过复习导数的定义和基本概念，强化了学生对导数的理解。
通过导数的计算方法和实际应用，提高了学生的计算和解决问题的能力。
在教学过程中，要注重引导学生思考和讨论，培养他们的解决问题的思维能力。
同时，对于复杂函数的导数计算，需要给予学生足够的练习和指导，以提高他们的运算能力。
高中数学的函数和导数教案
高中数学的函数和导数教案
教学目标：
1. 理解函数的概念及其特性；
2. 掌握函数的基本操作和性质；
3. 熟练运用导数的定义和性质。
教学重点：
1. 函数的概念和性质；
2. 导数的定义和性质；
3. 导数的运算法则。
教学难点：
1. 导数的计算方法；
2. 函数和导数的实际应用。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引入函数和导数的概念，通过举例让学生理解函数的定义及导数的意义。
二、讲解函数（15分钟）
1. 介绍函数的定义和性质；
2. 讲解函数的基本操作和图像表示；
3. 解释函数的奇偶性和周期性。
三、讲解导数（20分钟）
1. 引入导数的概念和定义；
2. 讲解导数的计算方法和性质；
3. 解释导数在函数中的应用。
四、练习与讨论（15分钟）
1. 学生进行导数的相关计算练习；
2. 学生讨论函数与导数的关系及实际应用。
五、作业布置（5分钟）
布置相关函数和导数的练习题目，要求学生掌握基本概念和计算方法。
六、课堂总结（5分钟）
教师对本节课的重点内容进行总结，并强调重点和难点知识。
教学资源：
1. 教材《高中数学教程》；
2. 讲解PPT；
3. 相关函数和导数的练习题。
教学反思：
在教学过程中，要注意引导学生通过实际问题来理解函数和导数的概念，强化实际应用，提高学生的学习兴趣和主动性。
同时，要根据学生的不同情况，采用多种教学方法，提高教学效果和学生的学习水平。
导数复习教案
第一章导数及其应用复习课本章知识网络知识点精析(一)求函数的导数1．导数的基本概念、变化率；2．记住基本初等函数的导数公式；3．记住导数的四则运算法则；4．理解复合函数的求导，即[f(φ(x))]′＝f′(φ(x))φ′(x)．(二)导数的应用1．求函数的单调区间与极值步骤：①求出函数的定义域，求导数；②求出导数为0的点或导数不存在点；③列表讨论；④总结．2．求函数的最大值与最小值①闭区间[a，b]上连续函数f(x)一定能取到最大值与最小值，且最大值点与最小值点一定包含在区间内部导数值为0的点或内部导数不存在点或端点之中．②实际应用问题的最大与最小值．设所求的量为y，设与y有关量为x，建立y＝f(x)，x∈D，求f(x)的最大值或最小值．注意：若f(x0)为唯一极值，若f(x0)为极大值，则f(x0)为最大值；若f(x0)为极小值，则f(x0)为最小值．3．关于证明题(1)证明方程根的存在性；(2)证明不等式．(三)定积分（理科）1．定积分的概念(四个步骤、本质)(求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程)．2．微积分基本定理：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，b f(x)dx＝F(b)－F(a)．并且F′(x)＝f(x)，那么⎠⎛a这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．3．应用定积分求面积的基本步骤和注意事项．整体设计教材分析导数是高中数学新教材中新增的知识之一，体现了现代数学思想，在研究函数的性质时，有独到之处．纵观近几年各地的新课程试卷，内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关．作为新教材的新增内容，复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用．课时分配2课时．第1课时教学目标知识与技能目标1．复习巩固导数与积分的基础知识，理清知识网络．2．理解和掌握导数与积分及其有关概念，会求一些实际问题的最大值与最小值．过程与方法目标提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力，注意数形结合、分类讨论、函数等思想的应用．情感、态度与价值观在解决问题的过程中，培养学生独立思考问题、解决问题的能力，增强其学习积极性和提高其数学交流能力．重点难点重点：掌握导数与积分及其有关概念，巩固导数与积分的基础知识．难点：运用导数的知识解决有关函数问题．教学过程提出问题请同学们解答下列问题：1．函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f(f(0))＝________，0lim x ∆→f (1＋Δx )－f (1)Δx＝__________.2．函数f(x)＝13x 3－x 2－3x ＋6的单调递增区间为__________单调递减区间为__________．3．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2,3]上的最小值为( ) A ．72 B ．36 C ．12 D ．0 答案：1.2 －2基础知识聚焦：函数在某一点处的导数的定义为f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 及其变形，特别注意函数值的增量与自变量的增量．f ′(x 0)的几何意义表示曲线在点(x 0，f(x 0))处的切线的斜率．2．(－∞，－1)，(3，＋∞) (－1,3)评析：函数的单调递增区间是两个区间(－∞，－1)，(3，＋∞)，但是不能写成(－∞，－1)∪(3，＋∞)．有关函数单调区间的合并主要依据是函数f(x)在(a ，b)内单调递增，在(b ，c)内单调递增，又知函数在x ＝b 处连续，因此f(x)在(a ，c)内单调递增．3．D 解析：y ′＝4x 3－4，令y ′＝0，即4x 3－4＝0，所以x ＝1. 当x<1时，y ′<0；当x>1时，y ′>0.所以y 极小值＝y|x ＝1＝0，而端点的函数值y|x ＝－2＝27，y|x ＝3＝72，因此ymin ＝0.基础知识聚焦：考查利用导数求最值． 