函数与导数复习教案

函数与导数

1.导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值

x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x

y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)

()(00。如果当

0→∆x 时，

x

y

∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y ’|0x x =。 即f （x 0）=0

lim

→∆x x y

∆∆=0

lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00

2.导数的几何意义

1.函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜 率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

2、利用导数求切线：注意：所给点是切点吗？先求斜率k=)(0/x f ，再用)(00x x k y y -=-求出直线方程。

3.常见函数的导数公式: ①'C 0=；

②1')(-=n n nx x ；特殊的，

211

()x x '=-，'=③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=； 特殊的，x x e e =')(； ⑥a x x a ln 1)(log '=

；特殊的，x

x 1

)(ln '= 。 4.导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2

v v u v u v

u

v u v u uv v u v u '

-'=

''+'=''±'='±

考点一：导数的定义

例1.已知：x x f x x f a x ∆-∆+=→∆)()(lim

000

， x

x f x x f b x ∆-∆-=→∆)

()(lim 000，

x x f x x f c x ∆-∆+=→∆)()2(lim

000

， x

x x f x x f d x ∆∆--∆+=→∆2)

()(lim 000，

0)

()(lim

x x x f x f e x x --=→。则e d c b a 、、、、有相等关系的是

变式练习：若2)(0/=x f ，则k

x f k x f k 2)

()(lim

000

--→等于：（ ）

(A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2

考点二：求函数的导数

例2.求下列各函数的导数：

（1）2

5sin x x

x x y ++=；

（2）)3)(2)(1(+++=x x x y ；

（3）)4

cos 21(2sin 2x x y --=； （4）x

x

y ++

-=

1111。

考点三：切线的方程，导数的几何意义

例3. （2007全国）已知曲线2x y 3lnx 4

=+的一条切线的斜率为27

,则切点的横坐标为（ ）

变式1、(2007海南宁夏)曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

A ．29

4

e

B ．2

2e

C ．2

e

D ．2

2

e

变式2、(2008全国)设曲线1

1

x y x +=

-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2

B ．

12

C ．12

- D ．2-

变式3、曲线3y x x =-与直线2y x b =+相切，则实数b = 。

考点四：考查导数与单调性的关系

知识点：利用导数判断函数单调性：1）)(0)(x f x f ⇒>'是增函数；2）)(0)(x f x f ⇒<'为减函数； 步骤：（1）求出函数的定义域

（2）求()f x

（3）解不等式()0f x ，得函数的增区间 解不等式()0f x ，得函数的减区间

（三）已知单调区间求参数范围：)(x f 在某一区间递增0)(≥'⇒x f ，反之，0)(≤'⇒x f ； 例4：【导数与函数单调区间】判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）；32()23241f x x x x =+-+

例5：函数()ln f x x x =的单调递增区间是＿＿＿＿． 1、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（ ）

A ．)2,(-∞

B ．(0,3)

C ．(1,4)

D ．),2(+∞

2、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）

y=xf '(x)

-111

-1

o

y x

变式练习：已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中)(x f '是函数))(的导函数x f ， 下面四个图象中)(x f y =的图象大致是______ ______；

31

-2

1-12

2-2o

y

x 1

-21-122o

y x 421

-2

o

y x

42

2

-2

o

y x

① ② ③ ④

(2008福建)如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,()y f x =的图像可能是（）

例6：已知函数b ax x x x f ++-=

23

3

1)(的图像在点))0(,0(f P 处的切线方程为23-=x y （1） 求)(x f 的解析式; （2）求)(x f 的单调区间。

考点五：考查导数与极值的关系

知识点：利用导数求极值：（1）求出函数的定义域（2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）列表得极值。（极值点左右的导数一正一负） x

y

O 图1

x

y O

A x

y O

B x

y O

C y

O

D x