第三章 金融工程的基本方法.讲述

I 98.52941
rA 2.5%
A 0.045
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rB 2.2537 %
B 0.0225
三、动态定价法
假定风险债券Ａ的价格运动规律如下图所示， rf 2%
期初
第1期末
107 98
第2期末
114.49
期初
第1期末
第2期末
PA 100
104.86
96.04
格为97元，是否有套利机会？如果有，如何套利？
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四、市场的完全性
这里用A和无风险证券就可以完全动态地复制出 债券B。原因在于我们假设每过一个时期，市场只出 现两种可能的状态（二叉树）。对于可能出现更多的 状态，就需要更多的互相独立的证券才可能动态地复 制其他的证券。这就是市场的动态完全性问题。 对于市场可能出现的各种情况，是否具备足够数 目的“独立的”金融工具来进行完全的套期保值，从 而转移风险。如果具备足够多的此类金融工具，则市 场是完全的，否则是不完全的。
能够用现有的另一组金融工具来“复制”（产生相同的
现金流），如果复制者和被复制者二者的市场价格不等 （必须把所有发生的成本计算在内），就会出现套利的
机会。（这是采用金融工程技术发掘市场套利机会的基
本做法）
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例3.2 假设3种零息票债券的面值都为100元，它们
当前的市场价格分别为：（1）1年后到期的零息票债券 的当前价格为98元；（2）2年后到期的零息票债券的当
价值就是4000万元，每年支付利息320万元。假设在 无税条件下，企业的收益必须先付利息再分红利，则 股东每年可以分到的收益为EBIT-320万元，若假定Ｂ 的股份数是60万份，此时可断定股价为100元／股。 否则，就有套利的机会。如果是90元，则可采用如下
策略套利：
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头寸情况 1%A股票的空头 1%B股票的多头 1%B债券的多头
EBIT 1000 1000 PV 10000 t t 10% t 1 (1 rA ) t 1 (1 10%)
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此时公司Ａ股票的每股价格应当是100元／股。
设Ｂ的资本中有4000万元负债，年利率为8%即
rf 8%并且假设此债务是无限期的。则Ｂ负债的市场
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第三节 风险中性定价法
一、风险中性假设

如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好 无关，则可以将这个问题放到一个假设的风险中 性的世界里进行分析，所得的结果在真实的世界 里也应该成立。

无套利均衡分析的过程和结果与市场参与者的风 险偏好无关
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二、金融经济学基本定理
有别于其他的市场。这是无套利均衡分析方法的根
本涵义。
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金融工程的一项核心技术是组合分解技术。采用组 合分解技术，可以利用基本工具作为零部件来组装成具 有特定流动性和收益／风险特性的金融产品；也可以通 过“剥离”，把原先捆绑在一起的金融／财务风险进行 分解，更可以在分解之后加以重新组合，从而为收益／ 风险在市场的流动转移和重新配置提供强有力的手段。 组合分解技术本质上就是用一组金融工具来“复制” 另一个（或另一组）金融工具的技术，也就是无套利均 衡分析的具体化。
(rA ) q(1 q)(u d )
2 2
现定义一类与状态相对应的假想的证券，称之为基本证 券。基本证券１在１年后如果市场出现上升状态，其市场 价值为１元，如果市场处于下跌状态，则价值为零。基本 证券２则反之，１年后市场处于下跌状态时价值为１元， 处于上升状态时为零。设现基本证券１的市场价格为 u， 基本证券２的市场价格为 d 。
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现在可用基本证券来复制上述的有风险证券Ａ。购 买 uPA 份基本证券１和 dPA 份基本证券２构成的证券组 合在１年后不管发生何种状况，都会产生和证券Ａ完全 同样的现金流，故为Ａ的复制品。由无套利原理知，二 者现在的市场价格应该相等：
PA uuPA d dPA
即
uu d d 1
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二、无套利定价法的应用
例3.1 假设有两家公司Ａ、Ｂ，其资产性质相同 但资本结构（负债／权益）不一样。每年创造的利税前
收益（EBIT）都是1000万元人民币。
设Ａ的资本全由股本权益构成，共100万股。根据 未来收入现金流的风险特征，金融市场对Ａ的股票的预
期收益率是 rA 10% ，则Ａ的企业价值为
u u u 解得 u 0.488，Lu 50.78 因此有 PB 107 L 103 d 同法可得 d 0.509 , Ld 48.62, PB 98d Ld 98.5
107 100 98
100 L
107 1.02 L 98 1.02 L
第三章
金融工程的基本分析方法
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第一节
无套利均衡分析法
一、金融工程的基本方法论
金融学在研究方法上完全从经济学中独立出来是以20 世纪50年代后期F.Modigliani和ler在研究企业资本结构 和企业价值的关系时提出的“无套利(No-Arbitrage)”分析方 法为标志的，这才是现代金融学的真正的方法论革命！ 金融研究的一个核心内容是对金融市场中的某项头寸 进行估值和定价。分析的基本方法是将这项头寸与市场中 其他金融资产的头寸组合起来，构筑起一个在市场均衡时 不能产生不承受风险的利润的组合头寸，由此测算出该项 头寸在市场均衡时的价值即均衡价格。
元。从而B的企业价值也为10000万元。与A的企业价值相等。 即 ＭＭ第一命题：在ＭＭ条件下，企业价值与其资本结 构（企业负债和权益的比例结构）无关
采用无套利分析技术，实际上是用一组证券复制某项或 某一组证券，其要点是使复制证券的现金流特征与被复制证 券的现金流特征完全相同。
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注意 ：如果对于市场上现有的一项或一组金融工具，
u rf rf (u d )
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PA 100 元 rf 2% u 1.07 d 0.98 例3.3 设债券Ａ，
如图所示 100
107
103
PB
98
98.5
则可算出
u 0.435730
d 0.544662
从而债券Ｂ现在的价格应该是
PB uuP 103 0.544662 98.5 98.52941 B d dP B 0.435730
１年后，无论出现何种市场状态，该组合的市值 都应该和债券Ｂ一样，即