典型示例类型一 导数的概念例1(1)用导数的定义求函数f(x)＝1x在x ＝1处的导数；(2)用导数的定义求函数f(x)＝1x ＋2的导数． 思路分析：用导数的定义求导数时，先求平均变化率，再求极限．解：(1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝11＋Δx －1Δx＝1－1＋Δx Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )Δx 1＋Δx (1＋1＋Δx )＝－ΔxΔx (1＋Δx ＋1＋Δx ) ＝－11＋Δx ＋1＋Δx，f ′(1)＝0lim x ∆→ ΔyΔx ＝0lim x ∆→－11＋Δx ＋1＋Δx＝－12.(2)Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋2＋Δx －1x ＋2Δx ＝(x ＋2)－(x ＋2＋Δx )Δx (x ＋2)(x ＋2＋Δx ) ＝－1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )，所以f ′(x)＝0lim x ∆→ Δy Δx ＝0lim x ∆→ －1(x ＋2)(x ＋2＋Δx )＝－1(x ＋2)2.点评：(1)用导数定义求函数的导数，必须把分式ΔyΔx 中的分母Δx 这一因子约掉才能求出极限，所以目标就是分子中出现Δx ，从而对分子、分母约分．(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”，“有理化”是处理根式问题常用的方法．(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别． 变式练习：设函数f(x)在x 0处可导，则下列极限等于f ′(x 0)的是( )A. 0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0) B. 0lim x ∆→ f (x 0＋3Δx )－f (x 0)C. 0lim x ∆→f (x 0)－f (x 0＋Δx )Δx D. 0lim x ∆→ f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx答案：D类型二 导数的基本运算例2求导：(1)y ＝(x ＋1)(x 2＋2x)；(2)y ＝cos(2x 2＋1)；(3)y ＝sinxx. 思路分析：运用求导公式及导数运算法则求导．解：(1)y ′＝3x 2＋6x ＋2；(2)y ′＝－4xsin(2x 2＋1)；(3)y ′＝xcosx －sinxx 2. 点评：要熟记常见函数的求导公式及导数运算法则．在求复合函数的导数时，关键是分清函数的复合关系，逐步求导直到最后，把中间变量转变为自变量的函数．变式练习：求y ＝sin 2(3x ＋1)的导数．解：y ′＝[sin 2(3x ＋1)]′＝2sin(3x ＋1)[sin(3x ＋1)]′＝2sin(3x ＋1)cos(3x ＋1)(3x ＋1)′＝6sin(3x ＋1)cos(3x ＋1)＝3sin(6x ＋2)．类型三 导数的几何意义例3若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为…( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0 思路分析：导数值对应函数在该点处的切线斜率．解析：设与直线x ＋4y －8＝0垂直的直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点的导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1,1)处的导数为4，此点的切线方程为4x －y －3＝0，故选A.答案：A点评：有关导数几何意义的题目一般有两类：一类是求曲线的切线方程，这类题目要注意审好题，看到底是“在某点处的切线”还是“过某点的切线”；第二类是已知曲线的切线求字母参数．变式练习：过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( )A ．2x ＋y ＋2＝0B ．3x －y ＋3＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：y ′＝2x ＋1，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线的斜率为2x 0＋1，且y 0＝x 20＋x 0＋1，于是切线方程为y －x 20－x 0－1＝(2x 0＋1)(x －x 0)．因为点(－1,0)在切线上，可解得x 0＝0或x 0＝－2，代入可验证知D 正确，选D.答案：D类型四 定积分的计算（理科） 例4计算下列定积分的值．(1)∫3－1(4x －x 2)dx ；(2)∫21(x －1)5dx ；(3)∫π20(x ＋sinx)dx. 解：∫3－1(4x －x 2)dx ＝(2x 2－x 33)|3－1＝(2×32－333)－[2×(－1)2－(－1)33]＝203；(2)因为[16(x －1)6]′＝(x －1)5，所以∫21(x －1)5dx ＝16(x －1)6|21＝16；(3)∫π20(x ＋sinx)dx ＝(x 22－cosx)|π20＝[(π2)22－cos π2]－(0－1)＝π28＋1.变式练习：求∫π2－π2cos 2xdx 的值．解：∫π2－π2cos 2xdx ＝∫π2－π21＋cos2x 2dx ＝x 2|π2－π2＋14sin2x|π2－π2＝π2.类型五 求函数的极值与最值例5f(x)＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4思路分析：本题考查求函数最值，可用导数法先求其极值，再与端点值进行比较．解析：f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)，令f ′(x)＝0，可得x ＝0或x ＝2(x ＝2舍去)．当－1≤x<0时，f ′(x)>0；当0<x ≤1时，f ′(x)<0，所以当x ＝0时，f(x)取得极大值为2.