初中数学总复习动态几何问题

例2（2008湖北咸宁）如图，在△ABC 中，点O是AC边上 的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角 平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论．
解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现 法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究 对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的 研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个 类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论。 类比发现法大致可遵循如下步骤： （1）根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可 能出现的情况； （2）结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识 （常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关 结论。 （3）类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质。
F A
G F E A
G E A F
G
B 图15-1
C C B D 图15-2 图15-3 C B D
F
G
A
E
F
G A E A
G
G
B
AB=AC BFCA于F,CGBA于G
C B
D AB=AC,D为BC上一点 DFCA于F,DEBA于E CGBA于G
C B
D AB=AC,D为BC上一点 DFCA于F,DEBA于E CGBA于G
题型二：线动型 1、线平移型
例5（08甘肃白银）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的 坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒 1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线 m运动的时间为t（秒）． (1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是__________； (2) 当t= 秒时，MN=AC； (3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； (4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明 理由．
综合 题型
图 15-3
练习
【观察与思考】经过仔细审题，排除“三角尺”和其平移的表面干扰，题中的图 （1）（2）（3）对应的几何图形就是： 它们就是我们早已熟悉的基本模式“等 腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线段之和等于这个三角形一腰上的高”． 本题的思考就是“回归到基本模式”，而题目所体现的就是“图形变换中的不变性”．
间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2) 求正方形边长及顶点C的坐标；(第24题图①)（第24题图②） (3) 在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．
例4（08苏州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC， AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点P从D点出发沿DC以每秒 1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒 2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点 时，Q点随之停止运动． （1）梯形ABCD的面积等于 ； （2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于 秒； （3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少 时间？
B C E P C
M
N
B
N
A
D
A
Q
D
4、图形滚动
例10（2006临沂）如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺 时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小 正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA绕点O顺时 针转过的角度为 度。
例11（2008年泰安市）（第19题） 1如图，将边长为1的正三角形沿x轴正方向连续 翻转2008次，点P依次落在点P，P2，P， ，P2008 1 3 的位置，则点 P2008 的横坐标为 ．
2、线旋Leabharlann Baidu型
例6（2006衡阳） 已知，如图
AB ABCD 中， AC，AB=1，BC= 5
对角线AC、BD交于0点，将直线AC绕点0顺时针旋转，分别交BC、 AD于点E、F (1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； (3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明 理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点0顺时针旋转的度数。
练习 （线动型）
1、已知：如图，AB是⊙O的一条弦，点C为AB的中点，CD是 ⊙O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O 于点F.
(1)判断图中∠CEB与∠FDC的数量关系，并写出结论；
(2)将直线l绕C点旋转(与CD不重合)，在旋 转过程中，E点、F点的位置也随之变化，
请你在下面两个备用图中分别画出l在不
题型三：图动型

图形的运动变换主要有平移、旋转和翻折 这三种基本变换。主要是对给定的图形（或其 一部分）实行某种位置变化，然后在新的图形 中分析有关图形之间的关系，这类问题常与探 究性、存在性等结合在一起，考察学生动手能 力、观察能力、探索与实践能力。
1、图形平移型
例7（08广州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm， BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、 Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒 的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰 △PQR重合部分的面积记为S平方厘米． （1）当t=4时，求S的值． （2）当
2、双动点型
例3（08湖北咸宁）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0， 10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从 点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动， 当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
⑴当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位：㎝）关于运动时
动态几何问题
关于对动态几何问题的理解

以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称 之为动态几何问题.动态几何试题就是研究在几何 图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数 量关系的“变”与“不变”性的试题
动态探究题能够真实的考查学生的知识水平、理解能力， 有较好的区分度，具有较好的选拔功能；同时，依托图形的
同位置时， 使(1)的结论仍然成立的图 形，标上相应字母，选其中一个图形给
予证明.
练习（图动型）
2、 （07 河北） 在△ABC 中，AB=AC，CG⊥BA 交 BA 的延长线于点 G．一等腰直角三角尺按如 图 15-1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一 G 条直角边与 AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经 F A 过点 B． （1）在图 15-1 中请你通过观察、测量 BF 与 CG 的 长度，猜想并写出 BF 与 CG 满足的数量关系， B C 然后证明你的猜想； 图 15-1 （2）当三角尺沿 AC 方向平移到图 15-2 所示的位置时， G F A 一条直角边仍与 AC 边在同一直线上，另一条 直角边交 BC 边于点 D，过点 D 作 DE⊥BA 于 E 点 E．此时请你通过观察、测量 DE、DF 与 CG B C D 的长度，猜想并写出 DE＋DF 与 CG 之间满足 图 15-2 的数量关系，然后证明你的猜想； G （3）当三角尺在（2）的基础上沿 AC 方向继续平 A 移到图 15-3 所示的位置（点 F 在线段 AC 上， E F 且点 F 与点 C 不重合）时， （2）中的猜想是否 C 仍然成立？（不用说明理由） B D
4 t ，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．
2、图形旋转型
例8（2007资阳）如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点( 不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F. (1) 求证：BP=DP； (2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程 中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明 ； (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点 连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过 程中长度始终相等，并证明你的结论 .
1、单动点型
例1．(08宁夏)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向 B运动，连接DP交AC于点Q。 （1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ； （2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形 ABCD面积的 1 ； 6 （3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运 动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形。
图8-1
图8-2
3、图形翻折型
例9（2007济宁）．如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN， 再把B点叠在折痕线上，得到△ABE。过B点折纸片使D点叠在直线 AD上，得折痕PQ。 (1)求证：△PBE∽△QAB； (2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说 明理由； (3)如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？
C
练习
3、已知：正方形 ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别 交 CB，DC（或它们的延长线）于点 M，N ．当∠MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时（如 图 1） ，易证 BM+DN=MN ． （1）当∠MAN 绕点 A 旋转到 BM≠DN 时（如图 2） ，线段 BM，DN 和 MN 之间有怎 样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当 ∠MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段 BM，DN 和 MN 之间又有怎样的 数量关系？请直接写出你的猜想．
变化（动点、动线段、动图问题），能很好地考查学生学习
数学的探究能力和综合素质，体现开放性。主要以中档题与 综合题形式出现，有时也会以选择题形式出现。
分 类
题型分类：点动型、线动型、面动型 运动形式：平移、旋转、翻折、滚动
题型一：点动型

点动型就是在三角形、矩形、梯形等一 些几何图形上，设计一个或几个动点， 并对这些点在运动变化的过程中产生的 等量关系、变量关系、图形的特殊状态、 图形间的特殊关系等进行研究。