I u 107 L 1.02 103 I d 98 L 1.02 98.5
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则解得
1 2
49 .5 L 1.02
由此算出债券Ｂ现在的市场价值为 若设 q 0.5，可以算出
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无套利定价原理
金融衍生工具的价格应该处在一个和标的资产价格相对确 定的位置,否则就偏离了合理的价格.如果市场价格对合理价格 的偏离超过了相应的成本,则市场投资者就可以通过标的资产 和金融衍生工具之间的买卖进行套利,买入相对定价过低的资 产,卖出相对定价过高的证券。市场价格必然由于套利行为做 出调整，相对价格过低的资产价格会因买入者较多而回升，而 相对价格过高的证券价格则会因为卖出者较多而下降，因而回 到合理的价位即均衡价格，套利者即因此获利。在市场价格回 到均衡状态之后，就不再存在套利机会，从而形成无套利条件 下的合理证券价格。这就是无套利定价原理。
未来的，由将来决定现在）
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例3.4
假设从现在开始年后到期的零息票债券的
价格为98元，从1年后开始，在2年后到期的零息票债
券的价格恰好也为98元。并且假设不考虑交易成本和
违约情况。试问： （1）从现在开始2年后到期的零息票债券的价格为 多少？ （2）如果从现在开始2年后到期的零息票债券的价
前价格为96元；（3）3年后到期的零息票债券的当前价
格为93元；并假设不考虑交易成本和违约情况。试问：
（1）如果有一个债券A的息票率为10%，1年支付1次
利息，期限为3年。债券A当前的市场价格应该为多少？ （2）如果债券A当前的市场价格为120元，是否有套 利机会？如果有，如何套利？
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两组不同的 u , d 则刻画了两个不同的市场。
下面用债券Ａ和无风险证券来复制债券Ｂ，检查 以上所述的用基本证券对债券Ｂ的定价是否正确： 设用 份债券Ａ和现在市场价值为 L 的无风险证 券来构筑复制债券Ｂ的证券组合。则该组合现在的市 值是
I 100 L
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总之：由于代表着现代金融学最新发展的金融工 程本身就是金融学的工程化，现代金融学本身的方法 论即无套利均衡分析也就是金融工程的基本方法论。 信息技术和工程方法对金融工程研究的支持，从最基 本的方法论角度出发，应该说都是围绕无套利均衡分 析展开的。因此，不懂得无套利均衡分析就是不懂得 现代金融学的基本方法论，当然，也就不懂得金融工 程的基本方法论。
（１）
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如果再同时购买１份基本证券１和１份基本证券 ２构成证券组合，则一年后无论出现何种状况，该组 合的市场价值都将是１元。这是一项无风险投资，其 收益率应该是 rf，于是有
1 1 u d 1 rf rf
（２）
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由（１）、（２）得：
u
d
rf d rf (u d )
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金融市场均衡时无套利机会就是无套利均衡分 析的依据。套利机会消除后所确定的均衡价格与市 场参与者的风险偏好无关。这就抓住就金融市场均 衡的最为本质的特征。 无套利均衡比供需均衡所产生的市场推动力要 强得多，重建市场均衡的速度也要快得多。金融市 场的这种本质特性决定了对它采用的研究方法应当