又f(－1)＝－2，f(1)＝0，所以f(x)在[－1,1]上的最大值为2.选C. 答案：C点评：此题较为基础，求完极值点，要注意与题目已知区间结合起来综合考虑问题．变式练习：a 为何值时，函数f(x)＝asinx ＋13sin3x 在x ＝π3处具有极值？是极大值还是极小值？试求此极值．解：a ＝2，极大值为f(π3)＝ 3.类型六 求函数的单调区间例6设函数f(x)＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b,0<a<1.求函数f(x)的单调区间．思路分析：本题考查用导数法求单调区间，需注意参数a ，有时候需要对其进行讨论．解：f ′(x)＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －3a)(x －a)， 令f ′(x)＝0，得x 1＝a ，x 2＝3a.列表如下：∴f(x)在(a,3a)上单调递增，在(－∞，a)、(3a ，＋∞)上单调递减． 点评：本题考查内容为利用导数求单调区间．但涉及到参数问题，参数讨论是难点．本题在0<a<1这个条件下降低了难度，若去掉此条件，难度会加大．变式练习：已知函数f(x)＝x 2＋alnx.(1)当a ＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若函数g(x)＝f(x)＋2x 在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x)＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下：由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0,1)；单调递增区间是(1，＋∞)；极小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x 2＋alnx ＋2x ，得g ′(x)＝2x ＋a x －2x 2.又函数g(x)＝x 2＋alnx＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，则g ′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋a x ≥0在[1，＋∞)上恒成立，也即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，又φ(x)＝2x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数，所以[φ(x)]max ＝φ(1)＝0，因此a ≥0.拓展实例：设函数f(x)＝2x 3－3(a －1)x 2＋1，其中a ≥1. (1)求f(x)的单调区间； (2)讨论f(x)的极值．思路分析：f(x)的单调性取决于f ′(x)的正负，而函数的极值取决于导数值为零的点的两侧的点对应的导数值的符号，即导数值为零的点两侧函数的单调性．解：由已知，得f ′(x)＝6x[x －(a －1)]，令f ′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝a －1.(1)当a ＝1时，f ′(x)＝6x 2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a>1时，f ′(x)＝6x[x －(a －1)]，f ′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：从上表可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；在(0，a －1)上单调递减；在(a －1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，当a ＝1时，函数f(x)没有极值；当a>1时，函数f(x)在x ＝0处取得极大值1；在x ＝a －1处取得极小值1－(a －1)3.点评：本小题主要考查利用导数研究函数的极值的基础知识，以及运用数学知识解决问题的能力．达标检测 1．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2D.e 22 2．设函数f(x)＝ax 2＋c(a ≠0)，若∫10f(x)dx ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为__________．答案：1.D 解析：y ′＝e x ，曲线在点(2，e 2)处的切线斜率为e 2，因此切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，则切线与坐标轴交点为A(1,0)，B(0，－e 2)．所以S △AOB ＝12×1×e 2＝e 22.2.33 解析：∫10f(x)dx ＝∫10(ax 2＋c)dx ＝(13ax 3＋cx)|10＝a 3＋c.而f(x 0)＝ax 20＋c ，所以ax 20＋c ＝a 3＋c.又0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 课堂小结1．知识收获：导数作为工具研究函数的相关问题的方法，以及定积分的简单运算．2．方法收获：数形结合、分类讨论的方法．3．思维收获：数形结合思想、分类讨论思想以及将代数式子视为函数的意识和转化化归的思想．让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程．设计意图布置作业补充练习1．函数f(x)＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)内是减函数，则( ) A ．a<1 B ．a<13C ．a<0D ．a ≤02．已知f(x)为偶函数，且∫60f(x)dx ＝8，则∫6－6f(x)dx 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．163．函数y ＝lnx －x 在x ∈(0，e]上的最大值为__________． 答案：1.D 2.D 3.－1 拓展练习4．已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有f(x 1)－f(x 2)≤4；思路分析：本小题主要考查应用导数研究函数的极值，利用导数为工具解决函数与不等式的有关综合问题，运用导数的几何意义来解决函数与解析几何的综合问题，这是高考的热点问题．解：(1)f ′(x)＝3ax 2＋2bx －3，依题意，得f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴f(x)＝x 3－3x. (2)证明：∵f(x)＝x 3－3x ，∴f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)．当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1,1]上为减函数，f(x)max ＝f(－1)＝2，f(x) min ＝f(1)＝－2.∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |，∴|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |≤2－(－2)＝4.第2课时教学目标 知识与技能目标 1．在复习巩固导数基础知识的基础上，进一步理解利用导数解决函数单调性、极值、最值等问题的处理方法．2．提高学生转化化归意识，体会导数在解决实际问题中的作用． 过程与方法目标掌握利用导数解决问题的方法、规律，深化学生对导数知识的理解及把握．情感、态度与价值观培养学生的观察、分析问题的能力，以及转化、化归的数学思想，让学生学会用数学方法认识世界、改造世界．重点难点重点：巩固常见导数题型，并培养学生解决实际问题的能力． 难点：运用导数知识解决有关问题的方法．教学过程典型示例类型一 求函数的导数例1函数y ＝x 3lnx ＋2x ＋cos2x －3e ＋sinπ的导数为________．思路分析：本题考查函数求导公式及导数运算法则，且搞清变量是x ，一般在不做任何说明的情况下，将x 视为变量．答案：y ′＝3x 2lnx ＋x 2＋2x ln2－2sin2x点评：本题一方面考查了导数求导公式及导数运算法则，另一方面学生容易出现诸如“(sinπ)′＝cosπ”的错误，因此本题有助于帮助学生克服思维定势．变式练习1．函数y ＝e x ＋x 2cosx ＋lnx 的导数为__________． 2．下列函数求导运算正确的是( )A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2B ．(log 2x)′＝1xln2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2sinx)′＝2xcosx 答案：1.y ′＝e x ＋2xcosx －x 2sinx ＋1x2.B类型二 用导数研究函数的性质(单调性、极值和最值) 例2设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2， (1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在区间[－34，14]上的最大值和最小值． 思路分析：f(x)的单调性取决于f ′(x)的正负，而函数的最值取决于函数的极值以及端点函数值的大小．解：f(x)的定义域为(－32，＋∞)． (1)f ′(x)＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3. 当－32<x<－1时，f ′(x)>0；当－1<x<－12时，f ′(x)<0；当x>－12时，f ′(x)>0.从而，f(x)在区间(－32，－1)，(－12，＋∞)上单调递增，在区间(－1，－12)上单调递减． (2)由(1)知f(x)在区间[－34，14]上的最小值为f(－12)＝ln2＋14. 又f(－34)－f(14)＝ln 32＋916－ln 72－116＝ln 37＋12＝12(1－ln 499)<0. 所以f(x)在区间[－34，14]上的最大值为f(14)＝116＋ln 72. 点评：(1)对数形式的函数求导一定要注意定义域；(2)注意求闭区间上函数最值的基本方法．变式练习：设函数f(x)＝x 3－3ax ＋b(a ≠0)．(1)若曲线y ＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．思路分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．解：(1)f ′(x)＝3x 2－3a ，∵曲线y ＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y ＝8相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧3(4－a )＝0，8－6a ＋b ＝8.∴a ＝4，b ＝24. (2)∵f ′(x)＝3(x 2－a)(a ≠0)，当a<0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点；当a>0时，由f ′(x)＝0，得x ＝±a.当x ∈(－∞，－a)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x ∈(－a ，a)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增．∴此时x ＝－a 是函数f(x)的极大值点，x ＝a 是函数f(x)的极小值点． 类型三 不等式证明例3当x>0时，证明不等式e x >1＋x ＋12x 2成立． 思路分析：在高中数学学习过程中，我们常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用的证法都一一尝试，却很难奏效．这时我们不妨变换一下思维角度，从所证不等式的结构和特点出发，结合自己已有知识，构造一个新的函数，再借助导数确定函数的单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明．用导数方法证明不等式，其步骤一般是：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论．证明：设f(x)＝e x －1－x －12x 2，则f ′(x)＝e x －1－x. 令g(x)＝e x －1－x ，则g ′(x)＝e x －1.当x>0时，g ′(x)＝e x －1>0. ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0.∴g(x)>g(0)＝0.∴g(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立． ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(0)＝0，∴e x －1－x －12x 2>0，即x>0时，e x >1＋x ＋12x 2成立． 点评：利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也成为命题的一个新热点，其关键是构造合适的函数，通过构造函数转化为研究这个函数的单调性和区间端点值或最值问题，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性，通过单调性证明不等式．变式练习：利用导数证明不等式lnx ＋1≤x 恒成立．解：设函数f(x)＝lnx ＋1－x(x>0)，则f ′(x)＝1x－1，则0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，故f(x)≤f(1)＝0，即lnx ＋1－x ≤0，即lnx ＋1≤x.点评：一般地，证明f(x)<g(x)，x ∈(a ，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F ′(x)<0，则F(x)在(a ，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)．类型四 微积分基本定理及其应用例4(1)求∫21(1x＋x ＋e x ＋cosx)dx 的值；(2)求∫2－24－x 2dx.（理科） 思路分析：(1)本题考查微积分基本定理，需结合导数公式记忆该定理．(2)本题若用微积分基本定理，不易求解，可考虑几何意义，即半径为2的半圆面积．解：(1)∫21(1x ＋x ＋e x ＋cosx)dx ＝(lnx ＋x 22＋e x ＋sinx)|21＝ln2＋32＋e 2－e ＋sin2－sin1.点评：求导问题和求微积分问题可以看做互逆的两个过程，因此须牢记求导公式．(2)∫2－24－x 2dx ＝2π. 点评：对于某些比较难求的积分，可考虑其几何意义，数形结合． 变式练习：1．求∫a －aa 2－x 2dx 的值，其中a>0. 2．求由y ＝1x，y ＝1，y ＝2，x ＝0所围成的图形的面积． 3．物体A 以速度v ＝6t ＋1在一直线上运动，同时物体B 在A 的正前方2米处以v ＝6t 的速度运动，两物体速度方向相同，两物体何时相遇？相遇处与物体A 的出发地距离是多少？答案：1.∫a －a a 2－x 2dx 几何意义为半径为a 的半圆的面积，故其值为πa 22. 2．本题以y 为变量较好，故面积S ＝∫211ydy ＝lny|21＝ln2－ln1＝ln2. 3．解：设在时刻t 0时相遇，则由题意，知∫t 00(6t ＋1)dt ＝2＋∫t 006tdt ， ∴(3t 2＋t)|t 00＝2＋3t 2|t 00.∴3t 2＋t ＝2＋3t 2.∴t ＝2.相遇处与物体A 的出发地距离是s ＝∫20(6t ＋1)dt ＝(3t 2＋t)|20＝14(米)．类型五 导数在实际问题中的应用例5某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入—成本)思路分析：建立利润函数，利用导数求其最值．解：每月生产x 吨时的利润为f(x)＝(24 200－15x 2)x －(50 000＋200x)＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)． 由f ′(x)＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)． 因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x)＝0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)＝－15×(200)3＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元． 点评：此题考查导数的实际应用，注意建立数学模型，将实际问题化为数学问题，最后一定要还原为实际问题来作答．变式练习：某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元．已知每生产x 件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x ＋136x 3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这样的产品？最大利润是多少？解：设生产x 件产品的利润为L(x)元，则L(x)＝500x －2 500－C(x)＝300x －136x 3－2 500(x 为正整数)． ∴L ′(x)＝300－112x 2. 令L ′(x)＝0，得到x ＝60(x ＝－60舍去)．当0≤x<60时，L ′(x)>0；当x>60时，L ′(x)<0.∴x ＝60是L(x)的唯一极大值点．故[L(x)]max ＝L(60)＝9 500.因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9 500元．变练演编1．已知f(x)＝xlnx ＋e x ，则下列关系正确的是( )A ．f ′(x)＝1＋e xB ．f ′(1)＝1＋eC ．f(1)>f(2)D ．f ′(1)>f ′(2)2．对R 上可导的任意函数f(x)，若满足(x －1)f ′(x)≥0，则必有( )A ．f(0)＋f(2)<2f(1)B ．f(0)＋f(2)≤2f(1)C ．f(0)＋f(2)≥2f(1)D ．f(0)＋f(2)>2f(1)3．已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，则f(π4)的值为__________． 4．求∫20(4－x 2＋|x －1|)dx 的值．5．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 答案：1.B 2.C 3.1 4.π＋1.5．解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋2 160×10 0002 000x ＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈Z *)． f ′(x)＝48－10 800x 2，令f ′(x)＝0，得x ＝15. 当x>15时，f ′(x)>0；当0<x<15时，f ′(x)<0.因此，当x ＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000.答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层． 工作者又g(a)在(0,1]上只有一个极值，所以g(23)＝43为g(a)在(0,1]上的最大值，且最小值为g(1)＝0.所以b 2∈[0，43]，即b 的取值范围为[－233，233]． 达标检测1．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)2．f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193B.163C.133D.1033．当x ≠0时，有不等式( )A ．e x <1＋xB ．当x>0时，e x <1＋x ；当x<0时，e x >1＋xC ．e x >1＋xD ．当x<0时，e x <1＋x ；当x>0时，e x >1＋x4．已知f(x)＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为…( )A ．－1<a<2B ．－3<a<6C ．a<－1或a>2D ．a<－3或a>65．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是__________．6．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________．7．已知函数f(x)＝13x 3＋a 2x 2＋ax ＋b ，当x ＝－1时，函数f(x)的极值为－712，则f(2)＝__________. 答案：1.C 2.D 3.C 4.D 5.(－∞，－53)，(1，＋∞) 6.(0，＋∞) 7.53课堂小结1．知识收获：导数在解决函数极值与最值、不等式证明以及在解决实际问题中的应用．2．方法收获：转化化归的思想方法．3．思维收获：分类讨论思想以及转化化归的思想．设计意图注重基础，由学生总结导数常见题型，培养学生的总结能力以及对知识的梳理能力，这样可以帮助学生尽快建立完整的知识体系．布置作业1．已知函数f(x)＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f ′(x)＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f(x)的单调区间；(2)若a>0，求函数y ＝f(x)在区间(a －1，a ＋1)内的极值．2．设函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 在点x ＝1处有极值－2，(1)求常数a ，b 的值；(2)求曲线f(x)与x 轴所围成图形的面积．答案：1．解：(1)由函数f(x)的图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f(x)＝x 3＋ mx 2＋nx －2，得f ′(x)＝3x 2＋2mx ＋n ，则g(x)＝f ′(x)＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n.而g(x)图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0.所以m ＝－3.代入①得n ＝0，于是f ′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．由f ′(x)>0，得x>2或x<0.故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；由f ′(x)<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f ′(x)＝3x(x －2)．令f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：由此可得：当0<a<1时，f(x)在(a －1，a ＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值； 当a ＝1时，f(x)在(a －1，a ＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a －1，a ＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f(x)在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6.2．解：(1)a ＝0，b ＝－3.(2)92.。
二次函数的导数及其应用复习教案
二次函数的导数及其应用复习教案一、教学目标1.学习二次函数的导数及其意义；2.理解二次函数的导数在解决实际问题中的应用；3.掌握解决复合函数求导的方法。
二、教学内容1.二次函数的导数及其意义二次函数是指 y=ax^2+bx+c 类型的函数，其中 a、b、c 为常数且a≠0。
对于二次函数，其导数为 y'=2ax+b。
其中：①当 a>0（二次函数开口向上），当 x 取值较小时，y' 取值为负数，当 x 取值较大时，y' 取值为正数；当 x 取值为顶点处的横坐标时，y' 取值为 0，即导数的零点。
这说明当二次函数向上开口时，其导数在顶点处达到最小值；②当 a<0（二次函数开口向下），当 x 取值较小时，y' 取值为正数，当 x 取值较大时，y' 取值为负数；当 x 取值为顶点处的横坐标时，y' 取值为 0，即导数的零点。
这说明当二次函数向下开口时，其导数在顶点处达到最大值。
2.二次函数的导数在解决实际问题中的应用二次函数的导数在解决实际问题中，具有很强的应用价值。
例如：①判断二次函数的增减性二次函数的导数代表着函数增长的斜率，利用二次函数的导数可以判断函数在某一点上升或下降，从而判断函数的增减性。
②二次函数最大值或最小值当二次函数导数为 0 时，即 y'=0，此时便可以求出函数的最值点，从而得到函数的最大值或最小值。
③相关问题的求解例如，已知二次函数 y=2x^2+3x-5，求其从 (1,0) 到点 (2,0) 的切线长度。
求解二次函数的导数 y'=4x+3，然后求出过 (1,0) 和 (2,0) 的切线方程 y=7x-7，最后利用勾股定理求出切线长度为7√2。
3.解决复合函数求导的方法复合函数是指由两个或多个函数构成的一个函数，例如 f(g(x)) 就是一个复合函数。
在求复合函数的导数时，需要使用链式法则。
链式法则是指：若 u=g(x) 和 y=f(u)，则有(y)′=f′(u)·u′，其中 y' 表示复合函数的导数，f'(u) 表示第一个函数的导数，u' 表示第二个函数的导数。
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函数与导数1.导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(002.导数的几何意义1.函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜 率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
2、利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？先求斜率k=)(0/x f ，再用)(00x x k y y -=-求出直线方程。
3.常见函数的导数公式: ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ；特殊的，211()x x '=-，'=③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=； 特殊的，x x e e =')(； ⑥a x x a ln 1)(log '=；特殊的，xx 1)(ln '= 。
4.导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2v v u v u vuv u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='±考点一：导数的定义例1.已知：x x f x x f a x ∆-∆+=→∆)()(lim000， xx f x x f b x ∆-∆-=→∆)()(lim 000，x x f x x f c x ∆-∆+=→∆)()2(lim000， xx x f x x f d x ∆∆--∆+=→∆2)()(lim 000，0)()(limx x x f x f e x x --=→。
则e d c b a 、、、、有相等关系的是变式练习：若2)(0/=x f ，则kx f k x f k 2)()(lim000--→等于：（ ）(A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2考点二：求函数的导数例2.求下列各函数的导数：（1）25sin x xx x y ++=；（2）)3)(2)(1(+++=x x x y ；（3）)4cos 21(2sin 2x x y --=； （4）xxy ++-=1111。
考点三：切线的方程，导数的几何意义例3. （2007全国）已知曲线2x y 3lnx 4=+的一条切线的斜率为27,则切点的横坐标为（ ）变式1、(2007海南宁夏)曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．294eB ．22eC ．2eD ．22e变式2、(2008全国)设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-变式3、曲线3y x x =-与直线2y x b =+相切，则实数b = 。
考点四：考查导数与单调性的关系知识点：利用导数判断函数单调性：1）)(0)(x f x f ⇒>'是增函数；2）)(0)(x f x f ⇒<'为减函数； 步骤：（1）求出函数的定义域（2）求()f x（3）解不等式()0f x ，得函数的增区间 解不等式()0f x ，得函数的减区间（三）已知单调区间求参数范围：)(x f 在某一区间递增0)(≥'⇒x f ，反之，0)(≤'⇒x f ； 例4：【导数与函数单调区间】判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）；32()23241f x x x x =+-+例5：函数()ln f x x x =的单调递增区间是＿＿＿＿． 1、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（ ）A ．)2,(-∞B ．(0,3)C ．(1,4)D ．),2(+∞2、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）y=xf '(x)-111-1oy x变式练习：已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中)(x f '是函数))(的导函数x f ， 下面四个图象中)(x f y =的图象大致是______ ______；31-21-122-2oyx 1-21-122oy x 421-2oy x422-2oy x① ② ③ ④(2008福建)如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,()y f x =的图像可能是（）例6：已知函数b ax x x x f ++-=2331)(的图像在点))0(,0(f P 处的切线方程为23-=x y （1） 求)(x f 的解析式; （2）求)(x f 的单调区间。
考点五：考查导数与极值的关系知识点：利用导数求极值：（1）求出函数的定义域（2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）列表得极值。
（极值点左右的导数一正一负） xyO 图1xy OA xy OB xy OC yOD x例7. (2008全国) 设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；变式：设函数f (x )=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x =1及x =2时取得极值，求a 、b 的值;变式：(2008广东)设R a ∈，若函数ax e y x +=，R x ∈有大于零的极值点，则（ ）A ．1-<a B. 1->a C. e a 1-> D. ea 1-<例8：设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。
（1）求b 、c 的值。
（2）求函数()g x 的极值。
变式：函数32()32f x x x =-+的极大值是___________；考点六：考查导数与最值的关系知识点：利用导数求最大值与最小值：（1）求出函数的定义域 （2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根； （4）列表得极值。
（极值点左右的导数一正一负）（5）求区间端点值（如果有）；（6）极值与端点值中最大的即为最大值，最小的即为最小值。
例9. 函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是 （ ）A ．5，15B ．5，4-C ．5，15-D ．5，16-变式：（2007江苏）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= .例10：（2011北京） 已知函数f(x)＝(x －k)e x .(1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．作业：1．函数()22)(x x f π=的导数是（ ）(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数xex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ）(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<<b （B ） 1<b （C ） 0>b （D ） 21<b 5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 6．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）8．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．2D ．329．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）（A ）)2()3()3()2(0//f f f f -<<< （B ） )2()2()3()3(0//f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0//f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0//f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分）11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．12．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿． 13．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是 14．已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 .（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 .三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？16．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．17. 已知函数32()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.各地月考联考模拟分类汇编：导数【广东省六校2012届高三第二次联考文】7．曲线()ln f x x x x =+在点1x =处的切线方程为（ ）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．21y x =-D ．21y x =+ 【答案】C【广东省揭阳市第二中学2012届高三下学期3月月考文】9．如图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象，给出下列命题：①-2是函数()y f x =的极值点；②1是函数()y f x =的最小值点；③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零；④()y f x =在区间（-2，2）上单调递增。